MA TRẬN (TOÁN CAO cấp SLIDE)

BÀI 1

  �
�
�
�

�

�
�
�
�  �
�
�


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n
số thực (phức) được viết thành m hàng và

n cột như sau:
a11 a12 ... a1n �
�
�
�
a
a
...
a
21
22
2n �
�
�... ... ... ... �
�
�
am1 am 2 ... am n �
�
Ký hiệu: A = [aij]mn

í nh


§1:
Ma
Trận
�
a11
�
�

a21
�
�...
�
�ai1
�...
�
am1
�

a12
a22
...
ai 2
...
am 2

... a1 j
... a2 j
... ...
... aij
aij
... ...
... amj

...
...
...
...
...

...

Cột thứ 2 Cột thứ j

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Hàng thứ nhất
a1n �
a
a
a
…
gọi
là
đường
11
22
33
a2 n �
� chéo chính
... �
� Hàng thứ i
ain �

... �
� mn: gọi là cấp của ma trận
am n �
aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ:

�1 0
A�
3 1.5
�
a21

2�
�
5�

23

2 8 6�
�
�
�
B�
2 9 0�
�
0 7 2 �
�
�33
đường chéo chính

í nh


§1:
Ma
Trận
�
Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận không: aij  0, i, j.
(tất cả các phần tử đều = 0)
Ví dụ:

0 0 0�
�
O�
�

0 0 0�
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1:
Ma
Trận
�

í nh

Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận vuông: m = n. (số hàng = số cột)
Ma trận vng cấp 3

Ví dụ:

�1 3 �
;
�
�
2 7 �
�
Ma trận vng cấp 2

0 7 8�
�
�
�
4

2
0
�
�
�
5 0 2�
�
�


�

ến T

y
u
T
ố
Đại S

§1: Ma Trận

Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận chéo: là ma trận vng có:

aij  0, i �j.
(các phần tử ngồi đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
2 0 0�
�
�
�
0
4
0
�
�
�
0 0 9�
�
�

a11
�

�0
�
�...
�
�0

0
a22
...
0

...

0�
... 0 �
�
... ... �
�
... ann �

í nh


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1:
Ma
Trận
�
Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:

aii  1, i  1, 2,..., n.

Ký hiệu: I, In.
Ví dụ:
1 0�
�
I2  � �
, I3
0 1�
�

1 0 0�
�
�
�
0
1
0
,
I
�
�n
�

0 0 1�
�
�

1
�
�
0
�

�
..
�
0
�

0
1
..
0

...
...
...
...

0�
0�
�
.. �

�
1�

í nh


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1:
Ma
Trận
�
Các ma trận đặc biệt:

5. Ma trận tam giác: là ma trận vng có

aij  0, i  j.(tam giác trên)
aij  0, i  j. (tam giác dưới)
Ví dụ: �1 2 5 4 �
2 0 0 0�
�
�
�
0
3


1
0
�
�
�
0 0 2 6�
�
�
0 0 0 9�
�

MT tam giác trên

�
�
7
1
0
0
�
�
�
0 8 2 0�
�
�
2 9 1 5�
�

MT tam giác dưới

í nh


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Các ma trận đặc biệt:
6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có:

aij  0, i  j.
có dạng như sau:
a11
�
�0
�
�..
�
�0

�0
�
�0

a12 ... a1r
a22 ... a2 r
..

...

0
0

..
... ar r
... 0

0

...

0

... a1n �
Khi: a11a22 a33 ...ar r �0
... a2 n �
�
... .. � Ta nói ma trận hình
�
... ar n � thang đã chuẩn hóa

... 0 �
�
... 0 �


§1:
Ma
Trận
�
Ví dụ:
1
�
�
0
�
�
0
�
0
�
�
0
�

3 2
3 3
0 5
0 0
0 0

0
4
8
0
0

1 4�
0 1�
�
9 1�
�
0 0�
0 0�
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§1:
Ma
Trận
�
Các ma trận đặc biệt:

7. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:

a11 �
�
�
�
a
�21 �:  a 
i m
�.. �
� �
am1 �
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§1:
Ma
Trận
�
Các ma trận đặc biệt:

8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.
Ma trận hàng có dạng:

 a11 a12 ... a1n 

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Các ma trận đặc biệt:
9. Ma trận bằng nhau:

�
�
�
A�
a

b
 B � aij  bij , i, j.
ij
ij
��
�
�
mn
mn
10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận
A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A
ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với
bij=aji với mọi i,j.
(chuyển hàng thành cột)

í nh


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1:
Ma
Trận
�

í nh

Dạng của ma trận chuyển vị:
a11
�
�
a21
�
A
�..
�
am1
�

a12
a22
..
am 2

Ví dụ:

...

a1n �

a11
�
�
... a2 n �
a12
� � AT  �
�..
... .. �
�
�
... am n �
a1n
�
mn

a21 ... am1 �
a22 ... am 2 �
�
.. ... .. �
�
a2 n ... an m �
nm

1 6�
�
1 2 5� T � �
�
A�
�A �
2 7�

�
6 7 9�
�
�
5 9�
�
�


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Các ma trận đặc biệt:
11. Đa thức của ma trận:
n
n 1
P
(
x
)


a
x

a
x
 ...  an
Cho đa thức
n
0
1
và ma trân vuông A  [ aij ]n
n
n 1
P
(
A
)

a
A

a
A
 ...  an I n
0
1
Khi đó: n

(trong đó I n là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A)

í nh


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1:
Ma
Trận
�
Ví dụ:
Cho P2 ( x)  x 2  3x  5
1 2�
�
và ma trận A  �
�
0 3�
�

Khi đó:

P2 ( A)  A2  3 A  5 I 2
2

1 2� �
1 2� �

1 0�
�
�
 3�
5� �
�
�
0 3� �
0 3� �
0 1�
�

í nh


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Các phép toán trên ma trận:
1. Phép cộng hai ma trận:

�
�
�
�
�
�
a

b

a

b
ij
ij
ij
ij
��
��
�
�
mn
mn
mn
(cộng theo từng vị trí tương ứng)
1+ 0=1
Ví dụ:
2+3=5
1 5

0 3� � �
�11 22 � �
�
�
�
�
�
�
-1
1

3
5

2

4

�
��
� � �
5 3�
�
1 5�
�4 2 �
��
�
� �
�
�

í nh


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Tính
5? 7 -1�
2 3 3� �3 4 2 � �
�
�
�
�
�
�
�
?
11
8
0

1
4
6


1
7
2

�
��
� �
�
-2 1 2? �
�
4 2 0 �
6 3 2 �
�
��
�
� �
�
�

í nh


ến T
y
u

T
ố
Đại S

§1:
Ma
Trận
�

Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma
trận cùng cấp, khi đó:
i) A  B  B  A
ii ) A  O  A
iii ) A  ( B  C )  ( A  B )  C
Ví dụ:

1 2� �
3 5� �
4
�
�
�
�
�
�
4 7� �
2 0� �
6
�
3 5� �

1 2� �
4
�
�
�
�
�
�
2 0� �
4 7� �
6
�

7�
7�
�
7�
7�
�

í nh


§1:
Ma
Trận
�

ến T
y

u
T
ố
Đại S

Các phép toán trên ma trận:
2. Phép nhân một số với một ma trận:

�
�
�
�
a


.
a
ij
ij
� �mn � �mn ,  �R.

(các phần tử của ma trận đều được nhân cho  )
2.(-2)=-4
-4
Ví dụ:
2.3=66
3 -2
2 0� �
�
0� 2.0=0

�
�
�
�
22�
7 4 5 � �
14 8 10�
�
0 -4 2 �
0 2 1 �
�
� �
�
�

í nh


ến T
y
u
T
ố
Đại S

§1:
Ma
Trận
�
Bài tập: Tính

6?
2 3� �
�
�
�
�
3�
4 0 � �
12
�
�
�
5

1
15
�
� �

-9 �

�
0
�
-3�
�

í nh

§1:
Ma
Trận
�

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Các tính chất:  ,  �R, A, B là hai ma trận
cùng cấp, khi đó

i)  ( A  B)   A   B
ii ) (   ) A   A   A
iii )  (  A)  ( ) A
iv) 1A  A
Sinh viên tự kiểm tra.

í nh


§1:
Ma
Trận
�


Ví dụ:

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

��
� �3 9 � �6 18 �
1 3�
2�
3� �
�
� 2 �
�
�
5 2�
15 6 � �
30 12 �
��
� �
1 3� �
1 3�
�
(2.3) � � 6 � �
5 2� �

5 2�
�

�6 18 �
�
�
30 12 �
�


§1:
Ma
Trận
�


Chú ý:

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

A  B  A  (1) B

1 3� �

6 5� �
1 3�
6 5�
�
�
 � � � � (1) � �
�
�
4 5� �
1 3� �
4 5�
1 3�
�
�
1 3� �
6 5� �
5 2 �
�
 � � �
�
�
�
4
5

1

3
3
2

� ��
� �
�


Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng