(Luận án tiến sĩ) một số định lý về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

VANGTY NOULORVANG

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ
TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

VANGTY NOULORVANG

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ
TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

Chun ngành: Hình học và Tơpơ
Mã số: 9.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. Phạm Đức Thoan
PGS. TS. Phạm Hoàng Hà

Hà Nội, 2021

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được cơng
bố trên các tạp chí Tốn học có uy tín trên thế giới. Các kết quả nêu trong luận
án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Vangty Noulorvang

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận án đã được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của
PGS. TS. Phạm Đức Thoan và PGS. TS. Phạm Hồng Hà. Tơi xin được gửi lời
cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy, cảm ơn các thầy đã luôn chỉ
bảo, sẻ chia và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q trình học tập
và nghiên cứu. Tơi xin được gửi lời cảm ơn đến GS. TSKH. Đỗ Đức Thái, người
đã định hướng và khuyến khích tơi trong nghiên cứu khoa học, tạo nhiều cơ hội
để tơi có thể học tập và giao lưu với những nhà khoa học cùng hướng nghiên
cứu.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Phòng
Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin về sự giúp đỡ cũng như tạo điều
kiện thuận lợi dành cho tôi. Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô và anh
chị em trong seminar Hình học phức của Bộ mơn Hình học và Tơ pơ, đặc biệt
là GS. TSKH. Sĩ Đức Quang và GS. TSKH. Trần Văn Tấn. Đồng thời, tôi cũng
muốn gửi lời cảm ơn đến các NCS. Trần An Hải và NCS. Nguyễn Văn An về sự

động viên, trợ giúp và những trao đổi khoa học hữu ích trong q trình tơi học
tập và nghiên cứu.
Tơi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Đại sứ quán nước Cộng hòa Dân chủ
Nhân dân Lào tại Việt Nam, Viện Nghiên cứu Giáo dục Lào, anh chị em đồng
nghiệp trong cơ quan đã giúp đỡ, quan tâm và chia sẻ để tơi ln có những điều
kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn từ tận đáy lịng đến gia đình và
người thân đã ln bên tơi, khích lệ và động viên tơi, chia sẻ khó khăn để tơi có
thể hồn thành được luận án của mình.

Tác giả

iii


MỤC LỤC

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Danh mục các quy ước và kí hiệu

vi

MỞ ĐẦU

1

1 TỔNG QUAN

6

2 Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1

21

2.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 . . . . 24

2.3

Tính tuần hồn của lớp các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 . . . 29

3 Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có bậc 0

32

3.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2

Định lí Cơ bản thứ hai q-dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3

Định lí duy nhất kiểu Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân

50

hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng
4.1

Một số tính chất cơ bản và các kết quả phụ trợ . . . . . . . . . . . . . 50

4.2

Tính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng 53

4.3

Tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng . 60

Kết luận và kiến nghị

68

Danh mục các cơng trình đã công bố liên quan đến luận án 70
iv


71

TÀI LIỆU THAM KHẢO

v


DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU
Trong tồn bộ luận án, ta thống nhất một số kí hiệu như sau.
• Pn (C): khơng gian xạ ảnh phức n-chiều.
• z = |z1 |2 + · · · + |zm |2

1/2

với z = (z1 , . . . , zm ) ∈ Cm .

• B(r) := {z ∈ Cm : z < r} là hình cầu mở bán kính r trong Cm .
• S(r) := {z ∈ Cm : z = r} là mặt cầu bán kính r trong Cm .
√
−1
(∂ − ∂): các tốn tử vi phân.
• d = ∂ + ∂, dc :=
4π
• βn−1 := (ddc z 2 )n−1 , σn := dc log z

2

∧ (ddc log z 2 )n−1 : các dạng vi phân.

• O(1): hàm bị chặn đối với r.
• O(r): vơ cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞.
• o(r): vơ cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞.
• log+ r = max{log r, 0}, r > 0.
• “ || P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập

con Borel E của [0, +∞) thoả mãn

E

dr < +∞.

• S : lực lượng của tập hợp S .
• I(x): số nguyên lớn nhất khơng vượt q x.
• Pole(h): Tập các cực điểm của hàm h.
• Zero(h) : tập các khơng điểm của hàm h.
• supp(ν) : giá của divisor ν .

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phân bố giá trị được bắt đầu xây dựng bởi nhà toán học nổi tiếng
R. Nevanlinna [23, 31] từ những năm 20 của thế kỉ trước. Ngay từ khi ra đời,
lý thuyết này đã thu hút được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm
nghiên cứu. Nhiều kết quả đặc sắc và những ứng dụng to lớn của lý thuyết này

trong những ngành toán học khác nhau đã được phát hiện. Nội dung cơ bản của
lí thuyết phân bố giá trị là thiết lập định lí Cơ bản bản thứ nhất và thứ hai.
Các định lí này nói về mối quan hệ giữa hàm đếm các không điểm với độ tăng
của hàm đặc trưng. Định lí Cơ bản thứ hai có nhiều áp dụng trong việc nghiên
cứu vấn đề duy nhất, tính hữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết
cũng như phân bố về mặt giá trị của các ánh xạ phân hình. Chẳng hạn, ngay từ
đầu, R. Nevanlinna đã ứng dụng định lí cơ bản thứ hai do ơng thiết lập để mở
rộng định lí Picard nhỏ. Cơng trình này đã gây một tiếng vang lớn và là khởi
đầu cho rất nhiều kết quả quan trọng đã được công bố bởi nhiều tác giả như A.
Bloch [3], H. Cartan [7], H. Weyl và F. J. Weyl [57].... Lý thuyết phân bố giá trị
tiếp tục được mở rộng bởi các nhà toán học H. Cartan và H. Weyl. Các ông đã
mở rộng lý thuyết này cho đường cong chỉnh hình trong khơng gian xạ ảnh phức
và sau đó L. Ahlfors [1] đưa ra cách tiếp cận hình học cho các kết quả của H.
Cartan và H. Weyl. Những năm tiếp theo, W. Stoll [49], P. Griffiths [20] và B.
Shiffman [47] đã tổng quát các kết quả trên cho trường hợp nhiều biến phức và
đồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic
vào khơng gian xạ ảnh.
Để thiết lập định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào không
gian xạ ảnh Pn (C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàm logarit và tính chất của
định thức Wronski. Tuy nhiên, năm 2006, R. Halburd và R. J. Korhonen [22]
đã thiết lập được định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ C vào Pn (C)
1


giao với các siêu phẳng cố dịnh cũng như các siêu phẳng di động ở vị trí tổng
quát bằng cách thay định thức Wronski bởi định thức Casorati (c-Casorati và
p-Casorati) và thay bổ đề Đạo hàm logarit bởi một bổ đề tương tự, nó có tên

là bổ đề q -dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hình bậc 0 hoặc
cho các ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 tương ứng. Từ đó, họ có thể

nghiên cứu tính duy nhất của các ánh xạ phân hình này theo kiểu định lí Picard
tổng qt. Định lí Cơ bản thứ hai loại này được gọi là định lí Cơ bản thứ hai
p-dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển giao với các mục tiêu. Bằng cách tiếp cận theo

hướng này, năm 2016, T. B. Cao và R. J. Korhonen [6] đã thiết lập định lí Cơ
bản thứ hai p-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ
ảnh Pn (C) giao với siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát.
Một cách tự nhiên là cần xây dựng định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển của
ánh xạ phân hình bậc 0 từ Cm vào Pn (C) giao với các siêu mặt ở vị trí dưới tổng
quát thông qua định thức p-Casorati cũng như việc áp dụng nó vào nghiên cứu
vấn đề duy nhất kiểu định lí Picard tổng quát.
Trong trường hợp một chiều, kể từ khi R. Halburd và R. J. Korhonen [22]
đưa ra được Bổ đề c-dịch chuyển và Định lí Cơ bản thứ hai c-dịch chuyển cho
các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1, định lí duy nhất kiểu Picard tương
tự như định lí 5 điểm của R. Nevanlinna được nghiên cứu rất mạnh mẽ. Có
rất nhiều kết quả thú vị theo hướng nghiên cứu này. Chẳng hạn, năm 2009, J.
Heittokangas và các đồng nghiệp [25] đã chứng minh rằng nếu hàm phân hình
f (z) có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị phân biệt đếm cả bội với hàm dịch chuyển
f (z + c) thì f là một hàm tuần hồn với chu kì c, tức là f (z) = f (z + c) với mọi
z ∈ C. Định lí kiểu Picard này được chính các tác giả trên cải tiến cho trường

hợp chia sẻ hai giá trị đếm cả bội và một giá trị không đếm bội. Đầu năm 2016,
K. S. Charak, R. J. Korhonen và G. Kumar [8] đã đưa ra được phản ví dụ để
chỉ ra rằng khơng có định lí duy nhất cho trường hợp 1 giá trị chia sẻ đếm cả
bội và hai giá trị chia sẻ không đếm bội. Chú ý rằng, trong định lí 5 điểm của
R. Nevanlinna thì 5 giá trị chia sẻ là không cần đếm bội. Một câu hỏi đặt ra liệu
có được định lí kiểu Picard trong trường hợp số giá trị chia sẻ không đếm bội
là 4 không? Trong [8], các tác giả đã cố gắng trả lời câu hỏi trên và đã có được
những kết quả theo hướng này cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1
chia sẻ 4 giá trị dưới một điều kiện về số khuyết.

2


Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu [29] có được một phản ví dụ chỉ ra rằng
kết quả đó khơng cịn đúng nữa khi bội của các giá trị chia sẻ bị ngắt. Từ đó,
họ đặt ra vấn đề nghiên cứu tính duy nhất kiểu định lí Picard khi các giá trị bị
ngắt bội. Một trong những mục tiêu khi nghiên cứu vấn đề duy nhất là giảm
được số các giá trị chia sẻ. Theo đó, chúng tơi đặt ra vấn đề nghiên cứu và cải
tiến các kết qủa của W. Lin, X. Lin và A. Wu.
Sau khi R. Nevanlinna đưa ra định lí 5 điểm, nhiều tác giả đã mở rộng định
lí này lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Các kết quả đầu
tiên thuộc về H. Fujimoto [17] và L. Smiley [48]. Nhưng những kết quả tốt nhất
theo hướng này thuộc về Z. Chen và Q. Yan [10], H. H. Giang, L. N. Quỳnh và
S. Đ. Quang [14] khi ảnh của những ánh xạ phân hình chỉ cần cùng nằm trên
2n + 3 siêu phẳng nằm ở vị trí tổng quát. Khi số siêu phẳng không đủ 2n + 3 thì

ta khơng thể suy ra kết luận trong bài tốn duy nhất. Tuy nhiên, với một số
điều kiện nhất định, ta có thể chỉ ra được các ánh xạ được xét có liên hệ đại số
với nhau hoặc chúng chỉ có hữu hạn.
Bài tốn về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)
được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S. Ji [27] và cho đến nay đã có nhiều
kết quả được công bố. Một số kết quả tốt nhất gần đây thuộc về Z. Chen và Q.
Yan [11], S. Đ. Quang [41], S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh [42]. Chú ý rằng, bằng
việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại số của 3 hàm phân hình có ảnh ngược giao
với 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát đã giúp S. Đ. Quang khẳng định được
tính hữu hạn của lớp các ánh xạ phân hình đó.
Tuy nhiên, như đã nói ở trên việc giảm được số siêu phẳng chia sẻ trong các
kết quả là một trong những đích quan trọng trong lí thuyết phân bố giá trị. Do
vậy, chúng tơi đặt ra mục đích nghiên cứu tính hữu hạn của các ánh xạ phân
hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn

2n + 2 thơng qua tính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình.

Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số định lí về
tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạn phân hình”, để đi
sâu vào nghiên cứu các bài toán duy nhất của các ánh xạ phân hình và ánh xạ
dịch chuyển của chúng, cũng như các bài tốn về tính hữu hạn cho những ánh
xạ phân hình.

2. Mục đích nghiên cứu
3


Mục đích đầu tiên của luận án là đưa ra và chứng minh một số định lí duy
nhất của các hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức C có siêu bậc nhỏ hơn
1 chia sẻ một phần các giá trị cùng với hàm dịch chuyển f (z + c) của nó.
Tiếp theo đó, luận án nghiên cứu thiết lập một số định lí Cơ bản thứ hai và
một số định lí duy nhất kiểu Picard cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng
gian xạ ảnh Pn (C) có bậc 0 và giao với các siêu mặt.
Cuối cùng, luận án nghiên cứu tính hữu hạn thơng qua việc thiết lập định lí
phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C)
giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số định lí duy nhất kiểu Picard và
vấn đề phụ thuộc đại số cũng như tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình.
Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinna cho các ánh
xạ phân hình.

4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng những

phương pháp của lý thuyết phân bố giá trị và hình học phức. Bên cạnh việc sử
dụng các kỹ thuật truyền thống, chúng tôi đưa ra những kỹ thuật mới nhằm
đạt được những mục đích đã đặt ra trong đề tài.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về vấn đề duy nhất và tính
hữu hạn của các hàm phân hình hoặc của các ánh xạ phân hình. Bên cạnh việc
làm phong phú thêm các bài toán này, luận án cũng đưa ra được những kết quả
mới cho sự phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với
ít họ siêu phẳng.
Luận án là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.

6. Cấu trúc luận án
Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính. Chương Tổng quan dành
để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giả trong và ngoài nước
liên quan đến nội dung của đề tài. Ba chương cịn lại trình bày các kiến thức
4


chuẩn bị cũng như những chứng minh chi tiết cho các kết quả mới của đề tài.
Chương I. Tổng quan.
Chương II. Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn
1.
Chương III. Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có bậc 0.
Chương IV. Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân
hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng.
Luận án được viết dựa trên 03 bài báo đã được đăng.

7. Nơi thực hiện luận án

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

5


Chương 1
TỔNG QUAN
Như đã trình bày trong phần Mở đầu, luận án tập trung nghiên cứu những
bài toán duy nhất của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) có bậc bằng 0
giao với các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát và của các hàm phân hình trên mặt
phẳng phức có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần các giá trị với các hàm dịch
chuyển của nó. Đồng thời, luận án cũng đi sâu vào nghiên cứu tính hữu hạn của
các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) giao với các siêu phẳng thơng qua việc
nghiên cứu tính phụ thuộc đại số của chúng.
Sau đây, chúng tơi sẽ phân tích lịch sử, kết quả của những tác giả đi trước
cũng như các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong từng bài tốn.

I. Tính duy nhất của lớp các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ
hơn 1
Cho f là một hàm phân hình trên C. Kí hiệu T (r, f ) là hàm đặc trưng
Nevanlinna của f và ký hiệu S(r, f ) là một đại lượng bằng o(T (r, f )) với r ∈ (1, ∞)
bên ngồi tập có độ đo Borel hữu hạn. Đặc biệt, ta kí hiệu S1 (r, f ) là đại lượng
thỏa mãn S1 (r, f ) = o(T (r, f )) khi r → ∞ bên ngồi một tập có độ đo Logarit
hữu hạn.
Ta kí hiệu S(f ) là họ có tất cả các hàm phân hình α sao cho T (r, α) =
o(T (r, f )) khi r → ∞ bên ngoài một tập có độ đo Logarit hữu hạn và kí hiệu
ˆ ) = S(f ) ∪ {∞}.
S(f
ˆ ), ta nói rằng hai hàm phân hình f và g chia sẻ a IM nếu
Với mỗi a ∈ S(f

f − a và g − a có các khơng điểm trùng nhau. Nếu f − a và g − a có các khơng

điểm trùng nhau với cả bội trùng nhau thì ta nói f và g chia sẻ a CM.
Việc tìm điều kiện cho hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức trùng với
6


hàm dịch chuyển f (z + c) của nó được nghiên cứu mạnh mẽ mấy năm trở lại
đây. Kể từ khi cơng trình của R. Halburd và R. J. Korhonen [2] ra đời, có rất
nhiều định lí duy nhất thú vị (xem [8, 15, 24, 25, 29, 30, 37, 38, 58, 59]) tương
tự như định lí 5 điểm của Nevanlinna [22, 31] ra đời. Chẳng hạn, vào 2009, J.
Heittokangas và các đồng nghiệp [25] đã xét vấn đề này đối với hàm phân hình
f (z) trên mặt phẳng phức C có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị CM với hàm dịch

chuyển f (z + c) của nó. Sau đó, kết quả được cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai
giá trị CM và một giá trị IM bởi chính các tác giả này.
Năm 2016, K. S. Charak, R. J. Korhonen và G. Kumar [8] đã đưa ra một ví
dụ để chỉ ra rằng trường hợp chia sẻ một giá trị CM và hai giá trị IM (và do đó
là ba giá trị IM) là khơng xảy ra trong trường hợp tổng quát.
Để tiện cho việc trình bày, chúng tơi đưa ra một số kí hiệu và định nghĩa sau
đây.
Định nghĩa 1.0.1. Với một divisor ν trên Cn và hai số nguyên dương k, m (có
thể k, m = ∞), ta định nghĩa

0
[m]

ν≤k (z) =

min{m, ν(z)}

nếu

ν(z) > k,

nếu

ν(z) ≤ k.

[m]
Tương tự, ta cũng có định nghĩa ν>k
(z). Nếu ϕ là một hàm phân hình trên Cn

thì divisor khơng điểm của ϕ được ký hiệu bởi νϕ . Nếu m = +∞ (hoặc k = +∞)
thì ta bỏ chữ

m

(hoặc

≤k )

trong kí hiệu.

[m]
1
Hàm đếm tương ứng với divisor νf[m]
−a,≤k được kí hiệu bởi N≤k r, f −a . Tương
[m]
1

tự, cũng có kí hiệu N>k
r, f −a

[m]
là hàm đếm tương ứng với divisor ν>k
(z).

Để nghiên cứu các bài toán duy nhất của các hàm phân hình chia sẻ một
phần các giá trị, ta đưa vào định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.0.2. Với mỗi một số nguyên dương m và k (có thể k, m = +∞),
ta định nghĩa tập hợp
[m]

[m]

[m]

E≤k (a, f ) = {z ∈ C : νf −a,≤k (z) = 0 và z được đếm νf −a,≤k (z) lần}.

Tương tự, ta cũng có định nghĩa tập hợp Ek[m] (a, f ).
[1]
Trong trường hợp m = 1, kí hiệu E≤k
(a, f ) được thay thế bởi kí hiệu E ≤k (a, f ).

Có nghĩa là E ≤k (a, f ) là tập các không điểm của f − a với bội l ≤ k, ở đó các
7


không điểm với bội l chỉ được đếm 1 lần trong tập. Các hàm đếm rút gọn được
1

kí hiệu bởi N ≤k r, f −a

1
và N >k r, f −a

tương ứng.

Rõ ràng, nếu E(a, f ) = E(a, g) thì f và g chia sẻ a IM và nếu E(a, f ) = E(a, g)
thì f và g chia sẻ a CM.
Định nghĩa 1.0.3. Số khuyết và số khuyết rút gọn của a tương ứng với f được
định nghĩa lần lượt bởi
δ(a, f ) = 1 − lim sup
r→∞

1
N r, f −a

T (r, f )

và Θ(a, f ) = 1 − lim sup
r→∞

1
N r, f −a

T (r, f )

.

Định nghĩa 1.0.4. Bậc và siêu bậc của f được định nghĩa tương ứng bởi

log+ T (r, f )
log+ log+ T (r, f )
σ(f ) := lim sup
và γ(f ) := lim sup
,
logr
logr
r→∞
r→∞

ở đó log+ x := max{logx, 0} với mọi x > 0.
Khái niệm chia sẻ một phần các giá trị của các hàm phân hình có siêu bậc
nhỏ hơn 1 được giới thiệu bởi K. S. Charak, R. J. Korhonen và G. Kumar trong
[8]. Họ đã chứng minh được một định lí duy nhất cho các hàm phân hình có
siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần 4 giá trị IM với hàm dịch chuyển của nó
dưới điều kiện về một số khuyết sau đây.
Định lí A [8] Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 và
ˆ ) là bốn hàm phân hình tuần hồn phân biệt
c ∈ C \ {0}. Cho a1 , a2 , a3 , a4 ∈ S(f
ˆ ) và
có chu kỳ c. Nếu δ(a, f ) > 0 với a ∈ S(f
E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2, 3, 4

thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu [29] đã đưa ra được một phản ví dụ
để chỉ ra rằng Định lí A khơng cịn đúng khi điều kiện "chia sẻ một phần giá
trị" E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2 được thay thế bằng điều kiện "chia sẻ
một phần giá trị cắt cụt" E ≤k (aj , f (c)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, 2 với một số
nguyên dương k nào đó, thậm chí ngay cả khi f (z) và f (z + c) chia sẻ a3 , a4 CM.
Từ đó, họ đã đưa ra các kết quả sau đây dưới điều kiện về số khuyết rút gọn

Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) >

2
k+1 .

Một ví dụ cũng chỉ ra rằng điều kiện này là tốt nhất.

8


Đinh lí B [29] Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1
và c ∈ C \ {0}. Cho k1 , k2 là hai số nguyên dương và cho a1 , a2 ∈ S(f ) \ {0},
ˆ ) là bốn hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c)
a3 , a4 ∈ S(f

chia sẻ a3 , a4 CM và
E ≤kj (aj , f (z)) ⊆ E ≤kj (aj , f (z + c)), j = 1, 2.

Nếu Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) >

2
k+1 ,

ở đó k := min{k1 , k2 } thì f (z) = f (z + c) với mọi

z ∈ C.

Định lí C [29] Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) <
1, Θ(∞, f ) = 1 và c ∈ C \ {0}. Cho a1 , a2 , a3 ∈ S(f ) là ba hàm phân hình tuần

hồn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c) chia sẻ a3 CM và
E ≤k (aj , f (z)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, 2.

Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Hàm tuần hoàn và hàm elliptic đã có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác
nhau của Toán học (xem trong [4, 9, 12, 60]). Do đó, việc nghiên cứu các hàm
phân hình tuần hoàn rất thú vị và quan trọng. Như một áp dụng của Định lí B
và C , các tác giả trên đã đưa ra các điều kiện đủ để một hàm phân hình là tuần
hồn sau đây.
Định lí D [29] Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng thỏa mãn Θ(∞, f ) =
Θ(∞, g) = 1, ở đó f là một hàm tuần hồn có chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc
γ(f ) < 1. Cho k1 , k2 là hai số nguyên dương, a1 , a2 , a3 ∈ S(f ) là ba hàm phân

hình tuần hồn có chu kỳ c sao cho f và g chia sẻ a3 CM và
E ≤k (aj , f ) ⊆ E ≤k (aj , g), j = 1, 2.

Khi đó, g là một hàm phân hình tuần hồn với chu kì T , ở đó T ∈ {c, 2c}, nghĩa
là g(z) = g(z + T ) với mọi z ∈ C.
Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là liệu có thể tổng quát hóa và cải tiến Định lí
B và C bằng cách giảm số các giá trị chia sẻ được không?

Câu hỏi thứ hai là liệu có thể đưa ra một vài định lí duy nhất theo hướng
này, cũng như một số áp dụng của nó để có được định lí tương tự định lí D hay
khơng?
9


Mục đích đầu tiên của luận án là trả lời các câu hỏi trên. Cụ thể, chúng tôi
đã chứng minh được các định lí sau đây.
Định lí 2.2.1. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 và

ˆ ) là ba hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c
cho c ∈ C \ {0}. Cho a1 , a2 , a3 ∈ S(f

và cho k là một số nguyên dương. Giả sử rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần
a1 , a2 CM, nghĩa là
E(a1 , f (z)) ⊆ E(a1 , f (z + c)), E(a2 , f (z)) ⊆ E(a2 , f (z + c))

và thỏa mãn
E ≤k (a3 , f (z)) ⊆ E ≤k (a3 , f (z + c)).

Nếu Θ(a, f ) >

2
k+1

1 +a2 )−2a1 a2
} thì f (z) = f (z + c) với
với a ∈ C ∪ {∞} \ {a3 , a3 (a
2a3 −(a1 +a2 )

mọi z ∈ C.
Hệ quả 2.2.2. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1
thỏa mãn Θ(∞, f ) = 1 và cho c ∈ C \ {0}. Cho a1 , a2 ∈ S(f ) là hai hàm phân hình
tuần hồn có chu kỳ c sao cho f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1 CM, nghĩa là
E(a1 , f (z)) ⊆ E(a1 , f (z + c))

và thỏa mãn
E ≤k (a2 , f (z)) ⊆ E ≤k (a2 , f (z + c)).

Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.

Định lí 2.2.1 và Hệ quả 2.2.2 đã cải tiến Định lí B và C tương ứng.
Rõ ràng, Định lí 2.2.1 là tối ưu. Thật vậy, ta nhắc lại ví dụ trong [29]. Cho
f (z) = sin z và c = π . Có thể dễ dàng nhận thấy rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ 0

và ∞ CM, nghĩa là E(0, f (z)) = E(0, f (z + c)) và E(∞, f (z)) = E(∞, f (z + c)), và
E ≤1 (1, f (z)) = E ≤1 (1, f (z + c)) = ∅. Nhưng f (z + c) = −f (z) với mọi z ∈ C. Ở đây,

điều kiện Θ(a, f ) >

2
1+k

= 1 với a = ±1 không xảy ra.

Trong trường hợp k = ∞, ta có định lí sau.
Định lí 2.2.3. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 và
ˆ ) là ba hàm phân hình phân biệt có chu kỳ c.
cho c ∈ C \ {0}. Cho a1 , a2 , a3 ∈ S(f

Giả thiết rằng f (z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1 , a2 CM và chia sẻ một phần
a3 IM, nghĩa là
E(a1 , f (z)) ⊆ E(a1 , f (z + c)), E(a2 , f (z)) ⊆ E(a2 , f (z + c))
10


và thỏa mãn
E(a3 , f (z)) ⊆ E(a3 , f (z + c)).
ˆ ) \ {a3 } thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Nếu Θ(a, f ) > 0 với a ∈ S(f

Bỏ qua giả thiết về số khuyết, chúng tơi có kết quả sau.
Định lí 2.2.4. Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậc γ(f ) < 1 và
ˆ ) là bốn
cho c ∈ C \ {0}. Cho k, l là hai số nguyên dương và cho a1 , a2 , a3 , a4 ∈ S(f

hàm phân hình phân biệt tuần hồn có chu kỳ c. Giả thiết rằng f (z) và f (z + c)
chia sẻ một phần a1 , a2 CM và
E ≤k (a3 , f (z)) ⊆ E ≤k (a3 , f (z + c)), E ≤l (a4 , f (z)) ⊆ E ≤l (a4 , f (z + c)).

Khi đó:
f (z+c)−a
f (z)−a1
= − f (z+c)−a12 với
f (z)−a2
a3 −a1
1
ra khi aa44 −a
−a2 = − a3 −a2 ,

(i) Nếu kl > min{k, l} + 2 thì f (z) = f (z + c) hoặc
z ∈ C. Hơn nữa, khẳng định thứ hai chỉ xảy

mọi

(ii) Nếu max{k, l} = ∞ thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C.
Sử dụng ý tưởng trong phần chứng minh của Định lí D, chúng tơi chứng
minh được một số kết quả tương tự. Các kết quả này là những áp dụng của
Định lí 2.2.1 và Hệ quả 2.2.2.
Định lí 2.3.1. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng thỏa mãn Θ(∞, f ) =
Θ(∞, g) = 1, ở đó f có chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k là một số

nguyên dương và a1 , a2 ∈ S(f ) là hai hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c sao
cho f và g chia sẻ một phần a1 CM và
E ≤k (a2 , f ) ⊆ E ≤k (a2 , g).

Nếu k ≥ 2 thì g là một hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c, nghĩa là g(z) =
g(z + c) với mọi z ∈ C.

Tương tự như trong phần chứng minh Định lí 2.3.1, chúng tơi cũng nhận
được kết quả ở dạng này khi áp dụng Định lí 2.2.4.
Định lí 2.3.2. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng, trong đó f có
chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1. Cho k, l là hai số nguyên dương và cho
11


a1 , a2 ∈ S(f ) \ {0} là hai hàm tuần hồn có chu kỳ c sao cho
E(0, f ) ⊆ E(0, g), E(∞, f ) ⊆ E(∞, g)

và
E ≤k (a1 , f ) ⊆ E ≤k (a1 , g), E ≤l (a2 , f ) ⊆ E ≤l (a2 , g).

Khi đó:
(i) Nếu kl > min{k, l} + 2 thì g là một hàm tuần hồn có chu kỳ T , ở đó
T ∈ {c, 2c}, nghĩa là g(z) = g(z + T ) với mọi z ∈ C,

(ii) Nếu max{k, l} = ∞ thì g là một hàm tuần hồn có chu kỳ c, nghĩa là
g(z) = g(z + c) với mọi z ∈ C.

II. Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có bậc 0
Như chúng ta đã biết, định lí 5 điểm của R. Nevanlinna [22] chỉ ra rằng hai

ánh xạ phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược với 5 điểm
phân biệt thì trùng nhau. Năm 1975, H. Fujimoto [16] đã tổng quát kết quả của
R. Nevalinna cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh
Pn (C). Ông đã chỉ ra rằng hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trùng nhau
nếu có cùng ảnh ngược với 3n + 2 siêu phẳng tính cả bội. Sau đó, rất nhiều nhà
tốn học đã cải tiến kết quả của H. Fujimoto như L. Smiley [48], D. Đ. Thai và
S. Đ. Quang [45], Z. Chen và Q. Yan [10]...
Bằng việc xét các vấn đề duy nhất tương tự như các cách làm ở trên cho các
đường cong chỉnh hình f (z) và f (z + c) cũng như cho các đường cong chỉnh hình
f (z) và f (pz) vào không gian xạ ảnh Pn (C) giao với các siêu phẳng ở vị trí tổng

quát, R. Halburd, R. J. Korhonen và K. Tohge [21, Định lí 1.1 và Định lí 6.1]
có được một định lí tương tự như định lí Picard. Gần đây, T. B. Cao và R. J.
Korhonen [6, Định lí 1.1] (tương ứng L. T. Tuyết, N. Đ. Tuyên và P. Đ. Thoan
[46]) đã tổng quát hóa kết quả này cho trường hợp ánh xạ phân hình f (z) và
f (z + c) (tương ứng f (z) và f (f (qz))) giao với các siêu phẳng ở vị trí tổng qt.

Chúng tơi muốn nhấn mạnh rằng, để có được các kiểu định lí duy nhất,
trước hết chúng ta phải có được các kiểu của Định lí cơ bản thứ hai. Về vấn đề
này, năm 2006, R. Halburd và R. J. Korhonen [22] xét định lí Cơ bản thứ hai
cho hàm phân hình có bậc hữu hạn trong mặt phẳng phức. Sau đó, định lí Cơ
12


bản thứ hai tương tự cho các đường cong chỉnh hình được nghiên cứu độc lập
trong [5, 21, 53, 56]. Gần đây, R. J. Korhonen [6] có kết quả cho các toán tử
dịch chuyển trong lý thuyết phân bố giá trị của hàm nhiều biến phức. Cụ thể,
họ có được một phiên bản tương tự bổ đề Đạo hàm logarit, định lí Picard cho
siêu phẳng hoặc cho siêu mặt ở vị trí tổng quát, và định lí Tumura-Clunie trong
trường hợp đặc biệt q = (˜

q , . . . , q˜). Theo hướng nghiên cứu này L. T. Tuyết, N.
Đ. Tuyên và P. Đ. Thoan [46] cũng có được một vài kết quả tương tự về q -dịch
chuyển của hàm phân hình giao với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Ở đó,
định thức q -casorati và bổ đề q -dịch chuyển được sử dụng thay thế cho định
thức wronskian và bổ đề Đạo hàm logarit. Lý thuyết R. Nevanlinna cho q -dịch
chuyển có thể tìm thấy trong [2, 5, 6, 22, 26, 38, 55, 59].
Trong những năm gần đây, Định lí Cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình
giao với các siêu mặt được khảo sát bởi rất nhiều tác giả như T. V. Tấn và V.
V. Trường [52], M. Ru [36], S. Đ. Quang [40] và các tác giả khác. Chẳng hạn,
năm 2004, M. Ru [36] đã chứng minh một định lí Cơ bản thứ hai cho trường
hợp ánh xạ không suy biến đại số vào Pn (C) giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng
quát, đây là một kết quả đột phá. Năm 2017, S. Đ. Quang [40] có được định lí
Cơ bản thứ hai cho trường hợp tổng quát đó là trường hợp ánh xạ phân hình
vào đa tạp con xạ ảnh giao với các siêu mặt vị trí tổng quát bằng cách sử dụng
trọng Chow.
Cho mục đích nghiên cứu tính duy nhất hay định lí kiểu Picard của các ánh
xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) có bậc 0 giao với các siêu mặt, chúng tôi đã
nghiên cứu và đưa ra một vài kết quả phân bố giá trị q -dịch chuyển của các ánh
xạ phân hình nhiều biến phức giao với các siêu mặt nằm ở vị trí dưới tổng quát
dựa vào ý tưởng của M. Ru [36] và S. Đ. Quang trong [40].
Để phát biểu các kết quả, ta nhắc lại một vài khái niệm sau.
Cho q ∈ Cm \ {0}, kí hiệu Mm là tập tất cả các hàm phân hình trên Cm , kí
hiệu φq là tập tất cả các hàm phân hình của Mm thỏa mãn f (z) = f (qz). Kí hiệu
φ0q là tập tất cả các hàm phân hình của φq có bậc 0. Rõ ràng φ0q ⊂ φq ⊂ Mm .
Xét một ánh xạ phân hình f từ Cm vào Pn (C) có biểu diễn rút gọn f˜ = (f0 :
· · · : fn ), ở đó fi là các hàm chỉnh hình trên Cm , ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 1.0.5. Ánh xạ f được gọi là không suy biến đại số (tuyến tính)
qua trường φ0q nếu các hàm nguyên f0 , . . . , fn là độc lập đại số (tuyến tính) trên
13

trường φ0q và ánh xạ f được gọi là không suy biến đại số (tuyến tính) trên C nếu
các hàm nguyên f0 , . . . , fn là độc lập đại số (tuyến tính) trên C.
Với q = (q1 , . . . , qm ) và qi = 0 (1 ≤ i ≤ m) và z = (z1 , . . . , zm ), ta viết qz =
(q1 z1 , . . . , qm zm ). Đối với một hàm phân hình h trên Cm , ta kí hiệu
¯ [0] (z), f (qz) ≡ h(z)
¯
¯ [1] (z), . . . , h(q k z) ≡ h
¯ [k] (z), k ∈ N.
h(z) ≡ h(z) := h
:= h

Ta có
D

(j)

:=

∂
∂z1

α1 (j)

αm (j)

∂
∂zm

···

m
k=1 αk (j).

là tốn tử đạo hàm riêng có bậc là j =

Tương tự như định thức

Wronski
f0
W (f ) = W (f0 , . . . , fn ) =

···

f1

D(1) f0 D(1) f1 · · ·

..
.

..
.

fn
D(1) fn

..
.

D(n) f0 D(n) f1 · · ·

..
.
D(n) fn

của ánh xạ chỉnh hình f , định thức q -Casorati của f được định nghĩa bởi

Cq (f ) = Cq (f0 , . . . , fn ) =

···

f0
f¯0

f1
f¯1

···

fn
f¯n

..
.

..
.

..
.

..
.

[n]
[n]
f¯0 f¯1 · · ·

.

[n]
f¯n

Ta xét một siêu mặt Q trong Pn (C) có bậc d được cho bởi
aI z I = 0,
I∈Id

ở đó Id = {(i0 , . . . , in ) ∈ Nn+1 : i0 + · · · + in = d}, I = (i0 , . . . , in ) ∈ Id , z I = z0i0 · · · znin
và aI ∈ C (I ∈ Id ). Đặt M =

n+d

− 1 và kí hiệu

n

H = {(z0 , . . . , zM ) ∈ CM +1 :

aIj zj = 0}
Ij ∈Id

là một siêu phẳng trong CM +1 liên kết với Q, ở đó bộ {I0 , I1 , . . . , IM } được xếp
theo thứ tự từ điển.
14


Định nghĩa 1.0.6. Với mỗi d, định nghĩa F : Cm → PM (C) bởi
F (z) = (f I0 (z), . . . , f IM (z)),

ở đó {I0 , . . . , IM } = Id được xếp theo thứ tự từ điển và f I (z) = f0i0 (z) · · · fnin (z) với
I = (i0 , . . . , in ) ∈ Id . Chúng ta gọi F là là phép nhúng bậc d của f .

Định nghĩa như vậy không phụ thuộc vào sự lựa chọn đại diện của f . Đặt
Q(f˜) = H(F ) =

aI f I
I∈Id

và đặt
Cqd (f ) = Cq (F ).

Ta xem f ∗ Q = νQ(f˜) như một divisor.
Định nghĩa 1.0.7. Cho {Qj }pj=1 là một họ các siêu mặt trong Pn (C). Cho N ≥ n
và p ≥ N + 1. Họ {Qj }pj=1 được gọi là ở vị trí N -dưới tổng quát trong Pn (C) nếu
với mọi tập con R ⊂ {1, . . . , p} với R = N + 1 thì
Qj = ∅.
j∈R

Nếu chúng ở vị trí n-dưới tổng qt thì ta gọi đơn giản là chúng ở vị trí tổng
quát.
Với những khái niệm và kí hiệu ở trên, chúng tơi đã chứng minh được các
kết quả sau đây.
Định lí 3.2.1. Cho q = (q1 , . . . , qm ) ∈ Cm với qj = 0 (1 ≤ j ≤ m) và cho
f : Cm → Pn (C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0. Giả thiết rằng f không suy
biến đại số trên trường φ0 . Gọi f˜ = (f0 : · · · : fn ) là biểu diễn rút gọn của f. Cho
q

Qj là các siêu mặt bậc dj (1 ≤ j ≤ p) nằm ở vị trí N -dưới tổng quát trong Pn (C).

Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của mọi dj . Khi đó, tồn tại một số nguyên dương
u lớn nhất chia hết cho d sao cho
p

(p − (N − n + 1)(n + 1)) T (r, f ) ≤
i=1

1
N ˜ (r) −
di Qi (f )

+ o (T (r, f ))

15

N −n+1
un+1
(n+1)!

+ O(un )

NCq (f I1 ,...,f IM ) (r)


đúng trên tập trù mật logarit 1, ở đó Ij = (ij0 , . . . , ijn ), |Ij | = ij0 + · · · + ijn = u
và M =

u+d

.

u

Ta nhắc lại định nghĩa trong [22, 21].
Định nghĩa 1.0.8. Cho k ∈ N, q = (q1 , . . . , qm ) ∈ Cm với qj = 0 (1 ≤ j ≤ m)
và a ∈ C. Một a-điểm z0 của hàm phân hình h(z) được gọi là k -successive tương
ứng với toán tử τq (z) = qz , nếu k hàm h(q l z) (l = 1, . . . , k) lấy các giá trị a tại
z = z0 với bội không nhỏ hơn bội của những điểm đó của h(z). Mọi điểm a-bội

khác của h(z) được gọi là k -aperiodic tương ứng với toán tử τq (z) = qz .
−1
¯ [k,q] (r, Q(f˜)) là tập các khơng điểm
Xét một siêu mặt Q. Kí hiệu f[k,q]
(Q) và N

k -successive của hàm Q(f˜) tương ứng với toán tử τq (z) = qz và hàm đếm của
những điểm đó tương ứng. Chú ý rằng N¯ [k,q] (r, Q(f˜)) ≡ 0 khi mọi khơng điểm tính

cả bội của Q(f˜) là tuần hồn ứng với chu kì q tương ứng với toán tử τq (z) = qz .

Điều này cũng xảy ra trong trường hợp Q là dịch chuyển bất biến qua τq (z) = qz,
nghĩa là τq (f −1 (Q)) ⊂ f −1 (Q) và f −1 (Q) là tập các điểm tính cả bội của nó.
Khi đó, ta có kết quả sau tương tự như định lí Nochka-Cartan với bội bị cắt
cụt [7, 34].
Định lí 3.2.3. Cho q = (q1 , . . . , qm ) ∈ Cm với qj = 0 (1 ≤ j ≤ m) và cho
f : Cm → Pn (C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0. Giả thiết rằng f không suy
biến đại số trên trường φ0 . Gọi f˜ = (f0 : · · · : fn ) là biểu diễn rút gọn của f. Cho
q

Qj là các siêu mặt có bậc dj (1 ≤ j ≤ p) ở vị trí N -dưới tổng quát trong Pn (C).

Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của tất cả dj . Khi đó, với mọi > 0, ta có
p

(p − (N − n + 1)(n + 1) − ) T (r, f ) ≤
j=1

1 ¯ [M0 ,q]
N
(r) + o (T (r, f ))
dj Qj (f˜)

đúng trên tập trù mật logarit 1, trong đó M0 = 4(ed(N − n + 1)(n + 1)2 I(

−1 ))n − 1.

Ở đây, kí hiệu I(x) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn số thực x.
Chúng ta chú ý rằng nếu f dịch chuyển bất biến qua Qj với mọi j ∈ {1, . . . , q}
tương ứng với toán tử τq (z) = qz thì N¯ [M0 ,q] (r, Qj (f˜)) ≡ 0. Do đó, từ Định lí 3.2.3
ta suy ra khơng có hàm phân hình nào khơng suy biến đại số qua φ0q mà dịch

chuyển bất biến qua Qj với mọi j ∈ {1, . . . , q}. Bằng việc xét vấn đề duy nhất
cho f (z) và f (qz) giao với các siêu phẳng, các tác giả của [6, 46] đã có được các
16


định lí duy nhất cho các ánh xạ phân hình có thể suy biến. Các kết quả này là
sự mở rộng các kết quả về định lí Picard dưới điều kiện bậc bằng 0.
Cuối cùng, sử dụng các ý tưởng trong [6], chúng tôi cố gắng đưa ra một phiên
bản mở rộng của định lí Picard trong trường hợp siêu mặt nằm ở vị trí N -dưới
tổng quát trong Pn (C).
Định lí 3.3.1. Cho q = (q1 , . . . , qm ) ∈ Cm với qj = 0, 1 (1 ≤ j ≤ m) và cho
f : Cm → Pn (C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0. Cho Q1 , . . . , Qp là các

siêu mặt trong Pn (C) nằm ở vị trí N -dưới tổng quát có bậc chung d. Đặt M =
n+d
n

− 1. Giả thiết rằng f bất biến qua Qj tương ứng với toán tử τq (z) = qz .

Nếu p ≥ M + 2N − n + 1 thì ảnh của phép nhúng bậc d của f được chứa trong một
khơng gian con tuyến tính trên trường φ0q có chiều ≤ M − n − 1 +

p
p−N −1
+1
[M
−n+1 ]

.

Trong trường hợp siêu mặt là siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn (C), ta
có d = 1 và M = n. Hơn nữa, nếu |qi | = 1 với mọi i ∈ {1, . . . , m} thì f (z) = f (qz).
Điều này kéo theo f phải là một ánh xạ hằng. Do vậy, chúng tôi lấy lại được kết
quả trong [6, 46] như sau.
Hệ quả 3.3.5. Cho f là một ánh xạ phân hình có bậc 0 từ Cm vào Pn (C) và
cho τq (z) = qz, ở đó q = (q1 , . . . , qm ) ∈ Cm với qj = 0 (1 ≤ j ≤ m). Giả thiết rằng
τq ((f, Hj )−1 ) ⊂ (f, Hj )−1 (đếm cả bội) đúng với mọi siêu phẳng {Hj }pj=1 nằm ở

vị trí N -dưới tổng quát trong Pn (C). Nếu p > 2N thì f (qz) = f (z). Đặc biệt, nếu
|qi | = 1 với mọi i ∈ {1, . . . , m} thì f là một ánh xạ hằng.

III. Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của các ánh xạ phân
hình
Bài tốn phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào khơng
gian xạ ảnh phức cho các mục tiêu cố định lần đầu tiên được nghiên cứu bởi S.
Ji [27] và W. Stoll [49]. Sau đó, kết quả của họ đã được nhiều tác giả như H.
Fujimoto [18], Z. Chen và Q. Yan [50], S. Đ. Quang [39], S. Đ. Quang và L. N.
Quỳnh [42] phát triển. Cụ thể hơn, H. Fujimoto [18] đã đưa ra định lí suy biến
đối với n + 2 ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 2 siêu phẳng với các bội bị cắt cụt
đến mức

n(n+1)
2

+ n. Gần đây, S. Đ. Quang [39] đã chứng minh được định lí phụ

thuộc đại số cho ba ánh xạ phân hình và sử dụng nó để đưa ra kết quả về tính
hữu hạn của các ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát
17

mà không cần đếm bội. Để nêu một số kết quả gần đây theo hướng này, chúng
ta nhắc lại một số khái niệm sau đây.
Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) và cho H là một siêu phẳng
trong Pn (C). Kí hiệu ν(f,Hj ) (z) là bội giao của ánh xạ f với siêu phẳng Hj tại
điểm f (z).
Cho H1 , H2 , . . . , Hq là siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát và cho k1 , . . . , kq
là các số nguyên dương hoặc +∞. Giả sử rằng f khơng suy biến tuyến tính và
thỏa mãn
dim{z : ν(f,Hi ),≤ki (z) · ν(f,Hj ),≤kj (z) > 0} ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q).

Cho d là một số nguyên. Ta kí hiệu F(f, {Hj , kj }qj=1 , d) là tập hợp của tất cả
các ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C) thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a) min(ν(f,Hj ),≤kj , d) = min(ν(g,Hj ),≤kj , d) (1
(b) f (z) = g(z) trên

q
j=1 {z

j

q ),

: ν(f,Hj ),≤kj (z) > 0}.

Nếu k1 = · · · = kq = +∞, ta sẽ đơn giản sử dụng ký hiệu F(f, {Hj }qj=1 , d) thay
vì F(f, {Hj , ∞}qj=1 , d).
Vào năm 2019, S. Đ. Quang [39] đã chứng minh được định lí sau, trong đó
tác giả khơng cần phải đếm tất cả các khơng điểm có bội lớn hơn một giá trị
nhất định.

Định lí E [39] Cho H1 , . . . , H2n+2 là các siêu phẳng ở vị trí tổng qt trong
Pn (C). Nếu
2n+2

j=1

1
n+1
<
kj + 1
n(3n + 1)

1
2
3
thì mọi ba ánh xạ f 1 , f 2 , f 3 ∈ F(f, {Hj , kj }2n+2
j=1 , 1) thỏa mãn f ∧ f ∧ f ≡ 0 trên

Cm .
Một số tác giả đã cố gắng giảm số lượng siêu phẳng liên quan trong các định
lí này (xem [33, 42]). Chẳng hạn, S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh [42] đã tìm thấy
một điều kiện đủ cho sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình chia sẻ ít
hơn 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát như sau.
Định lí F [42] Cho f 1 , f 2 , f 3 ∈ F(f, {Hj }qj=1 , n) và {Hi }qi=1 là một họ q siêu
phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát. Nếu q >
trong các khẳng định sau là đúng:
18

2n + 5 +

√

28n2 + 20n + 1
thì một
4