Tài liệu luyện thi Đại học phần tổ hợp, xác suất

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Tổ hợp - Xác suất

Huỳnh Văn Quy

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 5

1.1 Bài toán số học . . . 5

1.2 Bài toán chọn người, sắp xếp người . . . 14

1.3 Bài toán chọn thẻ, chọn bi . . . 20

1.4 Bài tốn có yếu tố hình học . . . 21

1.5 Bài toán tập hợp . . . 22

2 XÁC SUẤT 25
2.1 Bài toán số . . . 25

2.2 Bài toán chọn bi . . . 27

2.3 Bài toán chọn người . . . 29

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Lời nói đầu

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

CÁC BÀI TỐN ĐẾM

1.1

Bài tốn số học

Bài 1.1.Từ bảy chữ số0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu
số chẵn, mỗi số có năm chữ số khác nhau.

Gợi ý: Chia ra 2 trường hợp. Có 1260 số.

Bài 1.2.Cho các số 1,2,5,7,8. Có bao nhiêu cách lập ra một số
gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho:

1. Số tạo thành là số chẵn.

2. Số tạo thành khơng có chữ số 7.

3. Số tạo thành nhỏ hơn 278.

Gợi ý: 1. Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có2.4.3 = 24
số chẵn.

2. Chỉ được chọn 4 trong số 1,2,5,8. vậy có4.3.2 = 𝐴3₄ = 24 số
khơng có số 7.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 1.3.Cho 10 chữ số 0,1,2, . . . ,9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ
số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 số trên?

Gợi ý: Chữ số cuối cùng (hàng đơn vị) được chọn từ 1, 3, 5, 7,
9. Chữ số đầu tiên (hàng triệu) được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5. Còn 4
chữ số ở giữa được chọn từ 8 chữ số cịn lại: có 𝐴4₈ = 1680 cách.
Nếu chữ số cuối cùng được chọn từ 7 hoặc 9 (2 cách chọn) thì chữ
số đầu tiên có 5 cách chọn. Vậy có 2.5.1680 = 16800 cách chọn.
Nếu chữ số cuối được chọn từ 1,3,5 (3 cách chọn) thì chữ số cuối
có 4 cách chọn. Vậy có3.4.1680 = 20160cách chọn

Vậy có tất cả 16800 + 20160 = 36960 số.

Bài 1.4.Cho các chữ số0; 2; 4; 5; 6; 8; 9.

1. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số
các chữ số khác nhau.

2. Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong
đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.

Gợi ý: 1. Chữ số hàng trăm phải khác 0, nên có 6 cách chọn,
2 số cịn lại có 6.5 = 30 cách chọn. Vậy có6.6.5 = 180 số.

2. Chữ số hàng ngàn phải khác 0:

∙ Nếu chữ số hàng nghìn là 5 thì 3 số cịn lại có𝐴3₆120cách
chọn, vậy có1.120 = 120 số.

∙ Nếu chữ số hàng nghìn là 2 hoặc 4, hoặc 6, hoặc 8, hoặc 9
thì có 5 cách chọn. Ba số cịn lại có 1 số 5 có 1 cách chọn
và 2 số cịn lại có𝐴2

5 = 20cách chọn, vậy có5.1.20 = 100

số.

Vậy có tất cả 120 + 100 = 220 số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) Có 5 chữ số và nhất thiết có mặt chữ số 0.

b) Chia hết cho 5 và có 5 chữ số khác nhau.

c) Có 5 chữ số khác nhau mà một trong ba chữ số đầu tiên là 1.

d) Có 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó có đúng 3 chữ số chẵn
và ba chữ số lẻ.

e) Có 4 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của nó là một
số lẻ.

f) Chẵn, có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 2009.

g) Có 6 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của nó là một
số chẵn.

h) Có 10 chữ số khác nhau mà 1 và 2 cạnh nhau.

i) Có 5 chữ số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

j) Có 7 chữ số khác nhau và khơng bắt đầu bằng 207.

k) chẵn, có các chữ số khác nhau và thuộc khoảng(20000; 70000).

l) Có 7 chữ số khác nhau mà 2 và 3 khơng đứng cạnh nhau.

m) Có 3 chữ số và tổng các chữ số của nó bằng 9.

n) Có 6 chữ số khác nhau mà 5 và 6 khơng đồng thời có mặt.

o) Có 12 chữ số trong dó 1 và 2 xuất hiện đúng hai lần, còn các
chữ số khác xuất hiện đúng một lần.

Bài 1.6.Cho tập hợp𝐴={1,2,3,4,5,6,7,8}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
lấy từ tập 𝐴 và không bắt đầu bởi 123.

Bài 1.7.Cho tập 𝑋 = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao
nhiêu số𝑛 gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ𝑋 (chữ số đầu tiên
phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:

a) 𝑛 là một số chẵn.

b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.

Bài 1.8.Người ta viết các chữ số0,1,2,3,4,5 lên các tấm phiếu,
sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.

1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

Bài 1.9.(Học viện BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong
các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1.

Bài 1.10.(ĐHQG Hà Nội 2000) Từ 5 chữ số0,1,3,5,7có thể lập
được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho
5?

Bài 1.11.(Đại học Huế 2000) Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Từ
các chữ số đã cho ta có thể lập được:

1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau
từng đôi một.

2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó
khác nhau từng đôi một.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài 1.12.(Đại học Cần Thơ, khối D, 2000) Với các chữ số1,2,3,4,5,6
ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác
nhau từng đơi một. Hỏi:

1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.

2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.

Bài 1.13.(ĐH Thái Nguyên 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số
sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.

Bài 1.14.(ĐH Thái Nguyên, khối D, 2000) Từ 3 chữ số 2,3,4 có
thể tạo ra được nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số, trong đó phải
có mặt đủ 3 chữ số trên.

Bài 1.15.(ĐH sư phạm Vinh, 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên
có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn
chữ số đứng liền trước.

Bài 1.16.(ĐH Cảnh sát Nhân dân khối G, 2000) Có bao nhiêu
số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?

Bài 1.17.(ĐH Cảnh sát Nhân dân khối G phân ban, 2000) Có

bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 500000?

Bài 1.18.Từ các chữ số 1 đến 9 hỏi có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có 3 chữ số khác nhau và khơng lớn hơn 789?

Gợi ý: Gọi 𝑋 =𝑎𝑏𝑐 là số phải lập. Ta xét các trường hợp:
1. 𝑎= 7

∙ Nếu 𝑏 lẻ thì 𝑏 có 3 cách chọn, 𝑐chẵn nên có 4 cách.
Vậy trường hợp này có3.4 = 12 số

∙ Nếu 𝑏 chẵn thì 𝑏 có 4 cách chọn, 𝑐chẵn nên 𝑐 có 3 cách
chọn. Vậy có 4.3 = 12số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

2. 𝑎 <7⇒𝑎∈ {1,2,3,4,5,6}

∙ Nếu 𝑎 chẵn thì 𝑎 có 3 cách chọn, 𝑐chẵn nên 𝑐 có 3 cách
chọn, 𝑏 có 7 cách. vậy có3.3.7 = 63số.

∙ Nếu 𝑎 lẻ thì 𝑎 có 3 cách chọn, 𝑐chẵn nên 𝑐 có 4 cách, 𝑏
có 7 cách. Vậy có 3.4.7 = 84 số.

Vậy trường hợp này có 63 + 84 = 147số

Tóm lại có 151 số.

Bài 1.19. (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0,1,2,3,4.
Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có 7 chữ số từ các chữ số
trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, cịn các chữ số khác có
mặt đúng một lần.

Bài 1.20.(ĐH Quốc gia TP HCM 2001)

1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau,
trong đó có mặt chữ số 0 nhưng khơng có mặt chữ số 1.

2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2
có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số
cịn lại có mặt khơng q một lần.

Bài 1.21.(CĐ Tài chính - hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu
số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có măt đúng 2 lần,
chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?
Bài 1.22.(CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4,5 có
thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và
trong đó phải có mặt chữ số 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài 1.24.(ĐH kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5
chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.

Bài 1.25.Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết
phải có hai chữ số 1 và 5.

Bài 1.26.(ĐH Huế 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số
sao cho khơng có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

Bài 1.27.(Học viện Ngân hàng TP HCM 2001)

1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi
một?

2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 có thể lập được bao nhiêu
số chẵn có 5 chữ số đơi một khác nhau?

Bài 1.28.(ĐH ngoại thương TP HCM 2001) Từ các chữ số 1, 2,
3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau
mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

Bài 1.29.(HV quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9
đứng ở vị trí chính giữa?

Gợi ý: Số các số có 9 chữ số tạo ra là số hoán vị của 9 phần tử
nên là𝑃9 = 9! = 362880 số.

Số các số có 9 chữ số khác nhau mà số 9 đứng chính giữa là số
hốn vị của 8 phần tử nên là𝑃8 = 8! = 40320 số.

Bài 1.30.(ĐHSP Hà Nội 2, năm 2001) Tính tổng tất cả các số
tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1,
3, 4, 5, 7, 8.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Gợi ý: Số các số có 6 chữ số lập được là 6! = 720(số)

Ta thấy cứ mỗi số 𝑋 lập được luôn tồn tại duy nhất một số 𝑋′
trong các số lập được để𝑋+𝑋′ = 777777.

Vậy tổng các số lập được là: 360.777777 = 279999720 (số).

Bài 1.32.Từ các số 0,1,3,4,6,7. Ta lập các số có 4 chữ số khác
nhau. Hỏi lập được bao nhiêu số? Tính tổng tất cả các số đó.

Gợi ý: Gọi 𝑋 =𝑎𝑏𝑐𝑑 là số lập được.

Số cách chọn 𝑎 là 5, số cách chọn các số 𝑏, 𝑐, 𝑑 là 𝐴3
5.

Vậy số các số lập được là:5×𝐴3

5 = 5×
5!

2! = 300 (số).

Ta cộng các số lập được theo từng cột:

+) Ở cột đơn vị: số 0 có mặt 𝐴3₅ lần; số 1 có mặt 4.𝐴2₄ lần.
Các số3,4,6,7 cũng có mặt4.𝐴2₄ lần.

Tổng các số ở cột đơn vị là:(1 + 3 + 4 + 6 + 7).4.𝐴2

4 = 84.12 = 1008.

Tương tự tổng các cột hàng chục, hàng trăm cũng là 1008.
Ở cột hàng nghìn: số lần xuất hiện các số1,3,4,6,7là 𝐴3

5 lần.

Do đó tổng cột hàng nghìn là (1 + 3 + 4 + 6 + 7).𝐴3

5 = 1260

Vậy tổng các số lập được là:1260 + 1008(100 + 10 + 1) = 1371888.

Bài 1.33.(CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) Có bao nhiêu số tự
nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các
số đó.

Bài 1.34.Có ba nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và
đơi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên.

Gợi ý: Mỗi số ứng với một hoán vị của 5 phần tử5,6,7,8,9. Vậy
só𝑃5 = 1.2.3.4.5 = 120 số.

Sự xuất hiện của mỗi chữ số 5,6,7,8,9ở mỗi hàng (đơn vị, chục,
trăm,...) là như nhau, nên tổng tất cả các chữ số ở mỗi hàng của
120 số trên là: (5 + 6 + 7 + 8 + 9)· 120

5 = 840

Suy ra tổng của 120 số là

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Bài 1.35.(ĐH Thái Nguyên khối D năm 2001)

1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành
từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ

các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn 345.

Bài 1.36.(ĐH Y Hà Nội 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và
khơng lớn hơn 789.

Bài 1.37.(ĐH khối A dự bị 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác
nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

Bài 1.38.(ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và
thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong
mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối
một đơn vị.

Bài 1.39.(ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số
gồm 7 chữ số khác nhau?

Bài 1.40.(CĐ xây dựng số 3 - 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5
có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn
245.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

1.2

Bài toán chọn người, sắp xếp người

Bài 1.43.Trong một buổi liên hoan có 6 cặp nam nữ, trong đó
có 3 cặp là vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người sao
cho khơng có cặp vợ chồng nào.

Bài 1.44.Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà
vật lí nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đồn cơng tác gồm 3
người sao cho có cả nam lẫn nữ và có cả nhà tốn học lẫn vật lý.
Bài 1.45.Một nhóm có 3 học sinh giỏi, 4 học sinh khá và 3 học
sinh trung bình. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh sao cho:

a) Khơng có học sinh trung bình.

b) Mỗi loại học sinh có ít nhất một.

Bài 1.46.Có 12 nam trong đó có anh A và 12 nữ trong đó có
chị B. Chọn ra 5 người với yêu cầu sau khi chọn phải có ít nhất 2
nam, 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Có cả anh A và chị B.

b) Khơng có anh A và chị B.

c) Anh A và chị B khơng đồng thời có mặt.

Bài 1.47.Từ một nhóm có 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối
B và 5 học sinh khối C, ta chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất
5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tìm số cách chọn.
Bài 1.48.Một nhóm có 10 nam và 14 nữ. có bao nhiêu cách chọn
8 người sao cho:

a) Có ít nhất một nam.

b) Có ít nhất 3 nữ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

d) Có ít nhất 2 nam, 2 nữ.

Bài 1.49.Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. chọn ra
6 học sinh để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Tùy ý một tốp ca như thế.

b) Có ít nhất hai nữ.

Bài 1.50.Trong một cuộc chơi dã ngoại của một tổ học sinh, cứ
hai học sinh bất kì đều chụp với nhau một kiểu làm kỉ niệm. Hỏi
tổ học sinh có bao nhiêu người, biết rằng cuốn phim có 36 kiểu
chụp.

Bài 1.51.Có 8 vận động viên bóng bàn cùng tham dự một giải
đấu. Trong vịng đầu ban tổ chức cần phân ra 4 cặp đấu. Hỏi có
bao nhiêu cách chia cặp.

Bài 1.52.Một trường có 5 học sinh khối mười hai, 3 học sinh khối
mười một và hai học sinh khối 10 là các học sinh xuất sắc. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn 5 học sinh xuất sắc của trường đó tham gia
một đồn đại biểu sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.
Bài 1.53.(Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội thanh niên tình
nguyện gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng đội
thanh niên tình nguyện trền về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh
có 4 nam và 1 nữ.

Bài 1.54.Một đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng
có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp 𝐴, 4 học sinh lớp 𝐵 và 3 học
sinh lớp𝐶.

Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này
thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
như vậy?

Gợi ý: 𝑛(Ω) =𝐶₁₂4 = 495.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

sinh. Chia ra 3 trường hợp: (Lớp A có 2 học sinh, lớp B 1 học
sinh, lớp C có 1 học sinh; ...)

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270

Số cách chọn phải tìm là: 495−270 = 225.

Bài 1.55.(Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội thanh niên tình
nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền
núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

Gợi ý: Có 𝐶₃1.𝐶₁₂4 cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về
tỉnh thứ nhất.

Với mỗi cách phân cơng các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ
nhất thì có𝐶1

2.𝐶84 cách phân cơng thanh niên tình nguyện về tỉnh

thứ hai.

Với mỗi cách phân cơng tác thanh niên tình nguyện về tỉn thứ
nhất và tỉnh thứ hai thì có𝐶₁1.𝐶₄4 cách phân cơng thanh niên tình
nguyện về tỉnh thứ ba.

Số cách phân cơng thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu
cầu bài toán là: 𝐶1

3.𝐶124 .𝐶21.𝐶84.𝐶11.𝐶44 = 207900 cách.

Bài 1.56.Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau
gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. từ 30
câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5
câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phả có đủ ba
loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ khơng ít hơn 2.

Gợi ý: Chia ra 3 trường hợp: Vd: TH1 có 2 dễ+1TB+ 2 khó: có
𝐶₁₅2 .𝐶₁₀1 .𝐶₅2 = 10500 (đề);...

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Bài 1.57.Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em,
trong đó 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối
10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
Hùng Vương sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.

Gợi ý: Số cách chọn 8 học sinh từ 18 học sinh của độ tuyển là:
𝐶8

18 = 43758cách

Số cách chọn 8 học sinh chỉ gồm học sinh ở 2 khối là:

∙ Số cách chọn 8 học sinh khối 12 và 11 là: 𝐶₁₃8 .

∙ Số cách chọn 8 học sinh khối 11 và 10 là 𝐶₁₁8 .

∙ Số cách chọn 8 học sinh khối 10 và 12 là 𝐶8
12.

Số cách chọn theo yêu cầu bài toán:43758−(𝐶8

13+𝐶118 +𝐶128 ) =

41811 cách.

Bài 1.58.(HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu
vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa
điểm 𝐴, 2 người ở địa điểm 𝐵, còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có
bao nhiêu cách phân cơng?

Bài 1.59.Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp.
Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội thanh niên
của trường sao cho 3 người đó phải có ít nhất một cán bộ lớp.
Bài 1.60.(CĐSP Mẫu giáo TW1 2000) Một lớp học mẫu giáo
gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cơ giáo chủ nhiệm
muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam
và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số
người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau,

2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó khơng có q

1 nam.

Bài 1.63.Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo
cần chọn ra 5 em tham dự lễ mitting tại trường với yêu cầu có cả
nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 1.64.(HV Kĩ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3
học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học
sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.

Bài 1.65.(ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10
học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm cơng tác "Mùa hè
xanh". Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải
có ít nhất:

1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.

2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.

Bài 1.66.(ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của
một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 11, 5 học sinh
khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại
hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.

Bài 1.67.(ĐH khối B 2003 dự bị 1 ) Từ một tổ gồm 7 học sinh
nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ
phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Bài 1.68.Có 5 học sinh gồm 3 nam 2 nữ ngồi vào 5 ghế theo một

dãy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

b) Nếu 2 nữ muốn ngồi gần nhau?

c) Nếu 2 nữ muốn ngồi gần nhau và 3 nam muốn ngồi gần nhau.

Gợi ý: a) Số cách xếp 5 bạn học sinh vào 5 ghế là số hoán vị của
5 phần tử nên là𝑃5 = 5! = 120 cách.

b) Chưa xét thứ tự giữa các nam và các nữ thì để 2 nữ gần nhau
ta có 4 cách sắp xếp.

Trong mỗi cách sắp xếp: số cách xếp nữ là 2!, số cách xếp nam
là3!. Vậy số cách xếp là 48 cách.

c) Chưa xét thứ tự giữa các nam và các nữ thì để 2 nữ gần nhau
và 3 nam gần nhau ta có 2 cách xếp.

Số cách xếp là: 2.3!.2! = 24 cách.

Bài 1.69.[Đại học hàng hải 1999] Có bao nhiêu cách xếp năm
bạn học sinh 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 vào một chiếc ghế dài sao cho:

1. Bạn 𝐶 ngồi chính giữa.

2. Hai bạn 𝐴 và 𝐸 ngồi ở hai đầu ghế.

Bài 1.70. Có bao nhiêu cách xếp vị trí cho 5 học sinh nam và 3
học sinh nữ vào một bàn tròn sao cho:

a) 3 học sinh nữ ngồi cạnh nhau.

b) khơng có 2 học sinh nữ nào cạnh nhau.

Bài 1.71.Có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
các em trên theo một hàng dọc sao cho:

1. giữa hai em nữ bất kì khơng có em nam nào.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Bài 1.72.(ĐH Nông nghiệp HN 2001) Có 6 học sinh nam và 3
học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi
chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới)

1.3

Bài toán chọn thẻ, chọn bi

Bài 1.73.Một hộp có bi xanh, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Chọn ngẫu
nhiên 4 bi. Tính số khả năng khơng có đủ 3 màu.

Bài 1.74.Một hộp có𝑛bi xanh và𝑛 bi đỏ khác nhau. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn 𝑛 bi từ hộp.

Bài 1.75.Có bao nhiêu cách chia 8 viên bi khác nhau cho 3 người
sao cho một người có 2 viên bi, cịn hai người cịn lại mỗi người có
3 viên bi.

Bài 1.76.Có bao nhiêu cách chia 6 viên bi khác nhau cho 3 người
sao cho mỗi người có ít nhất một bi.

Bài 1.77.Có 5 bi xanh giống nhau, 4 bi trắng giống nhau và 3

bi vàng khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số bi trên vào 12 ô
theo một hàng dọc sao cho mỗi ơ có đúng một bi.

Bài 1.78.Có bao nhiêu cách xếp 10 viên bi khác nhau vào 5 hộp
khác nhau mà mỗi hộp:

1. có thể khơng có viên bi nào.

2. có đúng 2 viên bi.

3. có ít nhất 1 viên bi.

Bài 1.79.Có bao nhiêu cách chia 5 viên bi khác nhau cho 3 người
sao cho mỗi người có ít nhất một viên bi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên
bi đỏ.

2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng
số bi đỏ.

Bài 1.81.(Đại học Huế, 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên
bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng có đủ cả
3 màu.

Bài 1.82.(Học viện qn y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính
khác nhau và 3 viên xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:

1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp
cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

1.4

Bài tốn có yếu tố hình học

Bài 1.83.Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách từ 8 cuốn sách
tốn, 6 cuốn sách lý và 5 cuốn sách hóa sao cho mỗi loại có ít nhất
1 cuốn.

Bài 1.84.Thầy giáo có 12 cuốn sách khác nhau, trong đó có 5
cuốn văn học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội họa. Ông lấy 6 cuốn
tặng cho 6 học sinh, mỗi người một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách
tặng nếu:

1. Thầy giáo chỉ tặng sách văn học và âm nhạc.

2. Sau khi tặng xong, mỗi loại cịn ít nhất một cuốn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Bài 1.86.Cho tam giác𝐴𝐵𝐶. Xét tập hợp𝑇 gồm 5 đường thẳng
song song với 𝐵𝐶, 6 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 và 7 đường
thẳng song song với 𝐴𝐵. Hỏi các đường thẳng trong tập hợp 𝑇
tạo thành bao nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
Bài 1.87.Trên các cạnh 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 của hình vng
𝐴𝐵𝐶𝐷 lần lượt cho 1,2,3, 𝑛 điểm khác các đỉnh 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Tìm
𝑛 biết rằng số tam giác có các đỉnh được chọn từ 𝑛+ 6 điểm đã
cho là 439.

Bài 1.88.Cho hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 song song với nhau. Trên 𝑎
chọn 10 điểm phân biệt và trên 𝑏 chọn 𝑛 điểm phân biệt. Tìm 𝑛

biết số tam giác được tạo thành từ các điểm đã cho là 2800.
Bài 1.89.(CĐ sư phạm khối A 2002)

1. Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.

2. Từ kết quả câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp
các đường nói trên.

Bài 1.90.(CĐ sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi 𝑛
cạnh. Xác định𝑛 để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
Bài 1.91.Cho hai đường thẳng 𝑑1, 𝑑2 song song với nhau. trên

đường thẳng 𝑑1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng 𝑑2 cho

8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3
đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.

1.5

Bài toán tập hợp

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

a) khác rỗng.

b) Có khơng q 𝑛 phần tử.

Bài 1.93.Cho 𝐴 là một tập có 20 phần tử.

1. Có bao nhiêu tập hợp con của 𝐴?

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24></div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

XÁC SUẤT

2.1

Bài toán số

Bài 2.1.Gọi 𝑆 là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn
ngẫu nhiên một số từ tập hợp 𝑆. Tính xác suất để số được chọn
có chữ số hàng đơn vị và hàng chục đều là chữ số chẵn.

Gợi ý: Gọi𝑆 là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu
nhiên....

Số phần tử của tập hợp 𝑆 là 90.

Gọi 𝑎𝑏 là số tự nhiên có hai chữ số mà 𝑎, 𝑏đều là số chẵn. Ta có:
𝑎∈ {2; 4; 6; 8},𝑏 ∈0; 2; 4; 6; 8. Suy ra ta có 4.5 = 20 số 𝑎𝑏.

Bài 2.2.Gọi 𝑀 là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác
nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ 𝑀, tính xác suất để số được
chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các
chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).

Gợi ý: Xét các số có 9 chữ số khác nhau:

∙ Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9.𝐴8₉ = 3265920
Xét các số thỏa mãn đề bài:

∙ Có 𝐶4

5 cách chọn chữ số lẻ.

∙ Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do đó chữ số 0 khơng thể
đứng đầu và đứng cuối nên có 7 cách xếp.

∙ Tiếp theo ta có 𝐴2

4 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai

bên chữ số 0.

∙ Cuối cùng ta có 6!cách xếp 6 chữ số cịn lại vào 6 vị trí cịn
lại.

Gọi 𝐴 là biến cố đã cho, khi đó 𝑛(𝐴) =𝐶4

5.7.𝐴24.6! = 302400.

Vậy xác suất cần tìm là:𝑃(𝐴) = 302400
3265920 =

5
54.

Bài 2.3.Gọi 𝑆 là tập hợp các ước số nguyên dương của số 43200.
Chọn ngẫu nhiên một số trong 𝑆. Tính xác suất chọn được số
khơng chia hết cho 5.

Gợi ý: Ta có: 43200 = 26_.33_.52_.

Mỗi ước nguyên dương của số43200là một có dạng2𝑖_.3𝑗_.5𝑘_{, trong}
đó𝑖∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};𝑗 ∈ {0; 1; 2; 3}; 𝑘 ∈ {0; 1; 2}.

Số ước nguyên dương bằng số bộ(𝑖;𝑗;𝑘)được chọn từ 3 tập trên.
Suy ra số cách chọn bộ(𝑖;𝑗;𝑘)từ 3 tập trên là𝐶4

7.𝐶41.𝐶31 = 7.4.3 =

84cách.

Vậy số phần tử của 𝑆 là 84.

Số các ước cả 43200 không chia hết cho 5 trong tập 𝑆 là số cách
chọn bộ (𝑖;𝑗; 0) từ 3 tập trên suy ra số các ước của 43200 không
chia hết cho 5 trong tập 𝑆 là𝐶1

7.𝐶41 = 7.4 = 28

Từ đó ta có chọn 1 số trong 𝑆 khơng chia hết cho 5 có 28 cách
chọn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Bài 2.4.(Đề thi ĐH khối A năm 2013) Gọi 𝑆 là tập hợp tất cả
các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của 𝑆. Chọn ngẫu nhiên một
số từ 𝑆, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

2.2

Bài toán chọn bi

Bài 2.5.Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên
bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để

trong số bi được chọn khơng đủ cả ba màu

Gợi ý: Số cách chọn ngẫu nhiên 4 bi từ số bi trong hộp là:𝐶₁₈4 =
3060

Số cách chọn 4 bi đủ ba màu từ số bi trong hộp là:

𝐶₅2𝐶₆1𝐶₇1 +𝐶₅1𝐶₆2𝐶₇1+𝐶₅1𝐶₆1𝐶₇2
Số cách chọn 4 viên bi để khơng có đủ 3 màu là:

𝐶₁₈4 −(︀

𝐶₅2𝐶₆1𝐶₇1+𝐶₅1𝐶₆2𝐶₇1+𝐶₅1𝐶₆1𝐶₇2)︀= 1485
Vậy xác suất để trong số bi được chọn khơng có đủ 3 màu là:

𝐶4

18−(𝐶52𝐶61𝐶71+𝐶51𝐶62𝐶71+𝐶51𝐶61𝐶72)

𝐶4
18

= 33

68 ≃48.53%
Bài 2.6.Một bình đựng 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi
vàng. Lẫy ngẫu nhiên từ bình ra 3 viên bi. Tính xác suất để lấy
được 3 viên bi có đủ 3 màu.

Gợi ý: Số phần tử của khơng gian mẫu (số kết quả có thể xảy

ra): 𝐶₉3.

Số cách chọn ba viên bi có đủ 3 màu: 4.3.2 = 24.
Do đó xác suất cần tính là: 𝑃 = 24

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Bài 2.7.Một hộp đựng 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Lẫy ngẫu
nhiên 5 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu,
đồng thời số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau.

Gợi ý: Có 𝐶5

12 = 792cách chọn 5 bi từ hộp 12 bi. Do đó:𝑛(Ω) =

792.

Gọi𝑋 là biến cố: "Trong 5 bi được lấy ra có đủ ba màu, đồng thời
số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau." Ta có các trường hợp sau:

∙ TH1: 1X, 1Đ, 3V: có 𝐶₃1.𝐶₄1.𝐶₅3 = 120 cách chọn.

∙ TH2: 2X, 2Đ, 1V: có 𝐶2

3.𝐶42.𝐶51 = 90 cách chọn.

Suy ra: 𝑛(Ω) = 120 + 90 = 210
Vậy 𝑃(𝑋) = 𝑛(𝑋)

𝑛(Ω) =
35
132.

Bài 2.8.Một hộp đựng 6 bi trắng, 4 bi đỏ và 2 bi xanh. Chọn
ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để chọn được:

a) 3 bi trắng, 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

b) ít nhất 1 bi xanh.

c) mỗi loại ít nhất một bi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

2.3

Bài tốn chọn người

Bài 2.11.Một chi Đồn có 15 Đồn viên trong đó có 7 nam và
8 nữ. Người ta chọn ra 4 người trong chi đồn đó để lập một đội
thanh niên tình nguyện. Tính xác suất để trong 4 người được chọn
có ít nhất một nữ.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu là:|Ω|=𝐶4

15 = 1365.

Gọi 𝐴 là biến cố: "trong 4 người được chọn có ít nhất một nữ".
Số kết quả thuận lợi của biến cố𝐴 là: 𝑛(𝐴) = 𝐶₁₅4 −𝐶₇4 = 1330.
Vậy xác suất cần tính là𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)

𝑛(Ω) =
1330
1365 =

38

39

Bài 2.12.Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên
chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3
học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Gợi ý: 𝑛(Ω) =𝐶3

11= 165.

Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là:𝐶2

5.𝐶61+𝐶51.𝐶62 = 135.

Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
135

165 =
9
11.

Bài 2.13. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng
có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp 𝐴, 4 học sinh lớp 𝐵 và 3 học
sinh lớp 𝐶. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính
xác suất để trong 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp
trên.

Gợi ý: Số cách chọn 4 học sinh có trong 12 học sinh là:𝐶4

12 = 495

cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà khơng có học sinh của q 2 lớp gồm:
TH1: Chỉ có học sinh lớp A: có 𝐶₄5 cách.

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

TH3: Có học sinh lớp A và có học sinh lớp B:𝐶₉4−𝐶₅4−𝐶₄4 cách.
TH4: Có học sinh lớp A và có học sinh lớp C:𝐶4

8 −𝐶54 cách.

TH4: Có học sinh lớp B và có học sinh lớp C: 𝐶4

7 −𝐶44 cách.

Tóm lại là có:𝐶4

9 +𝐶84+𝐶74 −𝐶54−𝐶44 = 225 cách

Vậy xác suất cần tính là: 225
495 =

5
11.

Bài 2.14.[bài tập] Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống
học sinh sinh viên có 8 người tham gia, trong đó có hai bạn Việt
và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng 𝐴 và 𝐵, mỗi
bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc
thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm

chung một bảng đấu.

Bài 2.15.Giải bóng chuyền VTV cup gồm 9 đội bóng tham dự,
trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức
cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C, mỗi bảng
3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác
nhau.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu là: 𝑛(Ω) = 𝐶3

9.𝐶63.𝐶33 =

1680

Gọi𝐴là biến cố "3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau".
Số kết quả thuận lợi cho biến cố 𝐴 là𝑛(𝐴) = 3!.𝐶2

6.𝐶42.𝐶22 = 540.

Vậy xác suất cần tính là:𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)
𝑛(Ω) =

540
1680 =

9
28.

Bài 2.16.Trong một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ.
Nhà trường cần chọn 4 học sinh để thành lập tổ cơng tác tình

nguyện. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Gợi ý: Số phần tử của không gian mẫu: 𝑛(Ω) =𝐶4

25= 12650

Gọi 𝐴 là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. Khi
đó:

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Vậy xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ là𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)

𝑛(Ω) =
443
506.

Bài 2.17. Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 10 học sinh
giỏi, 11 học sinh khá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên
trong lớp học 4 học sinh tham dự trại hè. Tính xác suất để nhóm
học sinh được chọn có đủ học sinh giỏi, học sinh khá và học sinh
trung bình.

Gợi ý: Gọi 𝐴 là biến cố: "4 học sinh được chọn có đủ học sinh
giỏi, học sinh khá và học sinh trung bình"

Số phần tử của khơng gian mẫu: 𝑛(Ω) =𝐶4

33= 40920

Ta có các trường hợp lựa chọn sau:

a) Có 2 học sinh giỏi, 1 học sinh khá và 1 học sinh trung bình. Số
cách chọn là: 𝐶₁₀2 .𝐶₁₁1 .𝐶₁₂1 = 5940

b) Có 1 học sinh giỏi, 2 học sinh khá và 1 học sinh trung bình. Số
cách chọn là: 𝐶₁₀1 .𝐶₁₁2 .𝐶₁₂1 = 6600

c) Có 1 học sinh giỏi, 1 học sinh khá và 2 học sinh trung bình. Số
cách chọn là: 𝐶1

10.𝐶111 .𝐶122 = 7260

Ta được 𝑛(𝐴) = 5940 + 6600 + 7260 = 19800.
Do đó: 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)

𝑛(Ω) =
15
31.

Bài 2.18.Một đội cơng tác xã hội có 6 nam và 6 nữ, trong đó có
2 nam và 2 nữ thuộc tỉnh𝐴, 2 nam và 2 nữ thuộc tỉnh 𝐵, 2 nam
và 2 nữ thuộc tỉnh𝐶. Chọn ngẫu nhiên 6 người từ đội cơng tác xã
hội đó. Tính xác suất để chọn được mỗi tỉnh 2 người gồm 1 nam
và 1 nữ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

a) cùng bước lên một toa.

b) bước lên 2 toa.

c) bước lên 3 toa.

2.4

Bài tốn kiểm tra

Bài 2.20.Trong kì thi TN THPT, Bình làm đề thi trắc nghiệm
mơn Hóa học. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án
trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu
được 0,2 điểm. Bình trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45
câu; 5 câu còn lại Bình chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để điểm
thi mơn Hóa học của Bình khơng dưới 9,5 điểm.

Gợi ý: Bạn Bình được khơng dưới 9,5 điểm khi và chỉ khi trong
5 câu trả lời ngẫu nhiên Bình trả lời đúng ít nhất 3 câu.

Xác suất trả lời đúng một câu hỏi là 0,25, trả lời sai là 0,75.
Xác suất Bình trả lời đúng 3 câu trên 5 câu là𝐶3

5.(0,25)3.(0,75)2;

Xác suất Bình trả lời đúng 4 câu trên 5 câu là 𝐶4

5.(0,25)4.(0,75);

Xác suất Bình trả lời đúng 5 câu trên 5 câu là 𝐶5

5.(0,25)5;

Vậy xác suất Bình được khơng dưới 9,5 điểm là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Gợi ý: Ta có: 𝑛(Ω) =𝐶3

40= 9880

Gọi 𝐴 là biến cố có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi nằm trong số 20
câu hỏi mà học sinh đã học.

TH1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi mà học sinh đã học: có𝐶₂₀2 𝐶₂₀1
cách.

TH2: Trong đề thi có đúng 3 câu hỏi mà học sinh đã học: có𝐶3
20

cách

⇒𝑛(𝐴) = 𝐶2

20𝐶201 +𝐶203 = 1330

Vậy xác suất cần tìm là:𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴)
𝑛(Ω) =

1330
9880 =

7
52.

Bài 2.22.Trong cụm thi để xét cơng nhận tốt nghiệp THPT thí
sinh phải thi 4 mơn trong đó có 3 mơn bắt buộc là Tốn, Văn,
Ngoại ngữ và một mơn do thí sinh tự chọn trong số các mơn: Vật
lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh

đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn mơn vật lí và 20 học
sinh chọn mơn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của
trường X, tính xác suất để trong 3 học sinh đó ln có học sinh
chọn mơn Vật lí và học sinh chọn mơn Hóa học.

Gợi ý: Số phần tử của khơng gian mẫu là:𝑛(Ω) =𝐶₄₀3 .

Gọi 𝐴 là biến cố: "3 học sinh được chọn ln có học sinh chọn
mơn Vật lí và học sinh chọn mơn Hóa học".

Số phần tử của biến cố𝐴là:𝑛(𝐴) =𝐶1

10.𝐶202 +𝐶102 .𝐶201 +𝐶201 .𝐶101 .𝐶101

Vậy xác suất để xảy ra biến cố 𝐴 là:

𝑃𝐴= 𝑛𝐴
𝑛Ω

= 𝐶

1

10.𝐶202 +𝐶102 .𝐶201 +𝐶201 .𝐶101 .𝐶101

𝐶3
40

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Hãy nhớ:

Việc học như một con thuyền đi ngược, khơng tiến thì ắt sẽ lùi.

</div>

<!--links-->