Một số tài liệu Toán hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

H

uỳ

nh

V

ăn

Q

uy

Phương pháp cân bằng khi giải toán hình học

Phương pháp cân bằng là gì? Đó là phương pháp biểu thị

một trong các đại lượng (không phải là đại lượng phải tìm) bằng
hai cách dựa theo giả thiết của bài tốn hình học, trong đó có đại
lượng phải tìm, sau đó cân bằng hai biểu thức này của đại lượng
trung gian để tìm được đại lượng chưa biết.

Hãy xét một số ví dụ sau đây:

1

Tìm đường cao của một tam giác

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn mà hai cạnh là a, b và Cb = α.

Tìm đường cao C H.

Đại lượng trung gian ở đây là diện tích tam giác. Thật vậy ta hãy
biểu thị diện tích bằng hai cách: S = 1

2absinα và S =

1

2AB.C H
Theo định lí hàm số cơsin ta có:

AB = √a2 ₊ b2₋₂abcosα

Dùng phương pháp cân bằng hai biểu
thức của S ta có:

absinα = C H.√a2 + b2 ₋2abcosα

Suy ra C H = _√ absinα

a2 ₊ b2₋₂abcosα

a
b

b

A

b

B

b

C

b

H

α

Lưu ý thêm rằng nếu α = 90◦ thì ta có C H = _√ ab

a2 ₊b2

2

Tìm góc của một tam giác

Tìm các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao C H và trung

tuyến C M chia góc C thành ba góc bằng nhau.

Ở đây ta hãy cân bằng hai biểu thức về AM và BM.

Thật vậy, đặt AC H\ = M C H\ = BC M\ = x và C H = h (tham số

phụ) ta có:

H A = htanx, M H = htanx, AM = 2htanx (1)

Do BM = BH ₋M H nên BM = htan 2x₋htanx (2)

Cân bằng (1) và (2) được phương trình:

2htanx = htan 2x₋htanx

Thay tan 2x = 2 tanx

1₋tan2x rồi giải phương

trình đối với ẩn là tanx ta được:

tanx =

√

3

3 tức x = 30

◦

x
x
x

b

A

bC

b B

b

M

b

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

H

uỳ

nh

V

ăn

Q

uy

Vậy tam giác ABC có các góc là Ab= 60◦, Bb = 30◦, Cb = 90◦
Lưu ý rằng ta có thể giải bài tốn này bằng cách dùng đại lượng
trung gian là diện tích tam giác ABC.

3

Tìm góc ở đỉnh của một hình chóp đều

Tìm góc phẳng ở đỉnh của một hình chóp tứ giác đều biết rằng góc
này bằng góc tạo với cạnh bên của hình chóp với mặt phẳng đáy.
Đặt SAO[ = ASD[ = x trong hình chóp

đều SABC D mà tâm của đáy là O.

Ta hãy biểu thị cạnh bên SA bằng hai

cách:

Gọi AB = a (tham số phụ)

Từ tam giác SOA ta có:
SA = OA

cosx =

a√2

2 cosx

x
x

b

A

b

B

b

C _b D

b

S

b

F

b M

Xét tam giácSAM trong đóM là trung điểm của cạnhAD (như

thế SM_⊥AD) ta có: SA = a

2 sin x

2

Cân bằng hai biểu thức của SA được: a

√

2

2 cosx =

a

2 sinx

2

Thay sinx

2 =

r

1₋cosx

2 ta có phương trình bậc hai

cos2x+ cosx₋1 = 0

Giải ra được cosx =

√

5₋1

√

2 , từ đó

x _≈39◦.

4

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

Cho lăng trụ tam giác có hai mặt bên AA0B0B và AA0C0C vng

góc với nhau và là hai hình vng cạnh m. Tìm khoảng cách giữa

hai đường chéo AC0 và BA0 của hai mặt bên đó.

Để xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC0

và BA0 qua điểm A0 trong mặt bên AA0C0C ta kẻ đường thẳng A0D

song song với đường thẳng AC0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

H

uỳ

nh

V

ăn

Q

uy

Thế thì đường thẳng AC0 song song với mặt phẳng A0BD, tức

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng AC0 đến mặt

phẳng A0BD bằng khoảng cách phải tìm giữa AC0 và BA0.

Ta tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt

phẳng A0BD. Khoảng cách này chính là

đường cao hạ từ đỉnh A của lăng trụ đã

cho tới đáy A0BD. Gọi khoảng cách này là
x rồi xét tam giác đều A0DB có cạnh bằng
a√2. Ta có diện tích tam giác A0BD bằng

a2√3
2

x

b

A0

b

B0

bC

0

b C

b

B

b

A

b

Dbb b

F

b

b

b

b

O

Bây giờ ta biểu thị bằng hai cách thể tích của lăng trụ:

V = 1

3.dt4A

0_BD.x ₌ 1

6a

2√₃_.x

V = 1

3.dt4ABD.AA

0 ₌ 1

6a

2_.

Cân bằng hai biểu thức này của V ta được phương trình √3.x =

a. Từ đó x = a

√

3

3 .

Tài liệu được trích từ "Trăm lẻ một chuyện lí thú về Tốn" của
tác giả Lê Hải Châu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

H

uỳ

nh

V

ăn

Q

uy

H

ìn

h

1:

K

ỷ

ni

ệm

th

ực

tậ

p

ở

tr

ườ

ng

cấ

p

3

Đ

ồn

g

H

ới

</div>

<!--links-->