Tài liệu Tich luy chuyen mon thang 1. 2011

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (185.72 KB, 11 trang )

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ ỨNG DỤNG
I/ Tóm tắt kiến thức:
Đònh nghóa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ
hơn),
≥
(lớn hơn hoặc bằng),
≤
(nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có: A > B
⇔
A – B > 0 ; A
≥
B
⇔
A – B
≥
0
− Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A
≥
B, A
≤
B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của
bất đẳng thức.
− Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và
E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều.
− Nếu ta có A > B
⇒
C > D, ta nói bất đẳng thức C >D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
Nếu ta có A > B
⇔
E > F , ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương

đương.
A > B(hoặc A < B) là bất đẳng thức ngặt, A
≥
B ( hoặc A
≤
B) là bất đẳng thức không ngặt.
A
≥
B là A > B hoặc A = B
A
≠
B cũng là bất đẳng thức.
Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép.
Ví dụ: A < B < C
Bất đẳng thức Cô – si( bất đẳng thức trung bình cộng với trung bình nhân)
 Đối với 2 số không âm:
∀
a,b
≥
0, ta có:
2
+a b

≥
ab .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
 Tổng quát:
∀
a
1
, a

2
, a
3
, ......,a
n
≥
0(với n số)
1 2
......+ + +
n
a a a
n
1 2
...
n
n
a a a
Đấu đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= ..... = a
n
 Ứng dụng:
- Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất:
+ Nếu a + b = k( k là hằng số) thì ab
≤
2
( )
2

+a b

⇔
ab
≤
2
4
k
=> Max(ab) =
2
4
k
khi a = b=
2
k

+ Nếu ab = p (p là hằng số) thì a + b
≥
2
p
=> Min (a + b) =2
p
khi a = b =
p

- Giải phương trình, hệ phương trình.
II/ Bài tập áp dụng:
Giải bất đẳng thức không điều kiện ràng buột giữa các biến:
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c . CMR:
cb

a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥

2
cba
++
Bài giải:
Với a, b, c > 0 ta có:
cb
a
+
2
+
4
cb
+
≥
a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Tương tự ta có:
ca
b
+
2
+
4
ca
+

≥
b; và
ab
c
+
2
+
4
ba
+
≥
c
=>
cb
a
+
2
+
ca
b

+
2
+
ab
c
+
2
+
2
cba
++
≥
a + b + c =>
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥

2

cba
++
(đpcm)
Vậy
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥

2
cba
++
Bài 2: Cho3 số dương a, b, c. CMR:
3
b
a
+
3
b

c
+
3
c
a
≥
a
ac
+ b
ba
+ c
ab
Bài giải:
Ta có:
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c
a
=
3
b
a
+ bc +

3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab – (ac + cb + ab) =
3
b
a
+ bc +
3
b
c
+ ca +
3
c
a
+ ab– (
ab
2
+
bc
2
+
ab
2
+
ac

2
+
bc
2
+
ac
2
)
≥
2
3
.
a
bc
c
+ 2
3
.
b
ac
c
+ 2
3
.
c
ab
a
+ 2
.
4

ab bc
- 2
.
4
ab ac
- 2
.
4
bc ac
=
= 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b
ba
- c
ab
= a ac + b
ba
+ c
ab
(đpcm)
Vậy
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c

a
≥
a ac + b ba + c ab
∀
a, b, c > 0
Bài 3: CMR:
∀
a, b, c > 0 ta có:
ab bc ca
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
+ +
+ + + + + +
≤
a b c
6
+ +
Bài giải:
p dụng bất đẳng thức: (
1 1
a b c
1
+ +
)(a + b + c)
≥
3
3
1
abc
3
3

abc = 9
⇒
1
a b c+ +
≤

1
9
(
1 1
a b c
1
+ +
)
⇒
ab
a 3b 2c+ +
=
ab
a c b c 2b+ + + +
≤

ab
9
(
1 1
a c b c 2b
1
+ +
+ +

)
Tương tự:
bc
b 3c 2a+ +
≤

bc
9
(
1 1
b a a c 2c
1
+ +
+ +
) và
ca
c 3a 2b+ +
≤

ca
9
(
1 1
b c 2a
1
b a
+ +
+ +
)
VT

≤

ab
9
(
1 1
a c b c 2b
1
+ +
+ +
)+
bc
9
(
1 1
b a a c 2c
1
+ +
+ +
)+
ca
9
(
1 1
b c 2a
1
b a
+ +
+ +
) = (

ab
9
+
bc
9
)
1
a c+
+
(
ab
9
+
ca
9
)
1
b c+
+ (
bc
9
+
ca
9
)
1
b a+
+
a
18

+
b
18
+
c
18
=
b(a c)
9(a c)
+
+
+
a(b c)
9(b c)
+
+
+
c(b a)
9(b a)
+
+
+
a
18
+
b
18
+
c
18

=
=
a
9
+
b
9
+
c
9
+
a
18
+
b
18
+
c
18
=
a
6
+
b
6
+
c
6
=
a b c

6
+ +
= VP
Vậy
ab bc ca
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
+ +
+ + + + + +
≤
a b c
6
+ +
∀
a, b, c > 0
Bài 4:Cho a, b, c > 0. CMR:
ab
c(c a)+
+
bc
a(a b)+
+
ca
b(b c)+
≥

a
a c+
+
b
a b+

+
c
b c+
(1)
Bài giải:
Bất đẳng thức đã cho tương dương:
⇔
b a
.
c c a+
+
c
.
a
b
a b+
+
a c
.
b b c+
≥

a
a c+
+
b
a b+
+
c
b c+

⇔
b 1
.
c
c
1
a
+
+
c
.
a
a
b
1
1+
+
a 1
.
b
b
1
c
+
≥
1
c
1
a
+

+
a
b
1
1+
+
1
b
1
c
+
Đặt
a
b
= x,
b
c
= y,
c
a
=z =>
a
b
.
b
c
.
c
a
= xyz = 1 và z, y, x > 0

⇒
BĐT:y.
1
z 1+
+ z.
1
x 1+
+ x.
1
y 1+

≥

1
z 1+
+
1
x 1+
+
1
y 1+
⇔
y(x+1)(y+1)+z( y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1)
≥
(x + 1)(y + 1)+( y + 1)(z + 1)+(x + 1)(z + 1)
⇔
(y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)( y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1)
≥
0
⇔

y
2
x + y
2
– x – 1 + z
2
y + z
2
– y – 1 + x
2
z + x
2
– z – 1
≥
0
⇔
( y
2
x+ x
2
z+ z
2
y) + ( y
2
+ z
2
+ x
2
) – (x + y + z) – 3
≥

0 (*)
p dụng bất đẳng thức cô si, ta có:
y
2
x+ x
2
z+ z
2
y
≥
2 2 2
3
3 y x.x z.z y
= 3xyz =3; y
2
+ z
2
+ x
2
≥
2 2 2
3
3 y x z
=
3
3 1
= 3;x + y + z
≥
3
3 yxz 3=

VT của (*)
≥
3 + 3 – 3 – 3 =0 = VP => (*) đúng => (1) đúng
Vậy
ab
c(c a)+
+
bc
a(a b)+
+
ca
b(b c)+
≥

a
a c+
+
b
a b+
+
c
b c+
Bài 5:Cho 3 số dương a, b, c. CMR:
)1(
1
)1(
1
)1(
1
accbba

+
+
+
+
+

≤

)1(
3
33
abcabc
+
Bài giải:
Đặt P =VT.p dụng bất đẳng thức:
∀
x, y, z là các số thực,ta có:(x + y + z)
2

≥
3(xy + yz + zx), suy
ra:P
2

≥

1 1 1
3( )
ab(1 b)(1 c) bc(1 c)(1 a) ca(1 a)(1 b)
+ +

+ + + + + +
=
)1)(1)(1(
))1()1()1((3
cbaabc
cbbaac
+++
+++++
=
=
)1)(1)(1(
)1)1)(1)(1((3
cbaabc
abccba
+++
−−+++

=> P
2

≥

)1)(1)(1(
3
)1)(1)(1(
33
cbaabccbaabc
+++
−
+++

−
(1)
Đặt t =
3
abc
.Theo bất đẳng thức Cô - si ta lại có:
(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca)
≥
1 + 3t + 3t
2
+ t
3
= (1 + t)
3
(2)
Từ (1)và (2) suy ra: P
2

≥

3333
)1(
3
)1(
33
tttt
+
−
+
−

=
33
33
)1(
)1)1((3
tt
tt
+
−−+
=
22
)1(
9
tt
+
⇒
P
≥

)1(
3
tt
+
=
)1(
3
33
abcabc
+
( do P > 0)

Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
> 2.
Bài giải:
Đặt a + b + c = t
b c
a
+
.1
≤

b c
1
a
2
+
+
=
b c a
a
2
+ +
=

t
2a
hay
a
b c+
≥
Tương tự:
b
c a+
≥
2b
t
và
c
a b+
≥
2c
t
⇒
a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
≥
2a
t

+
2b
t
+
2c
t
=
2(a b c)
t
+ +
=
2t
t
= 2
Dấu bằng xảy ra khi:
b c
a
+
= 1,
a c
b
+
= 1,
b a
c
+
= 1
⇒
a b c
b a c

c a b
= +


= +


= +


⇔
a + b + c = 2(a + b + c)
⇔
a + b + c = 0 (*)
Theo giả thiết thì a + b + c
≠
0
⇒
(*) không xảy ra. Vậy dấu bằng không xảy ra.
⇒
a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
> 2. (đpcm)
Bài 7: Cho x, y, z là các số không âm.CMR:

Bài giải:
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có:
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +
≥
x
2
y
2
z
2

⇔
x
3
y
3
+ x
3
z
3
+ y
3
z
3
≥
3x
2

y
2
z
2

⇔
6x
3
y
3
+ 6x
3
z
3
+ 6y
3
z
3
≥
18x
2
y
2
z
2

(*)
Lại có: (x
3
– xyz)

2

≥
0
⇔
x
6
+ x
2
y
2
z
2
≥
2x
4
yz
⇔
x
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +
≥
2x
4
yz (1)
Tương tự: y

6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +
≥
2y
4
xz (2)
z
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +
≥
2z
4
xy (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z+ +

≥
2x
4
yz + 2y
4
xz + 2z
4
xy (4)
Từ (4) và (*) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+7
3 3 3 3 3 3
x y 7y z 7x z+ +
≥
2x
4
yz + 2y
4
xz + 2z
4
xy + 18x
2
y
2
z
2

(*’)
Ta có:
6 6 6
x y z
3
+ +
≥
x
2
y
2
z
2
. Do đó: x
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +

≥
2x
4
yz
Tương tự: y
6
+
6 6 6

x y z
3
+ +
≥
2y
4
xz ; z
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +
≥
2z
4
xy
Cộng theo vế ta có: 2(x
6
+ y
6
+ z
6
)
≥
2x
4
yz + 2y
4
xz + 2z

4
xy
⇔
7x
6
+ 7y
6
+ 7z
6

≥
7x
4
yz + 7y
4
xz + 7z
4
xy (5)
Cộng theo vế (*’) và(5) ta có: 8x
6
+8y
6
+8z
6
+7
3 3 3 3 3 3
x y 7y z 7x z+ +
≥
9x
4

y+9y
4
xz+9z
4
xy+ 18x
2
y
2
z
2
⇔
8(x
6
+ y
6
+ z
6
+ 2
3 3 3 3 3 3
x y 2y z 2x z+ +
)
≥
9(x
4
y + y
4
xz + z
4
xy+ 2x
2

y
2
z
2

+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z+ +
)
⇔
8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2
(y
2
z
2
+ x
2
yz + xy
3

+ xz
3
)+ yz(x
2
yz + xy
3
+ y
2
z
2
+ xz
3
)
⇔
8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2
+ yz)( y
2
z
2

+ x
2
yz + xy
3
+ xz
3
)
⇔
8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2
+ yz)(y
2
(z
2
+ xy) + xz(z
2
+ xy)) = 9(x
2
+ yz)(y
2

+ xz)(z
2
+ xy)(đpcm)
Vậy 8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2
+ yz)(y
2
+ xz)(z
2
+ xy)
Giải bất đẳng thức có điều kiện ràng buột giữa các biến:
Bài 8: Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh:
yx
yx
−
+
22

≥
2

2
. Bài giải:
Do x > y => x – y > 0
Ta có:
yx
yx
−
+
22
=
yx
xyyx
−
+−
2)(
2
=
yx
yx
−
+−
2)(
2
= (x – y) +
yx
−
2
≥
2
yx

yx
−
−
2
).(
= 2
2
(p dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương)
Vậy
yx
yx
−
+
22

≥
2
2
khi xy = 1 và x > y
Bài 9: Cho 4 số không âm a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh:
+ + + + + + +a b b c c d d a
≤

2 2
Bài giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
⇔
2
( )+ + +a b b c
+

2
( )+ + +c d d a
+ 2
( )+ + +a b b c ( )+ + +c d d a
≤
8
⇔
a + b + c + d + 2
( )( )+ +a b b c
+ a + b + c + d + 2
( )( )+ +c d d a
+ 2
( )( )+ +a b c d
+ 2
( )( )+ +a b d a
+ 2
( )( )+ +b c c d
+2
( )( )+ +b c d a ≤
8
⇔
2(a + b + c + d)+ 2
( )( )+ +a b b c
+ 2
( )( )+ +c d d a
+ 2
( )( )+ +a b c d
+ 2
( )( )+ +a b d a
+ 2

( )( )+ +b c c d
+2
( )( )+ +b c d a ≤
8
p dụng bất đẳng thức Côsi:
2
( )( )+ +a b b c ≤
a + b + b+ c = a +2b + c; 2
( )( )+ +b c d a ≤
a + b + c + d
2
( )( )+ +c d d a ≤
c + d + d + a = c + 2d + a; 2
( )( )+ +a b c d

≤
a + b + c + d
2
( )( )+ +a b d a

≤
a + b + d + a = 2a + b + d;2
( )( )+ +b c c d

≤
b + c + c + d = b + 2c + d
Cộng theo vế:VT
≤
2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d +
a + b + c + d

≤
8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = 8 = VP (vì a + b + c + d = 1.)
Vậy + + + + + + +a b b c c d d a
≤

2 2
Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = d = 1/4
Bài 10: Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2.CMR:
2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2
Bài giải:
Ta có:
2 2
+x y
=
2
( )+x y
- 2xy =
2
2
- 2xy = 4 – 2xy
Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y
≥
2
xy
⇔
2
≥
2

xy

⇔
xy
≤
1
⇒

2 2
+x y ≤
4 – 2 = 2 và
2 2
x y ≤
1
⇒

2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2.1 = 2 (đpcm)
Bài 11:Cho 3 số dương a, b, c thoả a + b + c = 1.CMR: a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −
≤
1

Bài giải:
p dụng bất đẳng thức cô si: a
3
1 b c+ −

≤
a
1 1 1 b c
3
+ + + −
=
3a ba ca
3
+ −
Tương tự: b
3
1 c a+ −
≤

3b bc ba
3
+ −
và c
3
1 a b+ −
≤

3c ac bc
3
+ −

Cộng theo vế: a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −
≤
3a ba ca
3
+ −
+
3b bc ba
3
+ −
+
3c ac bc
3
+ −
=
=
3a ab ca 3b cb ab 3c ca cb
3
+ − + + − + + −
=
3a 3b 3c
3
+ +

=
3(a b c)
3
+ +
=
3
3
= 1 (dpcm)
Vậy a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −
≤
1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thoả a
2
+b
2
+c
2
=1.CMR:
2 2
b
1
c+

+
2 2
1
c a+
+
2 2
1
a b+
≤
3 3 3
a b c
2abc
+ +
+ 3
Bài giải:
Ta có: VT =
2 2 2
2 2
b
a b c
c
+ +
+
+ +
2 2 2
2 2
a
a b c
b
+ +

+
=
2
2 2
b
a
c+
+1 +
2
2 2
c
b
a+
+ 1 +
2
2 2
a
c
b+
+ 1 =
=
2
2 2
b
a
c+
+
2
2 2
c

b
a+
+
2
2 2
a
c
b+
+3
≤

2
a
2bc
+
2
2c
b
a
+
2
2a
c
b
+ 3 =
3 3 3
b ca
2abc
+ +
+ 3 = VP

Vậy
2 2
1
b c
+
+
2 2
1
c a+
+
2 2
1
a b+

≤
3 3 3
a b c
2abc
+ +
+ 3. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
1
3
Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =
3
2
. CMR: B = (1+
3
1
a
)(1+

3
b
1
)(1+
3
c
1
)
≥
729
Bài giải:
Ta có: B = 1 +
3
1
a
+
3
b
1
+
3
c
1
+
3 3
1
a b
+
3 3
c

1
a
+
3 3
b c
1
+
3 3 3
1
a b c
B
≥
1 +3
3
3 3 3
1
a b c
+ 3
3
3 3 3 3 3 3
1
a b c a b c
+
3 3 3
1
a b c
= 1 + 3
1
abc
+ 3

2 2 2
1
a b c
+
3 3 3
1
a b c
= ( 1 +
1
abc
)
3
Mặt khác: abc
≤
(
a b c
3
+ +
)
3
= (
3
2
3
)
3
=
1
8

⇒
B
≥
(1+ 1:
1
8
)
3
= 9
3
=729
Vậy B = (1+
3
1
a
)(1+
3
b
1
)(1+
3
c
1
)
≥
729. Dấu bằng xảy ra khi a = b =c =
3
2
: 3 =
1

2
Vậy:
2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2. Dấu bằng xảy ra khi x = y =
2
2
= 1
Bài 14: Cho a,b, c >0 thoả ab+bc+ac
≤
abc. CMR:
8
a b+
+
8
b c+
+
8
a c+

≤
2
b c
a
+
+
2
a b
c
+