tài liệu xstk lớp k55def mã lớp 191192193 nguyenvantien0405

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.32 MB, 85 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Qui luật phân phối

xác suất thường gặp

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phân phối chuẩn N(



,



)

• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn với

tham số  và 2 nếu hàm mật độ của nó có dạng:

• Ký hiệu: X ~ N(, 2)

• Là ppxs của bnn liên tục

 2

1 ( )

,

2

x

f x

e

x R











</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đồ thị hàm mật độ






 

 

 

2
2

1
)

2
(

x

f x e



 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tính chất





 

~ ,

)
)

Nếu X N thì:

i E X Var X

ii ModX MedX

 

 

 






 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phân phối chuẩn tắc

• Standard Normal Distribution

• Là bnn có pp chuẩn với trung bình là 0 là 
phương sai là 1.

• Ký hiệu X ~ N(0, 1) ta có:

 

1

2

x

f x

e



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chuẩn hóa bnn

• Ta có:









~ , ~ 0,1 .

Nếu X N   thì: Z X  N










  





  

    

 

         

 

a X b

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Xác suất N(



,



)

• Cho X ~ N(, 2) ta có:

• Với:

• Là tích phân Laplace





b a

P a X b    

 

 

   

       

   

 

2/2

1

2

z

x

z

e

dx







</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Tính chất của hàm (x)





 









 

)

) 0,5 0,5

) 0,5 5

i z z

ii

iii z khi z

 
 

 
    
 
z

 

2/2

1
2

z

x

z e dx







</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Xác suất của N(μ;σ

)

• Giá trị của tích phân Laplace dị trong bảng Phụ lục

2.
•





















1)
2) 0,5
3) 0,5
b a

P a X b

a a

P X a

b b

P X b

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tính chất pp chuẩn

• Nếu a, b là các số thực thì:

• Tổ hợp tuyến tính của các bnn độc lập có phân 
phối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn.













1 1 1

1 2
2

2 2 2

;
?;?
;
 
 


  







X N

Z aX bX N

X N



 ; 2



  



  ;







 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ví dụ 1

• Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xác 
suất X>2Y.
• Giải.





























~ 3;1

2 ~ 1.3 2.4;1.1 4.2
~ 4;2

0 5

2 2 0 0,5

3
0,5 1,67 0,0475

X N

X Y N

Y N

P X Y P X Y 

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giá trị tới hạn Z

α

• Giá trị tới hạn chuẩn mức α ( là số thực ký hiệu 
Zα sao cho với Z~N(0;1) thì:

• Chú ý:

•





P Z  Z 

0 1

0,5 0 1

Z Z

Z Z  Z

  
 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Quy tắc k sigma









 





 





 





 

1. 2 1 0,6826

2. 2 2 2 0,9544

3. 3 2 3 0,9974

4. 4 4 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ 3

Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ
tại một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5
phút?

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ 4

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Phân phối Khi bình phương

• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n 
bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Ký hiệu:

• Là trường hợp riêng của pp Gamma.

 

1
2 2
2
1
, 0
2
2

0 , 0

n x

n x e x

n

f x
x





  
   
 

 


 

~

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Quan hệ với pp N(0,1)

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối 
N(0,1).

• Khi đó:

 

2 2

~

n

i
i

X



n









~

0,1

i

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Phân phối Khi bình phương

• Nếu X~χ2(n) thì

• Đồ thị:

 



;

ar

 



2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Đồ thị hàm mật độ Khi BP

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đồ thị hàm mật độ

• Khi n=30, vẽ trên đoạn từ 7 đến 53 (trong 
khoảng 3 độ lệch chuẩn)

 

30

2

60 7 74



 







,

E X

n

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Tính chất X~



(n)

 





2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

) ~ ; ~

Nếu và độc lập thì:

a X n X n

X n n

 



 

 





) ~ 0,1

Nếu thì F

n

X n

b X n N

n

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Kết quả hay dùng trong Thống kê

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân 
phối chuẩn.

• Khi đó:

 

2
2
1

~

n
i
i

X

n





























~

,

i

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Kết quả hay dùng trong Thống kê

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân 
phối chuẩn.

• Khi đó:





2
2
1

~

1

n
i
i

X

n

































2
1 2

~

,

1 ...

i
n

X

N

X

n

 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Giá trị tới hạn

(n;

α)

• Giá trị tới hạn mức α ( là số thực ký hiệu 2(n;)

sao cho với Z~ 2(n) thì:
•







2 n;



P Z    

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26></div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ví dụ 5

• Cho

• Tìm các xác suất sau:





20





Z

















)

0,95

20;0,95

)

8,2604

?

) 10,8508

31,4104

?

a P Z

a

hay

b P Z

c P

Z











</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Phân phối Student t(n)

• Kí hiệu: X ~ t(n)

• Bnn X gọi là có phân phối Student với n bậc tự 
do nếu hàm mật độ có dạng:

 

 1

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Quan hệ với Chuẩn và Khi BP

• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Khi đó:





 

~

0,1 ;

~

X

N

Y



n

 

~



X



X n

T

t n

Y

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Tính chất

 





 









Neu ~ thì:

) 0 1 ;

) 2 .

) n F 0,1

T t n

a E T n

n

b V T n

n

c T   N

 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31></div>
(32)<div class='page_container' data-page=32></div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Giá trị tới hạn

• Giá trị tới hạn mức α ( là số thực ký hiệu sao

cho với Z~ (n) thì:

•

 



Z t

n;



P









   

     

 

;0 ;1

;0,5 ;1 ;

;

n n

n n n

n
n

t t

t t t

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ví dụ 6

• Cho

• Tìm các giá trị tới hạn và xác suất sau:

 

15 Z



t





 













 
15;0,025
15;0,975

)

0,025

?

)

2,602

?

)

2,0343

2,9467

?

)

0,975

?

a

P Z

a

hay t

b

P Z

c

P

Z

d

P Z b

hay t













</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Phân phối Fisher - Snedecor

• Ta định nghĩa thơng qua phân phối Khi bình phương.
• Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Đặt:

• Ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc

tự do.

 

2 2

~

;

~

X



n

Y



m





/

~

;

/

X n

mX

F

F n m

Y m

nY

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Đồ thị hàm mật độ

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38></div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Đồ thị hàm mật độ



,



mF



1,0



n

F n m

 

N

 

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Tính chất

• Cho X~F(n,m) thì:

 





 







 







2
2

,

2 ,

4

2

4 m

E X

m

m n m

V X

m

n m

m



















,



mF



1,0



n

F n m

 

N

 

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Giá trị tới hạn phân phối Fisher

• Giá trị tới hạn mức α ( là số thực ký hiệu hay 
sao cho với F~ (n,m) thì:

• Tính chất:

•







, ,



P F  f n m  

( , ,1 ) 1
, ,

( )

f n m



</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42></div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Ví dụ 7

• Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho:













)

0,05

)

0,01

)

0,95

a P F

a

b P F b

a P F c









</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Ví dụ 8

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Ví dụ

• Cho các bnn

• Giả sử các bnn độc lập nhau. Tính xác suất:









1 ~

0;

1,5 ;

~

0;

1,11

3

4

i j

X

N









i



Y

N









j











5 11

2 2

1 1

3

i

2

j

i j

P

X

Y

 











</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Phân phối Nhị thức (Binomial)

Định nghĩa:

bnn X gọi là phân phối theo

qui luật Nhị thức nếu

• X={0,1,2,3…n}

• Với xác suất tương ứng là:

• Kí hiệu:

X~B(n,p)





nk k n k

P X

k

C p q



</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Q trình Bernoulli

• Dãy n phép thử độc lập

• Trong mỗi phép thử bc A xuất hiện với xác

suất không đổi.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Mô hình Nhị thức

Đặt X là số lần bc A xuất hiện trong quá trình
Bernoulli gồm n phép thử.

Khi đó: X~B(n,p)

Chú ý:

Gọi Y là số lần A khơng xuất hiện trong q trình
Bernoulli

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Thường gặp

• Khi điều tra tỷ lệ hỏng trong một dây chuyền 
sản xuất.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Tham số đặc trưng

• Cho bnn X~B(n,p). Ta có:

 









)

1 i

E X

np

ii VX

npq

iii n

p

ModX

n

p



</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Ví dụ 9

• Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khi 
điều trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Nếu
15 người đồng ý chữa trị thì xác suất:

• A) Có ít nhất 10 người khỏi
• B) Có từ 3 đến 8 người khỏi
• C) Có đúng 5 người khỏi

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Ví dụ 10

• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiết bị

điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị hư
hỏng của loại thiết bị này là 3%.

a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô
hàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bị hỏng
là bao nhiêu?

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Ví dụ 11

• Có giả thiết cho rằng 30% các giếng nước ở vùng

nông thơn có tạp chất. Để có thể tìm hiểu kỹ hơn
người ta đi xét nghiệm một số giếng (vì khơng đủ
tiền xét nghiệm hết).

• A) Giả sử giả thiết trên đúng, tính xác suất có

đúng 3 giếng có tạp chất.

• B) Xác suất có nhiều hơn 3 giếng có tạp chất?

• C) Giả sử trong 10 giếng đã kiểm tra thì có 6 giếng

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Phân phối Khơng – một

• Là phân phối Nhị thức với n=1, hay B(1;p)
• Ký hiệu khác: X~A(p)

• Cịn gọi là phân phối Bernoulli.

• Bảng ppxs:

X 0 1

P q p

 

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Tính chất

Cho X1, X2 là hai bnn độc lập.
Giả sử:

Khi đó:

Hệ quả: Tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập, có 
cùng pp A(p) là bnn có pp B(n,p)









1 1

p

2 2

X



B

n

, ;

X



B n

,

p





1 2 1 2

X



X



B n



n

,

p

 

 







  ,

n

i i

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Ví dụ 12

• Hai đội A và B tham gia đấu giải với nhau và đội 
nào đạt 4 trận thắng trước là đội chiến thắng cả
giải. Xác suất đội A thắng một trận đấu bất kỳ
đều là p và giả sử rằng các trận đấu đều độc lập
nhau.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Phân phối Siêu bội

Định nghĩa: Bnn X gọi là phân phối theo qui luật
siêu bội nếu:

• X là số nguyên

• Với xác suất tương ứng là:

• Kí hiệu: X~H(N,NA,n)





A

.

A

k n k

N N N

n
N

C C

P X

k

C




</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Xét tập hợp có N phần tử.

Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Lấy ngẫu nhiên n phần
tử, khơng hồn lại.

X: số phần tử có t/c A trong n phần tử đã lấy.

Mơ hình siêu bội

Tính chất A

A

N

A

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Ta có:

Tổng qt:

Mơ hình siêu bội





A A ~



, ,



k n k

N N N

A
n

N

C C

P X k X H N N n

C




  





min ,





</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Các tham số

Cho bnn X~H(N,N

A

,n) ta có:

Trong đó:

 

;

 

1 N n

E X

np

V X

npq

N







;

1

A

N

p

q

p

N

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Ví dụ 13

• Một sọt có 30 trái cam trong đó có 5 trái bị 
hỏng

• A) Tính xs trong 4 trái cam mua ngẫu nhiên từ 
sọt có 3 trái khơng hỏng

• B) Tính xs trong 10 trái cam mua ngẫu nhiên từ 
sọt có 6 trái khơng hỏng

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Ví dụ 14

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

ModX

• Ta có:

• Với

• Cơng thức trên cho ta khoảng chứa ModX.

0 0

1 k



ModX



k





 



1 1

1
2

A

N n

k

N

 

 

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Ví dụ 15

Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5
bóng hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3
bóng. Gọi X là số bóng hỏng người đó mua
phải.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Ví dụ 16

Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế
phẩm trong 4 sp.

a) Luật phân phối xác suất của X.
b) Tính E(X), Var

(

X)?

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội

n<<N

N>20n





~

,

X

B n p





~

,

A

,

X

H N N n





A A

k n k

N N N k k n k

n
n

N

C C

P X k C p q

C



 

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Ví dụ 17

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Phân phối Poisson

• X: số lần một sự kiện xh trong 1 khoảng thời 
gian (khơng gian)

• X=0,1,2,…

• X có thể là bnn Poisson
• Ví dụ:

• Số lỗi sai trên 1 trang in

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Phân phối Poisson P(

λ)

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật
Poisson P(λ) nếu

• X={0,1,2,3…}

• Với xác suất tương ứng là:

• X~

(

)

.

!

k

P X

k

e

k





</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Điều kiện

• X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục.

• X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với tham số 
λ > 0 nếu:

• (1) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng 
rời nhau là độc lập.

• (2) Xác suất có đúng 1 sự kiện xh trong 1 
khoảng ngắn h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n.
• (3) Xác suất có đúng 2 hoặc nhiều hơn hai sự

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Hàm mật độ

• Cơng thức

• Lấy giới hạn

(

)

1

k n k

k
n

P X

k

C

n







 







 







 



lim 1

1 2 1

lim 1 1 1 1 1

k n k
k
n
n
n k
k
n
k
C
n n
k

k n n n n n

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Các tham số và tính chất

• Cho X~ P(λ). Ta có:

• X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~ P(λ2).

Ta có:

 

)

1 i

E X

ii V X

iii

ModX





 

















</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Tham số đặc trưng

• Xét tỷ lệ P(X=k+1) và P(X=k) ta có:

• Vậy





















1
1 1
1
1
1 1
k
k
e

P X k k

k

P X k

e

k

P X k

k

P X k

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Một số ví dụ

• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi

phút.

• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗi

phút.

• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời

gian xác định.

• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy.

• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi

đơn vị độ dài của một con đường.

• Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích rừng

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Ví dụ 18

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1
giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác
suất trong 1 giờ có

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Ví dụ 19

Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc
gọi trong một giờ. Tính xác suất:

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Ví dụ 20

• Gà mẹ ấp n quả trứng. Xác suất mỗi quả trứng 
nở ra gà con là p (độc lập nhau).

• Xác suất mỗi gà con sống được r (độc lập nhau)
• a) PPXS của số gà con nở ra là?

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Ví dụ 21

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Xấp xỉ xác suất

n<<N

n rất lớn

p rất nhỏ n rất lớn

p rất lớn





~

,

X

B n p

 

~

.

X

P

n p









~

,

A

,

X

H N N n

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Xấp xỉ pp chuẩn

n rất lớn

0,1<p<0,9





~

,

X

N

 





~

,

X

B n p

 

E X

np

V X

npq

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Cơng thức xấp xỉ

• Cho 
•





 





2/2
2 1
1 2
1 1
) ;
2
0,5 0,5
)
x
k np

i P X k f f x e

npq npq

k np k np

ii P k X k

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)

• Cho bnn X có phân phối Poisson

• Ta chứng minh được:

• Trong thực hành, ta xấp xỉ được khi Nghĩa là:

•





~

0,1

X

N

khi





 

 

~ ? ?

X P   E X  V X 



0,1



~

 

,

20 X

N

khi X

P



 





</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Ví dụ 22

• Trọng lượng các viên thuốc có phân phối chuẩn 
với kỳ vọng 250mg và phương sai 81 mg2.
Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Một
vỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn khi có trọng
lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì).
Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xác
suất:

• A. Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn.

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Ví dụ 23

• Khảo sát một lơ thuốc viên, trọng lượng trung bình

của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn
4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.

• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260

mg.

• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ

hơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Bài tập chương 3

• 3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16
• 3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38

</div>

tài liệu xstk lớp k55def mã lớp 191192193 nguyenvantien0405

<b>Qui luật phân phối </b>

<b>xác suất thường gặp</b>

Phân phối chuẩn N(



,



)

1

( )

,

2

<i>f x</i>

<i>e</i>

<i>x R</i>





Đồ thị hàm mật độ

Tính chất





 

 

Phân phối chuẩn tắc

 

1

2

<i>f x</i>

<i>e</i>



Chuẩn hóa bnn

















Xác suất N(



,



)





 

1

2

<i>z</i>

<i>e</i>

<i>dx</i>





Tính chất của hàm (x)





 









 

 

Xác suất của N(μ;σ

<sub>)</sub>





















Tính chất pp chuẩn





