DẠNG TOÀN PHƯƠNG (TOÁN CAO cấp SLIDE)

∑

CHƯƠNG 4

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh


§7: Dạng Tồn phương

∑


ến T
y
u
T
ố
Đại S

Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ
dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2
của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:
d 2 f ( x0 , y0 ) = f "( x0 , y0 )dx 2 + 2 f "( x0 , y0 )dxdy + f "( x0 , y0 )dy 2
= Adx 2 + 2 Bdxdy + Cdy 2



Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định
dấu của vi phân cấp 2:

d 2 f = a11dx 2 + 2a12 dxdy + 2a13dxdz + a22 dy 2 + 2a23dydz + a33dz 2

í nh


§7: Dạng Toàn phương

∑


ến T
y
u
T
ố
Đại S

Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm
dấu của vi phân cấp 2 khơng đơn giản, do
vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết
hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2
của hàm nhiều biến.

í nh

∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Định nghĩa: Cho V là không gian vector n
chiều trên R, hàm

ω :V → R
xác định như sau: với mỗi

x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ V

í nh


∑

§7: Dạng Tồn phương

ến T
y

u
T
ố
Đại S

í nh

ω ( x) = a x + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ... + 2a1n x1 xn
2
11 1

+ a22 x22 + 2a23 x2 x3 + ... + 2a2 n x2 xn
+ a x + ... + 2a3n x3 xn
2
33 3

....................
+a x

2
nn n

được gọi là dạng toàn phương trên V.


∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Ví dụ: Cho dạng toàn phương:

ω : R → R, x = ( x1 , x2 , x3 )
3

ω ( x) = 2 x + 4 x1 x2 − 6 x1 x3
2
1

− x + 2 x2 x3
2
2

+ 8x

2
3

= 2 x + 4 x1 x2 − 6 x1 x3 − x + 2 x2 x3 + 8 x
2
1

a11

2
2

2a12

2a13

a22 2a23

2
3

a33


∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Định nghĩa: Cho dạng tồn phương

ω ( x) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ... + 2a1n x1 xn
+ a x + 2a23 x2 x3 + ... + 2a2 n x2 xn
2
22 2

+ a x + ... + 2a3n x3 xn
2
33 3

....................
khi đó, ma trận sau:

+a x

2
nn n

í nh


§7: Dạng Toàn phương

∑

 a11
a
12


Aω =
 ...

 a1n


a12
a22
...
a2 n

ến T
y
u
T
ố
Đại S

... a1n 

... a2 n 
... ... 

... an n 

Gọi là ma trận của dạng tồn phương

í nh

∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Cho dạng tồn phương

ω : R → R, x = ( x1 , x2 , x3 )
3

ω ( x) = 2 x + 4 x1 x2 − 6 x1 x3 − x + 2 x2 x3 + 8 x
2
1



2
2

Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:

 2 2 −3



Aω =  2 −1 1 
 −3 1 8 

2
3

í nh


∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:

ω ( x1 , x2 , x3 ) = x − 6 x1 x2 + 3x + 4 x2 x3 − 5 x
2
1

 1 −3 0 


Aω =  −3 3 2 
 0 2 −5

2
2

2
3


∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

í nh

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:

ω ( x) = 3 x − 7 x + 3 x + 8 x1 x2 − 10 x1 x3 − 8 x2 x3

2
1

2
2

2
3

 3 4 −5 


Aω =  4 −7 −4 
 −5 −4 3 


∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Cho dạng tồn phương có ma trận:

 1 −2 3 


Aω =  −2 4 1 
 3 1 −5


Khi đó, dạng tồn phương tương ứng là:

ω ( x) = x + 4 x − 5 x − 4 x1 x2 + 6 x1 x3 + 2 x2 x3
2
1

2
2

2
3

í nh


∑

§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T

ố
Đại S

Nhận xét:
 Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:

ω1 ( x) = x + 2 x − x + 6 x1 x2 + 2 x1 x3 − 8 x2 x3 .
2
1

2
2

2
3

ω2 ( x) = 3x + 2 x + 5 x .
2
1

2
2

2
3

ω3 ( x) = −2 x12 − 3x22 − 4 x32 .
ω4 ( x) = x + 5 x − 3x .
2
1

2
2

2
3

í nh


∑

§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S



Dạng chính tắc của dạng toàn phương



Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận
chéo

a11
0

 ...

 0

0

a22
...
0

0 

... 0 
... ... 

0 an n 
...

í nh


§7: Dạng Toàn phương

∑




Hay

ến T
y
u
T
ố
Đại S

ω ( x) = a x + a x + ... + a x .
2
11 1

2
22 2

2
nn n

Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng
tồn phương.

í nh


∑




§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)
Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau về dạng
chính tắc.

ω ( x) = x12 + 2 x22 + 10 x32 + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3

í nh


§7: Dạng Toàn phương

∑

ến T
y
u
T
ố
Đại S

ω ( x) = x + 2 x + 10 x + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
2
1

2
2

2
3

= ( x1 + x2 − 2 x3 ) + x + 6 x − 4 x2 x3
2

2
2

2
3

= ( x1 + x2 − 2 x3 ) 2 + ( x2 − 2 x3 ) 2 + 2 x32


Đặt

y1 = x1 + x2 − 2 x3
y2 = x2 − 2 x3
y3 = x3

⇒ ω ( y) = y + y + 2 y

2
1

2
2

2
3

í nh


∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:

ω ( x) = x + 6 x + 13x + 4 x1 x2 − 6 x1 x3 − 2 x2 x3
2
1

2
2

2
3
2

= ( x1 + 2x2 −3x3 ) +2x22 +4x32 +10x2 x3
= ( x1 + 2 x2 − 3 x3 ) 2 + 2[ x22 + 2 x32 + 5 x2 x3 ]
5
2
2 17 2
= ( x1 + 2 x2 − 3 x3 ) + 2[( x2 + x3 ) − x3 ]
2
4
5 2 17 2
2
= ( x1 + 2 x2 − 3 x3 ) + 2( x2 + x3 ) − x3
2
2
17 2
2
2
= y1 + 2 y2 − y3
2

í nh


∑



§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Đưa dạng tồn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Lagrange:

ω ( x) = x12 + 5 x22 − 10 x32 − 4 x1 x2 + 8 x1 x3 + 2 x2 x3

= (x1

)2

í nh


∑




§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc
Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)
Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau về dạng
chính tắc.
ω ( x) = 2 x12 + 3 x22 − x32 + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 − 6 x2 x3
1 − 2
2
A =  1
3 − 3
− 2 − 3 − 1 

í nh


§7: Dạng Toàn phương

∑

ến T
y
u
T
ố

Đại S

1 − 2
2
A =  1
3 − 3
− 2 − 3 − 1 


Đặt

D0 = 1, D1 = a11 = 2, D2 =
a11
D3 = a21

a12
a22

a13
2
a23 = 1

a31

a32

a33

1
3

a11

a12

a21

a22

=

−2
−3 = −35,

−2 −3 −1

2 1
1 3

= 5,

í nh


∑


§7: Dạng Tồn phương

Nếu

tắc là:

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Di ≠ 0, ∀i = 1,thì
2,...dạng tồn phương có dạng chính

D1 2 D2 2 D3 2
ω ( y) =
y1 +
y2 +
y3
D0
D1
D2

2 2 5 2 −35 2
ω ( y ) = y1 + y2 +
y3
1
2
5

í nh

∑


§7: Dạng Tồn phương

ến T
y
u
T
ố
Đại S

Bài tập: Đưa dạng tồn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Jacobi:

ω ( x) = − x12 + 2 x22 − 3x32 − 4 x1 x2 + 2 x1 x3 − 8 x2 x3
 −1 − 2 1 
A = − 2 2 − 4
 1 − 4 − 3

í nh