chuyen_de_luong_giac.pdf

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN </b>

<b>I. CÁCH GIẢI CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN </b>
<b>1. Phƣơng trình sin x = a </b>

<i><b>A. Cách giải: </b></i>

 Điều kiện để phương trình có nghiệm: -1 a  1

 Cách giải:
+ Đặt a = sin

+ _



















2
k
x

2
k
x

sin
x

sin (kZ)

 Chú ý: sin x sin x k.360 (k Z)

x 180 k.360

   


 _{  } 



 Một số trường hợp đặc biệt:

+ sin x 1 x k2

2


    

+ sin x 1 x k2

2



     

+ sin x   0 x k
<i><b>B. Bài tập ví dụ: </b></i>

<i><b>Ví dụ: Giải các phương trình </b></i>
a) sin x 1

2

 b) sin 2x 3

2



<i><b>Giải: </b></i> a)

x k2

1 6

sin x sin x sin

5

2 6

x k2

6


   



    


   


b)

2x k2 x k2

3 3 6

sin 2x sin 2x sin (k Z)

2

2 3

2x k2 x k2

3 3

 

 _{  }  _{  }

 



     

 

 _ _{ }  _{  }

 

 

<b>2. Phƣơng trình cos x = a: </b>
<i><b>A. Cách giải: </b></i>

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1a1

 Cách giải:
+ Đặt a = cos

)
Z
k
(
2
k
x

2
k
x

cos
a

cos _ 



















 Chú ý: cos x cos x k.360

x k.360

   


 _{    }




</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

+ cos x 0 x k
2


    

<i><b>B. Bài tập ví dụ: </b></i>

<i><b>Ví dụ: Giải các phương trình </b></i>
a) cos x 2

2

  b) cos(x 60 ) 2

2

   c) cos x 1
3



<i><b>Giải: </b></i>

a) cos x cos 2 cos x cos3 3x 3 k2 x k2

2 4 4 4 3

   

            

b) cos(x 60 ) 2 cos(x 60 ) cos 45 x 15 k360

x 105 k360

2

    


       _{     }



c) cos x 1 x arccos1 k2

3 3

     
<b>3. Phƣơng trình tan x = a: </b>

A. Cách giải:

- Điều kiện: k (k Z)
2

x   
- Cách giải:

+ Đặt atan

+ tanxtanx k(kZ)

Với phương trình tanxtan thì xk.180(kZ)
B. Bài tập ví dụ:

)
Z
k
(
2
k
)
3
1
arctan(
2

1
x

k
)
3
1
arctan(
x

2

3
1
x
2
tan

/
a



















)
Z
k
(
180
.
k
15
x

180
.
k
30
15
x

30
tan
)
15
x
tan(

3
3
)
15
x
tan(
/
b






























<b>4. Phƣơng trình cot x = a: </b>
A. Cách giải:

- Điều kiện: xk(kZ)
- Cách giải:

+ Đặt acot









cotx cot x k

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

)
Z
k
(
3
k
)
2
cot(
arc
3
1
x

k
)
2
cot(
arc
x

3

2
x
3
cot
/
a



















)
Z
k

(
4
k
2
1
4
x

k
6
2
x
4

)
6
cot(
)
2
x
4
cot(

3
)
2
x
4
cot(
/

b




























<b>II. Một số bài tập tham khảo: </b>

1. Giải phương trình:

2
1
)
1
2
cos(
/

a   với x

2
2
)
15
x
2
sin(
/

b    với 120x90
2. Giải phương trình:

0
2
sin
2
sin
2

/

0
5
cos
4

sin
/

2
cos
3

sin
/

)
3
sin(
)
1
2
sin(
/















<i>x</i>
<i>x</i>

<i>d</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>c</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>b</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>a</i>

<b>Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp </b>

<b>I. Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác </b>
1. Khái niệm:

Là phương trình có dạng <i>asinx + b = 0 (a ≠ 0) hoặc acosx + b = 0 (a ≠ 0) hoặc atanx + b </i>
<i>= 0 (a ≠ 0) hoặc acotx + b = 0 (a ≠ 0) </i>

Với các dạng trên ta biến đổi để cô lập hàm lượng giác ở một vế, vế còn lại là hằng số, tức là đưa
về dạng cơ bản

VD: <i>asinx + b = 0 </i>
<i> asinx = -b </i>

<i> sinx = </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>Asinax + Bcosax = C </i>

a là các số thực ≠ 0 ; A và B không đồng thời bằng 0
Phương trình trên có thể được giải bằng 2 cách

<i>Cách 1:</i> Ta có <i>Asinax + Bcosax = Rsin(ax + a)</i>, ở đó <i>R = </i> <i> > 0</i>, α là số thực thoả mãn:
<i>cos = , sin = </i>

Do đó, phương trình trên sẽ tương đương với phương trình dạng cơ bản

<i>sin(ax + ) = </i>

<i>Cách 2:</i> Đặt <i>t = tan</i> . Ta có thể chứng minh được <i>sinax = </i> , <i>cosax = </i> . Thay vào
phương trình đầu tiên ta có:

<i> 2At + B - B = C + C </i>

<i> (C + B) - 2At + C – B = 0 </i>(1)

Nếu <i> 0 </i> <i> + </i> <i> </i> phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2

Khi đó việc giải phương trình quy về việc giải các phương trình cơ bản

<i>tan</i> <i> = t1, tan</i> <i> = t2 </i>

<b>BÀI TẬP: </b>

<i><b>BT1: Giải phương trình </b></i>

<i> 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x</i> (1)
<i><b>BT2: Giải phương trình </b></i>

<i>cos2x – cosx = 2sin2</i>

<i><b>BT3: Giải phương trình </b></i>

<i> sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0) </i>

<b>II.Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác </b>
<b>Phƣơng pháp chung </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài tập tự luận </b>
1. Cho phương trình: cos x – (2m + 1)cosx + m +1 = 0 2
a. Giải phương trình với m = 3

2

b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [π
2,

3π
2 ]
2. Cho phương trình: 5 – 4sin x - 82 cos2 x

2 = 3m
a. Giải phương trình với m = - 4

3

b. Tìm m ngun dương để phương trình có nghiệm.
3. Cho phương trình: cos2x + 5sinx + m = 0

a. Giải phương trình với m = 2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm

4. Cho phương trình: 4cos x – (2m – 1)cosx – m = 0 2
a. Giải phương trình với m = 3

b. Tìm m để phương trình có nghiệm

5. Xác định m để phương trình: mcos2x – 4(m – 2)cosx + 3(m – 2) = 0
có đúng 2 nghiệm thuộc (- π

2,
π

2)

6. Giải và biện luận theo m phương trình: (m – 1)sin x - 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0 2
<b>III.Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x </b>

<b>Phƣơng pháp chung </b>
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:

asinx + bcosx = c. (1)

Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
<b>Cách 1:</b> Thực hiện theo các bước:

<i>Bước 1.</i> Kiểm tra:

1. Nếu a + b< c phương trình vơ nghiệm.

2. Nếu a + b  c, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta thực hiện tiếp bước 2.

<i>Bước 2.</i> Chia hai vế phương trình (1) cho <i>a</i>2<i>b</i>2 , ta được:
2 2

a
a b

sinx +

2 2
b
a b

cosx =

2 2
c
a b
Vì (

2 2
a
a b

2
) + (

2 2
b
a b

2

) = 1 nên tồn tại góc α sao cho

2 2
a
a b

= cos α ,

2 2

b
a b

= sin α
Khi đó, phương trình (1) có dạng:

sinx.cos α + sin α .cosx =

2 2
c
a b

 sin(x + α ) =

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Cách 2:</b> Thực hiện theo các bước:

<i>Bước 1.</i> Với cosx

2 = 0 x = π + 2k π , k  Z, kiểm tra vào phương trình

<i>Bước 2</i>. Với cosx

2  0 x  π + 2k π , đặt t = tg
x

2, suy ra
sinx = 2t₂

1 t và cosx =
2

2
1 - t
1 t
Khi đó, phương trình (1) có dạng:

a. 2t₂
1 t + b.

2
2
1 - t

1 t = c (c + b)
2

t - 2at + c – b = 0 (2)

<i>Bước 3</i>. Giải phương trình (2) theo t.

<b>Cách 3:</b> Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong ( ,  ), ta có thể
lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ.

<i><b>Nhận xét quan trọng: </b></i>

1. Cách 1 thường được sử dụng bởi các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo
tham số.

2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D với D [0, 2 π ]

3. Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để phương
trình k có nghiệm thuộc tập D với D  [0, 2 π ]  

4. Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau:

- <i>a</i>2<i>b</i>2  asinx + bcosx  <i>a</i>2<i>b</i>2

kết quả đó gợi ý cho bài tốn về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng
y = a.sinx + b.cosx, y = a.sinx + b.cosx

c.sinx + d.cosx và phương pháp đánh giá cho một số phương trình
lượng giác.

<i><b>Dạng đặc biệt: </b></i>

 sinx + cosx = 0 x = - π

4 + k π , k  Z
 sinx – cosx = 0  x = π

4 + k π , k  Z

<b>Bài tập tự luận </b>
7. Giải các phương trình sau:

a. 3sinx – 3 cos3x = 4sin x – 1 3
b. 3 sin4x – cos4x = sinx – 3 cosx
c. 2sinx(cosx – 1) = 3 cos2x

d. 2sin3x – sin2x + 3 cos2x = 0
8. Giải các phương trình sau:

a. 3 sin(x - π

3) + sin (x +
π

6) – 2sin1972x = 0
b. sinx = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

9. Giải các phương trình sau:

a. (1 + 3 )sinx + (1 - 3 )cosx = 2
b. sin2x + ( 3 - 2)cos2x = 1
10. Giải các phương trình sau:

a. 3cosx – sin2x = 3 (cos2x + sinx)

b. 2 cos(x

5 -
π

12) - 6 sin(
x
5 -

π

12) = 2sin(
x
5 +

2π

3 ) – 2cos(
x
5 +

π
6)
11. Cho phương trình: (m - 1)sinx – cosx = 1

a. Giải phương trình với m = 1

b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [ - π
2,

π
2]
12. Cho phương trình: 3 sinx + cosx = m

a. Giải phương trình với m = -1

b. Biện luận theo m số nghiệm thuộc (-π

6, 2 π ] của phương trình.
<b>IV.Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x </b>

<b>Phƣơng pháp chung </b>
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:

asin x + bsinx.cosx + c.2 <i>c</i>os2x = d (1)
Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

<b>Cách 1</b>: Thực hiện theo các bước:

<i>Bước 1:</i> Với cosx = 0 x = π

2 + k π , k  Z
Khi đó phương trình (1) có dạng a = d
- Nếu a = d, thì (1) nhận x = π

2 + k π làm nghiệm
- Nếu a  d, thì (1) không nhận x = π

2 + k π làm nghiệm

<i>Bước 2:</i> Với cosx  0 x  π

2 + k π , k  Z

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos x 2  0, ta được
atg x + btgx + c = d(1 + 2 tg x) 2

Đặt t = tgx, phương trình có dạng:

(a – d)t + bt + c – d = 0 2 (2)

<i>Bước 3:</i> Giải phương trình (2) theo t
<b>Cách 2:</b> Sử dụng các công thức:

2

sin x = 1 cos2x
2



, cos x = 2 1 cos2x
2



và sinx.cosx = 1
2sin2x
ta được:

b.sin2x + (c - a)cos2x = d – c – a (3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

1) Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D.

2) Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo
tham số.

<b>Bài tập tự luận </b>
13. Giải phương trình: 4sin x + 3 3 sin2x – 22 cos x = 4 2

14. Cho phương trình: 3sin x + m.sin2x - 42 cos x = 0 2
a. Giải phương trình khi m = 4

b. Xác định m để phương trình có nghiệm

15. Cho phương trình: (m + 1)sin x – 2sinx.cosx + cos2x = 0 2
a. Giải phương trình khi m = 0

b. Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (0, π
2)
16. Cho phương trình: m.sin x – 3sinx.cosx – m – 1 = 0 2

a. Giải phương trình với m = 1

b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, 3π
2 )
17. Cho phương trình: m.sinx + cosx = 1

cosx, với m 0
a. Giải phương trình khi m = 3

b. Xác định m để phương trình có nghiệm

c. Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn

x1 + x2 

π

2 + k π . Tính cos2(x1 + x2) theo m

<b>V.Phƣơng trình đối xứng đối với sin x và cos x </b>
<b>Phƣơng pháp chung </b>

Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1)

hoặc a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2)

Để giải phương trình (1) ta thực hiện theo các bước sau:

<i>Bước 1:</i> Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |  2  sinx.cosx =
2

t 1

2



Khi đó, phương trình có dạng:
at + b

2
t 1

2



+ c = 0 bt + 2at + 2c - b = 0 2 (*)

<i>Bước 2:</i> Giải (*) theo t và chọn nghiệm t0 thỏa mãn điều kiện | t |  2

Với t = t0, ta được:

sinx + cosx =t0  2 sin(x +

π

4) = t0 sin(x +
π
4) =

0
t

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>Chú ý: </b></i>

1) Ta có thể giải (1) bằng cách đặt ẩn phụ z = π

4 - x, khi đó ta có:
sinx + cosx = 2 cos(π

4 - x) = 2 cosz
sinx.cosx = 1

2sin2x =
1

2sin2 (

π

4 - z) =
1
2sin(

π
2 - 2z)
= 1

2cos2z =
1
2(2

2
cos z - 1)

Khi đó, phương trình ban đầu được đưa về dạng phương trình bậc hai đối với cosz.
2) Phương trình (2) được giải tương tự như (1) với ẩn phụ:

t = sinx – cosx, điều kiện | t |  2  sinx.cosx =
2

t 1

2



<b>Bài tập tự luận </b>
18. Giải các phương trình sau:

a. | sinx – cosx | + 4sin2x = 1
b. | sinx + cosx | - sin2x = 1

19. Tìm m để phương trình: 3(sinx + cosx) = 4msinx.cosx có nghiệm thuộc (0, 3π
4 )
20. Cho phương trình: (1 - cosx)(1 - sinx) = m

a. Giải phương trình với m = 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [0, π
2]
21. Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sinxcossx + 1 = 0
a. Giải phương trình với m = 0

b. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [-π
2, 0]
22. Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sin2x = 0

a. Giải phương trình với m = 0

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]
23. Giải và biện luận theo k phương trình: 1

cosx -
1
sinx = k
24. Cho phương trình: m(sinx - cosx) + 2sinxcosx = m

a. Giải phương trình với m = 1 + 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]

<b>VI</b>.<b>Phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối </b>
Bài 1: Giải phương trình:

2
sin
2
cos

3 <i>x</i> <i>x</i> 

Bài 2: Giải phương trình:

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

sin
1
tan

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài 3: Giải phương trình:
2
cos
sin

cos

sin<i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> 

Bài 4: Cho phương trình:

<i>a</i>
<i>x</i>

<i>x</i>  sin 

1
cos

1

a) Giải phương trình với a = 2 2

b) Chứng minh rằng nếu a < 2 2 thì phương trình vơ nghiệm
Bài 5:Giải phương trình

| sinx – cosx | + | sinx + cosx | = 2

<b>VII. Phƣơng trình lƣợng giác chứa căn thức </b>
Bài 1: Giải phương trình:

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

cos
sin

1
2
cos
2

sin2  4 

= 0
Bài 2: Giải phương trình:

0
cos
sin

1 <i>x</i> <i>x</i>

Bài 3: Giải phương trình:

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

sin

4
cos

cos
1
cos

1   _

<b>VIII.Phƣơng trình sử dụng cỏc cụng thc cng cung. </b>
Ví dụ: Giải các ph-ơng tr×nh sau

1.

cos3x

tgxsin3x 1;

2.

cos3x

3 sin3x

2 cosx;

3.

cos5x

cos2x sin3xsin 2x

0.















§iỊu kiÖn:

x

k

2



  

1. Ta cã:

cos3x tgxsin3x 1



 

cos3xcosx sinxsin3x





cosx





x

2k

2x

x

2k

cos2x

cosx

_2k

k

2x

x

2k

x

3

 



  



_







_



_





   





_

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>





cos3x cos

sin sin3x

cosx

3

3

3x

x

k2

3

cos 3x

cosx

3

3x

x

2k

3

x

k

6

k

k

x

12

2













    











_



_



 







_{     }





   













  



3. Ta cã: cos5x + cos2x + sin3xsin2x = 0





cos3xcos2x cos2x

0

cos2x cos3x 1

0





 

 

XÐt hai tr-êng hỵp





k

a.cos2x

0

2x

k

x

2

4

2

2k

b.cos3x

1

3x

2k

x

k

3

3







 

     



</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Bài tập </b>
1. p dụng các công thức cộng cung giải các ph-ơng trình

1. 3 sin5x

cos5x

2sin x;

2.sin 7x

cos7x

2 cos3x

3.cos4x

tgxsin 4x 1;

4.sin 6x

3 cos6x

2 cosx

cos6x sin x

5.

3

cosx sin 6x



















_



2.p dụng các công thức biến tích thành tổng giải các ph-ơng trình

3

1. 2sin3x cosx

sin 2x

3 cos4x;

2. 2sin3x cosx sin 4x

sin 2x

2;

3. 2 cos5x cosx

cos4x sin3x;

4. 2sin 7xsin x

cos8x

3 sin 6x 1;

3

5. 2 cos7x cos3x

cos10

2























3. p dụng các công thức biến tổng thành tích giải các ph-ơng trình

3

1. cos9x

cosx

sin13x sin3x

2. cos9x

cosx

cos5x 1 cos 4x

3.

2 cos4x

2 2 cos 2x

1 0

8

4. 2sin 6x 1 4sin 3x

12

5. 2sin 4x

3

4 cos2x

3





















_



_

 











 

_



_









_



_

_









</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

2 2

2

3

3

2 3

1. sin x 3cos x sin 2x

2 cos2x

5

2. sin x

cos2x

2sin 2x 1

3. cos3x

cosx

4sin x

4. cosx cos2x

cos x sin x

5. 2sin x cosx

cos x

cosx sin x





















5. Đặt

t

sin x

cosx

, giải các ph-ơng trình sau:





3 3

2

3 3

1. sin3x

cos3x

2 sin x

cosx

1

2. sin x

cos x sin x

cosx

2

3. cosx sin x

2sin x cosx 1

4. 3sin x

cosx 3sin 2x 8sin x 1

5. sin x

cos x sin 2x 1 0



































 

6. Sử dụng các cơng thức nhân đơi, nhân ba giải các ph-ơng trình:

3

2

3

1. 2 cos3x sin 2x

cosx

0

2. sin3x sin 2x

2sin x

0

3. 3 cos3x

4sin x 3sin x 1

4. cos3x

cos2x sin x

2

5. cos3x 3cosx

4 cos 3x





























7. Gi¶i các ph-ơng trình sau

2
3

3
2

2

3

2

2 2

2 2

1

1

1.

2

7 tg x

cos x

cosx

1

2.

tg x

tgx

4

cos x

3. tg x

tgx

2 cot gx

4

1

4. cot g x

3

sin x

1

5.

tg x

cot g x

6

sin x cos x



_



_{ }































</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>





3 3

4 2

4 2

4 2 6 6

1. sin3x

cos3x

2sin 2x 1

2. sin x

cos x 1 sin x cosx

3. 8cos x 8cos x 1 sin 4x

4. 8cos x 8cos x 1 cos8x

5. 8cos x 8cos x 1 sin x

cos x

sin 4x

6.

3 cosx

2 cos3x

cosx









 



 



 



9. Giải các ph-ơng trình

2

2

2

2

1.

3 1 tg x sin 2x

tg x 1

2tgx

2. 3 2 cot gx

0

1 tg x

sin3x

3.

tg5x

4 cos x

sin x



















<b>IX.Phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực </b>

<i>Trường hợp 1: tổng hai số không âm </i>

Áp dụng:



<i>A_A</i>_0<i>_B</i>_<i>B</i>₀0



<i>A</i>



<i>B</i>



0

Giải phương trình:

1. 4cos3<i>x</i>3tan2 <i>x</i>4 3cos<i>x</i>2 3tan<i>x</i>40 (1)
Ta có:








2

6

0

)

1

tan

3

(

)

3

cos

2

(

)

1

(

2
6
3
1
t an
2
3
cos
3
1
t an
2
2

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

















































2. 8cos4<i>x</i>cos22<i>x</i> 1cos3<i>x</i>10 (2)

0
3
cos
1
)
1
4
cos
2
(
0
3
cos
1
)
1
4
cos
4
4
cos
4
(
0
3
cos

1
1
)
4
cos
1
(
4
cos
4
)
2
(
2
2


















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





2

3

2

2
1
4
cos
1
3

cos

<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>x</i>















</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i>Trường hợp 2: phương pháp đối lập </i>

Áp dụng:



<i>A_A</i>_<i>M_B</i> <i>B</i>



<i>A</i>



<i>B</i>



<i>M</i>

Giải phương trình:

1. (cos2<i>x</i>cos4<i>x</i>)2 62sin3<i>x</i> (1)
Ta có:

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>.sin 6 2sin3
3

sin
4
)
1

(  2 2  

Do: sin23<i>x</i>1 và sin2<i>x</i>1 nên 4sin23<i>x</i>.sin2 <i>x</i>4
Vậy 4sin23<i>x</i>.sin2 <i>x</i>462sin3<i>x</i>

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi  2_
2 <i>k</i>

<i>x</i> 

2.

3



cos

<i>x</i>



cos

<i>x</i>



1



2

(2)

1
cos
4
)
1
(cos
2
1
cos
4
cos
5
cos
3
1
cos
2
cos
3
)
2
(

















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Ta có:
và
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>








,
0
1
cos
4
,
0
)
1
(cos
2

Do đó dấu = của (2) xảy ra khi và chỉ khi:

)
(
2
1
cos
<i>Z</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>










Trường hợp 3:

Áp dụng:





<i>M</i>
<i>A</i>
<i>N</i>
<i>B</i>
<i>N</i>
<i>B</i>
<i>M</i>
<i>A</i>
<i>N</i>
<i>M</i>
<i>B</i>
<i>A</i>






 ....



1
sin

sin
2
sin
sin
1
sin
,
1
sin
2
sin
sin
1
sin
sin
2
sin
sin



















<i>v</i>
<i>u</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>v</i>
<i>u</i>
<i>v</i>
<i>u</i>

Tương tự cho các trương hợp:
2
cos
cos
;
2
cos
sin







<i>v</i>
<i>u</i>
<i>v</i>
<i>u</i>

Giải phương trình:

1. 2 0

4
3
cos
2

cos <i>x</i> <i>x</i>  (1)
2

4
3
cos
2

cos  

 <i>x</i> <i>x</i>

Mà 1

4
3
cos
,
1
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<i>Z</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





,
8
1
4
3
cos
2
cos



<b>2.</b> cos2<i>x</i>cos4<i>x</i>cos6<i>x</i>cos<i>x</i>.cos2<i>x</i>.cos3<i>x</i>2 (2)

)
(
2
2
1
6
cos
2
cos
4
cos
3
6
cos
2
cos
4
cos
4
9
)
6
cos
2
cos
4
(cos
4
3

4
9
)
6
cos
4
cos
6
2
(cos
4
1
cos
.
2
cos
.
3
cos
)
2
(
1
cos
.
2
cos
.
3
cos

4
1
)
3
cos
(cos
3
cos
2
1
3
cos
2
cos
.
3
cos
2 2
<i>tm</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>VT</i>

































<b>X.Loại nghiệm khơng thích hợp của một phƣơng trình lƣợng giác </b>
<b>Phƣơng pháp chung </b>

Ta thường gặp 2 dạng toán sau:

Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc (a, b) của phương trình
Ta thực hiện theo các bước:

<i>Bước 1</i>: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

<i>Bước 2:</i> Giải phương trình để tìm nghiệm x = α + 2kπ

n , k, n  Z

<i>Bước 3:</i> Tìm nghiệm thuộc (a, b):
a < α + 2kπ

n < b (k, n  Z)  (k0, l0)  x0 = α +
0
0
2k π

n
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ta thực hiện theo các bước:

<i>Bước 1:</i> Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình x β + 2lπ

n , l, n  Z

<i>Bước 2:</i> Giải phương trình để tìm nghiệm x0 = α +

2kπ

n , k, n  Z

<i>Bước 3</i>: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

<i>Phương pháp đại số: </i>

 Nghiệm x0 bị loại khi và chỉ khi:

α + 2kπ

n = β +
2lπ

n

 Nghiệm x0 chấp nhận được khi và chỉ khi:

α + 2kπ

n  β +
2lπ

n

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

 Biểu diễn các điểm x = β + 2lπ

n , l, n  Z trên đường trịn đơn vị, khi đó ta được tập các
điểm C = {C1,…, Cp}

 Biểu diễn các điểm x = α + 2kπ

n , k, n  Z trên đường trịn đơn vị, khi đó ta được tập các
điểm D = {D1,…, Dq}

 Lấy tập E = D\C = {E1,…, Er} từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:

x = E1 + 2k π ,… x = Er + 2k π , k  Z

<b>Bài tập tự luận </b>

25. Giải các phương trình sau:
a. 1 - cos4x

2sin2x =

sin4x
1 + cos4x
b.

2 2

cotg x - tg
cos2x

<i>x</i>

= 16(1 + cos4x)
26. Giải các phương trình sau:

a. 6sinx – 2cos x = 3 5sin 4x.cosx
2 cos 2<i>x</i>

b.

4 4

sin x + cos x
sin 2x =

1

2(tgx + cotgx)
27. Giải các phương trình sau:

a. s inx + sin2x + sin3x

cosx + cos2x + cos3x = 3
b.

2

1 2sin x - 3 2 s inx + sin2x
2sin x.cosx - 1



= 1
28. Giải các phương trình sau:

a. 2(sin3x – cos3x) = 1
s inx +

1
co s x
b.

3 3

sin x + cos x

cosx - sinx = cos2x
29. Giải các phương trình sau:
a. 2 2 sin(x + π

4) =
1
s inx +

1
co s x
b.

4 x 4 x

sin cos

2 2

1 - sinx



- tg x.sinx = 2 1

2(1 + sinx) +

2
tg x
30. Giải các phương trình sau:

a. 3(cotg2x cos2x)
cotg2x - cos2x



- 2sin2x = 2

b. 1

tgx + cotg2x =

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

a. 4

sin x + co s x = 4 7

8cotg(x +
π

3).cotg(
π
6 - x)

b. 1

co s x +
1

sin 2x =

2
sin 4x
32. Giải các phương trình sau:
a. 3tg3x + cotg2x = 2tgx + 2

sin4x
b. sin x – sinx + 2 1₂

sin x -
1
sinx = 0
33. Tìm các nghiệm của phương trình:
sinx

2 - cos
x

2 = 1 – sinx
thỏa mãn điều kiện |x

2-
π
2| ≤

3π
4

34. Tìm các nghiệm của phương trình:

1

2(cos5x + cos7x) -
2

cos 2x + sin 3x = 0 2
thỏa mãn điều kiện | x | < 2

35. Tìm các nghiệm của phương trình:
3π

4 sin(2x +
5π

2 ) – 3cos(x -
7π

2 ) = 1 + 2sinx
thỏa mãn điều kiện x  (π

2, 3 π )

36. Tìm tổng các nghiệm thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 70 của phương trình:
cos2x - tg x = 2

2 3

2
cos x - cos x - 1

cos <i>x</i>

<b>Một số bài tập tổng hợp luyện tập </b>

1) 22 . sin(x + /4)=1/sin x + 1/cos x

2) Giải phương trình sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)
3) Giải phương trình sin2x = 2cos2x + cos23x

4) 8cos3(x + /3) = cos3x

5) sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)
6) cos6x – sin6x = 13/8 . cos22x
7) 1 + 3tgx = 2sin2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

9) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)

10) Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 – 3sin2x + m
Giải PT f(x) = 0 khi m = -3

<b>Phương trình bậc nhất và bậc 2:</b>
1. 2sin2 <i>x</i> + 5sin<i>x</i> – 3 = 0
Ans:







2
6
5

2
6

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>







2. 2cos2<i>x</i> - 3cos<i>x</i> + 1 = 0
Ans:









2
3

2
3

2

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>









3. cos2<i>x</i> = sin<i>x</i>
Ans:





2
2

5
1
arcsin

2
2

5
1
arcsin

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>














4. (Đại học quốc gia Hà Nội- Khối D năm 2000-2001)

<i>x</i>

2
sin
2
tan
3

1 

Ans:  <i>k</i>

4

<b>Phương trình bậc nhất </b>đ<b>ối với sin</b><i>x</i><b> và cos</b><i>x</i><b>: </b>
1. 3 sin<i>x</i> + cos<i>x</i> = 1

Ans:







2
2
3

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>







2. y =

4
sin
cos
2

3
sin
2
cos







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

( <i>x</i>(;))
Tìm <i>x</i>để y min, max.

Ans:

2
max

11
2
min




<i>y</i>
<i>y</i>

<b>Phương trình thuần nhất bậc 2 </b>đ<b>ối với sin</b><i>x</i><b> và cos</b><i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Ans:

2
tan

4
3
tan





<i>x</i>
<i>x</i>

2. sin2<i>x</i> - 3 sin<i>x</i>cos<i>x</i>+ 2cos2<i>x</i> = 1
Ans:







<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>







6
2

3. 4sin2<i>x</i> + 3 3 sin2 - 2cos<i>x</i> 2<i>x</i> = 4
Ans:







<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>







6
2

<b>Phương trình </b>đ<b>ối xứng </b>đ<b>ối với sin</b><i>x</i><b> và cos</b><i>x</i><b>: </b>
1. (2 + 2 )(sin<i>x</i>cos<i>x</i>) – sin2 = 2<i>x</i> 2 + 1
Ans:  2

4 <i>k</i>

<i>x</i> 

2. -6( sin<i>x</i> - cos<i>x</i>) - sin<i>x</i>cos<i>x</i> = 6
Ans:





2
2
3

2

<i>k</i>

<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>





3. 1 + tan<i>x</i> = 2sin<i>x</i> +

<i>x</i>

cos
1

Ans:







2
4

4
3

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>







<b>Phương trình bậc chẵn hoặc bậc lẻ </b>đ<b>ối với sin</b><i>x</i><b>, cos</b><i>x</i>

1. 3sin3 <i>x</i> - cos3 <i>x</i>+ 2cos<i>x</i> = 0
Ans: <i>x</i>  <i>k</i>

4

2. _6sin<i>x</i> - 2cos3 <i>x</i>_{= 5 sin}2 .cos<i>x</i> <i>x</i>

Ans: <i>x</i> <i>k</i>
4

3. sin2 2 = 4( cos<i>x</i> 4 <i>_x</i>

+ cos2 ) + sin<i>x</i> 4 <i>x</i>

Ans:







<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>








4
4

4. sin7 <i>x</i> + cos5 <i>x</i>₊

2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Ans:









<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>









4
2

<b>Sử dụng công thức biến tích thành tổng: </b>
1. sin<i>x</i>.sin2 .sin<i>x</i> 3 = <i>x</i> sin4<i>x</i>

4

1

Ans:
2

4
8





<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>





2. sin2 .sin<i>x</i> 5 = sin<i>x</i> 3 .sin<i>x</i> 4 <i>x</i>

Ans:
2





<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>




3. cos5 .sin<i>x</i> 4 = cos<i>x</i> 3 .sin<i>x</i> 2 <i>x</i>

Ans:

7
14

2





<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>

<i>x</i>





4. 3 + 2sin<i>x</i>. sin3 = 3cos<i>x</i> 2 <i>x</i>

Ans: <i>x</i><i>k</i>

5.

<b>Sử dụng cơng thức biến tổng thành tích: </b>

1. 0

4
cos
.
3
cos

1
3

cos
.
2
cos

1
2

cos
.
cos

1 _ _ _

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

Ans: x =
3



<i>k</i>

2. sin<i>x</i> + sin2 + sin<i>x</i> 3 = cos<i>x</i> <i>x</i> + cos2 + cos<i>x</i> 3 <i>x</i>

Ans:











2
3

2
2
3
2

2
8

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>












3.

<b>Dạng khác </b>

1. )

4
7
sin(
4
)
2
3
sin(

1
sin

1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _  

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Ans:










<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>












8
3

8

2
4

1. sin<i>x</i> = 2 sin5 - cos<i>x</i> <i>x</i>

Ans:

3
24
7

2
16

3






<i>k</i>

<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>








2. 1 + tan<i>x</i> = 2sin<i>x</i> +

<i>x</i>

cos
1

Ans:







2
4

4
3

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>







3. (tan cot )

2
1
2

sin
cos

sin4 4

<i>gx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>






Ans: phương trình vơ nghiệm.
4. sin3 <i>x</i>cos4 <i>x</i>1
Ans:





2
2 <i>k</i>

<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>





5. sin2<i>x</i>.sin<i>x</i> 3sin2<i>x</i>.cos<i>x</i>

Ans:






<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>





3
2

6. <i>x</i> <i>x</i> 1 2sin<i>x</i>

2
cos
2

sin4  4  
Ans:





2
2

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>





7. (Đại học sư phạm Hà Nội- Khối B, D năm 2000-2001)

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 3 2sin2 8cos
cos

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Ans:










2
4
3

2
4
2

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>










8. (Đại học giao thông vận tải Hà Nội năm 2000-2001)

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> cos ).cos 3 cos2

(sin
2

2   

Ans: Phương trình vơ nghiệm

9. (Đại học hàng hải năm 2000-2001)
3
cos
4
)
4
sin
2
4
cos
3
)(
1
sin

2

( <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  2<i>x</i>

Ans:
2

2
6
7





<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>





10. (Đề thi đại học kiến trúc Hà Nội- chuyên ban năm 2000-2001)

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>gx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> cos sin .cot cos .tan 2sin2

sin3  3  3  3 

( gợi ý: sin<i>x</i>cos<i>x</i> 2sin2<i>x</i>)

11. (Đại học ngoại thương - Khối A – CSII – năm 2000-2001)

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> cos3 cos sin2 cos2

sin

1    

Ans:











2
3

2
6
7

2
6

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>













12. _{Tìm m}_đ_{ể phươ}_{ng trình sau có nghiệm}
2

1
2
sin
cos

sin<i>x</i> 4 <i>x</i><i>m</i> <i>x</i>

Ans: <i>m</i>(;1][1;)

13. _{Tìm m}_đ_{ể phươ}_{ng trình sau có nghiệm}
m( sin<i>x</i>+cos<i>x</i>) + sin2 = 0 <i>x</i>

Ans: ;2 2]
2

2
[



<i>m</i>

14. 2a.sin<i>x</i> + (a+1)cos<i>x</i> =

<i>x</i>
<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

b, Tìm a để phương trình có nghiệm
Ans: a,




<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>x</i>










)
5
1
arctan(

)
5
1
arctan(

b, <i>a</i>(;1)(0;)

15.: Giải phương trình: cotanx + sinx(1+tanx.tanx/2)=4
(Đề thi ĐH&CĐ,khối B,năm 2006)

16. Giải các phương trình sau:a) sin³x.cosx- cos³x.sinx=¼
b) sin cos x =5/8

( Trích sách 400 bài toán lượng giác tự luận )
17 Giải các phương trình sau :

a)cos^6x+sin^6x=cos^6x +1/16 b)cos^6-sin^6x=cos2x
(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận ’)

18. Giải các phương trình sau: a) (sinx.cot5x)/ cos9x = 1 (ĐH Huế)
b) 2tanx +cot2x = 2sin2x +1/sin2x ( ĐHQG Hà Nội)

(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận)

19. Giải các phương trình sau: cos3x +cos2x – cosx-1=0
(Trích sách ‘400BT lượng giác tự luận’)

20.Giải phương trình sau: sin²2x +cos²3x =1

21.Giải các phương trình sau: a) cos²x + cos²2x + cos²3x +cos²4x = 3/2 ( HVQHQT)

b) sin²x + sin²2x +sin²3x = 3/2

22. Cho phương trình (*):

0
cos
)
3
4
(
cos
sin
)
2
(
2
sin
)

1
2
(
3
sin
)
6
4

(  <i>m</i> 3<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> 2<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i>

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên






4
,
0 

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản </b>

<b>II. Một số bài tập tham khảo: </b>
3. Giải phương trình:

2

1
)
1
2
cos(
/

a   với x



































































































2
1
6
5
x
2
1
6
x
1
k
0
k
Z
k
2

1
6
7
k
6
5
2
1
2
1
k
6
2
1
k
6
x
*
2
1
6
x
0
k
Z
k
2
1
6
5

k
6
7
2
1
2
1
k
6
2
1
k
6
x
*
)
Z
k
(
2
1
k
6
x
2
k
3
1
2
3

cos
)
1
2
cos(
2
2
)
15
x
2
sin(
/

b    với 120x90






















































































75
x
105
x
0
k
1
k
Z
k
12
1
k
12
13
90
180
.
k
75
120
180

.
k
75
x
*
30
x
0
k
Z
k
3
1
k
6
5
90
180
.
k
30
120
180
.
k
30
x
*
)
Z

k
(
180
.
k
75
x
180
.
k
30
x
360
.
k
135
15
x
2
360
.
k
45
15
x
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

)
Z
k

(
2
k
4
3
x
k
x
2
1
x
cos
0
x
sin
0
x
cos
2
1
0
x
sin
2
0
)
x
cos
2
1

(
x
sin
2
0
sx
cos
x
sin
2
2
x
sin
2
0
x
2
sin
2
x
sin
2
/
d
)
Z
k
(
9
k

2
18
x
k
2
2
x
k
2
2
x
9
2
k
2
2
x
2
0
2
x
9
2
cos
0
2
x
2
cos
0

2
x
9
2
cos
.
2
x
2
cos
2
0
x
5
cos
)
x
4
2
cos(
0
x
5
cos
x
4
sin
/
c
)

Z
k
(
5
k
2
10
x
2
k
2
x
2
k
x
2
2
x
3
2
k
x
2
2
x
3
)
x
2
2

sin(
x
3
sin
x
2
cos
x
3
sin
/
b
)
Z
k
(
3
)
1
k
2
(
3
2
x
2
k
2
x
2

k
)
3
x
(
1
x
2
2
k
3
x
1
x
2
)
3
x
sin(
)
1
x
2
sin(
/
a





















































































































































































<b>Phƣơng trình bậc hai của một hàm số lƣợng giác </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<i> 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x</i> (1)

Chuyển tất cả số hạng từ vế phải sang vế trái rồi biến đổi thành tích:

<i> sinx + (1– cos2x) – (cosx – cos3x) – sin2x </i>
<i> = sinx + 2sin2x – 2sinxsin2x – sin2x </i>

<i> = sinx(1 + 2sinx) – sin2x(2sinx + 1) </i>
<i> = (1 + 2sinx)(sinx – sin2x) </i>

<i> = (1 + 2sinx)sinx(1 – 2cosx) </i>

<i> (1) </i> <i> (1 + 2sinx)sinx(1 – 2cosx) = 0 </i>

<i><b>BT2: Giải phương trình </b></i>

<i>cos2x – cosx = 2sin2</i>

Ta có:

<i> cos2x – cosx = 2sin2</i>

<i> –2sin</i> <i>sin – 2sin2</i> <i> = 0 </i>

<i> –2sin</i> <i> = 0 </i>

<i> –2sin</i> <i>2sinxcos</i>

<i> = 0 </i>

<i>(k ) </i>

<i> (k ) </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<i>(k ) </i>

<i><b>BT3: Giải phương trình </b></i>

<i> sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0) </i>

Nhân hai vế của phương trình với cosx rồi biến đổi như sau:

<i> sin4xcosx + 3sin2xcosx – sinx = 0 </i>
<i> sin5x + 4sin3x + sinx = 0 </i>
<i> sin5x + sinx + 4sin3x = 0 </i>
<i> sin3x(cos2x + 2) = 0 </i>
<i> sin3x = 0 </i>

<i> x = </i> <i> (tmđk) </i>

<b>Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác </b>

1. Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1. Khi đó, phương trình có dạng:
2

t - (2m + 1)t + m + 1 = 0



1
t =

2
t = m








1
cosx =

2
cosx = m








π

x = 2kπ

3
cosx = m (*)

 _{ }





, k  Z

a. Với m = 3

2 thì phương trình (*) vơ nghiệm.
Vậy với m = 3

2 phương trình có hai họ nghiệm

π

x = 2kπ

3

  , k  Z
b. Để phương trình có nghiệm thuộc [π

2,
3π

2 ] điều kiện là:
(*) có nghiệm thuộc [π

2,
3π

2 ] -1  m  0.
Vậy, với -1  m  0 thỏa mãn điều kiện đề bài
2. Biến đổi phương trình về dạng:

5 – 4(1 - cos x) – 4(1 + cosx) = 3m 2 4cos x – 4cosx – 3m – 3 = 0 2

Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1

Khi đó phương trình có dạng:

f(t) = 4t - 4t – 3m – 3 = 0 2 (1)

a. Với m = - 4

3, phương trình có dạng:
4t - 4t + 1 = 0 2 t = 1

2 cosx =
1

2 

π

x = 2kπ

3

  , k  Z
Vậy, với m = - 4

3, phương trình có hai họ nghiệm.
b. Phương trình có nghiệm:

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>



f(-1).f(1) 0
' 0
af(-1) 0
af(1) 0

S

-1 1

2




  _


_ 
_ _
_


  




(5 3m)(-3 - 3m) 0
16 + 12m 0
5 - 3m 0

- 3 - 3m 0

1

-1 1

2

 



_ _


_ 
_ _
_



  


+

m Z


m = - 1

m = 0
m = 1






Vậy, với m = 1 hoặc m = 0 phương trình có nghiệm.
3. Biến đổi phương trình về dạng:

1 - 2sin x + 5sinx + m = 0 2 2sin x – 5sinx – m -1 = 0 2
Đặt t = sinx, điều kiện | t |  1

Khi đó, phương trình có dạng:
f(t) = 2t - 5t – m -1 = 0 2

a. Với m = 2, phương trình có dạng:
2t - 5t – 3 = 0 2 

t 1

3
t = (L)

2

 






sinx = -1 x = -π

2 + 2k π , k  Z
Vậy, với m = 2, phương trình có một họ nghiệm.

b. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1]

(1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1] (loại vì S
2 =

5
4)

f(-1).f(1)  0 (6 – m)(- 4 – m)  0 - 4 m 6
Vậy, với - 4 m 6 phương trình có nghiệm.

4. Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1
Khi đó, phương trình có dạng:

f(t) = 4t - 2(m – 1)t – m = 0 2

a. Với m = 3 , phương trình có dạng:
4t - 2( 3 - 1)t - 3 = 0 2



1
t =

-2
3
t =

2









1
cosx =

-2
3
cosx =

2










2π

x = 2kπ

3
π

x = 2kπ

6

 _ _




 _{ }


, k  Z
Vậy, với m = 3 , phương trình có bốn họ nghiệm

b. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1]
(1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]

hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1]



f(-1).f(1) 0
' 0
af(-1) 0
af(1) 0

S

-1 1

2




  


_ 
_ _
_


  




2

(m + 2)(6 3m) 0
m 2m + 1 0
m + 2 0
6 - 3m 0

m - 1

-1 1

4

 


  


 _




 







  




mọi m

Vậy, với mọi m phương trình ln có nghiệm.
5. Biến đổi phương trình về dạng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

mcos x – 2(m – 2)cosx + m – 2 = 0 2
Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1
Khi đó, phương trình có dạng:

f(t) = mt - 2(m – 2)t + m – 2 = 0 2
Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (-π

2,
π

2) điều kiện là:
(1) có đúng 1 nghiệm thuộc (0, 1)

3  m < 4

6. Biến đổi phương trình về dạng:

(m – 1)(1 - cos x) – 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0 2

(m – 1)cos x + 2(m + 1)cosx – 3m + 2 = 0 2
Đặt t = cosx, điều kiện | t |  1

Khi đó, phương trình có dạng:

(m – 1)t + 2(m + 1)t – 3m + 2 = 0 2
Ta có:

Δ’ = (m + 1 2

) + (3m - 2)(m - 1) = 4m - 3m + 3, 2
af(-1) = (m – 1)(- 4m – 1), af(1) = 3(m – 1),

S

2 - 1 = -
m + 1

m - 1 - 1 = -
2m
m - 1,
S

2 + 1 = -
m + 1

m - 1 + 1 = -
2
m - 1

Kẻ bảng:

m Δ’ af(-1) af(1) S

2 - 1
S
2 + 1

So sánh các nghiệm với
- 

-1/4
0
1
+ 

+
+
+
+

-
0
+
+
0
-

-
-

-
0
+

-
-
0
+
||
-

-
-
-
||
+

t1 < -1 < t2

t1= -1

-1 < t1 < 1 < t2

t = ¼
t1 < -1 < t2 < 1

Vậy:

 Với m < - 1

4, phương trình vơ nghiệm
 Với m = - 1

4, phương trình có nghiệm t1 = - 1 x = π + 2k π , k  Z
 Với - 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

t1 =

2

m - 1 - 4m 3m 3
m 1

  

 cosx = t1 = cos α
x =  α + 2k π , k  Z

 Với m = 1, phương trình có nghiệm:
t = 1

4 cosx =
1

4 = cos β x =  β + 2kπ, k  Z
 Với m > 1, phương trình có nghiệm:

t2 =

2

m - 1 + 4m 3 3
m 1

<i>m</i>

  

 cosx = t2 = cosγ
x =  γ + 2kπ, k  Z

<b>Phƣơng trình bậc nhất của sin x và cos x </b>
7.

a. Biến đổi phương trình về dạng:
3sinx - 4sin x - 3 cos3x = 1 3

sin3x - 3 cos3x = 1 1

2sin3x -
3

2 cos3x =
1
2

sin3x.cosπ

3 - cos3x.sin
π

3 =

1

2 sin(3x -
π

3) = sin
π
6



π π

3x - 2kπ

3 6

π π

3x - π - 2kπ

3 6

 _{ }




 _ _





π 2kπ
x

6 3

7π 2kπ
x

18 3

  




  


, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

b. Biến đổi phương trình về dạng:
3

2 sin4x -
1

2cos4x =
1
2sinx -

3

2 cosx sin(4x -
π

6) = sin(x -
π
3)



π π

4x - x - 2kπ

6 3

π π

4x - π - x + 2kπ

6 3

 _ _




 _ _





π 2kπ

x -

18 3

3π 2kπ
x

10 5

  




  


, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

c. Biến đổi phương trình về dạng:

2sinx.cosx – 2sinx = 3 cos2xsin2x - 3 cos2x = 2sinx
1

2sin2x -
3

2 cos2x = sinxsin2x.cos
π

3 - cos2x.sin
π

3 = sinx

sin(2x - π
3)

π

2x - x + 2kπ
3

π

2x - π - x 2kπ

3

 _




 _ _





π
x = + 2kπ

3

4π 2kπ
x =

9 3





 _



, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

d. Biến đổi phương trình về dạng:
2sin3x = sin2x - 3 cos2xsin3x = 1

2sin2x -
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

sin3x = sin2x.cosπ

3 - cos2x.sin
π

3 = sinxsin3x = sin(2x -
π
3)



π

3x = 2x - + 2kπ
3

π
3x = π - 2x + 2kπ

3





 _





π
x = - + 2kπ

3
4π 2kπ
x =

15 5





 _



, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

8.

a. Biến đổi phương trình về dạng:
3 sin(x - π

3) + cos(x +
π
6 -

π

2) – 2sin1972x = 0

 3 sin(x - π

3) + cos(x -
π

3) = 2sin1972x

 3

2 sin(x -
π
3) +

1

2cos(x -

π

3) = sin1972x

sin(x - π
3 +

π

3) = sin1972x

sin1972x = sinx  1972x x + 2kπ
1972x = π - x + 2kπ






 

2kπ
x

1971

π 2kπ

x = +
1973 1973

 





, kZ
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm

b. Biến đổi phương trình về dạng:
3sinx + 3 cosx = 1 3

2 sinx +
1

2cosx =
1

2 3

2
2

π π

π
x + = - + 2kπ

m 2

x = - 2kπ

1_α 3 1 - t 6 6

3

π π m 0

2 2 1 t

x = π 2kπ
x + = π + + 2kπ

6 6

 _

 _ _ _ _

 

 _ _



 _ _ _




sinx.cosπ

6 + cosx.sin
π
6 =

1

2 3 sin(x +
π
6) =

1

2 3 = sin α



π

x + α 2kπ

6
π

x + = π - α + 2kπ
6

 _{ }








π
x α - 2kπ

6
5π

x = - α + 2kπ
6

  






, k  Z
9.

a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

1 + 3

2 2 sinx +
1 - 3

2 2 cosx =
1

2
Đặt 1 + 3

2 2 = cos α ,
1 - 3

2 2 = sin α , ta được:
sinx.cos α + cosx.sin α = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>



π
x + α = 2kπ

4
π

x + α = π - + 2kπ
4
 _






π

x = α 2kπ
4

3π

x = - α+ 2kπ
4
 _{ }





, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:
(sinx + cosx) + 3 (sinx – cosx) = 2 2 sin(x + π

4) - 6 cos(x +
π
4) = 2

 1

2sin(x +

π
4) -

3

2 cos(x +
π
4) =

1
2

sin(x + π
4).cos

π

3 - cos(x +
π
4).sin

π
3 =

1

2 sin(x -
π

12) = sin

π
4



π π

x - = 2kπ

12 4

π π

x - = π - + 2kπ

12 4
 _





π
x = 2kπ

3
5π

x = + 2kπ
6

 _





, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

b. Biến đổi phương trình về dạng:
( 3 - 2)cos2x = 1 – sin2x ( 3 - 2)( 2

cos x - sin x) = (cosx - sinx2 ₎2
[( 3 - 2)(cosx + sinx) – (cosx – sinx)](cosx - sinx) = 0

 ( 3 3)cosx = (1 - 3)s inx

cosx = sinx

 _


 

tgx = - 3
tgx = 1




 

π
x = - kπ

3
π
x = kπ

4
 _


 _


, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

10.

a. Biến đổi phương trình về dạng:
3cosx - 3 sinx = 3 cos2x + sin2x

 3 ( 3

2 cosx -
1

2sinx) =

3

2 cos2x +
1
2sin2x

 3 cos(x + π

6) = sin(2x +
π
3)

 3 cos(x + π

6) = 2sin(x +
π

6).cos(x +
π
6)



π
cos(x + ) 0

6

π 3

sin(x + ) =

6 3
 _





π π

x + kπ

6 2

π π

x + = + 2kπ

6 3

π 2π

x + = + 2kπ

6 3
 _{ }









π
x = kπ

3
π
x = 2kπ

6
π
x = 2kπ

2
 _


 _


 _


, k  Z

Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.

b. Sử dụng phép biến đổi từng phần:
cos(x

5 -
π

12) - 3 sin(
x
5 -

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

= 2[1
2cos(

x
5 -

π
12) -

3
2 sin(

x
5 -

π
12)]
= 2sin(π

6 -

x
5 +

π

12) = 2sin(
π
3 -

x

5) = 2sin[ π - (
x
5 +

2π
3 )]
= 2sin(x

5+
2π

3 ) = 2sin(
x
5 +

π
6 +

π

2) = 2cos(
x
5 +

π
6)
Từ đó, phương trình được biến đổi về dạng:

2 2 sin(x
5 +

2π

3 ) = 0 
x
5 +

2π

3 = k π x = -
10π

3 + 5k π , k  Z
Vậy, phương trình có một họ nghiệm.

11. Xét hai trường hợp:
 Với cosx

2 = 0 

x
2 =

π

2 + k π x = π + 2k π , k  Z, thay vào phươg trình ta được:
(m – 1)sin( π + 2k π ) – cos( π + 2k π ) = 1 luôn đúng

Vậy x = π + 2k π , k  Z là một họ nghiệm của phương trình.
 Với cosx

2 0
x
2 

π

2 + k π x  π + 2k π , k  Z
Đặt t = tgx

2, suy ra sinx = 2
2t

1 t và cosx =
2
2
1 - t
1 t
Khi đó, phương trình có dạng:

2
2(m - 1)t

1 t -
2
2
1 - t

1 t = 1 2(m – 1)t – 1 +
2

t = 1 + 2

t (m – 1)t = 1 (2)

a. Với m = 1 ta thấy ngay phương trình chỉ có một họ nghiệm x = π + 2k π , k  Z
b. Với x  [-π

2,
π

2] thì t  [-1, 1]
Do vậy, để phương trình có nghiệm thuộc [-π

2,
π

2] điều kiện là phương trình (2) có nghiệm
thuộc [-1, 1]

 m - 1₁

- 1 1

m - 1





 _ _

 

m 2
m 0



 _


Vậy, với m  (-, 0]  [2, +) thỏa mãn điều kiện đề bài.
12.

a. Với m = -1, phương trình có dạng:
3 sinx + cosx = -1  3

2 sinx +
1

2cosx = -
1

2 sin(x +
π

6) =
sin(-π
6)



π π

x + = - + 2kπ

6 6

π π

x + = π + + 2kπ

6 6









π
x = - 2kπ

3
x = π 2kπ

 _



 _


, k  Z
Vậy, với m = -1 phương trình có hai họ nghiệm.

b. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với phần đồ thị
hàm số y = sin(x + π

6) trên D =
(-π
6, 2 π ]
Từ đó, ta có thể kết luận:

 Với | m | > 2, phương trình vơ nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

 Với – 2 < m  0 hoặc 1 < m < 2, phương trình có 2 nghiệm thuộc D.

 Với 0 < m  1, phương trình có 3 nghiệm thuộc D.

<b>Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x </b>
13. Biến đổi phương trình về dạng:

2(1 – cos2x) + 3 3 sin2x – (1 + cos2x) = 4

 3 sin2x – cos2x = 1  3

2 sin2x -
1

2cos2x =
1
2

sin(2x - π

6) = sin
π
6 

π π

2x - 2kπ

6 6

π π

2x - π - 2kπ

6 6

 _{ }




 _ _





π

x kπ

6
π

x kπ

2

  




  


, k  Z

14. Ta có cosx = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho
2

cos x 0, ta được:
3tg x + 2mt.tgx – 1 = 0 2

Đặt t = tgx, phương trình có dạng:

3t + 2mt – 1 = 0 2 (2)

a. Với m = 0, ta được:
3t – 1 = 0 2 t =  1

3  tgx = tg
π

6 x = 
π

6 + k π , k  Z
Vậy, với m = 0 phương tình có hai họ nghiệm

b. Để phương trình có nghiệm:

(2) có nghiệm  '  0m + 3 2  0 , luôn đúng.
Vậy, với mọi m phương trình ln có nghiệm.

15. Biến đổi phương trình về dạng:
(m + 1)sin x - 2sinx.cosx + 1 - 22 sin x = 0 2

(m - 1)sin x - 2sinx.cosx + 1 = 0 2
Xét hai trường hợp:

 Với cosx = 0 x = π

2 + k π , k  Z
Khi đó, phương trình có dạng:

m – 1 = 1 = 0 m = 0
 Với cosx  0 x π

2 + k π , k  Z
Chia 2 vế của phương trình cho co s2 0, ta được:

(m - 1)tg x – 2tgx + 1 + 2 tg x = 0 2 mtg x – 2tgx + 1 = 0 2
Đặt t = tgx, phương trình có dạng:

f(t) = mt - 2t + 1 = 0 2 (1)

a. Với m = 0, phương trình có dạng:
-2t + 1 = 0 t = 1

2 tgx =
1

2 = tg α x = α + k π , k  Z
Vậy, với m = 0 phương trình có hai họ nghiệm

b. Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (0, π
2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>



' > 0
af(0) > 0
S

0
2






 




1 m > 0
1 > 0

1

0
m


 



 


0 < m < 1

Vậy, với 0 < m < 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài
16. Ta thấy phương trình khơng nhận x = π

2 + k π làm nghiệm
Chia 2 vế của phương trình cho co s2 0, ta được:

m.tg x - 3tgx – (m + 1)(1 + 2 tg x ) = 0 2  tg x + 3tgx + m + 1 = 0 2
Đặt t = tgx, phương trình có dạng:

f(t) = t + 3t + m + 1 = 0 2

a. Với m = 1, phương trình có dạng:
2

t + 3t + 2 = 0  t = - 1
t = - 2




 

tgx = - 1
tgx = - 2 = tgα




 

π
x = - kπ

4
x = α + kπ

 _





, k  Z
Vậy, với m = 1 phương trình có hai họ nghiệm

b. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, 3π
2 )

(1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t1 < 0 < t2
af(0) < 0 m + 1 < 0 m < - 1

Vậy, với m < - 1 thỏa mãn điều kiện đề bài
17. Điều kiện cosx 0 x  π

2+ k π , k  Z

<i>Cách 1:</i> Biến đổi phương trình về dạng:

msinx.cosx + cos x = 1 2 msinx.cosx = sin x 2

 s inx = 0

m.cosx = sinx





cosx 0

 s inx = 0

tgx = m




 (I)

a. Với m = 3 , ta được:
(I)  s inx = 0

tgx = 3




 

x = kπ
π
x = + kπ

3






, k  Z

Vậy, với m = 3 , phương trình có hai họ nghiệm
b. Từ (I) ta thấy phương trình (1) có nghiệm với mọi m
c. Vì x1 + x2 

π

2+ k π , do đó có thể coi:

 x1 là nghiệm của phương trình sinx = 0  tgx1 = 0

 x2 là nghiệm của phương trình tgx = m tgx2 = m

suy ra:

cos2(x1 + x2) = cos2x1.cos2x2 – sin2x1.sin2x2

=
2

1
2

1
1 tg x
1 tg x


 .

2
2
2

2
1 tg x

1 tg x



 - 21
1
2tgx
1 tg x .

2
2

2
2tgx
1 tg x =

2
2
1 - m
1 m

<i>Cách 2</i>: Chia 2 vế của phương trình (1) cho cosx  0, ta được
mtgx + 1 = 1 + tg x 2 t2  tg x – mtgx = 0 2  tgx = 0

tgx = m




</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

a. Với m = 3 , ta được:

(I)  tgx = 0

tgx = 3




 

x = kπ
π
x = + kπ

3






, k  Z

Vậy, với m = 3 phương trình có hai họ nghiệm.
b. Từ (II) ta thấy phương trình (1) có nghiệm với mọi m.
c. Vì x1 + x2 

π

2+ k π , do đó có thể coi:

 x1 là nghiệm của phương trình tgx = 0  tgx1 = 0

 x2 là nghiệm của phương trình tgx = m tgx2 = m

suy ra cos2(x1 + x2) =
2
2
1 - m
1 m

<b>Phƣơng trình đối xứng với sin x và cos x </b>

18.

a. Đặt | sinx – cosx | = t, điều kiện 0  t  2 , suy ra sinx.cosx =
2
1 t

2



Khi đó, phương trình có dạng:

t + 4(1 - t ) = 12 4t - t - 3= 0 2 
t 1

3

t (L)

4




  


| sinx – cosx | = 1sin2x = 02x = k π x = kπ

2 , k  Z
Vậy, phương trình có một họ nghiệm.

b. Đặt | sinx + cosx| = t, điều kiện 0  t  2 , suy ra sinx.cosx =
2
t 1

2



Khi đó, phương trình có dạng:
t – (t - 1) = 1 2  t - t = 02  t 1

t 0



 

 

sin 2x 0
sin 2x 1




 _{ }




2x kπ
π

2x 2kπ

2





   




kπ
x

2
π

x kπ

4

 



   


, k  Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.

19. Đặt t = sinx + cosx điều kiện | t |  2 , suy ra sinx.cosx =
2
t 1

2



Khi đó, phương trình có dạng:

3t = 2m(t - 1) = 0 2 f(t) = 2mt - 3t – 2m = 0 2
Với x  (0, 3π

4 ) thì điều kiện 0  t  2 bởi phép biến đổi:
0 < x < 3π

4 

π

4 < x +
π

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

0 < 2 sin(x + π

4)  2 1 < t  2
Để phương trình có nghiệm thuộc (0, 3π

4 ) điều kiện là

(1) có nghiệm thuộc (0, 2 ] (1) có 1 nghiệm thuộc (0, 2 ]
hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc (0, 2 ]



f (0).f ( 2) 0
0

af(0) 0
af( 2) 0

S

0 2

2

 _


 





 _




 


  






m 0

3 2
m

2




 _


Vậy,với m  (-, 0) [3 2

2 , +) thoả mãn điều kiện đầu bài.
20. (1 - cosx)(1 - sinx) = m

 sinx + cosx – sinx.cosx + m - 1 = 0

Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |  2 , suy ra sinx.cosx =
2
t 1

2



Khi đó,phương trình có dạng:

t -

2
t 1

2



+ m – 1 = 0 f(t) = t - 2t – 2m + 1 = 0 2 (1)
a. Với m = 2 phương trình có dạng:

2

t - 2t – 3 = 0  t = -1
t = 3 (L)




 sinx + cosx = -1 sin(x +

π
4) = -

2
2



π π

x + 2kπ

4 4

π 5π

x + 2kπ

4 4

 _{  }




 _ _




π

x 2kπ

2

x π 2kπ

   


 _{ }


, k  Z
Vậy, với m = 2 phương trình có hai họ nghiệm.
b. Với x  [0, π

2] thì điều kiện 1 t  2 bởi phép biến đổi:
0 x  π

2 

π

4  x +
π
4 

3π

4 

2

2  sin(x +
π
4)  1

1  2 sin(x + π

4)  2 1  t  2
Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [0, π

2] thì điều kiện là:
(1) có đúng 1 nghiệm thuộc [1, 2 ]



f (t).f( 2) 0
b

1 2

2a

 




   _




0  m  3 2 2
2



Vậy, với 0  m  3 2 2
2



</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

21. Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |  2 , suy ra sinx.cosx =
2

t 1

2



Khi đó, phương trình có dạng:
mt +

2
t 1

2



+ 1 = 0 f(t) = t + 2mt + 1 = 0 2 (1)
a. Với m = 0 , phương trình có dạng:

2

t + 1 = 0 vô nghiệm

Vậy, với m = 0 phương trình vơ nghiệm
b. Với x  [-π

2, 0] thì điều kiện -1  t  1 bởi phép biến đổi:
-π

2  x  0 
-π

4  x +
π
4 

π
4 

-2

2  sin(x +
π
4) 

2
2

-1  2 sin(x +π

4)1 -1  t  1
Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [-π

2, 0] thì điều kiện là:
(1) có đúng 1 nghiệm thuộc [-1, 1]



f(-1).f(1) 0
b

- 1 - 1

2a






_ _ _




| m |  1

Vậy, với | m |  1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

22. Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |  2 , suy ra sinx.cosx =
2

t 1

2



Khi đó, phương trình có dạng:

mt + t - 1 = 0 2  f(t) = t + mt – 1 = 0 2
a. Với m = 2 phương trình có dạng:

2

t - 1 = 0 sin2x = 02x = k π x = kπ

2 , k  Z
Vậy, với m = 0 phương trình trên có một họ nghiệm

b. Với x  [0, π ] thì điều kiện -1  t  2 bởi phép biến đổi:
0  t  π  π

4  x +
π
4 

5π
4 

-2

2 sin(x +
π
4)1

-1 2 sin(x +π

4) 2 -1 t  2

Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc [0, π ] điều kiện là:
(1) có hai nghiệm phân biệt thuộc [-1, 2 ]



0
af(-1) 0
af( 2) 0

S

0 2

2

 


 _



 



  


- 2  m 0

Vậy, với - 2  m 0 thỏa mãn điều kiện đề bài.
23. Điều kiện:

s inx 0
cosx 0




 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Biến đổi phương trình về dạng:
s inx - cosx

s inx.cosx - k = 0 sinx – cosx – ksinx.cosx = 0
Đặt sinx – cosx = t, điều kiện | t |  2 , suy ra sinx.cosx =

2

t 1

2



Khi đó phương trình có dạng:
t – k.

2
1 t

2



= 0 f(t) = kt + 2t – k = 0 2 (2)

1) Với k = 0, ta được:

t = 0 sinx + cosx = 0 x = -π

4 + k π , k  Z
Vậy với k = 0 phương trình có 1 họ nghiệm
2) Với k  0 , ta có:

Δ = 1 + 2

k > 0 k, suy ra phương trình (2) có hai nghiệm là:
t1 =

2

1 1 k

k

  

; t2 =

2

1 1 k

k

  

Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm thỏa mãn - 2  t  2
Xét 2 trường hợp:

<b>Trƣờng hợp 1</b>: Phương trình (2) có 1 nghiệm thuộc [- 2 , 2 ]

f(- 2 )f( 2 )  0 (k - 2 )(k + 2 )  0 -2 2  k  2 2
Khi đó, nghiệm thuộc [- 2 , 2 ] là t2 =

2

1 1 k

k

  
sinx – cosx =

2

1 1 k

k

   _

sin(x - π
4) =

2

1 1 k

k

  

= sin α



π

x - α + 2kπ
4

π

x - π - α + 2kπ
4

 _




 _




π

x α + + 2kπ
4

5π

x = - α + 2kπ
4

 






, k  Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

<b>Trƣờng hợp 2:</b> Phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc [- 2 , 2 ]



0
af( 2) 0
af(- 2) 0

S

2 2

2

 


 _



 _



  




2

1 k 0

k(k 2 2) 0
k(k - 2 2) 0

1

2 2

k

  


 


 _



   


 k 2 2

k - 2 2

 





Khi đó, ta có:
 Với t1 =

2

1 1 k

k

  
sinx – cosx =

2

1 1 k

k

   _

sin(x - π
4) =

2

1 1 k

k

  

= sin α



π

x - α + 2kπ
4

π

x - π - α + 2kπ
4

 _





 _




π
x α + + 2kπ

4
5π

x = - α + 2kπ
4

 





</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

 Với t2 =

2

1 1 k

k

  
sinx – cosx =

2

1 1 k

k

   _

sin(x - π
4) =

2

1 1 k

k

  

= sinβ



π

x - β + 2kπ
4

π

x - π - β + 2kπ
4

 _




 _




π
x β + + 2kπ

4
5π

x = - β + 2kπ
4

 






, k  Z
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.

24. Đặt sinx - cosx = t, điều kiện | t |  2 , suy ra sinx.cosx =
2

t 1

2



Khi đó phương trình có dạng:

mt + 1 - t = m 2 f(t) = t - mt + m – 1 = 02  t 1
t = m - 1





 s inx - cosx 1

t = m - 1






 

π 2

s in(x - )

4 2

t = m - 1











x = π + 2kπ
π
x = 2kπ

2
t = m - 1 (*)




 




, k  Z
a. Với m = 1 + 2 ta giải phương trình:

t = 2 sinx – cosx = 2 x = 3π

4 + 2k π , k  Z
Vậy với m = 1 + 2 phương trình có 3 họ nghiệm

b. Để phương trìn có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ] điều kiện là:
(*) vơ nghiệm hoặc có nghiệm bằng 1

 | m 1| 2

m - 1 = 1

 _{ }


 

m > 1 2
m < 1 - 2

m = 2

 






Vậy với m  (-, 1 - 2 )(1 + 2 , +){2}thỏa mãn điều kiện đề bài
<b>Phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối </b>

Bài 1:

2
sin
2
cos

3 <i>x</i> <i>x</i> 

<i>x</i>

<i>x</i> 2 3cos

sin

2  



Điều kiện:

3
2
cos<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>























<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>l</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
,
2
0
cos
)
(
13
/
12
cos
0
cos
0
cos
12
cos
13
cos
3
2
sin
4
2

2
2



Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Bài 2:
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
sin
1
tan

cot  

Điều kiện:   






<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
,
2
0
cos
0
sin 

 

 

 











































 _









<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2
3
2
2
3
2
2
1
cos

0
2
cos
1
0
cos
2
cos
1
sin
1
cos
2
1
cos
1
1
sin
1
sin
1
cos
2
tan
cot
2
2
sin
1
tan

cot
1
0
sin
tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2

Kiểm tra điều kiện (1):
- Với x =  2

3
2

<i>k</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

 

0
3
1
2
3
1
3

2
3
2
sin
1
2
3
2
tan
sin
1
tan











 _







 _






<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Do đó họ nghiệm này bị loại.
- Với x = -  2

3
2

<i>k</i>

 , ta được:

0
3
1
2
3
1
3
2

3
2
sin
1
2
3
2
tan
sin
1
tan









_ _






_ _







<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Do đó họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có một họ nghiệm x = -  2
3

2

<i>k</i>

 ,<i>k</i>.
Bài 3:
.
,
2
0
2
sin
1
2
cos

1
2
2
sin
2
4
cos
4
sin
2
1
2
4
cos
4
sin
2
4
cos
2
4
sin
2
2
cos
sin
cos
sin
2















 _







 





 















 






 







 







 





<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>










</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
cos
sin
cos
sin
sin
1
cos
1






Đặt sin<i>x</i>  cos<i>x</i> <i>t</i>, suy ra

2

1
cos
sin
2
 <i>t</i>
<i>x</i>
<i>x</i> .

Do sin2<i>x</i>cos2<i>x</i>10 sin<i>x</i> 1,0 cos<i>x</i> 1nên









1
cos
sin
0
cos
sin
cos
sin
0
cos
1
cos
sin
1
sin
2
2













<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Vậy điều kiện là 1<i>t</i>  2.

Khi đó phương trình có dạng:

)
2
(
0
2

0
2
1
2
2










 

<i>a</i>
<i>t</i>
<i>at</i>
<i>t</i>
<i>a</i>
<i>t</i>

a) Với a = 2 2, ta có:

 

.
,
4

2
cos
sin
1
2
1
2
0
2
2
2
2
2 2




















<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>



Vậy với a = 2 2phương trình có một họ nghiệm.

b) Phương trình (1) có nghiệm => (2) có nghiệm thỏa mãn 1<i>t</i> 2.

Mà (2) khơng thể có 2 nghiệm thuộc khoảng 1<i>t</i>  2(do (2) khơng thể có 2 nghiệm cùng dấu
vì a.c = -1 < 0) nên (2) chỉ có thể có 1 nghiệm thuộc khoảng 1<i>t</i> 2.

.

   

2
2
0
)
2
2

)(
2
(
0
2
.
1








<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f</i>
<i>f</i>

Vậy nếu a < 2 2 thì phương trình vơ nghiệm.
Bài 5 :| sinx – cosx | + | sinx + cosx | = 2

Bình phương 2 vế ta được | cos2x | = 1  sin2x = 0  x = k/2

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

.
,
4
1
2

sin
0
2
cos
1
2
cos
0
2
sin
0
2
cos
2
cos
0
2
sin
0
1
2
cos
2
sin
0
cos
sin
0
cos
sin

1
2
cos
2
sin
2
2
2
4
4
2
4
2







































<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 2:

 

 
























2
0
sin
sin
1
0
cos
cos
sin
1
0
cos
cos
sin
1
0
cos
sin
1
2
2
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Giải (2):





































<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
,
2

2
2
1
sin
1
cos
)
1
(
1
cos
1
sin
1
cos
1
sin
0
sin
2





Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài 3:
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
sin
4
cos
cos
1
cos

1   _

Điều kiện: , .

2
0

cos<i>x</i>  <i>x</i> <i>k</i> <i>k</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

















































































































 _







.
,
3
6
5
10
8
3
8
2
2
8
2
2
8
2
4
3
2
2

4
2
cos
8
cos
2
1
2
sin
8
cos
1
2
cos
1
2
1
2
sin
0
2
sin
4
cos
sin
0
4
cos
0
2

sin
4
cos
sin
0
2
sin
4
cos
1
sin
1
0
2
sin
2
sin
2
2
sin
2
cos
0
2
sin
2
sin
2
2
sin

2
cos
2
sin
2
2
sin
2
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>


















Vậy phương trình có hai họ nghiệm

<b>Phƣơng trình lƣợng giác sử dụng các cơng thức cộng cung </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

1. 3 sin5x

cos5x

2sin x;

2.sin 7x

cos7x

2 cos3x

3.cos4x

tgxsin 4x 1;

4.sin 6x

3 cos6x

2 cosx

cos6x sin x

5.

3

cosx sin 6x























H-íng dÉn

1. 3 sin5x

cos5x

2sin x

cos 5x

sin x

3

2.sin 7x

cos7x

2 cos3x

sin 7x

cos3x

4

3. §iỊu kiƯn: x

k ;

2

cos4x

tgxsin 4x 1

cos3x

cosx

4.sin 6x

3 cos6x

2 cosx

sin 6x

cosx

3

5. §iỊu kiƯn: cosx

sin6x

cos6x si













_



_



















_



_









  



 















_



_











n x

3

cosx sin 6x

cos 6x

sin x

cos

x

3

3

6

























_



_



_



_



_



_







2. áp dụng các công thức biến tích thành tổng giải các ph-ơng trình

3

1. 2sin3x cosx

sin 2x

3 cos4x;

2. 2sin3x cosx sin 4x

sin 2x

2;

3. 2 cos5x cosx

cos4x sin3x;

4. 2sin 7xsin x

cos8x

3 sin 6x 1;

3

5. 2 cos7x cos3x

cos10

2





















</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

H-íng dÉn









3

3

3

2

1. 2sin3x cosx

sin 2x

3 cos4x

sin 4x sin 2x

sin 2x

3 cos4x

tg4x

3

2. 2sin3x cosx sin 4x

sin 2x

2

sin 4x sin 2x

sin 2x sin 4x

2

sin 4x sin 4x 2

0

sin 4x 1 sin 4x sin 4x

2

0

sin 4x 1

3. 2 cos5x cosx

cos4x sin3x

cos6x

cos4x

cos





































 

























4x sin3x

cos6x

cos

3x

2

4. 2sin 7xsin x

cos8x

3 sin 6x 1

cos6x

cos8x

cos8x

3 sin 6x 1

cos 6x

cos

3

3

3

5. 2 cos7x cos3x

cos10

2

3

cos10x

cos4x

cos10x

2

3

cos4x

2













_



_































_



_















3. áp dụng các công thức biến tổng thành tích giải các ph-ơng trình

3

1. cos9x

cosx

sin13x sin3x

2. cos9x

cosx

cos5x 1 cos 4x

3.

2 cos4x

2 2 cos 2x

1 0

8

4. 2sin 6x 1 4sin 3x

12

5. 2sin 4x

3

4 cos2x

3





















_



_

 











 

_



_









_



_

_









</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

























3

3

3

2

1. cos9x

cosx

sin13x sin3x

2 cos5x cos4x

2sin8x cos5x

cos5x cos4x sin8x

0

2. cos9x

cosx

cos5x 1 cos 4x

2 cos5x cos4x

cos5x 1 cos 4x

cos5x cos 4x 2 cos4x 1

0

cos5x cos4x 1 cos 4x

cos4x 1

0

3.

2 cos4x

2 2 cos 2x

1

8

































 







 









_



_

 









0

cos4x

2 cos 2x

cos

0 Chia c¶ 2 vÕ cho 2

8

4

2 cos 2x

cos 2x

2 cos 2x

0

8

8

8

2 cos 2x

cos 2x

1

0

8

8

4. 2sin 6x 1 4sin 3x

12

sin 6x sin

2sin 3x

Chia c¶ 2 v

6

12











_



_





























_



_

_



_



_



_

































_



_

_

_



_



_





















 

_



_

















_



_













Õ cho 2

2sin 3x

sin 3x

2sin 3x

12

12

12

2sin 3x

sin 3x

1

0

12

12

5. 2sin 4x

3

4 cos2x

3

sin 4x

sin

2 cos2x Chia c¶ 2 vÕ cho 2

3

3

2sin 2x

cos2x

2 cos2x

3

2 c





















_



_

_



_



_



_































_



_

_

_



_

 

_

















_



_

_



















_



_

















_



_









os2x sin 2x

1

0

3





_





_{ }









_

_







</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

2 2

2

3

3

2 3

1. sin x 3cos x sin 2x

2 cos2x

5

2. sin x

cos2x

2sin 2x 1

3. cos3x

cosx

4sin x

4. cosx cos2x

cos x sin x

5. 2sin x cosx

cos x

cosx sin x





























H-íng dÉn





2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2

2 2 2

1. sin x 3cos x sin 2x

2 cos2x

5

sin x 3cos x

2sin x cosx

2 2 cos x 1

5

sin x

7cos x

2sin x cosx

7sin x

7cos x

6sin x 2sin x cosx

0

2. sin x

cos2x

2sin 2x 1

sin x

2 cos x 1 2sin 2x 1

sin x

2 cos x

4sin x cosx

2sin x

2 co

















 



























 





















2

2

3

3 3 2 2

3 2

2

s x

sin x

4sin x cosx

0

3. cos3x

cosx

4sin x

4 cos x

4sin x

4 cosx cos x sin x

4sin x

4 cosxsin x

0

4sin x sin x

cosx

0











































3

2 3

3 2 2

3 3 3 2 2

3 2 2

4. cosx cos2x

cos x sin x

cosx 2 cos x 1

cos x sin x

cos x

sin x

cosx sin x

cos x

cos x

cos x sin x sin x cos x

cosxsin x

sin x sin x cos x

cosxsin x

0







 





























Chia c¶ 2 vế cho

cos x

3

0

ta thu đ-ợc:

tg x

3



tg x

2



tgx



0









2 3

2 3 2 2

2 3 3 3 2 2

3 2 2

5. 2sin x cosx

cos x

cosx sin x

2sin x cosx

cos x

cosx sin x sin x

cos x

2sin x cosx

cos x

cos x sin x sin x cos x

cosxsin x

sin x sin x cosx

cos xsin x

0





































</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>





3 3

2

3 3

1. sin3x

cos3x

2 sin x

cosx

1

2. sin x

cos x sin x

cosx

2

3. cosx sin x

2sin x cosx 1

4. 3sin x

cosx 3sin 2x 8sin x 1

5. sin x

cos x sin 2x 1 0



































 

H-íng dÉn







 











 















3 3

2

2 3

2

1. sin3x

cos3x

2 sin x

cosx

1

3sin x

4sin x

4 cos x

3cosx

2 sin x

cosx

1

4 sin x

cosx 1 sin x cosx

5 sin x

cosx

1

Đặt t = sinx + cosx, t

2 ta nh ận được:

t

1

- 4t 1-

5t

1

2

t

2t t

1

1

2t

t

1 0

t

1 2t

2t

1

0

t

1

2. si























 



















_{ }









 

  

  

 



   



















3 3

2

2

3 2

n x

cos x

sin x

cosx

2

sin x

cosx 1 sin x cosx

sin x

cosx

2

Đặt t = sinx + cosx, - 2

t

2 ta thu được:

t

1

t 1-

t

2

t 3

t

2t

4

2

t

5

4

0

t

1 t

t

4

0

3. cosx

sin x

2sin x cosx 1

Đặt t = cosx - sinx, - 2

t

2 ta thu được









 







_{  }

_

_

_









     

 









 











2 2

2

2 2

2

3 3

:

t + 1 - t

1

t

t

0

t

0;t

1

4. 3sin x

cosx

3sin 2x

8sin x 1

Đặt t = 3sinx + cosx, - 2

t

2 suy ra t

1 8sin x

3sin 2x

ta thu được: t

1 2

0

5. sin x

cos x

sin 2x

1 0

sin x

cosx 1 sin x cosx

sin 2x 1 0

     











 

 



  





 

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

2

2

2 2

2

Đặt t = sinx - cosx, - 2

t

2 ta thu ®­ỵc:

1 - t

t 1 -

1 t

1 0

2

t 1 t

4

2t

0

t

1 t

3t

4

0

t

1

 





   













 



 

 

   

6. Sử dụng các công thức nhân đôi, nhân ba giải các ph-ơng trình:

3

2

3

1. 2 cos3x sin 2x

cosx

0

2. sin3x sin 2x

2sin x

0

3. 3 cos3x

4sin x 3sin x 1

4. cos3x

cos2x sin x

2

5. cos3x 3cosx

4 cos 3x





























H-íng dÉn

















3

3

2

2

3

2

1. 2 cos3x

sin 2x

cosx

0

2 4 cos x

3cosx

2sin x cosx

cosx

0

8cos x

2sin x cosx

5cosx

0

cosx 8cos x

2sin x

5

0

cosx

8sin x

2sin x

3

0

2. sin3x

sin 2x

2sin x

0

3sin x

4sin x

2sin x cosx

2sin x

0

sin x

4sin x

2 cosx

5

0

sin x 4









































































2



3

cos x

2 cosx 1

0

sin x

0

3. 3 cos3x

4sin x

3sin x 1

3 cos3x

sin3x 1

sin

3x

cos

sin

3

3

6



 





























_



_











 



2

3 2 2

4. cos3x

cos2x sin x

2

4 cos x 3cosx

2 cos x 1

1 cos x

2







</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>









3 2

2

3

3 3

4 cos x

cos x 3cosx 2

0

cosx 1 4 cos x 5cosx

2

0

cosx 1

5. cos3x 3cosx

4 cos 3x

4 cos x

4 cos 3x

cos3x

cosx







 



























7. Gi¶i các ph-ơng trình sau

2
3

3
2

2

3

2

2 2

2 2

1

1

1.

2

7 tg x

cos x

cosx

1

2.

tg x

tgx

4

cos x

3. tg x

tgx

2 cot gx

4

1

4. cot g x

3

sin x

1

5.

tg x

cot g x

6

sin x cos x



_



_{ }































H-íng dÉn















2
3

3 2

3 2

2

3 2 3

2

3 2

1

1

1.

2

7

tg x

cosx

cos x

1

1

1

2

8

cosx

cos x

cos x

1

Đặt

t, t

1, ta thu được

cosx

2t

t

2t

8

0

t

2

2t

3t

4 2

0

2. §iỊu kiƯn: cos2x

0

x

k

k

2

1

tg x

tgx

4

1

tg x

tg x

tgx

4

cos x

tg x

tg x

tgx

3

0

tgx

1 tg



_



_{ }















_



_

 









 

 

 

 





  







  













 







2



x

2tgx

3

0

tgx

1







</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

























2 2

3 2

2

3 3 2

2

3 2

2

3. §iỊu kiƯn: sin2x

0

x

k

k

2

2

tg x

tgx

2 cot gx

4

tg x

tgx

4

tgx

tg x

tg x

4tgx

2

0

tgx 1 tg x

2tgx 2

0

4. §iỊu kiƯn: sinx

0

x

k

k

1

cot g x

3

cot g x 1 cot g x

3

sin x

cot g

cot g x 2

0

cot gx 1 cot g x

2 cot gx

2



  







 













 











    



 

 







 



















2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

4 2

2

cot gx 1

5. §iỊu kiƯn: sin2x

0

x

k

k

2

1

tg x

cot g x

6

sin x cos x

1 tg x 1 cot g x

tg x

cot g x

6

2tg x

2 cot g x

4

0

2

2tg x

4

0

tg x

2tg x

4tg x

2

0

tg x 1







  









 















8. Giải các ph-ơng trình sau

3 3

4 2

4 2

4 2 6 6

1. sin3x

cos3x

2sin 2x 1

2. sin x

cos x 1 sin x cosx

3. 8cos x 8cos x 1 sin 4x

4. 8cos x 8cos x 1 cos8x

5. 8cos x 8cos x 1 sin x

cos x

sin 4x

6.

3 cosx

2 cos3x

cosx









 



 



 



 



</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

H-íng dÉn





 







 



3 3

4 2

4 2

4 2

1. sin3x

cos3x

2sin 2x 1

sin x

cosx 2sin 2x 1

2sin 2x 1

0

2. sin x

cos x 1 sin x cosx

sin x

cosx 1 sin x cosx

1 sin x cosx

0

3. 8cos x 8cos x 1 sin 4x

cos4x

sin 4x

tg4x 1

4. 8cos x 8cos x 1 cos8x

cos4x

cos8x

5. 8cos x 8cos x











 

 



 







 





 











 



















6 6

2

1 sin x

cos x

3 1 cos4x

3

cos4x 1

sin 2x 1

4

8

6. §iỊu kiƯn: cos3x + cosx

0

x

k ;x

k

k

4

2

2

sin 4x

3 cosx

2 cos3x

cosx

sin x

3 cosx

tgx

3

 







 

 















   

9. Giải các ph-ơng trình

2



2

2

2

1.

3 1 tg x sin 2x

tg x 1

2tgx

2. 3 2 cot gx

0

1 tg x

sin3x

3.

tg5x

4 cos x

sin x



















H-íng dÉn







2



2

2

2

1. §iỊu kiƯn: cosx

0

x

k

k

2

3 1 tg x sin 2x

tg x 1

1 tg x

3 sin 2x

1 tg x

1

cos2x

3 sin 2x

tg2x

3



     















</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>







 



















_

_

2

2

2

2. §iỊu kiƯn: sin2x

0

x

k

k

2

2tgx

3 2 cot gx

0

1 tg x

3 2 cot gx sin 2x

0

1 sin 2x

2 1 cot gx

0

2

sin x

cosx

sin x

cosx

0

sin x

2

sin x

cosx

sin x

cosx

0

sin x

sin x

cosx

2 sin x sin x cosx

0

sin x

sin x

cosx

0

tgx

1

3.



  











 





 

























_





_





















 

 





2

2

§iỊu kiƯn: x

k ;X

k

k

10

5

sin3x

tg5x

4 cos x

sin x

sin3x

5g5x

4 cos x

sin x

tg5x

1





 



















 

<b>Loại nghiệm khơng thích hợp của một phƣơng trình lƣợng giác </b>
25.

a. Điều kiện:
sin 2x 0

1 + cos4x 0




 _

  2

sin 2x 0
2cos 2x 0








 sin4x ≠ 0 x ≠

kπ

4 , k  Z
Biến đổi phương trình về dạng:

1 - cos 4x = 2sin4x.sin2x2  2

sin 4x = 2sin4x.sin2x
sin 4x 0

 sin4x = 2sin2x2sin2x.coss2x = 2sin2x
sin 2x 0

 cos2x = loại
Vậy phương trình vơ nghiệm

b. Điều kiện:
s inx 0

cosx 0
cos2x 0




 _


 _



 sin 2x 0

cos2x 0




 _

 sin4x ≠ 0 x ≠

kπ

4 , k  Z
Ta có:

2

cot g - t g = 2

4 4

2 2

cos x sin x
sin x.cos <i>x</i>



=

2 2

2
cos x sin x

1

sin 2x
4



</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

2
4

sin 2x = 32
2

co s 2x 1 = 2sin 4x 2 cos8x = 0

8x = π

2 + k π x =
π
16 +

kπ

8 , k  Z thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

26.

a. Điều kiện:
cos2x ≠ 0 2x ≠ π

2 + k π x ≠
π
4 +

kπ

2 , k  Z (*)

Biến đổi phương trình về dạng:

6sinx – 2cos x = 5sin2x.cosx 3 6sinx - 2cos x = 10sinx.3 cos x 2 (1)
 Với cosx = 0  x = π

2 + k π , k  Z
(1)6sin(π

2 + k π ) = 0 mâu thuẫn.
Vậy phương trình khơng nhận x = π

2 + k π làm nghiệm
 Với cosx ≠ 0 x ≠ π

2 + k π , k  Z

Chia 2 vế của phương trình (1) cho cos3x ≠0, ta được
6(1 + _{tg x)tgx - 2 = 10tgx}2 ₃_{tg x - 2tgx - 1 = 0}3
(tgx – 1)(3tg x + 3tgx + 1) = 0 2

tgx = 1x = π

4 + k π , vi phạm điều kiện (*)
Vậy phương trình vơ nghiệm

b. Điều kiện:
sin 2x 0

cosx 0
sinx 0




 _


 _


sin2x ≠ 0 2x ≠ k π x ≠ kπ

2 , k  Z (*)

Biến đổi phương trình về dạng:

2 2 2 2 2

(sin x cos x) 2sin x.cos x
sin 2x

 

= 1
2.

2 2

sin x cos x
cosx.sin x





2
1

1 sin 2x
2

sin 2x



= 1

sin 2x sin2x = 0 loại
Vây phương trình vơ nghiệm

27.

a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng:
2sin 2x.cosx + sin2x

2co s 2x.cosx + cos2x = 3 

(2cosx + 1)sin2x

(2cosx + 1)cos2x = 3

 2cos x 1 0

tg2x = 3

 




 

1

cos x

2
π
2x = kπ

3

 _{ }




 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>



2π

x 2kπ

3
π kπ
x =

6 2

   




 _





π

x kπ

6
π
x = - 2kπ

3

  




 _



, k  Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b. Điều kiện:

2sinx.cosx – 1 ≠ 0 sin2x ≠ 1 x ≠ π

4 + k π , k  Z (*)

Biến đổi phương trình về dạng:

1 + 2sin x - 32 2 sinx + sin2x = sin2x – 1

2sin x - 32 2 sinx + 2 = 0
|sinx| 1

 sinx = 2
2

(*)

x = 3π

4 + 2k π , k  Z
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

28.

a. Điều kiện:
s inx 0

cosx 0




 _

 sin2x ≠ 0 2x ≠ kπ x ≠

kπ

2 , k  Z (*)

Ta có:

sin3x – cos3x = 3sinx - 4sin x - 43 co s x + 3cosx 3
= 3(sinx + cosx) – 4(sin x + 3 co s x ) 3

= (sinx + cosx)[3 – 4(sin x + 2 co s x – sinx.cosx)] 2
= (sinx + cosx)(2sin2x -1)

1
s inx +

1
co s x =

s inx + cosx
sinx.cos x =

2(s inx + cosx)
sin2x

Do đó, phương trình được biến đổi về dạng:

2(sinx + cosx)(2sin2x – 1) = 2(s inx + cosx)
sin2x

(sinx + cosx)(2sin2x – 1)sin2x = sinx + cosx

(sinx + cosx)(2sin 2x - sin2x - 1) = 0 2


2

sinx + cosx = 0

2sin 2x sin 2x - 1 = 0



 _

 

tgx = - 1
1
sin2x = -

2
sin 2x = 1










π
x = - kπ

4
π
2x = - 2kπ

6
7π

2x = 2kπ

6
π
2x = 2kπ

2

 _




 _




 _











π
x = - kπ

4
π
x = - kπ

12
7π

x = kπ

16

π
x = kπ

4

 _




 _




 _











π kπ
x =

4 2

π
x = - kπ

12
7π

x = kπ

12

 _




 _




 _



, k  Z

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
b. Điều kiện:

cosx – sinx ≠ 0  tgx ≠ 1x ≠ π

4 + k π , k  Z (*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

3

sin x + co s x = cos2x.cosx – cos2x.sinx 3

 3

sin x + co s x = 3 1

2(cos3x + cosx) -
1

2(sin3x –sinx)

2(sin x + 3 3

co s x) = 4 3

co s x - 3cosx + cosx – 3sinx + 4 3

sin x + sinx

 3

sin x + 3

co s x – sinx – cosx = 0(sinx + cosx)(1 – sinx.cosx – 1)=0

 1

2(sinx + cosx)sin2x = 0

s inx + cosx = 0
sin2x = 0




 

tgx = - 1
sin2x = 0






π
x = - kπ

4
2x = kπ

 _







π
x = - kπ

4
kπ
x =

2

 _






, k  Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
29.

a. Điều kiện:
s inx 0

cosx 0




 _

 sin2x ≠ 0 2x ≠ kπ x ≠

kπ

2 , k  Z (*)

Biến đổi phương trình về dạng:

2(sinx + cosx)sinx.cosx = sinx + cosx

(sinx + cosx)(sin2x – 1) = 0 s inx + cosx = 0
sin2x = 1




 

x = - 1
sin2x = 1







π
x = - kπ

4
π
2x = 2kπ

2

 _




 _





π
x = - kπ

4
π
x = kπ

4

 _




 _


x = π
4 +

kπ

2 , k  Z
Vậy phương trình cso 1 họ nghiệm

b. Điều kiện:
1 s inx 0
cosx 0

 


 _

 

s inx 1
cosx 0




 _

 cosx ≠ 0x ≠

π

2 + kπ, k  Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:

2 x 2 x 2 2 x 2 x

(sin cos ) 2sin .cos

2 2 2 2

1 sinx

 

 =

1

2(1 + sinx) + (1 + sinx)
2
tg x



2
1
1 sin x

2
1 s inx



 = (1 + sinx)(

1
2 +

2

tg x) 2 - sin x = (1 - 2 sin x)(1 + 2 tg x) 2

1 + cos x = 2 cos x + 22 sin x 2 cos2x = 0x = π
4 +

kπ

2 , k  Z
Vậy phương trình có một họ nghiệm

30.

a. Điều kiện:
sin 2x 0

cotg2x - cos2x 0




 _

 

sin 2x 0
cos2x

- cos2x 0
sin2x






 _

 

sin 2x 0
cos2x 0

sin2x 1




 _



 _


sin4x ≠ 0 4x ≠ k π x ≠ kπ

4 , k  Z (*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

cos2x

3 cos2x

sin2x
cos2x

cos2x
sin2x

 _ 

 

 

 = 2(1 + sin2x)

3(1 sin 2x)
1 sin 2x



 = 2(1 + sin2x)
3(1 + sin2x) = 2(1 - sin 2x) 2 2sin 2x + 3sin2x + 1 = 0 2



sin2x = - 1 (L)
1
sin2x = -

2








π
2x = - 2kπ

6
7π

2x = 2kπ

6

 _




 _





π
x = - kπ

12
7π

x = kπ

12

 _




 _



, k  Z
b. Điều kiện:

cos x 0
sin2x 0

tgx + cotg2x 0
cotgx 1




 _



 _



 _





sin2x 0

tgx + cotg2x 0
cotgx 1




 _



 _



(*)

Biến đổi phương trình về dạng:
1

s inx cos2x
cosxsin2x

= 2(cosx - sinx)
cosx

1
sinx 

 sin2x.cosx

cos(2x x) = 2 sinx
sinx 0

 2sinx = 2 cosx = 2

2 x = 
π

4 + 2k π , k  Z
Kiểm tra điều kiện (*) ta chỉ nhận được nghiệm x = - π

4 + 2k π , k  Z
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

31.

a. Ta có:
cotg(x + π

3).cotg(
π

6 - x) = cotg(x +
π
3).tg(

π
2 -

π
6 + x)
= cotg(x + π

3).tg(x +
π
3) = 1
Từ đó, ta lần lượt có:

 Điều kiện có nghĩa của phương trình là:
π

sin(x + ) 0
3

π
cos(x + ) 0

3

 _




 _



sin(2x + 2π

3 ) ≠ 0 x ≠ -
π
3 +

kπ

2 , k  Z (*)
 Phương trình được biến đổi về dạng:

(sin x + 2 cos x2 ) - 22 sin x2 cos x = 2 7

8 1 -
1
2

2

sin 2x = 7
8 4

2

sin 2x = 1

2(1 – cos4x) = 1cos4x = 1

2 x = 
π
12 +

kπ

2 , k  Z
Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm

b. Điều kiện sin4x ≠ 0 4x ≠ k π x ≠ kπ

4 , k  Z
Biến đổi phương trình về dạng:

1
cosx =

2

2sin 2x.cos2x -
1
sin2x 

1
cosx =

1 cos2x
sin 2x.cos2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

 1

cosx =

2
2sin x

2sinx.cosx.cos2x cos2x = sinx2
2

sin x + sinx – 1 = 0



sinx = - 1 (L)
1
sinx =

2








π
x = 2kπ

6
5π

x = 2kπ

6

 _




 _



, k  Z
Vậy, phương trình có 2 họ nghiệm

32.

a. Điều kiện
cos3x 0

sin2x 0
cosx 0
sin4x 0




 _



 _


 _



 cos3x 0

sin4x 0




 _

 

π kπ
x

6 3

kπ
x

4

  



 


, k  Z
Biến đổi phương trình về dạng:

2(tg3x – tgx) + (tg3x + cotg2x) = 2
sin 4x

 2sin 2x

cos3x.cosx +

cosx
cos3x.sin2x =

2
sin 4x

4sin4x.sinx + 2cos2x.cosx = 2cos3x

4sin4x.sinx + cos3x + cosx =2cos3x 4sin4x.sinx = cos3x - cosx

8sin2x.cos2x.sinx = - 2sin2x.sinx
(*)

cos2x = - 1

4= cos2 α

2x = 2 α + 2k π  x =  α + k π , k  Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

b. Điều kiện sinx ≠ 0 x ≠ kπ, k  Z (*)

Biến đổi phương trình về dạng:
4

sin x - 3

sin x + 1 – sinx = 0 (sinx – 1)sin x – (sinx – 1) = 0 3

(sinx – 1)(sin x - 1) = 03 sinx = 1x = π

2 + 2k π , k  Z
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

33. Biến đổi phương trình về dạng:
sinx

2 - cos
x
2 = (sin

x
2 - cos

x
2

2

) (sinx
2 - cos

x

2 - 1)(sin
x
2 - cos

x
2) = 0



x π

2 sin( ) 1

2 4

x x

sin cos

2 2

 _ _




 _




x π 2

sin( )

2 4 2

x

tg 1

2



 




 _




x = π + 4kπ
x = 2π + 4kπ

π
x = 2kπ

2












, k  Z

Lần lượt kiểm tra các nghiệm cho điều kiện | x

2 -

π
2 | 

3π

4 chúng ta nhận được nghiệm của
phương trình là x = π

2, x = π, x = 2π và x =
5π

2
34. Biến đổi phương trình về dạng:

cos6x.cosx - 1

2(cos6x + cos4x) = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

 cos6x = cos5x

cosx = 0




 

6x = 5x + 2kπ

π

x = kπ
2






 _




2kπ
x =

11
x 2kπ

π
x = kπ

2



 _









, k  Z

Lần lượt kiểm tra các nghiệm cho điều kiện | x | < 2 chúng ta nhận được nghiệm của phương
trình là x =  π

2, x =
2kπ

11 với k = 0,1, 2, 3
35. Biến đổi phương trình về dạng:

sin(2x + π

2) – 3cos(x +
π

2) = 1 + 2sinx cos2x + 3sinx = 1 + 2sinx

1 - 2sin x = 1 - sinx2 2sin - sinx = 0 2

 s inx = 0₁

sinx =

2








x = kπ
π
x = 2kπ

6
5π

x = 2kπ

6





 _




 



π
x ( ,3π)

2





x = π, x = 2π
13π
x =

6

5π 17π

x = , x =

6 6











Vậy phương trình có 5 nghiệm

36. Tìm tổng các nghiệm thỏa mãn 1 x 70 của phương trình
cos2x - tg x = 2

2 3

2

cos x cos x 1
cos x

 

Điều kiện cosx ≠ 0 x ≠ π

2 + k π , k  Z (*)

Biến đổi phương trình về dạng:
2cos x - 1 - 2 2

tg x = 1 – cosx – (1 + tg x) 2

2cos x + cosx – 1 = 0 2

 cosx = - 1₁

cosx =
2






 x = π + 2kπ_π

x = 2kπ

3




  


x = π 2kπ

3 3 , k  Z
Với các nghiệm thỏa mãn 1 x 70 ta được

1≤ π 2kπ

3 3 ≤ 70 
3 π

2π



≤ k ≤ 210 π
2π

 k Z

 k = 0, 32
Từ đó ta nhận được:

S = 1

3( π + 3 π + 5 π + … + 65 π ) = 363 π
<b>Một số bài tập tổng hợp luyện tập </b>

<b>1)</b> 2 + 2cos2x = -5sinx

 2sin2x – 5sinx – 3 = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

<b>2)</b> sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)

 (sin3x + cos3x)(sin2x + cos2x) = 2(sin5x + cos5x)

 sin3x.cos3x + cos3x.sin2x = sin5x + cos5x





cos2x - sin2x = 0



cos3x - sin3x = 0  cosx = sinx

 cos2x - sin2x = 0

 cos2x = 0

 x = /4 + k/2

<b>3)</b> sin2x = 2cos2x + cos23x

 (1 – cos2x)/2 = (1 + cos4x)/2 + (1 + cos6x)/2

 (cos2x + cos4x) + (cos6x + 1) = 0

 2cos3x.cosx + 2cos23x = 0

 cosx = 0, cos2x = 0, cos3x = 0

KL: x = /2 + k, x = /4 + k/2, x = /6 + k/3 (k  Z)
<b>4)</b> 8cos3(x + /3) = cos3x

 8. [3cos(x + /3) + cos(3x + )] / 4 = cos3x

 6cos(x + /3) – 2cos3x = cos3x

 2cos(x + /3) = cos3x

 4cosx - 4 cos3x - 3sinx = 0

 2sinx(sin2x - 3/2) = 0

 x = k, x = /6 + k, x = /3 + k
<b>5)</b> sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)

 sin6x(1 - 2 sin2x) + cos6x(2 cos2x – 1) = 0

 cos2x(sin6x + cos6x) = 0
cos2x = 0  x = /4 + k/2
<b>6)</b> cos6x – sin6x = 13/8 . cos22x

 cos2x(2cos22x = 13cos2x + 6) = 0

+) cos2x = 0  2x = /2 + kx = /4 + k/2

+) 2cos2x – 13cos2x + 6 = 0  cos2x = 6 (loại); cos2x = ½  x = /6 + k
<b>7)</b> 1 + 3tgx = 2sin2x

Đặt tgx = t

PT  1 + 3t = 4t/(1+t2)
PT có nghiệm t = -1
KL: x = -/4 + k

<b>8)</b> 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

 2cosx (2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx – 3) = 0
+) 2sinx – 1 = 0  sinx = ½

+) 2cosx + sinx – 3 = 0  2cosx + sinx = 3 (1)PT (1) vơ nghiệm vì 22 + 12 > 32, vậy PT đã cho
tương đương PT sinx = ´

 x = /6 + 2k; x = 5/6 + 2k
<b>9)</b> sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)

 3sinx – 4sin3x = cosx.cos2x.[ sin2x/cos2x + 2sinx.cosx/cos2x) ]
ĐK: cosx  0, cos2x  0

a) sinx = 0  x = k (ko thỏa mãn)

b) 3 – 4sin2x = cosx.cos2x. sinx/cos2x + 2cos2x

 cos2x(1 – tgx) = 0
+) cos2x = 0 (loại)

+) tgx = 1  cos2x = (1- tg2x)/(1+ tg2x) = 0 (loại)
KL: x = k

<b>10)</b> f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 – 3sin2x + m
= cos22x + 2(sinx + cosx)3 – 3(1 + sin2x) + m + 3
= -(sinx + cosx)2 [sinx + cosx – 1]2 + m + 3

khi m = -3 thì f(x) = -(sinx + cosx)2 (sinx + cosx – 1)2
f(x) = 0  sinx + cosx = 0

và sinx + cosx = 1

 cos (x - /4) = 0
và cos (x - /4) = 1/2

 x = 3/4 + k; x = 2k; x = /2 + 2k

<b>Dạng khác </b>

15: Giải phương trình: cotanx + sinx(1+tanx.tanx/2)=4
(Đề thi ĐH&CĐ,khối B,năm 2006)

Bài giải:

Điều kiện:{sinx≠0,cosx≠o,cosx/2≠} <=> sin2x≠0 (*)
Phương trình đã cho tương đương với:

cosx/sinx +sinx{1+(sinx.sinx/2)/(cosx.cox/2}=4
<=>cosx/sinx + {(sinx.cosx/2)/cox.cosx/2)}=4
<=> (cos²x +sin²x)/sinx.cosx =4

<=>sin2x =1/2 (thỏa mãn (*))
ặ

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

16: Giải các phương trình sau:a) sin³x.cosx- cos³x.sinx=¼
( Trích sách 400 bài tốn lượng giác tự luận )

Bài giải:

a)Ta có: sin³x.cosx- cos³x.sinx=¼
<=>sinx.cosx(sin²x-cos²x)=¼
<=>ẵsin2x.(-cos2x)=ẳ
<=>-ẳsin4x=ẳ

<=>sin4x=-1

<=>x= - (k thuộc Z)
<=>1- 2sin²x.cos²x= 5/8

<=> -½sin²2x= -3/8
<=> sin²2x=3/4
<=>1-cos4x=3/2
<=> cos4x=-½

(k thuộc Z)
17: Giải các phương trình sau :

a)cos^6x+sin^6x=cos^6x +1/16 b)cos^6-sin^6x=cos2x
(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận ’)

Bài giải

a) Phương trình <=> 1 – ¾ sin²2x = Cos²2x =1/16
<=> 1 – ¾ (1- cos²2x)= cos²2x +1/16

<=> ¼ + ¾ cos²2x = cos²2x + 1/16
<=> ¼cos²2x = 3/16

<=> cos²2x = ¾
<=> 1 +cos4x = 3/2
<=> cos4x = ½

( k Thuộc Z)
b) Ta có : cos^6x – sin^6x = cos2x
<=> (cos²x

-<=> cos2x(1- sin²x.cos²x) = 2cosx
<=> cos2x = 0 hoặc sin²2x = O

<=> sin4x=0 hoặc x = ( k thuộc Z)

18. Giải các phương trình sau: a) (sinx.cot5x)/ cos9x = 1 (ĐH Huế)
b) 2tanx +cot2x = 2sin2x +1/sin2x ( ĐHQG Hà Nội)

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Bài giải:

a) Điều kiện: cos9x ≠ 0 và sin5x ≠ 0 ộc Z)(*)

Phương trình: <=> sinxcos5x = cos9x.sin5x
<=> ½ (sin6x – sin4x) = ½ (sin14x – sin4x)
<=> sin14x = sin6x

<=> hoặ -

<=> ặ

So sánh với điều kiện nghiệm cần tìm là:

ặ ( l,k thuộc Z; l kô chia hết cho 4)
b) Điều kiện: sin2x ≠ 0 k thuộc Z

Phương trình: <=> 2tanx = 2sin2x + (1-cos2x)/sin2x
<=> 2tanx = 2sin2x + tanx

<=> tanx = 2sin2x

<=> sinx = 2sin2x.cosx = sin3x + sinx
<=> sin3x = 0 <=> ộc Z

Vậ ộc Z; k kô chia hết cho 3) là các nghiệm cần tìm.
19 Giải các phương trình sau: cos3x +cos2x – cosx-1=0

(Trích sách ‘400BT lượng giác tự luận’)
Bài giải:

Phương trình tương đương với:
(cos3x – cosx) – (1 – cos2x) =0
<=> -2sin2x.sinx – 2sin²x =0

<=> sin²x(2cosx +1) =0

<=>

<=> (k thuộc Z)

20.Giải phương trình sau: sin²2x +cos²3x =1
Bài giải:

Ta có: sin²2x + cos²3x =1

<=> ½(1 – cos4x) + ½ (1+cos6x)=1
<=> cos6x = cos4x

hoặc 6x =
-sinx=0
cosx= ½

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

hoặ

( k thuộc Z)

21.:Giải các phương trình sau: a) cos²x + cos²2x + cos²3x +cos²4x = 3/2 ( HVQHQT)

c) sin²x + sin²2x +sin²3x = 3/2

Bài giải:

a) Phương trình :

<=> ½ (1+ cos2x) + ½ (1+cos4x) + ½ (1+cos6x) + cos²4x =3/2
<=> (cos6x + cos2x) + cos4x +2cos²4x =0

<=> 2cos4xcos2x + cos4x + 2cos²4x =0
<=> cos4x(2cos2x +1+ 2cos4x) =0
<=>cos4x(4cos²2x + 2cos2x -1) =0

<=> cos4x =0 hoặc 4cos²2x + 2cos2x – 1=0

<=> cos4x =0 hoặc cos2x = (-1 -√5)/4 hoặc cos2x = (-1+√5)/4

ặ -1 -√5)/4 hoặ cosb= (-1+√5)/4 (k

thuộc Z)

b) Phương trình :

<=> ½ (1 – cos2x) + ½ (1- cos4x)+ ½ (1-cos6x)= 3/2
<=> cos4x +(cos6x + cos2x) =0

<=>cos4x(2cos2x +1) = 0

<=> cos4x =0 hoặc cos2x = -1/2
ặ

ặ (k thuộc Z)

22. Khi <i>x</i>   <i>k</i>

2 thì cos<i>x</i>0,sin<i>x</i>1 nên(*) thành:

0
1
0
)
1
2
(
3
)
6
4
(







 <i>m</i> <i>m</i>

Vô nghiệm

Chia hai vế (*) cho cos3<i>x</i> 0 thì:

0
)
3
4

tan
2
)(tan
1
(tan
0
3
4
tan
)
1
2
(
3
tan
)
1
2
(
tan
0
)
tan
1
)(
3
4
(
tan
)

2
(
2
)
tan
1
(
tan
)
1
2
(
3
tan
)
6
4
(
(*)
2
2
3
2
2
2
3


























<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

<i>m</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>

a/ Khi m = 2 thì (*) thành:

)
(
4
1
tan
0
)
5
tan
4
)(tan
1
(tan 2
<i>Z</i>
<i>k</i>
<i>k</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>















b/ Ta có: _ _
4
;
0 

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

<i>t</i>
<i>x</i>
<i>khi</i>
<i>t</i>
<i>f</i>
<i>m</i>

<i>mt</i>

<i>t</i> 2 4 3)0 ( ), tan 

( 2 (**)

Theo yêu cầu đầu bài ta suy ra

(tan

2

<i>x</i>



2

<i>m</i>

tan

<i>x</i>



4

<i>m</i>



3

)



0

vơ nghiệm trên 0;1

(**) có nghiêm trên

 

0;1

1
2
0

;
0
)
1
(

;
0
)
0
(

;
0

0

)
1
(
)
0
(














<i>S</i>
<i>af</i>
<i>af</i>

<i>f</i>
<i>f</i>

1
4

3
0
)
2
2
)(
3
4

(      

 <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

Do đó (**) vơ nghiệm trên

 

0;1 1
4

3_ _



</div>

<!--links-->