Giải bài toán khoảng cách bằng phương pháp tọa độ hóa

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (398.14 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
1. Hình chóp tam giác

Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có độ dài cạnh
AB=a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN,
biết rằng mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC).

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có

3 3

, , .

2 2 6

a a a

OA= OB=OC= OG=

Đặt SG =z>0. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Oxchứa A,
tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song 
song với SG (xem hình vẽ). Khi đó

3 3

;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; .

2 2 2 6

a a a a

A B C S z

     −   

       

   

3 3

; ; , ; ; .

12 4 2 12 4 2

a a z a a z

M  N − 

   

Tính được 15.
6
a

z= Suy ra

2 10

.
16

AMN

a

S =

O
S

Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường trịn đường kính AB
và điểm C trên nửa đường trịn đó sao cho AC=R. Trên đường thẳng vng góc với (P) tại A lấy điểm S

sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,

SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vng và tính thể tích khối chóp .S ABC.
Gợi ý:

Ta có AC =R BC, =R 3. Đặt SA= z>0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡C, tia Oxchứa A,
tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và
song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:

(

0;0;0 ,

) (

;0;0 ,

)

(

0; 3;0 ,

)

(

;0;

)

C A R B R S R z Khi đó tính

được 8 ; 3 4; 2

9 9 9

R R R

H

 

 

  và

2 2 2

;0; .

3 3

R R

K

 

 

 

Thể tích khối chóp S ABC. là:

3
.

6
.
12

S ABC

R

V =

2R
x

y
z

A
S

C
K

Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau, có
giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong
mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vng góc với ∆ và AC =BD= AB=a. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó

(

;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).

)

A a B C a a D a

+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm

(

/ 2; / 2; / 2

)

I a a a và bán kính R=a 3 / 2.
+ Mặt phẳng (BCD) có phương trình x−y=0.

+ Khoảng cách từ A đến (BCD) là

(

, ( )

)

2
a
d A BCD =

a
a
a

y
z

x
A

B
D

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh a, SA=2a và SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vng góc
của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Gợi ý:

+ Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như

hình vẽ, lúc đó

3 3

;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; 2 .

2 2 2 2

a a a a

A  B  C −  S a

   

+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là 3 2; ;2

10 5 5

a a a

M

 

 

  và

3 2 2

; ; .

10 5 5

a a a

N − 

 

+ Thể tích khối chóp A.BCNM là

3
.

3 3

.
50

A BCNM

a

V =

a
2a

O
S

B
A

Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B, AB=BC =2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung

điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 60o

. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Gợi ý:

+Đặt SA=z >0. Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:

(

2 ;0;0 ,

) (

0;0;0 ,

)

(

0; 2 ;0 ,

)

A a B C a M a

(

;0;0 , (2 ;0; ).

)

S a z
+ Tìm được điểm N a a

(

; ;0 .

)

+ Vectơ pháp tuyến của (SBC) là nSBC = −

(

z;0; 2a

)

+Vectơ pháp tuyến của (ABC) là nABC =

(

0;0;1 .

)

+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o

tìm được z=2a 3⇒S

(

2 ;0; 2a a 3 .

)

+ Suy ra VSBCNM =a3 3 và

2 39

( , ) .

13
a
d AB SN =

x N

B
A

Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, BA=3 ,a BC =4a, mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =2a 3 và SBC=30 .o
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Gợi ý:

+ Kẻ SO⊥BC, khi đó SO⊥(ABC). Tính được

3, 3 , .

SO=a OB= a OC =a

+ Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:

(

3 ;3 ;0 ,

) (

3 ;0;0 ,

)

(

;0;0 ,

)

(

0;0; 3 .

)

A a a B a C −a S a

+ Tính thể tích khối chóp S.ABC là VS ABC. =2a3 3.
+ Phương trình mặt phẳng (SAC) là:

3x 4y 3z 3a 0.

− + + − =

+ Khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (SAC) là

(

, ( )

)

6 7.

7
a

d B SAC = 4a 3a

x
S

B
C

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a,
AB = 2a, AC = 4a, BAC =60o. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của B trên AC và CD. Đường
thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vng góc với CD và tính thể tích khối tứ diện
BCDE theo a.

Giải:

60o

2a
3a

E
A

B

C
D

x
z

y

H

K

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa

độ O.

A(0;0;0), B(2a;0;0), C

(

2 ;2a a 3;0

)

, D(0;0;3a)

.cos60o

AH= AB =a. Suy ra tọa độ của ; 3;0

2 2

a a
H

 

 

 

(

2 ;2 3; 3

)

DC= a a − a

suy ra u=

(

2;2 3; 3−

)

là một vecto chỉ

phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là:

2
2 3

3 3

x t

y t

z a t

=



=



= −


. Vì K thuộc DC nên K

(

2 ;2 3 ;3t t a−3t

)

.
Ta có BK =

(

2t−2 ;2 3 ;3a t a−3t

)

. 0

BK DC= ⇔ =t . Vậy 26 ;26 3 36;

25 25 25

a a a

 

 

 

Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z). ; 3;

2 2

a a

EH z

 

= − 

 

; 27 ;27 3 36;

50 50 25

a a a

 

= 

 

Vì E, H, K thẳng hàng nên EH HK; cùng phương, do đó suy ra 4

z= − . Vậy E(0;0; 4

− ).

4
2 ;0;

a
EB= a 

 

và DC=

(

2 ;2a a 3; 3− a

)

nên EB

.DC

= 2 .2 0.2 3 4

(

)

0
3

a a+ a + − a =
Vậy BE vng góc với CD.

A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng
(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Giải:

60o

O H
C

A

B
S

x

y

z Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ.

Ta có: 0; ;0
2

a
A 

 , 0; 2;0

a
B − 

 ,

3
;0;0
2

a
C

 

 

 

OH = 2 2 7

CH CO OH

⇒ = + =

. tan 60 21

o a
SH CH

⇒ = =

0; ; 21

6 3

a a
S

 

⇒  − 

 

•

3
.

1 7

3 12

S ABC ABC
a

V = SH S =

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

• AB=

(

0;−a;0

)

; 0;2 ; 21

3 3

a a
SA

 

= − 

 

; 3; ;0

2 2

a a

 

= 

 

;

2 2 2 2

21 7 3 24

; ; ; ;

6 2 3 3

SA BC a a a SA BC a

 

 = − ⇒   =

     

  và

; .

SA BC AB a

  = −

 

Suy ra:

(

)

; . 7 3 42

; .

2 24 8

;

SA BC AB a a

d SA BC

a
SA BC

 

 

= = =

 

 

☺

B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vng góc của A trên
cạnh SC. Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
Giải:

K
O

A

B

C
S

x

y
z

H

Gọi K là hình chiếu vng góc của S lên (ABC) thì K là tâm
của tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như

hình vẽ.

Ta có: 0; ;0
2

a
A − 

 , 0; ;02

a
B 

 ,

0; ;0

a
C

 

 

 .

3
3

CK = 2 2 33

SK SC CK

⇒ = − = 0; 3; 33

6 3

a a

 

⇒  

 

3 33

0; ;

3 3

a a

 

= − 

 

; AB=

(

0; ;0a

)

. 0

AB SC= ⇒ AB⊥SC

(

)

AB SC

AB ABH
AB OH

⊥ 

⇒ ⊥



⊥ 

. 11

SK OC a
OH

⇒ = = .

Giải:

(

)

1 5

. ,( )

3 3

ABCD ACD ACD

V = S d B ACD ⇒S = . Từđây tính được 2 ; 5

3 A 3

a a

CD= h = .

O
A

C

D
B

x
y

z Gọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có: 0; 5;0

a
A

 

 

 , 3;0;0 , 3;0;0 , ; ; 3

a a a

C  D  B x y 

      với y > 0

Từ giả thiết BC = BD = a ta giải ra được 0;

a
x= y= .

Vậy 0; ;

3 3

a a
B 

 .

2 2

; 0; ;

3 3

a a

BC BD  

 = − 

   

 .

(

)

(ACD) 0;0;1

n =

; n(BCD) =

(

0;1; 1−

)

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Ta có:

(

( ) ( )

)

2 2 2 2 2 2

0.0 0.1 1.( 1) 1

cos cos ; 45

0 0 1 . 0 1 1

ACD BCD

n n

α = = + + − = ⇒α =

+ + + +

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và ABC=30o.

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60o. Biết rằng hình chiếu vng góc của S trên
mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Giải:

B

A

C
S

y
x

z

H

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O
trùng điểm A.

A(0;0;0), 3;0;0 , 0; ;0 ,

(

; ;

)

2 2

a a

B C S x y z

   

   

   

  với

0; 0; 0

x> y> z> ;H x y

(

; ;0

)

với H là hình chiếu vng
góc của của S trên (ABC).

(

)

1 0;0;1

n =

là vectơ pháp tuyến của (ABC) và

3 3

; 0; ;

2 2

a a

n AB AS z y

 

 

= = − 

 

là vectơ pháp tuyến
của (SAB).

3 ; ;0;

2 2

a a

n =AC AS= z − x

 

là vectơ pháp tuyến của (SAC).

•

(

)

1 2 2 2

2 2

1 2

. 1

cos ( ),( ) 3

n n y

SAB ABC z y

n n z y

= ⇔ = ⇔ =

(1)

•

(

)

1 3 2 2

2 2

1 3

. 1

cos ( ),( ) 3

n n x

SAC ABC z x

n n z x

= ⇔ = ⇔ =

(2)

Từ (1), (2) ta có x= y. Nên H x x

(

; ;0

)

. Vì H thuộc BC nên 3; ;0 , ; ;0

2 2 2

a a a

BC CH x x

   

= −  = − 

 

cùng

phương, suy ra

(

)

3
2

3 2 1 3

2
2

a
x

x a

x
a

−

= ⇔ =

+
−

thay vào (1), ta được

(

)

2 1 3

a
z=

+ .

•

(

)

(

)

2
.

3 3

1 1 3 3

. . .

3 3 2 1 3 8 32

S ABC ABC

a a

V = SH S∆ = = −

. ☺☺☺☺

A

B

C
S

x

y

z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng

với điểm A.

Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0
SA=7a⇔ x2 +y2 +z2 =49a2 (1)

SB=9a⇔

(

x−8a

)

2 +y2 +z2 =81a2 (2)
SC=11a⇔ x2 +

(

y−6a

)

2 +z2 =121a2 (3)
Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a).

Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là h=zS =6a.

. 24

ABC

S = AB AC= a . VS ABC. =48a3

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2. Hình chóp tứ giác

Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a, góc BAD=60 ,o SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt
phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B D', '. Tính thể tích khối chóp

. ' ' '
S AB C D .
Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và DB.

Vì tam giác ABD đều nên , 3.

2 2

a a

OB=OD= OA=

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Oxchứa A, tia Oy
chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song
song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:

3 3

;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,

2 2 2 2

a a a a

A B C D

       

− −

       

   

' 0;0; , ;0; .

2 2

a a

C S a

 

 

   

x y

C
D

A B

Tìm được ' 3; ;

6 3 3

a a a

B  

  và

' ; ; .

6 3 3

a a a

D  − 

 

Thể tích khối chóp .S AB C D' ' ' là:

3 3 3

. ' ' ' . ' ' . ' '

1 1 1 3 1 3 3

, ' . ' , ' . ' . . .

6 6 6 6 6 6 18

S AB C D S AB C S AC D

a a a

V =V +V = SA SC  SB + SA SC  SD = + =

Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với

, 2,

AB=a AD=a SA=a và SA vng góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng
(SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

Gợi ý:

+Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡ A, tia Oxchứa B, tia
Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:

(

0;0;0 ,

) (

;0;0 ,

)

(

; 2;0 ,

) (

0; 2;0 ,

)

(

0;0;

)

;

A B a C a a D a S a

2 2

0; ;0 , ; ; .

2 2 2 2

a a a a

M N

   

   

   

(

0;0;

)

(

; 2;0 ,

)

0; 2; ,

(

;0;

)

.
2

a

AS a AC a a SM = −a SB= a −a

 

Vectơ pháp tuyến của (SAC) là AS AC, = −

(

a2 2;a2;0 .

)

y
I

M D

C
B

A
S

Vectơ pháp tuyến của (SBM) là

, ; ;0 .

2
a

SM SB  a 

 = − − 

 

 

Vì AS AC,   . SM SB, =a4 −a4 =0 nên (SAC)⊥(SBM).
Ta có IC BC 2 IC 2IA.

IA = AM =

⇒= − Từđây tìm được ; 2;0 .

3 3

a a

I 

 

Thể tích khối tứ diện ANIB là

3 3

1 1 2 2

, . . .

6 6 6 36

ANIB

a a

V = AN AI AB = =

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 3. (Trích đềĐH Khối A năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vng góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm AD, khi đó SO⊥(ABCD). Chọn
hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Oxchứa A, tia Oy
chứa N và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:

(

)

;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,

2 2 2

; ;0 , ; ; .

2 2 4 2 4

a a a

A B a N a S

a a a a a

P M

 

   

 

   

     

 

−  

 

   

Ta có: ; ; 3 , ; ;0 .

4 2 2 2

a a a a

AM = −  BP= − − a 

 

Thể tích của khối tứ diện CMNP là

3
.
96

CMNP

a

V =

y
P

N
O

C
D

B
S

Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vng góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ

Oxyz sao cho tia Oxchứa A, tia Oy chứa B và tia Oz
chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó:

(

)

2 2 2

;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,

2 2 2

2 2 2 2

;0;0 , ; ;0 , ;0; ,

2 4 4 4 2

2 2 2 2

; ; ; ; ; .

2 2 2 4 2

a a a

A B D S z

a a a a z

C N I

a a a a z

E z M

     

−

     

     

     

− −

     

     

   

   

   

có 3 2;0; , 0; 2;0 .

4 4 4

a z a

MN BD

   

=  = − 

   

x y

N
M

E
I

C
D

A B

+ MN BD. =0⇒MN ⊥BD.

+ Khoảng cách giữa MN và AC là ( , ) 2.
4
a
d MN AC =

Bài 5. (Trích đề ĐH Khối D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,

90 ,o , 2 .

ABC=BAD= AB=BC =a AD= a Cạnh bên SA vng góc với đáy là SA=a 2. Gọi H là hình

chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD).

Gợi ý:

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡ A, tia Oxchứa B, tia 
Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ).

(

0;0;0 ,

)

(

;0;0 ,

)

(

; ;0 ,

)

(

0; 2 ;0 ,

)

(

0;0; 2 .

)

A B a C a a D a S a Tìm

được 2 ;0; 2 .

3 3

a a

H

 

 

 

Phương trình mặt phẳng (SCD) là: x+y+ 2z−2a=0.
Khoảng cách từ H đến (SCD) là

(

, ( )

)

3
a

d H SCD =

2a
a

D
A

B
S

Bài 6. (Trích đề ĐH Khối B năm 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a,

, 3

SA=a SB=a và mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
SM, DN.

Gợi ý:

Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có:

3 3

, , .

2 2 2

a a a

SO= OA= OB=

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Oxchứa A, tia Oy
vng góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi

đó:

3 3

;0;0 , ;0;0 , ; 2 ;0 , ; 2 ;0 ,

2 2 2 2

a a a a

A  B−  C− a  D a 

       

3 3

0;0; , ;0;0 , ; ;0 .

2 2 2

a a a

S  M−  N− a 

   

 

2a
a

y
N

M C

D
O

+ Thể tích của khối chóp S.BMDN là

3
.

3
.
3

S BMDN

a

V =

+ cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN là cos(, ) 5.
5
SM DN =

Bài 7. (Trích đềĐH Khối A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và
D;AB =AD =2 ,a CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.

Gợi ý:

Từ giả thiết suy ra SI ⊥(ABCD). Đặt SI = z>0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡I, tia Oxchứa D,
tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình 
vẽ). Khi đó:

(

;0;0 ,

) (

; 2 ;0 ,

)

(

; ;0 ,

)

(

;0;0 ,

) (

0;0;

)

A −a B −a a C a a D a S z

+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
bằng 60o ta tìm được 3 15.

5
a
z=

+ Thể tích khối chóp S.ABCD là

3
.

3 15

.
5

S ABCD

a

V =

y
x

B
A

D
S

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 8. (Trích đềĐH Khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vng góc
với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng DM và SC theo a.
Gợi ý:

Trước hết chứng minh được DM ⊥CN.

+ 1 2 1 2 1 2 42 12 52 5.

5
a
DH
HD = DN + DC = a +a = a ⇒ =

+ 5 3 5.

2 10

a a

DM = ⇒HM =DM −DH =

+ 5;. 2 5.

10 5

a a

HN = HC=

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡H, tia
Oxchứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình
vẽ). Khi đó:

(

)

5 5 2 5

;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 ,

10 5 5

3 5

0; ;0 , 0;0; 3 .

a a a

N D C

a

M S a

     

−

     

     

 

−

 

 

x y

H
N
M

A D

+ Thể tích khối chóp S.CDNM là

3
.

5 3

.
24

S CDNM

a

V =

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là:

(

)

2 57.
19
a
d DM SC =

Bài 9. (Trích đềĐH Khối D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. cạnh
bên SA=a, hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

4
AC

AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối
tứ diện SMBC theo a.

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡H , tia
Oxsong song với tia AB, tia Oy song song với tia
AD và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:

2 2 2 2 14

4 4

a a

SH = SA −AH = a −  =

  do đó

3 3 3

; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,

4 4 4 4 4 4

3 14

; ;0 , 0;0; .

4 4 4

a a a a a a

A B C

a a a

D S

     

− − −

     

     

 

−  

 

   

a
a

y
z

D
A

B C

Ta có SC = SH2 +CH2 =a 2 = AC nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra 
14

; ; .

8 8 8

a a a
M− − 

  Thể tích khối chóp S.BMC là

3
.

14
.
48

S BMC

a

V =

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành, AD=4 ,a các cạnh bên của hình chóp bằng
nhau và bằng a 6. Tìm cơsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp
S.ABCD lớn nhất.

Gợi ý:

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lượt là
AB và AD. Từ giả thiết suy ra

( )

SO AC

SO ABCD

SO BD

⊥ 

⇒ ⊥



⊥ 

và 2 2

OA=OB=OC=OD = a −SO nên ABCD là
hình chữ nhật.

Đặt ON =x>0. Khi đó OA= x2 +4a2.

2 2 2 2

2 .

SO= SA −OA = a −x

+ Thể tích khối chóp S.ABCD là

2 2

1 8

. . 2 .

3 3

S ABCD

V = AB AD SO= ax a −x 4a

C
B

A D

+ Bằng cách xét hàm số ( ) 8 2 2 2
3

f x = ax a −x với x∈

(

0;a 2

)

hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy
ra VS ABCD. lớn nhất khi và chỉ khi x=a. Suy ra SO=a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi

đó: 2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 2 ; ;0 ,

(

0;0;

)

2 2 2

a a a

B a −  C− a −  D− a  S a

     

Gọi ϕgóc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì cos 2.
5
ϕ =

*****

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

11
3. Hình lăng trụ tam giác

Bài 1. (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007). Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. 1 1 1 có

, 2 , 2 5

AB=a AC= a AA = a và BAC=120 .o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1.Chứng minh MB⊥MA1
và tính khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (A BM1 ).

Giải:

a) Kẻ AO⊥BC. Ta có

2 2

4 2. .2 cos120o 7.

BC = a + a − a a =a

. .sin120 21

. . .sin120 .

o

o AB AC a

AO BC AB AC AO

BC

= ⇒ = =

2 2 2 21 2 7

;

49 7

5 7

.
7

a a

OB AB AO a

a

OC BC OB

= − = − =

= −

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

21 2 7

;0;0 , 0; ;0 ,

7 7

5 7 21

0; ; 5 , ;0; 2 5 .

7 7

a a

A B

a a

M a A a

   

   

   

   

−

   

   

Ta có 1 21 5; 7; 5 ,

(

0; 7; 5 .

)

7 7

a a

MA = a  MB= a −a

 

2 2

1. 5 5 0 1 1 .

MA MB= a − a = ⇒MA ⊥MB⇒MA ⊥MB

a 2a

x
y

C1

A1
B1

b) Phương trình mặt phẳng (A BM1 ) là: 12 5 15 2 7 21 0.
7

a

x y z

 

−  − − =

 

Khoảng cách từ A đến (A BM1 ) là:

(

, ( 1 )

)

3
a
d A A BM =

Bài 2. (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụđứng ABC A B C. 1 1 1 có tất cả các cạnh đều
bằng a, M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥B C1 và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
BM và B C1 .

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Oxchứa
A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa trung điểm của B C1 1 (xem hình vẽ).
Khi đó:

0; ;0 , 0; ;0 , ;0; 0; ; .

2 2 2 2 vµ 2

a a a a a

B C M B a

 

     

−   −

     

       

Ta có

(

0; ;0 ,

)

3; ; , 1

(

0; ;0 .

)

2 2 2

a a a

BC = a BM =  B C = −a

 

2 2

1 1

. 0 .

2 2

a a

BM B C= − + = ⇒BM ⊥B C

a
a

a
z

y
O

C1
B1

A1

B C

3
1

1 2

, . 30

( , ) .

10
10

2
a

BM B C BC a

d BM B C

a
BM B C

 

 

= = =

 

 

2 2

2
1

3 3

, ; ; .

2 2

a a

BM B C a 

  = − − 

 

 

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009). Cho hình lăng trụđứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC
là tam giác vng tại B, AB =a AA, '=2 , 'a A C =3 .a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C' ', I là giao

điểm của AM và A C' . Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng
(IBC).

Giải: 
Ta có

2 2 2 2

' ' 5; 2 .

AC = A C −AA =a BC= AC −AB = a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡B, tia Oxchứa A, tia
Oy chứa C và tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ). Khi đó:

(0;0;0), ( ;0;0), (0; 2 ;0), ; ; 2 .
2

a

B A a C a M a a

 

Gọi I x y z

(

; ;

)

, vì 2 2 ;2 ;4

3 3 3

a a a

IA= − IM ⇒ I 

 

.
Thể tích khối tứ diện IABC là:

3 3

1 1 8 4

, . . .

6 6 3 9

IABC

a a

V = BA BC BI = =

a
2a

x

y
z

3a
I

A'
B'

+ Gọi n

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (IBC). Khi đó

2 2

8 4

, ;0;

3 3

a a

n=BI BC= − 

 

cùng phương với

(

)

' 2;0;1
n = −

. Mặt phẳng (IBC) đi qua B và có vectơ pháp tuyến n'= −

(

2;0;1

)

nên có phương trình:
2x z 0.

− + = Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là

(

)

| 2 | 2 5

, ( ) .

5
( 2) 1

a a

d A IBC = − =

− +

Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008). Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có độ dài cạnh bên
bằng 2 ,a đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a AC, =a 3và hình chiếu vng góc của đỉnh A trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A ABC'. và cosin của góc giữa hai

đường thẳng AA' và ' '.B C
Giải:

+ Gọi O là trung điểm BC, H là trung điểm AB, K là trung

điểm AC thì OHAK là hình chữ nhật. Ta có:

2 2

2 2 2 2

2 , ,

' ' 4 3.

BC

BC AB AC a OA a

OA AA OA a a a

= + = = =

= − = − =

2 2 2

3
;

4 2

a a

OH OA AH a

a a

OK OA AK a

= − = − =

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Oxchứa H, tia Oy
chứa K và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:

x

y
z

K
H

C'
B'

B C

(

)

3 3 3

' 0;0; 3 , ; ;0 , ; ;0 , ; ;0 .

2 2 2 2 2 2

a a a a a a

A a A  B −  C− 

     

+ Thể tích khối chóp A ABC'. là

3 3 3

1 1 3 3

' , ' . ' .

6 6 2 2 2

A ABC

a a a

V = A A A B A C = − − =

+ BC = −

(

a 3; ;0 .a

)

Gọi ϕ là góc giữa AA' và B C' '. Khi đó: cos cos( ', ) '. 1.

'. 4

AA BC
AA BC

AA BC

ϕ = = =

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam giác vng tại B, góc ACB=60o, biết
rằng AA'=BA'=a 7, mặt bên (ABB A' ') vng góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (ACC A' ') tạo với
(ABC) một góc 60 .o Tính thể tích khối lăng trụđã cho.

Gợi ý:

+ Gọi O là trung điểm AB, M là trung điểm AC. Khi đó A O' ⊥ AB A O, ' ⊥OM OM, ⊥ AB.

Đặt OA=x>0,khi đó ' 7 2 2; .
3
x
OA = a −x OM =

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Oxchứa A, tia Oy
chứa M và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:

(

2 2

)

( ;0;0), 0, ;0 , ' 0;0; 7 .

3
x

A x M  A a −x

 

Theo giả thiết thì cos 1 2 .

2 x a

ϕ = ⇒ =

Suy ra 4 , 4 ; ' 3.

a

AB= a BC= OA =a Thể tích khối lăng trụ
đã cho là

1 1 4

. ' . . ' .4 . . 3 8 .

2 2 3

ABC

a

V =S OA = AB BC OA = a a = a

y
M
O

C'
A'

B
A

Bài 6. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABC A B C. 1 1 1 đáy ABC là tam giác 
vuông, AB= AC =a AA, 1 =a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN
là đường vng góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích khối chóp MA BC1 1.

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡ A, tia Oxchứa B,
tia Oy chứa C và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

1 1

;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 , ;0; 2 ,

2 2

0; ; 2 , 0;0; , ; ; .

2 2 2 2

B a C a A a B a a

a a a a

C a a M N

   

   

   

+ ; ;0 , 1

(

0;0; 2 ,

)

1

(

; ; 2 .

)

2 2

a a

MN =  AA = a BC = −a a a

 

1
1

. 0

MN AA

MN AA

MN BC

= 

⇒ ⊥



=  và MN ⊥BC1 do đó MN là

đường vng góc chung của AA1 và BC1.

a
z

y
N

C1
B1

A1

A
B

Tính thể tích khối chóp MA BC1 1 là

1 1

2
.
12

MA BC

a

V =

Bài 7. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008). Cho lăng trụđứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam
giác vuông, AB=BC =a AA, '=a 2. Gọi M trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng

trụ ABC A B C. ' ' ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM B C, ' .

Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O≡B, tia Oxchứa A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa B’ (xem hình
vẽ). Khi đó:

(

;0;0 ,

)

(

0;0;0 ,

)

(

0; ;0 ,

)

(

;0; 2 , ' 0;0;

) (

2 ,

) (

' 0; ; 2 ,

)

0; ;0 .
2
a

A a B C a A a a B a C a a M 

 

+ Thể tích của khối lăng trụ ABC A B C. ' ' ' là V =a3 2.

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

+ Ta có:

(

)

(

)

2 2

; ;0 , ' 0; ; 2 , ' ;0; 2 .

, ' ; 2; .

2
a

AM a B C a a AB a a

a

AM B C a a

 

= −  = − = −

 

 

 = − − − 

 

 

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM B C, ' là

(

, '

)

, ' . ' 7.

7
, '

AM B C AB a

d AM B C

AM B C

 

 

= =

 

 

a
z

y
M

A'
B'

B
A

Bài 8. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009). Cho lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có BB'=a; góc giữa

đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60o; tam giác ABC vng tại C và BAC=60o. Hình chiếu
vng góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ

diện A ABC' theo a.
Gợi ý:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt AC =x, suy
ra BC =x 3,AC=2 .x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ. Ta có

(

;0;0 ,

)

(

0; 3;0 ,

)

(

0;0;0 ,

)

; 3;0 .

3 3

x x

A x B x C G 

 

2
2

2 3 13

; ;0

3 3 3

' .

x x x

BG BG

x

GB a

 − 

= ⇒ =

 

⇒ = −

a

x y

G
B'

C'
A'

Sử dụng giả thiết góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng B BO' =60o suy ra 3 13.
26
a
x=

Vậy 3 13; 3 39; ' 3.

26 26 2

a a a

AC = BC = OB = Thể tích khối tứ diện A ABC' là

3
'

9
.
208

A ABC

a

V =

Bài 9. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010). Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ' ' ' có AB=a,
góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng 60o. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụđã cho
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Gợi ý:

Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho, tia
Oxchứa A, tia Oy chứa B và tia Oz song song với tia AA’ (xem

hình vẽ). Khi đó: 3;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0

2 2 2

     

−

     

   

 

a a a

A B C

3 3 3

' ;0; , ;0; .

2 2 6 2

   

   

   

a a a a

A G

Thể tích khối lăng trụđã cho là:

3
. ' ' '

3
.
8

ABC A B C

a

V =

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là 7 .
12

a
R=

B'
A'

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB⊥BC. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của A'B' và BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng 2

. Góc giữa hai mặt
phẳng (AB'C) và (BCC'B') bằng 60o. Tính thể tích khối chóp MABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp B'ANC theo a.

Giải:

M

N

C'

B'

A

B

C
A'

x
y

z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng

điểm B.

Đặt AB = x (x>0) thì BC = 2x.

Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0)
A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0;

; y).

(

)

0; ; , ' 2 ;0;

AM= − y B C= x −y

 

; ' ;2 ;

AM B C  xy x 

 

⇒ = 

 

(

2 ; ;0

)

AC= x −x

(

, '

)

; ' .

; '

AM B C AC
d AM B C

AM B C

 

 

 

 

2 2 2 2

2 2 4

7 4 17 7

4
4

x y a xy a

x y x y

x y x

−

⇔ = ⇔ =

+ +

(1)

(

)

' 0; ;

AB = −x y

và AC=

(

2 ;x −x;0

)

nên

(

)

', ;2 ;2

AB AC xy xy x

 =

  nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến là

(

;2 ;2

)

n= y y x

(vì n

cùng phương với AB AC', ) và (BCC'B') có vectơ pháp tuyến là j =

(

0;1;0

)

(

)

2 2 2

2 2

. 1 2 11

cos ( ' ),( ' ') 5 4 16

2 5 4 2

n j y

AB C BCC A y x y x y

n j y x

= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =

(2)

Thế (2) vào (1), giải phương trình ta được kết quả 4

y= và x=2a.

Vậy

1 1 4 16 11

.AA'= .2 .4 .

3 2 11 33

MABC ABC

a a

V =S  a a =

  ☺☺☺☺

• Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a
Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng:

( )

2 2 2

: 2 2 2 0

S x +y +z + a x+ by+ cz+d= với tâm

(

)

2 2 2

1; ; , 1

T −a − −b c R= a +b +c −d

Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ của chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ:

2 1

2
2

16 8 11

. 0

11 11 3

4 4 . 0 13 3

4 4 . 0 11

16 8 . 0

a a

a a c d

b a

a a b d a R a

c
a a a d

d a

a a a d

  = −

+ + =

 

= −

 

 

+ + = ⇔ ⇒ =

 

= −

 

+ + =

 

 + + = 



. ☺☺☺☺

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

4. Lăng trụ tứ giác

Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011). Cho lăng trụ ABCD A B C D. 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình
chữ nhật, AB=a AD, =a 3. Hình chiếu vng góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao

điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD A1 1) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ
đã cho và khoảng cách từđiểm B1 đến mặt phẳng (A BD1 ) theo a.

Gợi ý:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa

độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó:

3 3 3

; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,

2 2 2 2 2 2

3
; ;0 .

2 2

a a a a a a

A B C

a a

D

     

− − −

     

     

 

−

 

 

Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (ADD A1 1) và
(ABCD) bằng 60o tìm được 1 0;0; 3 .

a

A  

 

Suy ra

0; ; .

a
B  −a 

 

Thể tích khối lăng trụđã cho là

1 1 1 1

3
.

ABCD A B C D

a

V =

y
O

D1
C1

B1

C
B

A D

A1

Khoảng cách từđiểm B1 đến mặt phẳng (A BD1 ) là

(

1, ( 1 )

)

2
a
d B A BD =

D12: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a. Tính
thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

Giải:

C
D

A

C'

B'
A'

D'

B
x

y
z

Từ giả thiết ta tính được '
2

a
AC= AA = và

a
AB= .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với

điểm A.

Ta có: A(0;0;0), 0; ;0
2

a
B 

 , 2 2; ;0

a a
C 

 , 2;0;0

a
D 

 

' 0;0;
2

a
A  

 , ' 0; ;2 2

a a
B  

 , ' 2 2; ; 2

a a a
C  

 , ' 2;0; 2

a a

D  

 

0; ;0
2

a
AB= 

 

; ' 0; ;

2 2

a a
AB = 

 

; ' ; ;

2 2 2

a a a
AC = 

 

; ' ;0;0

2 2

AB AB  

 = ⇒

 

 

; ' . '

4 2

a
AB AB AC

  =

 

' '

1 2

; ' . '

6 48

ABB C

a
V AB AB  AC

⇒ =   = .

• ;0;0

a
CB= − 

 

, ' 0; ;

2 2

a a

CD = − 

 

(

)

2 2

; ' 0; ; 0; 2;1

4
2 2

a a

CD CD   n

 

⇒ = ⇒ =

 

là VTPT của mặt

phẳng (BCD’) nên (BCD’): 2 2 0

y+ −z =

(

)

2 2

2.0 0

2 6

,( ')

( 2 ) 1

a
d A BCD

+ −

⇒ = =

☺

HẾT

www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa

</div>

Giải bài toán khoảng cách bằng phương pháp tọa độ hóa

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa</b>

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

<b>www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa</b>

(

)

(

)

☺

☺

☺

☺

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa</b>

(

)

(

)