sách đại số đại cương của thầy nguyễn viết đông – trường đh khtn tphcm bạn cũng làm được như tôi

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài 2.3: Giải phương trình:

 

 

Thế vào , ta được:
Thế vào , ta được:

 

 
=> 2|27 (Vô lý)

Vậy pt vô nghiệm

 

 

 

 

 

 

 

Thế vào , ta được:
Thế vào , ta được:

Bài 2.7: Cho R là một vành tùy ý

<i>Với </i> <i>, tập hợp </i> <i> được gọi là tâm hóa tử của </i> <i>. C/m </i> <i> là một vành </i>

<i>con của   có chứa </i> <i>. </i>

<i><b>Gi</b><b>ả</b><b>i: </b></i>

vì có phần tử đơn vị
(hiển nhiên)

Cần c/m
Ta có:

Suy ra là vành con của có chứa (đpcm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Gi</b><b>ả</b><b>i: </b></i>

C/m <i> là một vành con của R: c/m tương tự câu a </i>
Cụ thể:

vì có phần tử đơn vị
(hiển nhiên)

Cần c/m
Ta có:

Ta suy ra <i> là một vành con của R</i>

<i>    </i> C/m hốn:<i> </i>

Ta có: <i>   </i>

Chọn

Vậy là vành con giao hốn của R
<i>Tìm tâm của vành </i> <i> </i>

Gọi A là một ma trận thuộc  
với mọi thuộc

Thay

=

với mọi
là ma trận đường chéo
Thay

 
 

Bài 2.11

a) Ta có: IJ vì IJ
Đặt

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Với ta có:

Vậy IJ là một ideal của X

b) IJ =

=

=
=

Trong đó các hi có dạng tích kili. Từ đẳng thức trên suy ra IJ là tập con của mnZ, hơn nữa với
mọi số nguyên có dạng mnl, chọn q = 1, ki = 1, li = l ta được mnl thuộc IJ. Vậy IJ = mnZ.
Bài 2.15:

a) Cm : I = Ann(a)={ x thuộc R : ax = 0 } là 1 ideal của R
Với x = 0 thì a0 = 0 => 0 thuộc I.

Lấy u và v thuộc I thì au = av = 0.

Ta có a( u - v) = au - av = 0 => u - v thuộc I

Với r thuộc R ta có a(ru) = a(ur) = (au)r = 0 => ur và ru thuộc I ( do I giao hoán)
=> I là ideal của R

b) Tìm Ann(4) trong vành Z
Ta có 4x = 0 ( mod 32)
<=> x = 0 ( mod 8 )

=> x= 8 , x = _ 16 , x=__ 24 , hoặc x = __ 0 . _
Bài 2.19 :

Cm I = { x thuộc R : f(x)= x} là vành con của R
Vì f(0) = 0 => I khác rỗng

Lấy a thuộc I => f(a) = a
và b thuộc I => f(b) =b

Ta có f( a - b ) = f (a) + f(-b) = a - b
f (ab) = f(a)f(b)= ab

Vậy I là vành con của R
Bài 2.23:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

+ C chứa Q( )

+ Với mọi x,y thuộc Q( ), ta có x=a+b và y=c+d

Ta có: x-y = (a-c)+ (b-d) => x-y thuộc Q( (vì a-c thuộc Q và b-d thuộc Q)
với y=c+d khác 0, ta cm: c-d khác 0

Giả sử c-d = 0 => c=0 và d=0 =>c+d =0(trái giả thiết)
=> c-d khác 0

Ta có: xy-1 =

=

=

=

+

vì thuộc Q và thuộc Q

Ö xy-1 thuộc Q( )

Vậy Q( ) là trường con của C
CM : Q(i) là trường con của C
+ Q(i) khác rỗng vì 0 thuộc Q(i)
+ C chứa Q(i)

+ Với mọi x,y thuộc Q(i), ta có x=a+bi và y=c+di

Ta có: x-y=(a-c)+i(b-d) thuộc Q(i) vì a-c thuộc Q và b-d thuộc Q
với y=c+di khác 0, ta cm: c-di khác 0

giả sử: c-di = 0 => c=0 và d=0 => c+di =0 ( trái với giả thiết)
=> c-di khác 0

Ta có: xy-1 =

=

=

=

=

+ i

thuộc Q

Vì thuộc Q và

 

Vậy Q(i) là trường con của C

<b>b) </b> CM: Q(i) và Q( ) không đẳng cấu với nhau

Giả sử Q(i) và Q( ) đẳng cấu với nhau => tồn tại một đẳng cấu f: Q(i) Ỉ Q( )
Đặt f(i) = a ( a thuộc Q( ) )

Ta có: f(i*i) = f(i) * f(i) = a2
f(i*i) = f(-1) = -f(1) = -1

=>a2= -1=> a=i, hoặc a = -i => a không thuộc Q( )
=> khơng tồn tại f: Q(i) Ỉ Q( )

=> Q(i) Q( )

<b>c) </b> TÌM TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG CON CỦA Q( )

Ta có: Q là trường con của Q( )

Ta cm: Nếu K là trường con của Q( ) thì K=Q hoặc K= Q( )
Ta có 1 thuộc K nên với mọi n nguyên dương : n=1+1+…+1(n lần)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Với mọi số hữu tỉ thuộc Q có dạng rs-1 ( với r thuộc Z và s thuộc N*), ta có r thuộc K và s-1 thuộc
K

=>rs-1 thuộc K
=> K chứa Q

Xét không thuộc K: giả sử K Q

=> tồn tại 1 phần tử x=a+b thuộc K, mà a thuộc Q, b thuộc Q
=> thuộc K(trái giả thiết)

=>K = Q

Xét thuộc K:

Với mọi x thuộc Q( ) có dạng: x=a+b

Ta có: => x thuộc K

Vậy K chứa Q( ), mà Q( ) chứa K => K= Q( )
Vậy Q( ) có 2 trường con là Q và Q( )

TÌM TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG CON CỦA Q(i)
Ta có: Q là trường con của Q(i)

Ta cm: Nếu K là trường con của Q(i) thì K=Q hoặc K= Q(i)
Xét i không thuộc K: giả sử K Q

=> tồn tại 1 phần tử x=a+bi thuộc K, mà a thuộc Q, b thuộc Q
=> i thuộc K(trái giả thiết)

=>K = Q
Xét i thuộc K:

Ta có 1 thuộc K nên với mọi n nguyên dương : n=1+1+…+1(n lần)
=> n thuộc K => -n thuộc K và n-1 thuộc K

Với mọi x thuộc Q(i) có dạng: x=a+bi
Ta có: => x thuộc K
Vậy K chứa Q(i), mà Q(i) chứa K => K= Q(i)
Vậy Q(i) có 2 trường con là Q và Q(i)

<b>d) CM: A={a+b</b> +c |a,b,c thuộc Q} là trường con của C
+ A khác rỗng vì 0 thuộc A

+ C chứa A

+Với mọi x,y thuộc A có dạng x= a+b +c và y=d+e +f

Ta có: x+y= (a+d)+(b+e) +(c+f) thuộc A vì (a+d) thuộc Q,(b+e) thuộc Q,(c+f) thuộc Q
Ta có:-x= -a+(-b) +(-c) thuộc A vì –a thuộc Q, -b thuộc Q, -c thuộc Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

vì (ad+2bf+2ce) thuộc Q, (ae+bd+2cf) thuộc Q, (af+be+cd) thuộc Q
Ta cần cm: tồn tại x-1 = i+j +k thuộc A với x khác 0.

Ư tìm i,j,k thuộc Q sao cho xx-1=1

Ö (a+b +c )( i+j +k )=1

Ö ai+aj +ak +bi +bj +2bk+ ci+2cj+2 ck=1

Ö (ai+2bk+2cj-1) + (aj+bi+2ck)+ (ak+bj+ci)=0

Chọn i,j,k sao cho (*)

Ta cần cm: hệ (*) có nghiệm i,k,l

Ö det( )

Ö a3+4c3+2b3-6abc 0

Đặt r = a, 3 ₂_{b = s,}3 ₄_{c = t. Khi đó nếu a}3_+4c3_+2b3_{-6abc = 0 thì r}3 _{+ s}3_{+ t}3_{= 3rst nên r = s = t}
hoặc r + r + t = 0, do giả thiết x = r + s + t khác 0 nên r = s = t, mà r thuộc Q, 3 ₂_{không thuộc Q,}
nên r = s = t = 0, hay x = 0 mâu thuẫn.

Vậy a3+4c3+2b3-6abc 0 do đó phần tử nghịch đảo của x cũng thuộc A. A là trường con của R.
Bài 2.27:

<b>(a)=>(b) </b>

Ta có: {0} là ideal của R

Ta cm: nếu I là một ideal của R và I {0} thì I=R

Vì R là một trường nên mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch

Ư trong I tồn tại ít nhất một phần tử khả nghịch

Ö I=R
<b>(b)=>(c) </b>

Gọi f là đồng cấu vành từ R vào một vành bất kì
Ta có: Ker f là ideal của R

Ö Ker f = {0} hay Ker f = R
+Với Ker f = {0} => f là đơn cấu

+Với Ker f = R => với mọi r thuộc R, f(r)=0 => f là đồng cấu 0

Vậy mọi đồng cấu vành từ R vào 1 vành bất kì hoặc là đồng cấu 0 hoặc là đơn cấu
<b>(c)=>(a) </b>

Ta chỉ cần cm thêm tính chất mọi phần tử trong R đều có phần tử khả nghịch => R là trường
Ta chứng minh một kết quả quan trọng mọi ideal I của R đều là Ker của một đồng cấu vành nào
đó từ R.

Xét ánh xạ f: RỈ R/I

Với f(x)=x+I, với mọi x thuộc R
+CM: f là đồng cấu vành

f(x+y) = x + y + I = (x+I)+ (y+I) = f(x)+f(y)
f(xy) = xy+I = (x+I)(y+I) = f(x)f(y)

+ Ker (f) = I. Thật vậy f(x) = I khi và chỉ khi x + I = I khi và chỉ khi x thuộc I.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Gọi f là đồng cấu vành sao cho Ker(f) = I dĩ nhiên Ker f khác { 0 } nên f không là đơn cấu, theo
giả thiết thì f là đồng cấu 0, tức là I = R, vậy tồn tại x’ thuộc R sao cho xx’ = 1, suy ra x khả
nghịch.

Vậy R là một trường.
Bài 2.31:

Xét trường F.

Ta biết tùy theo char F bằng 0 hay khác 0 mà F có một trường con T đẳng cấu với Q hoặc Zp với
p nguyên tố.

Ta cm là Q và Zp với p ngun tố khơng có trường con thực sự nào.

Q: gọi H là trường con của Q, suy ra 1 thuộc H, do đó m thuộc H với m thuộc Z, nên n-1 thuộc H
với n thuộc Z*, vậy mn-1 thuộc H, hay H bằng Q.

Zp: gọi H là trường con của Zp, suy ra 1 thuộc H, nên _ <i>n</i>_ thuộc H với mọi n, do đó H bằng Zp.
Do T đẳng cấu với Q hoặc Zpnên trường con thực sự của T qua phép đẳng cấu cũng là trường
con thực sự của Q hoặc Zpvậy T khơng có trường con thực sự nào.

Vậy T là trường cực tiểu theo quan hệ bao hàm.
Bài 2.35:

Gọi f là đồng cấu trường từ trường F vào trường F’. Khi đó f có thể là đồng cấu không, nên ta chỉ
xét trường hợp đồng cấu khơng tầm thường.. Khi đó tồn tại x thuộc F sao cho f(x) khác 0.

Ta có f(1.x) = f(x).1=f(x).f(1), giản ước cho f(x) ta được f(1) = 1.
Vậy f(0) = 0; f(1) = 1.

a) Nếu F là Q: với m, n thuộc Z và n khác 0, ta có f(1) = 1, nên f(m) = m,
f(n) = n, nên f(mn-1) = mn-1. Vậy f chính là ánh xạ đồng nhất.

b) Nếu F là Q( 2) thì để ý là giống như ánh xạ tuyến tính được xác định khi ta xác định f trên
một cơ sở của khơng gian vecto đó, ở đây ta nhận thấy có thể xem cơ sở của Q( 2) là 1 và 2.

Đặt x = f( 2) khi đó x2 = f(2) = 2, nên x = 2 hoặc x = - 2.
Nếu x = 2 thì cũng từ câu a, ta suy ra f(a) = a với mọi số hữu tỉ a,
nên f( a + b 2) = a + b 2.

Vậy f là ánh xạ đồng nhất.

Nếu x = - 2 thì f( a + b 2) = a - b 2. Kiểm tra được f là đồng cấu vành.

c) Nếu F là Q(i): hồn tồn tương tự câu b, ta có f(i) = i hoặc f(i) = -i do đó có 2 đồng cấu không
tầm thường là f(x) = x với mọi x, hoặc f(x) = <i>x</i>_trong đó <i>x</i>_ là số phức liên hợp của x.

d) Nếu F là R: ta có theo câu a, f(x) = x, với mọi x thuộc Q.

Với mọi số thực x > 0 thì f(x) = f2( <i>x</i>), hơn nữa mọi đồng cấu trường không tầm thường đều là
đơn cấu nên f(x) >0.

Xét x, y thuộc R sao cho x > y thì f(x) – f(y) = f(x – y) > 0
Suy ra f là hàm số tăng trên R.

Khi này với mọi số thực x, xét dãy số hữu tỉ (an) và (bn) tiến tới x với an < x < bn.

Khi đó f(an) < f(x) < f(bn) với mọi n, hay an < f(x) < bn (*) với mọi n, cho n tiến tới vô cùng, bdt
bên trái của (*) suy ra x ≤ f(x), bdt ở vế phải của (*) suy ra f(x) ≤ x.

Vậy f(x) = x với mọi số thực x.
Vậy f là ánh xạ đồng nhất.

e) Nếu F là C sao cho f(x) = x với mọi x thuộc R.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8></div>

<!--links-->