Tài liệu CAC CHUYEN DE LTDH CO GIAI

BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
Chuyªn ®Ị I
TÍCH PHÂN & CÁC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TÝch ph©n
I.C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
1. TÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa ,tÝnh chÊt vµ b¶ng nguyªn hµm c¬ b¶n
2.Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.
§Þnh lÝ . NÕu u(x) vµ v(x) lµ c¸c hµm sè cã ®¹o hµm liªn tơc trªn
[ ]
;a b
th×:

( )
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
= −
∫ ∫
hay
b b
a a
b
udv uv vdu
a
= −
∫ ∫
.

¸p dơng c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau:
• Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng
'
udv uv dx=
b»ng c¸ch chän mét phÇn thÝch hỵp cđa f(x) lµm u(x) vµ
phÇn cßn l¹i
'
( ) .dv v x dx=
• Bíc 2: TÝnh
'
du u dx=
vµ
'
( )v dv v x dx= =
∫ ∫
.
• Bíc 3: TÝnh
'
b b
a a
vdu vu dx=
∫ ∫
vµ
b
uv
a
.
• Bíc 5: ¸p dơng c«ng thøc trªn.
VÝ dơ 5: a)Tính tích phân
3

2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
+
=
+
∫
(§H-KB-2009)

3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4

ln x
I dx
(x 1)
+
= = +
+ + +
−
= = =
+ +
=
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
t u = lnx Đặ
dx
du
x
⇒ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+
Ch n ọ
1
v
x 1
−

=
+
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
V y : ậ
3
I (1 ln 3) ln 2
4
= + −
b) TÝnh
1
ln
e
x xdx
∫
Gi¶i: §Ỉt
lnu x
dv xdx
=



=


2
2
dx
du
x
x
v

=


⇒


=



2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 4
e e
e e

x e x e
x xdx x xdx
+
= − = − =
∫ ∫
.
VÝ dơ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
2
5
1
ln x
dx
x
∫
b)
2
0
cosx xdx
π
∫
c)
1
0
x
xe dx
∫
d)
2
0

cos
x
e xdx
π
∫

Gi¶i: a) §Ỉt
5
4
ln
1
1
4
dx
u x
du
x
dv dx
v
x
x

=
=


 
⇒
 
=

 
= −



. Do ®ã:

2
2
2 2
5 4 5 4
1
1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2
4 4 64 4 4 256
x x dx
dx
x x x x
−
 
= − + = − + − =
 ÷
 
∫ ∫
.
b) §Ỉt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x

= =
 
⇒
 
= =
 
. Do ®ã:
( )
2 2
0 0
cos sin sin cos 1
2 2
2 2
0 0
x xdx x x xdx x
π π
π π
π π
= − = + = −
∫ ∫
.
c)§Ỉt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =

 
. Do ®ã:
( )
1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
x x x x
xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − =
∫ ∫
.
d) §Ỉt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= =
 
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
2 2
0 0
cos sin sin
2
0
x x x

e xdx e x e xdx
π π
π
⇒ = −
∫ ∫
.
§Ỉt
1 1
1 1
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= = −
 
2 2
2
0 0
cos cos cos
2
0
x x x
e xdx e e x e xdx
π π
π
π

⇒ = + −
∫ ∫
.
2 2
2
2
0 0
1
2 cos 1 cos .
2
x x
e
e xdx e e xdx
π π
π
π
−
⇔ = − ⇔ =
∫ ∫
*C¸ch ®Ỉt u vµ dv trong ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.
( )
b
x
a
P x e dx
∫
( )ln
b
a
P x xdx

∫
( )cos
b
a
P x xdx
∫
cos
b
x
a
e xdx
∫
u P(x) lnx P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx cosxdx cosxdx
Chó ý: §iỊu quan träng khi sư dơng c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn lµ lµm thÕ nµo ®Ĩ chän u vµ
'
dv v dx=
thÝch
hỵp trong biĨu thøc díi dÊu tÝch ph©n f(x)dx. Nãi chung nªn chän u lµ phÇn cđa f(x) mµ khi lÊy ®¹o hµm th× ®¬n
gi¶n, chän
'
dv v dx=
lµ phÇn cđa f(x)dx lµ vi ph©n mét hµm sè ®· biÕt hc cã nguyªn hµm dƠ t×m.
Cã ba d¹ng tÝch ph©n thêng ®ỵc ¸p dơng tÝch ph©n tõng phÇn:
• NÕu tÝnh tÝch ph©n

( ) ( )P x Q x dx
β
α
∫
mµ P(x)lµ ®a thøc chøa x vµ Q(x) lµ mét trong nh÷ng hµm sè:
, cos , sin
ax
e ax ax
th× ta thêng ®Ỉt
'
( )
( )
( )
( )
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx
=

=


⇒
 
=
=




∫
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
• NÕu tÝnh tÝch ph©n
( ) ( )P x Q x dx
β
α
∫
mµ P(x) lµ ®a thøc cđa x vµ Q(x) lµ hµm sè ln(ax) th× ta ®Ỉt
( )
'
( )
( )
( )
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx
=

=


⇒
 
=
=



∫

• NÕu tÝnh tÝch ph©n
cos
ax
I e bxdx
β
α
=
∫
hc
sin
ax
J e bxdx
β
α
=
∫
th×
ta ®Ỉt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=


=


⇒
 
=
=



hc ®Ỉt
1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

=


⇒
 
=

= −



Trong trêng hỵp nµy, ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn hai lÇn sau ®ã trë thµnh tÝch ph©n ban ®Çu. Tõ ®ã suy
ra kÕt qu¶ tÝch ph©n cÇn tÝnh.
3. Ph ¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè
Bµi to¸n: TÝnh
( )
b
a
I f x dx=
∫
,
*Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng I
§Þnh lÝ . NÕu 1) Hµm
( )x u t=
cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n
[ ]
;
α β
,
2) Hµm hỵp
( ( ))f u t
®ỵc x¸c ®Þnh trªn
[ ]
;
α β
,
3)

( ) , ( )u a u b
α β
= =
,
th×
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
I f x dx f u t u t dt
β
α
= =
∫ ∫
.
VÝ dơ 1. H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a ) Tính tích phân
( )
2
3 2
0
I cos x 1 cos x.dx
π
= −
∫
(§H-KA-2009)

BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
b)
1

2 3
0
5I x x dx= +
∫
c)
( )
2
4
0
sin 1 cosJ x xdx
π
= +
∫
Gi¶i: a) I =
2 2
5 2
0 0
cos x.dx cos x.dx
π π
−
∫ ∫
Ta có: I
2
=
2 2
2
0 0
1
cos x.dx (1 cos2x).dx
2

π π
= +
∫ ∫
=
1 1
x sin 2x
2
2 2 4
0
π
π
 
+ =
 ÷
 
M t khác xét Iặ
1
=
2 2
5 4
0 0
cos x.dx cos x.cosx.dx
π π
=
∫ ∫
=
3
2
2 2 5
0

1 2sin x 8
(1 sin x) d(sin x) sin x sin x
2
5 3 15
0
π
π
 
− = − + =
 ÷
 
∫
V y I = Iậ
1
– I
2
=
8
15 4
π
−
b) Ta cã
( )
( )
3
3 2 2
5
5 3
3
d x

d x x dx x dx
+
+ = ⇒ =

( )
1
3
3
0
5
5
3
d x
I x
+
⇒ = +
∫
( )
1
1
1
3
1
2
3 3 3 3
2
0
1 1
1 1 ( 5) 2
5 ( 5) ( 5) 5

1
0 0
3 3 9
1
2
x
x d x x x
+
+
= + + = = + +
+
∫

4 10
6 5
3 9
= −
.
c) Ta cã
2
4
0
(sin 1) (sin )J x d x
π
= +
∫

5
1 6
sin sin

2
5 5
0
x x
π
 
= + =
 ÷
 
VÝ dơ 2. H·y tÝnh c¸c tÝch sau:
a)
4
2
0
4 x dx−
∫
b)
1
2
0
1
dx
x+
∫

BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
Gi¶i: a) §Ỉt
2sin , ;
2 2
x t t

π π
 
= ∈ −
 
 
. Khi x = 0 th× t = 0. Khi
2x =
th×
2
t
π
=
.
Tõ
2sinx t= ⇒ 2cosdx tdt=

4
2 2
2 2 2
0 0 0
4 4 4sin .2cos 4 cos− = − = =
∫ ∫ ∫
x dx t tdt tdt
π π
π
.
b) §Ỉt
, ;
2 2
x tgt t

π π
 
= ∈ −
 ÷
 
. Khi
0x =
th×
0t =
, khi
1x =
th×
4
t
π
=
.
Ta cã:
2
cos
dt
x tgt dx
t
= ⇒ =
.

1
4 4
2 2 2
0 0 0

1
. .
4
1 1 cos 4
0
⇒ = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
dx dt
dt t
x tg t t
π π
π
π
Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thĨ gỈp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tỉng qu¸t h¬n nh:
NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng
2 2 2 2
,a x a x+ −
vµ
2 2
x a−
(trong trong
®ã a lµ h»ng sè d¬ng) mµ kh«ng cã c¸ch biÕn ®ỉi nµo kh¸c th× nªn ®ỉi sang c¸c hµm sè lỵng gi¸c ®Ĩ lµm mÊt c¨n
thøc, cơ thĨ lµ:
• Víi
2 2
a x−
, ®Ỉt
sin , ;
2 2

x a t t
π π
 
= ∈ −
 
 

hc
[ ]
cos , 0;x a t t
π
= ∈
.
• Víi
2 2
a x+
, ®Ỉt
, ;
2 2
x atgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 

hc
( )
, 0;x acotgt t
π

= ∈
.
• Víi
2 2
x a−
, ®Ỉt
{ }
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t
π π
 
= ∈ −
 
 
hc
;
cos
a
x
t
=
[ ]
0; \
2
t
π
π

 
∈
 
 
.
*Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng II
§Þnh lÝ : NÕu hµm sè
( )u u x=
®¬n ®iƯu vµ cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n
[ ]
;a b
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= =
th×
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
.
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
VÝ dơ 3: TÝnh
1
2 3
0
5I x x dx= +

∫
Gi¶i: §Ỉt
3
( ) 5u x x= +
.Tacã
(0) 5, (1) 6u u= =
.
Tõ ®ã ®ỵc:
( )
6
5
6
1 2 2 4 10
6 6 5 5 6 5
5
3 9 9 9 9
I udu u u= = = − = −
∫
VÝ dơ 4: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng II:
a)
( )
1
5
0
2 1x dx+
∫
b)
2
ln
e

e
dx
x x
∫
c)
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x
+
+ +
∫
d)
2
2
1
(2 1)
dx
x −
∫
e)
2
3
3
2
cos(3 )

3
x dx
π
π
π
−
∫
Gi¶i: a) §Ỉt
2 1u x= +
khi
0x =
th×
1u =
. Khi
1x =
th×
3u =
Ta cã
2
2
du
du dx dx= ⇒ =
. Do ®ã:
( )
1 3
6
5
5 6
0 1
3

1 1
2 1 (3 1)
1
2 12 12
u
x dx u du+ = = = −
∫ ∫
= 60
2
3
.
b)§Ỉt
lnu x=
. Khi
x e=
th×
1u =
. Khi
2
x e=
th×
2u =
.
Ta cã
dx
du
x
=
⇒

2
2
1
2
ln ln 2 ln1 ln 2
1
ln
e
e
dx du
u
x x u
= = = − =
∫ ∫
.
c)§Ỉt
2
1u x x= + +
. Khi
0x =
th×
1u =
. Khi
1x =
th×
3u =
.
Ta cã
(2 1)du x dx= +
. Do ®ã:

1 3
2
0 1
3
4 2 2
2ln 2(ln 3 ln1) 2ln3
1
1
x du
dx u
x x u
+
= = = − =
+ +
∫ ∫
.
d)§Ỉt
2 1u x= −
. Khi
1x =
th×
1u =
. Khi
2x =
th×
3u =
.
Ta cã
2
2

du
du dx dx= ⇒ =
. Do ®ã:
2 3
2 2
1 1
3
1 1 1 1 1
( 1)
1
(2 1) 2 2 2 3 3
dx du
x u u
= = − = − − =
−
∫ ∫
.
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
e)§Ỉt
2
3
3
u x
π
= −
. Khi
3
x
π
=

th×
3
u
π
=
, khi
2
3
x
π
=
th×
4
3
u
π
=
.
Ta cã
3
3
du
du dx dx= ⇒ =
. Do ®ã:

2 4
3 3
3 3
4
2 1 1 1 4

3
cos(3 ) cos sin sin sin
3 3 3 3 3 3
3
x dx udu u
π π
π π
π
π π π
π
 
− = = = −
 ÷
 
∫ ∫

1 3 3 3
3 2 2 3
 
= − − = −
 ÷
 
.
3.Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.
§Þnh lÝ . NÕu u(x) vµ v(x) lµ c¸c hµm sè cã ®¹o hµm liªn tơc trªn
[ ]
;a b
th×:

( )

' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
= −
∫ ∫
hay
b b
a a
b
udv uv vdu
a
= −
∫ ∫
.
¸p dơng c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau:
• Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng
'
udv uv dx=
b»ng c¸ch chän mét phÇn thÝch hỵp cđa f(x) lµm u(x) vµ
phÇn cßn l¹i
'
( ) .dv v x dx=
• Bíc 2: TÝnh
'
du u dx=
vµ

'
( )v dv v x dx= =
∫ ∫
.
• Bíc 3: TÝnh
'
b b
a a
vdu vu dx=
∫ ∫
vµ
b
uv
a
.
• Bíc 5: ¸p dơng c«ng thøc trªn.
VÝ dơ 5: a)Tính tích phân
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
+
=
+
∫
(§H-KB-2009)

3 3 3

2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)
+
= = +
+ + +
−
= = =
+ +
=
+
∫ ∫ ∫

∫
∫
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
t u = lnx Đặ
dx
du
x
⇒ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+
Ch n ọ
1
v
x 1
−
=
+
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +

+ + +
∫ ∫ ∫
V y : ậ
3
I (1 ln 3) ln 2
4
= + −
b) TÝnh
1
ln
e
x xdx
∫
Gi¶i: §Ỉt
lnu x
dv xdx
=


=


2
2
dx
du
x
x
v


=


⇒


=



2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
x xdx x xdx
+
= − = − =
∫ ∫
.
VÝ dơ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
2
5
1
ln x

dx
x
∫
b)
2
0
cosx xdx
π
∫
c)
1
0
x
xe dx
∫
d)
2
0
cos
x
e xdx
π
∫

Gi¶i: a) §Ỉt
5
4
ln
1
1

4
dx
u x
du
x
dv dx
v
x
x

=
=


 
⇒
 
=
 
= −



. Do ®ã:

2
2
2 2
5 4 5 4
1

1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4 ln 2
4 4 64 4 4 256
x x dx
dx
x x x x
−
 
= − + = − + − =
 ÷
 
∫ ∫
.
b) §Ỉt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
. Do ®ã:
( )
2 2
0 0
cos sin sin cos 1
2 2

2 2
0 0
x xdx x x xdx x
π π
π π
π π
= − = + = −
∫ ∫
.
c)§Ỉt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
. Do ®ã:
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
( )
1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
x x x x
xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − =
∫ ∫

.
d) §Ỉt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= =
 
2 2
0 0
cos sin sin
2
0
x x x
e xdx e x e xdx
π π
π
⇒ = −
∫ ∫
.
§Ỉt
1 1
1 1
sin cos
x x
u e du e dx

dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= = −
 
2 2
2
0 0
cos cos cos
2
0
x x x
e xdx e e x e xdx
π π
π
π
⇒ = + −
∫ ∫
.
2 2
2
2
0 0
1
2 cos 1 cos .
2
x x
e

e xdx e e xdx
π π
π
π
−
⇔ = − ⇔ =
∫ ∫
*C¸ch ®Ỉt u vµ dv trong ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.
( )
b
x
a
P x e dx
∫
( )ln
b
a
P x xdx
∫
( )cos
b
a
P x xdx
∫
cos
b
x
a
e xdx
∫

u P(x) lnx P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx cosxdx cosxdx
Chó ý: §iỊu quan träng khi sư dơng c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn lµ lµm thÕ nµo ®Ĩ chän u vµ
'
dv v dx=
thÝch
hỵp trong biĨu thøc díi dÊu tÝch ph©n f(x)dx. Nãi chung nªn chän u lµ phÇn cđa f(x) mµ khi lÊy ®¹o hµm th× ®¬n
gi¶n, chän
'
dv v dx=
lµ phÇn cđa f(x)dx lµ vi ph©n mét hµm sè ®· biÕt hc cã nguyªn hµm dƠ t×m.
Cã ba d¹ng tÝch ph©n thêng ®ỵc ¸p dơng tÝch ph©n tõng phÇn:
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
• NÕu tÝnh tÝch ph©n
( ) ( )P x Q x dx
β
α
∫
mµ P(x)lµ ®a thøc chøa x vµ Q(x) lµ mét trong nh÷ng hµm sè:
, cos , sin
ax
e ax ax
th× ta thêng ®Ỉt
'
( )

( )
( )
( )
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx
=

=


⇒
 
=
=



∫
• NÕu tÝnh tÝch ph©n
( ) ( )P x Q x dx
β
α
∫
mµ P(x) lµ ®a thøc cđa x vµ Q(x) lµ hµm sè ln(ax) th× ta ®Ỉt
( )
'
( )
( )

( )
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx
=

=


⇒
 
=
=



∫

• NÕu tÝnh tÝch ph©n
cos
ax
I e bxdx
β
α
=
∫
hc
sin
ax

J e bxdx
β
α
=
∫
th×
ta ®Ỉt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

=


⇒
 
=
=



hc ®Ỉt

1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

=


⇒
 
=
= −



Trong trêng hỵp nµy, ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn hai lÇn sau ®ã trë thµnh tÝch ph©n ban ®Çu. Tõ ®ã suy
ra kÕt qu¶ tÝch ph©n cÇn tÝnh.
II.TÝch ph©n mét sè hµm sè thêng gỈp
1. TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc
a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tỉng qu¸t sau:

( )
2

0
dx
I a
ax bx c
β
α
= ≠
+ +
∫
.
(trong ®ã
2
0ax bx c
+ + ≠
víi mäi
[ ]
;x
α β
∈
)
XÐt
2
4b ac
∆ = −
.
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
+)NÕu
0
∆ =
th×

2
2
dx
I
b
a x
a
β
α
=
 
−
 ÷
 
∫
tÝnh ®ỵc.
+)NÕu
0
∆ >
th×
( ) ( )
1 2
1 dx
I
a x x x x
β
α
=
− −
∫

,
(trong ®ã
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
)

( )
1
1 2 2
1
ln
x x
I
a x x x x
β
α
−
⇒ =
− −
.
+) NÕu
0
∆ <
th×

2
2
2
2
2 4
= =
+ +
 
 
−∆
 
+ +
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
∫ ∫
dx dx
I
ax bx c
b
a x
a a
β β
α α
§Ỉt
( )

2
2 2
1
1
2 4 2
−∆ −∆
+ = ⇒ = +
b
x tgt dx tg t dt
a a a
, ta tÝnh ®ỵc I.
b) TÝnh tÝch ph©n:
( )
2
, 0
mx n
I dx a
ax bx c
β
α
+
= ≠
+ +
∫
.
(trong ®ã
2
( )
mx n
f x

ax bx c
+
=
+ +
liªn tơc trªn ®o¹n
[ ]
;
α β
)
+) B»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hƯ sè, ta t×m A vµ B sao cho:

cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax
nmx
++
+
++
+
=
++
+
222
)2(
+)Ta cã I=
∫
β
α

dx
cbxax
B
dx
cbxax
baxA
dx
cbxax
nmx
++
+
++
+
=
++
+
∫∫
222
)2(
β
α
β
α
. TÝch ph©n
dx
cbxax
baxA
++
+
∫

2
)2(
β
α
=
β
ε
cbxaxA
++
2
ln
TÝch ph©n
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
tÝnh ®ỵc.
c) TÝnh tÝch ph©n
( )
( )
b
a
P x
I dx
Q x
=
∫

víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cđa x.
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC
• NÕu bËc cđa P(x) lín h¬n hc b»ng bËc cđa Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc.
• NÕu bËc cđa P(x) nhá h¬n bËc cđa Q(x) th× cã thĨ xÐt c¸c trêng hỵp:
+ Khi Q(x) chØ cã nghiƯm ®¬n
1 2
, ,...,
n
α α α
th× ®Ỉt

1 2
1 2
( )
...
( )
n
n
A
A AP x
Q x x x x
α α α
= + + +
− − −
.
+ Khi
( )
( )
2 2
( ) , 4 0Q x x x px q p q

α
= − + + ∆ = − <
th× ®Ỉt
2
( )
.
( )
P x A Bx C
Q x x x px q
α
+
= +
− + +
+ Khi
( ) ( )
2
( )Q x x x
α β
= − −
víi α ≠ β th× ®Ỉt
( )
2
( )
( )
AP x B C
Q x x x
x
α β
β
= + +

− −
−
.

VÝ dơ 7. TÝnh tÝch ph©n:
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
.
Gi¶i:
C¸ch 1.B»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hƯ sè ta cã thĨ t×m A, B sao cho:

( )
{ }
2 2 2
2 5
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
A x
x B
x

x x x x x x
+
+
= + ∀ ∈ − −
+ + + + + +
¡

⇔
( )
{ }
2 2
2 5
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6
Ax A B
x
x
x x x x
+ +
+
= ∀ ∈ − −
+ + + +
¡

2 4 2
5 11 1
A A
A B B
= =

 
⇒ ⇔
 
+ = =
 
VËy
( )
{ }
2 2 2
2 2 5
4 11 1
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
x
x
x
x x x x x x
+
+
= + ∀ ∈ − −
+ + + + + +
¡
.
Do ®ã
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 11 2 5
2
5 6 5 6 5 6

x x dx
dx dx
x x x x x x
+ +
= +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫

2
1 1
2 9
2ln 5 6 ln ln
0 0
3 2
x
x x
x
+
= + + + =
+
.
C¸ch 2. V×
( ) ( )
2
5 6 2 3x x x x+ + = + +
nªn ta cã thĨ tÝnh tÝch ph©n trªn b»ng c¸ch:
T×m A, B sao cho:
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC

{ }

2
4 11
, \ 3; 2
5 6 2 3
x A B
x
x x x x
+
= + ∀ ∈ − −
+ + + +
¡

( )
{ }
2 2
3
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6
A B x A B
x
x
x x x x
+ + +
+
⇔ = ∀ ∈ − −
+ + + +
¡

4 3

3 2 11 1
A B A
A B B
+ = =
 
⇒ ⇔
 
+ = =
 
VËy
{ }
2
4 11 3 1
, \ 3; 2
5 6 2 3
x
x
x x x x
+
= + ∀ ∈ − −
+ + + +
¡
.
Do ®ã
1 1 1
2
0 0 0
4 11
3
5 6 2 3

x dx dx
dx
x x x x
+
= +
+ + + +
∫ ∫ ∫

1 1
9
3ln 2 ln 3 ln
0 0
2
x x
= + + + =
.
VÝ dơ 8:TÝnh tÝch ph©n:
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
.
Gi¶i:
Do
1 1
2
2

0 0
1
1 3
2 4
dx dx
x x
x
=
+ +
 
+ +
 ÷
 
∫ ∫
§Ỉt
( )
2
1 3 3
, ; 1
2 2 6 3 2
x tgt t dx tg t dt
π π
 
+ = ∈ ⇒ = +
 
 
VËy
( )
2
1

3 3
2
2
0
6 6
3
1
2 3 2 3 3
3
2
3
1 3 3 9
(1 )
4
6
tg t dt
dx
dt t
x x
tg t
π π
π π
π
π
π
+
= = = =
+ +
+
∫ ∫ ∫

.
VÝ dơ 9. TÝnh tÝch ph©n:
1
2
3
2
0
1
x
dx
x
−
∫
.
Gi¶i:
1 1 1 1
2 2 2 2
3
2 2 2
0 0 1 0
1 1 1
x x xdx
dx x dx xdx
x x x
 
= + = +
 ÷
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫

BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC

2
2
1 1
1 1 1 3
ln 1 ln
2 2
2 2 8 2 4
0 0
x
x= + − = +
.
2. TÝch ph©n c¸c hµm l ỵng gi¸c
2.1.D¹ng 1: BiÕn ®ỉi vỊ tÝch ph©n c¬ b¶n
VÝ dơ 10: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
2
2
sin 2 sin 7J x xdx
π
π
−
=
∫
;
b)
2
4 4
0

cos (sin cos )K x x x dx
π
= +
∫
;
c)
2
3
0
4sin
1 cos
x
M dx
x
π
=
+
∫
.
Gi¶i
a)
2 2
2 2
1 1
cos5 cos9
2 2
J xdx xdx
π π
π π
− −

= −
∫ ∫

1 1 4
2 2
sin 5 sin 9
10 18 45
2 2
x x
π π
π π
= − =
− −
.
b) Ta cã
( )
2
4 4 2 2 2 2
cos (sin cos ) cos sin cos 2sin cosx x x x x x x x
 
+ = + −
 
( )
2
1 1 3 1
cos 1 sin 2 cos 1 1 cos 4 cos cos cos4
2 4 4 4
x x x x x x x
   
= − = − − = +

 ÷
 
   
( )
3 1
cos cos5 cos3
4 8
x x x
= + +
.
2 2 2 2
4 4
0 0 0 0
3 1 1
cos (sin cos ) cos cos5 co3
4 8 8
K x x x dx xdx xdx xdx
π π π π
= + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC

3 1 1 3 1 1 11
sin sin 5 sin 3
2 2 2
4 40 24 4 40 24 15
0 0 0
x x x
π π π
= + + = + − =

.
c)
3 2 2
4sin 4sin sin 4(1 cos )sin
4(1 cos )sin
1 cos 1 cos 1 cos
x x x x x
x x
x x x
−
= = = −
+ + +
⇒
2M
=
.
2.2.D¹ng 2: §ỉi biÕn sè ®Ĩ h÷u tØ hãa tÝch ph©n hµm lỵng gi¸c
2.2.1.TÝnh
cos
dx
I
asinx b x c
=
+ +
∫
Ph¬ng ph¸p:
§Ỉt
2
2
2 1

x dt
t tg dx
t
= ⇒ =
+
Ta cã:
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
vµ
2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
( )
2
2

cos 2
dx dt
I
asinx b x c c b t at b c
= =
+ + − + + +
∫ ∫
®· biÕt c¸ch tÝnh.
VÝ dơ 11. TÝnh
4cos 3sin 5
dx
x x
+ +
∫

Gi¶i: §Ỉt
2
2
1 2
1
2 2 2 1
x x dt
t tg dt tg dx dx
t
 
= ⇒ = + ⇔ =
 ÷
+
 
2

2
2
2 2
2
1
1 2
cos 3sin 3 3 2
3 3
1 1
+
= =
−
+ + + +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫
dt
dx dt
t
t t
x x t t
t t

1
1
2
ln ln
2
2
2

+
+
= + = +
+
+
x
tg
t
C C
x
t
tg
.
2.2.2. TÝnh
2 2
sin sin cos cos
dx
I
a x b x x c x d
=
+ + +
∫
Ph¬ng ph¸p:
( ) ( )
2 2
sin sin cos cos
dx
I
a d x b x x c d x
=

+ + + +
∫
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC

( ) ( )
2
2
cos
dx
x
a d tg x btgx c d
=
+ + + +
∫
§Ỉt
2
cos
dx
t tgx dt
x
= ⇒ =
( ) ( )
2
dt
I
a d t bt c d
⇒ =
+ + + +
∫
®· tÝnh ®ỵc.

VÝ dơ 12. TÝnh:
2 2
sin 2sin cos 3cos
dx
I
x x x x
=
+ −
∫
.
Gi¶i:Ta cã
2
2 2 2
cos
sin 2sin cos 3cos 2 3
dx
dx
x
I
x x x x tg x tgx
= =
+ − + −
∫ ∫

§Ỉt
2
cos
dx
t tgx dt
x

= ⇒ =
( ) ( )
2
1 1 1 1
ln ln
2 3 1 3 4 3 4 3
dt dt t tgx
I C C
t t t t t tgx
− −
⇒ = = = + = +
+ − − + + +
∫ ∫
2.2.3. TÝnh
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c
+ +
=
+ +
∫
.
Ph¬ng ph¸p:
+)T×m A, B, C sao cho:
( ) ( )
sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x+ + = + + + − + ∀
+) VËy
sin cos

sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c
+ +
=
+ +
∫
=
=
∫ ∫ ∫
++
+
++
−
+
cxbxa
dx
Cdx
cxbxa
xbxa
BdxA
cossincossin
sincos
TÝch ph©n
∫
dx
tÝnh ®ỵc
TÝch ph©n
Ccxbxadx

cxbxa
xbxa
+++=
++
−
∫
cossinln
cossin
sincos
TÝch ph©n
∫
++
cxbxa
dx
cossin
tÝnh ®ỵc.
VÝ dơ 13. TÝnh:
cos 2sin
4cos 3sin
x x
I dx
x x
+
=
+
∫
.
Gi¶i:
B»ng c¸ch c©n b»ng hƯ sè bÊt ®Þnh, t×m A vµ B sao cho:
( ) ( )

cos 2sin 4cos 3sin 4sin 3cos ,+ = + + − + ∀x x A x x B x x x
BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG & ĐẠI HỌC

( ) ( )
cos 2sin 4 3 cos 3 4 sin ,x x A B x A B x x+ = + + − ∀
2
4 3 1
5
3 4 2 1
5
A
A B
A B
B

=

+ =


⇒ ⇔
 
− =


= −



2 1 4sin 3cos 2 1

. ln 4cos 3sin
5 5 4cos 3sin 5 5
x x
I dx x x x C
x x
− +
 
= − = − + +
 ÷
+
 
∫
.
2.3.D¹ng 3: §ỉi biÕn sè ®Ĩ ®a vỊ tÝch ph©n hµm lỵng gi¸c ®¬n gi¶n h¬n
(Xem vÝ dơ 17, 20, 21)
2.4.Chó ý: Nguyªn hµm d¹ng
( )
sin ,cosR x x dx
∫
, víi
( )
sin ,cosR x x
lµ mét hµm h÷u tØ theo sinx,
cosx
§Ĩ tÝnh nguyªn hµm trªn ta ®ỉi biÕn sè vµ ®a vỊ d¹ng tÝch ph©n hµm h÷u tØ mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh tÝch
ph©n.
• Trêng hỵp chung: §Ỉt
2
2
2 1

x dt
t tg dx
t
= ⇒ =
+
Ta cã
2
2 2
2 1
sin ;cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
• Nh÷ng trêng hỵp ®Ỉc biƯt:
+) NÕu
( )
sin ,cosR x x
lµ mét hµm sè ch½n víi sinx vµ cosx nghÜa lµ

( ) ( )
sin , cos sin ,cosR x x R x x− − =
th× ®Ỉt
t tgx
=
hc
cott gx

=
, sau ®ã ®a tÝch
ph©n vỊ d¹ng h÷u tØ theo biÕn t.
+) NÕu
( )
sin ,cosR x x
lµ hµm sè lỴ ®èi víi sinx nghÜa lµ:

( ) ( )
sin ,cos sin ,cosR x x R x x− = −
th× ®Ỉt
cost x
=
.
+) NÕu
( )
sin ,cosR x x
lµ hµm sè lỴ ®èi víi cosx nghÜa lµ:

( ) ( )
sin , cos sin ,cosR x x R x x− = −
th× ®Ỉt
sint x
=
.
3.TÝch ph©n hµm v« tØ
3.1 .D¹ng 1: BiÕn ®ỉi vỊ tÝch ph©n v« tØ c¬ b¶n
VÝ dơ 14. TÝnh tÝch ph©n:
1
0

1
dx
I
x x
=
+ +
∫
.
Gi¶i