Bài giảng Mặt cầu

Tiết 43 mặt cầu
1.Mặt cầu
Định nghĩa :
}
{
( , ) | OM=R S O R M=
O
A
B
C
R
Nhận xét :
*Nếu OA>R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O,R) .
* Nếu OA<R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O,R) .
*Nếu OA=R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O,R) .
2.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O,R) và mặt phẳng (P) bất kỳ .
Gọi H là hình chiếu của O lên (P) ,khi đó :
* Nếu OH>R thì
( ) ( )P S

=
*Nếu OH=R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H
, khi đó ta nói rằng (P) là tiếp diện của (S) tại H .
*Nếu OH<R thì
( ) ( ) ( , ')P S C H R =
2 2

Với 'R R OH=
H
O
M
O
H
M
O
H
M
Đặc biệt : Khi O=H thì C(O,R) gọi là đường tròn lớn .


3.Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O,R) và đường thẳng d
, gọi H là hình chiếu của O trên d ,khi đó :
* Nếu OH>R thì d ( )S

=
* Nếu OH=R thì d tiếp xúc với (S) tại H
Khi đó ta nói rằng d là tiếp tuyến của (S) tại H
* Nếu OH<R thì d (S)={A, }B
O
H
O
H
O
H
A
B

Tính chất của tiếp tuyến
Định lí 1 : Qua một điểm M trên mặt cầu (S) ta vẽ được vô số các tiếp tuyến
của (S) và tiếp xúc với (S) tại M . Các tiếp tuyến này nằm trên
tiếp diện của (S) tại điểm M .
O
Định lí 2 : Qua điểm A ngoài mặt cầu (S) , ta vẽ được vô số các tiếp tuyến
với (S) và khoảng cách từ A đến các tiếp điểm bằng nhau .
A


4)Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Định nghĩa : Mặt cầu (S) được gọi là ngoại tiếp hình đa
diện nếu các đỉnh của đa diện nằm trên (S) .
S
A
B
D
C
Định lí : Hình chóp nội tiếp được mặt cầu khi và chỉ khi đa
giác đáy nội tiếp được đường tròn .
Hệ quả 1:Mọi hình chóp đều bất kỳ đều nội tiếp được trong mặt cầu
Hệ quả 2: Mọi tứ diện bất kỳ bao giờ cũng nội tiếp được trong một mặt cầu
Chú ý :
1)Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta làm như sau
+ Dựng tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
+ Từ I vẽ đt d vuông góc với mf đáy
+ Vẽ mf trung trực cạnh SA cắt d tại O => O là tâm của mặt cầu
3)Đường thẳng d gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy .
O
I

d
2)Nếu SA và d đồng phẳng thì ở bước thứ 3 ta vẽ đường trung trực của đoạn SA


Luyện Tập
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
AB=BC=CD=a AD=2a. SA=3a và vuông góc với đáy
Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
D
S
A
B
C
I
O


Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB , M là một điểm di động trên
đường tròn đường kính AB , C là một điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với (P)
tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên CM .
a.Tìm quĩ tích các điểm H
b.Tiếp tuyến tại A và M của đường tròn đường kính AB cắt nhau tại K . Chứng minh rằng
KH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AB .
c.Chứng minh rằng KH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AC
K
A
B
M
I
H

C
O
E