Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ - Chuyên đề Hình học 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Group: />

§<b>1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ </b>

<b>TỪ </b>₀0

<b> ĐẾN </b>1800
<b>A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT. </b>

<b>1. Định nghĩa </b>

Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>.Với mỗi góc

0 0

0 180 , ta xác định điểm M trên trên đường nửa
đường tròn đơn vị tâm O sao cho <i>xOM</i>. Giả sử điểm
M có tọa độ <i>x y</i>; .

Khi đó:

<i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

0 0 0

sin ; cos x; tan ( 90 ); cot ( 0 , 180 )Các

số sin , cos , tan , cot được gọi là giá trị lượng giác của góc .

<i><b>Chú ý: Từ định nghĩa ta có: </b></i>

• Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó <i>M OP OQ</i>; .

• Với ₀0 ₁₈₀0

ta có 0 sin 1; 1 cos 1

• Dấu của giá trị lượng giác:

Góc ₀0

900 1800

sin + +

cos + -

tan + -

cot + -

<b>2. Tính chất </b>

•<b> Góc phụ nhau </b>
0

0

0

0

sin(90 ) cos

cos(90 ) sin

tan(90 ) cot

cot(90 ) tan

•<b> Góc bù nhau </b>
0

0

0

0

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

cot(180 ) cot

<b>3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt </b>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>P</i>
<i>O</i>

<i>M</i>(<i>x;y</i>)

<i>Q</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Group: />

<b>Góc</b> <b>00</b> <b>₃₀0</b> <b>₄₅0</b> <b>₆₀0</b> <b>₉₀0</b> <b>₁₂₀0 </b> <b>₁₃₅0 </b> <b>₁₅₀0 </b> <b>₁₈₀0</b>

sin

0 1

2

2
2

3

2 1

3
2

2

2

1

2 0

cos

1 3

2

2
2

1

2 0

1
2

2
2

3

2 –1

tan

0 3

3 1 3  3 1

3

3 0

cot



3 1 3

3 0

3

3 1 3 

<b>4. Các hệ thức lượng giác cơ bản </b>
0

0 0

0 0 0

2 2

2 0

2

2 0 0

2
sin

1) tan ( 90 ) ;

cos
cos

2) cot ( 0 ; 180 )

sin

3) tan .cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )

4) sin cos 1

1

5) 1 tan ( 90 )

cos
1

6) 1 cot ( 0 ; 180 )

sin
<i>Chứng minh: </i>

- Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
- Ta có sin <i>OQ</i>, cos <i>OP</i>

Suy ra <i>OQ</i> <i>OP</i> <i>OQ</i> <i>OP</i>

2 2

2 2 2 2

sin cos

+ Nếu 0 ,0 900 hoặc 1800 thì dễ dàng thấy sin2 cos2 1
+ Nếu 0 ,0 900 và 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có

sin2 cos2 <i>OQ</i>2 <i>OP</i>2 <i>OQ</i>2 <i>QM</i>2 <i>OM</i>2 1
Vậy ta có sin2 cos2 1

Mặt khác

2 2 2

2

2 2 2

sin cos sin 1

1 tan 1

cos cos cos suy ra được 5)

Tương tự

2 2 2

2

2 2 2

cos sin cos 1

1 cot 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Group: /><b>B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. </b>

 <i><b>DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt. </b></i>
<i><b>1. Phương pháp giải. </b></i>

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
<b>2. Các ví dụ. </b>

<i><b>Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: </b></i>

a) <i>A</i> <i>a</i>2sin 900 <i>b</i>2cos 900 <i>c</i>2cos1800
b) <i>B</i> 3 sin 902 0 2 cos 602 0 3 tan 452 0

c) <i>C</i> sin 452 0 2 sin 502 0 3 cos 452 0 2 sin 402 0 4 tan 55 .tan 350 0
<i><b>Lời giải </b></i>

a) <i>A</i> <i>a</i>2.1 <i>b</i>2.0 <i>c</i>2. 1 <i>a</i>2 <i>c</i>2

b) <i>B</i>

2
2

2 1 2

3 1 2 3 1

2 2

c) <i>C</i> sin 452 0 3 cos 452 0 2 sin 502 0 sin 402 0 4 tan 55 .cot550 0

C

2 2

2 0 2 0

2 2 1 3

3 2 sin 50 cos 40 4 2 4 4

2 2 2 2

<i><b>Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: </b></i>

a) <i>A</i> sin 32 0 sin 152 0 sin 752 0 sin 872 0

b) <i>B</i> cos 00 cos200 cos 400 ... cos1600 cos1800
c) C _{tan 5 tan10 tan15 ... tan 80 tan 85}0 0 0 0 0

<i><b>Lời giải </b></i>

a) <i>A</i> sin 32 0 sin 872 0 sin 152 0 sin 752 0

2 0 2 0 2 0 2 0

sin 3 cos 3 sin 15 cos 15

1 1 2

b) <i>B</i> cos 00 cos1800 cos200 cos1600 ... cos 800 cos1000

0 0 0 0 0 0

cos 0 cos 0 cos 20 cos 20 ... cos 80 cos 80

0

c) <i>C</i> tan 5 tan 850 0 tan15 tan 75 ... tan 45 tan 450 0 0 0

0 0 0 0 0 0

tan 5 cot5 tan15 cot5 ... tan 45 cot5
1

<b>3. Bài tập luyện tập: </b>

<b>Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau: </b>

a) <i>A</i> sin 450 2 cos 600 tan 300 5 cot1200 4 sin1350
b) <i>B</i> 4 sin 45<i>a</i>2 2 0 3( tan 45 )<i>a</i> 0 2 (2 cos 45 )<i>a</i> 0 2

c) <i>C</i> sin 352 0 5 sin 732 0 cos 352 0 5 cos 732 0
d) <i>D</i> 12₂ ₀ 5 tan 85 cot950 0 12 sin 1042 0

1 tan 76

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Group: />f) <i>F</i> cos 13 0 cos 23 0 cos 33 0 ... cos 1793 0 cos 1803 0
<b>Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau: </b>

<i>x</i>

<i>P</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
2 0

0 0 2 0

2 0

8 tan 3

4 tan 4 .sin .cot 4 26 8 cos 3

1 tan 5 3 khi

<i>x</i> ₃₀0

 <i><b>DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ </b></i>
<i><b>thuộc x, đơn giản biểu thức. </b></i>

<b>1. Phương pháp giải. </b>

• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

• Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác

• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
<b>2. Các ví dụ. </b>

<i><b>Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) </b></i>
a) sin4<i>x</i> cos4<i>x</i> 1 2 sin .cos2<i>x</i> 2<i>x</i>

b) <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

1 cot tan 1

1 cot tan 1

c) <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

3 2

3

cos sin

tan tan tan 1

cos

<i><b>Lời giải </b></i>

a) sin4<i>x</i> cos4<i>x</i> sin4<i>x</i> cos4<i>x</i> 2 sin2<i>x</i>cos2<i>x</i> 2 sin2<i>x</i>cos2<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

2

2 2 2 2

2 2

sin cos 2 sin cos

1 2 sin cos

b)

<i>x</i>

<i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

1 tan 1

1

1 cot _tan _tan tan 1

1 cot 1 tan 1 tan 1

1

tan tan

c) <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

3 2 3

cos sin 1 sin

cos cos cos <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

2 2

tan 1 tan tan 1

tan3<i>x</i> tan2<i>x</i> tan<i>x</i> 1
<i><b>Ví dụ 2: Cho tam giác </b>ABC</i> . Chứng minh rằng

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>C</i>

<i>B</i>

<i>A</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>C</i> <i>B</i>

3 3

sin cos _cos

2 2 _.tan ₂

sin

cos sin

2 2

<i><b>Lời giải </b></i>

Vì <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> 1800 nên

<i>B</i> <i>B</i>

<i>B</i>

<i>VT</i> <i>B</i>

<i>B</i>

<i>B</i> <i>B</i>

3 3 ₀

0 0

sin cos _{cos 180}

2 2 _.tan

sin

180 180

cos sin

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Group: />

<i>B</i> <i>B</i>

<i>B</i> <i>B</i> <i>B</i>

<i>B</i> <i>VP</i>

<i>B</i> <i>B</i> <i>B</i>

3 3

2 2

sin cos _cos

2 2 _.tan _sin _cos ₁ ₂

sin 2 2

sin cos

2 2

Suy ra điều phải chứng minh.

<i><b>Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) </b></i>
a) <i>A</i> sin(900 <i>x</i>) cos(1800 <i>x</i>) sin (12<i>x</i> tan )2<i>x</i> tan2<i>x</i>
b) <i>B</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

1 1 1

. 2

sin 1 cos 1 cos

<i><b>Lời giải </b></i>

a) <i>A</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

2 2

2

1

cos cos sin . tan 0

cos

b) <i>B</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

1 1 cos 1 cos

. 2

sin 1 cos 1 cos

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

2 2

2
2

1 2 1 2

. 2 . 2

sin 1 cos sin sin

1

2 1 2 cot

sin

<i><b>Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x. </b></i>

<i>P</i> _sin4<i>x</i> _{6 cos}2<i>x</i> _{3 cos}4<i>x</i> _cos4<i>x</i> _{6 sin}2<i>x</i> _{3 sin}4<i>x</i>
<i><b>Lời giải </b></i>

<i>P</i> ₁ _cos2<i>x</i> 2 _{6 cos}2<i>x</i> _{3 cos}4<i>x</i> ₁ _sin2<i>x</i> 2 _{6 sin}2<i>x</i> _{3 sin}4<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

4 2 4 2

2 2

2 2

2 2

4 cos 4 cos 1 4 sin 4 sin 1

2 cos 1 2 sin 1

2 cos 1 2 sin 1

3

Vậy P không phụ thuộc vào <i>x</i>.
<b>3. Bài tập luyên tập. </b>

<b>Bài 2.3. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) </b>
a) tan2<i>x</i> sin2<i>x</i> tan .sin2<i>x</i> 2<i>x</i>

b) sin6<i>x</i> cos6<i>x</i> 1 3 sin .cos2<i>x</i> 2<i>x</i>

c) <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

3 3

3 3

2 2

tan 1 cot

tan cot

sin cos

sin cos

d) sin2<i>x</i> tan2<i>x</i> tan (cos6<i>x</i> 2<i>x</i> cot )2<i>x</i>
e) tan tan sin sin

tan . tan sin .sin

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

2 2 2 2

2 2 2 2

<b>Bài 2.4. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) </b>

a) <i>A</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

2 0 2 0

2

1

tan 180 cos 180

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Group: />

b) <i>B</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

2 2

2

2 2

cos sin

cos

cot tan

c) <i>C</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

3 3

2

sin cos

cos sin (sin cos )

d) <i>D</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

<b>Bài 2.5. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào </b> . (giả sử các biểu thức sau đều có
nghĩa)

a) (tan cot )2 (tan cot )2
b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 )

c) cot 30 (sin2 0 8 cos ) 4 cos 60 (cos8 0 6 sin ) sin (906 6 0 ) tan2 1 3

d) (sin4<i>x</i> cos4<i>x</i> 1)(tan2<i>x</i> cot2<i>x</i> 2)

e) sin cos

sin cos cos

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

4 4

6 6 4

3 1

3 1

<b>Bài 2.6: Cho tam giác </b><i>ABC</i>. Hãy rút gọn
a) <i>A</i> cos2<i>B</i> cos2<i>A</i> <i>C</i> tan<i>B</i>tan<i>A</i> <i>C</i>

2 2 2 2

b)

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>C</i>

<i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>C</i> <i>B</i>

sin cos _cos

2 2 _.tan

sin

cos sin

2 2

 <i><b>DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện. </b></i>
<b>1. Phương pháp giải. </b>

• Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản

• Dựa vào dấu của giá trị lượng giác

• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
<b>2. Các ví dụ. </b>

<i><b>Ví dụ 1: a) Cho</b></i>sin 1
3 với

0 0

90 180 . Tính cos và tan

b) Cho cos 2

3 . Tính sin và cot

c) Cho tan 2 2 tính giá trị lượng giác cịn lại.
<i><b>Lời giải </b></i>

a) Vì 900 1800 nên cos 0 mặt khác sin2 cos2 1 suy ra

2 1 2 2

cos 1 sin 1

9 3

Do đó

1

sin ₃ 1

tan

cos _{2 2} _{2 2}

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Group: />

b) Vì sin2 cos2 1 nên sin 1 cos2 1 4 5
9 3 và

2

cos ₃ 2

cot

sin ₅ ₅

3

c) Vì tan 2 2 0 cos 0 mặt khác tan2 1 1₂

cos nên

2

1 1 1

cos

8 1 3

tan 1

Ta có tan sin sin tan .cos 2 2. 1 2 2

cos 3 3

1

cos ₃ 1

cot

sin _{2 2} _{2 2}

3

<i><b>Ví dụ 2: a) Cho </b></i>cos 3
4 với

0 0

0 90 . Tính <i>A</i> tan 3 cot

tan cot .

b) Cho tan 2. Tính <i>B</i> ₃ sin ₃cos

sin 3 cos 2 sin

<i><b>Lời giải </b></i>
a) Ta có <i>A</i>

2 ₂

2
2

2
1
1

2

tan 3 _tan ₃

tan cos ₁ _{2 cos}

1 tan 1 1

tan

tan cos

Suy ra <i>A</i> 1 2. 9 17

16 8

b) <i>B</i>

2 2

3 3

3 3 3 2

3 3 3

sin cos

tan tan 1 tan 1

cos cos

sin 3 cos 2 sin tan 3 2 tan tan 1

cos cos cos

Suy ra <i>B</i>

3 2 1

2 2 1 2 1

2 2 3 2 2 2 1 3 8 2

<i><b>Ví dụ 3: Biết </b></i>sin<i>x</i> cos<i>x</i> <i>m</i>

a) Tìm sin cos<i>x</i> <i>x</i> và sin4<i>x</i> cos4<i>x</i>
b) Chứng minh rằng <i>m</i> 2

<i><b>Lời giải </b></i>

a) Ta có sin<i>x</i> cos<i>x</i> 2 sin2<i>x</i> 2sin cos<i>x</i> <i>x</i> cos2<i>x</i> 1 2sin cos<i>x</i> <i>x</i> (*)
Mặt khác sin<i>x</i> cos<i>x</i> <i>m</i> nên <i>m</i>2 1 2 sin cos hay <i>m</i>

2 ₁

sin cos

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Group: />Đặt <i>A</i> _sin4<i>x</i> _cos4<i>x</i>

. Ta có

<i>A</i> _sin2<i>x</i> _cos2<i>x</i> _sin2<i>x</i> _cos2<i>x</i> _sin<i>x</i> _cos<i>x</i> _sin<i>x</i> _cos<i>x</i>
<i>A</i>2 _sin<i>x</i> _cos<i>x</i> 2 _sin<i>x</i> _cos<i>x</i> 2 ₁ _{2 sin cos}<i>x</i> <i>x</i> ₁ _{2 sin cos}<i>x</i> <i>x</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>A</i>2 ₁ 2 1 ₁ 2 1 3 2 2 4

2 2 4

Vậy <i>A</i> 3 2<i>m</i>2 <i>m</i>4
2

b) Ta có 2 sin cos<i>x</i> <i>x</i> sin2<i>x</i> cos2<i>x</i> 1 kết hợp với (*) suy ra

<i>x</i> <i>x</i> 2 <i>x</i> <i>x</i>

sin cos 2 sin cos 2

Vậy <i>m</i> 2

<b>3. Bài tập luyện tập. </b>

<b>Bài 2.7: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết </b>

a) sin 3

5 với

0 0

0 90 b) cos 1
5

c) cot 2 d) tan cot 0 và sin 1

5.

<b>Bài 2.8. a) Cho </b>cos<i>a</i> 2

3. Tính

<i>a</i> <i>a</i>

<i>A</i>

<i>a</i> <i>a</i>

cot 3 tan
2 cot tan
b) Chosin<i>a</i> 1

3 với <i>a</i>

0 0

90 180 . Tính <i>B</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

3 cot 2 tan 1

cot tan

c) Cho tan<i>a</i> 2. Tính <i>C</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

2 sin 3 cos
sin cos ;

d) Cho cot<i>a</i> 5. Tính <i>D</i> 2 cos2<i>a</i> 5 sin cos<i>a</i> <i>a</i> 1
<b>Bài 2.9: Biết </b>tan<i>x</i> cot<i>x</i> <i>m</i>.

a) Tìm tan x2 cot x2 b)

6 6

4 4

tan x cot x

tan x cot x c) Chứng minh <i>m</i> 2
<b>Bài 2.10: Cho </b>sin cos 12

25. Tính

3 3

sin cos

<b>Bài 2.11: Cho </b>tan<i>a</i> cot<i>a</i> 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) <i>A</i> tan2<i>a</i> cot2<i>a</i>

b) <i>B</i> tan<i>a</i> cot<i>a</i>
c) C _tan4<i>a</i> _cot4<i>a</i>

<b>Bài 2.12: </b> a) Cho 3 sin4<i>x</i> cos4<i>x</i> 3

4. Tính <i>A</i> <i>x</i> <i>x</i>

4 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Group: />b) Cho 3 sin4<i>x</i> cos4<i>x</i> 1

2. Tính <i>B</i> <i>x</i> <i>x</i>

4 4

sin 3cos .

c) Cho 4 sin4<i>x</i> 3 cos4<i>x</i> 7

4. Tính <i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>

4 4

</div>

<!--links-->
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

• 24
• 2
• 10