Tài liệu thi hsg cap truong.doc

Đề bài:
Bài 1: (2 điểm): Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số đứng trước nó chia hết cho 12.
Bài 2: (2 điểm): a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có :
2
1
x
x
≥
−
b) Cho a > 1 , b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E =
2 2
1 1
a b
b a
+
− −
Bài 3 (2 điểm) : Tìm các giá trị nguyên x , y thõa mãm đẳng thức : ( y + 2 ) . x
2
+ 1 = y
2
.
Bài 4:(2 điểm) :Cho hình vuông ABCD , đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt tại E
và F . Chứng minh rằng :
1 1 1
2 2 2
AE AF AB
+ =
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau xác định một điểm P trong tam
giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.

------------------------------------
ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 đ) Số chính phương là n
2
( với n
∈
Z ) số đứng trước nó là n
2
- 1
Ta có: ( n
2
- 1)n
2
= ( n - 1 )(n+1)n
2
= (n - 1).n .n (n+ 1) (1đ)
Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 , mặc khác (n-1)n là 2 số nguyên liên tiếp nên
Chia hết cho 2 và n(n+1) chia hết cho 2 nên ( n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4
Mà(3,4)=1 nên (n-1) .n.n .(n+1) chia hết cho 12 (1đ)
Vậy (n
2
-1)n
2
chia hết cho 12
Bài 2 ( 2 đ) a) x > 1 nên
1 0x − >
Ta có:
2 2 1
1
x

x x
x
≥ ⇔ ≥ −
−
2
4 1( )x x⇔ ≥ −

2
4 4 0
2
2 0( )
x x
x
⇔ − + ≥
⇔ − ≥

Bất đẳng thức đúng nên suy ra điều phải chứng minh (1 đ)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm:

E =
2 2
1 1
a b
b a
+
− −

2 2
2 2
1 1

1 1
. .
a b a b
b a
a b
≥ =
− −
− −
Theo câu a ta có :
2 2
1 1
,
a b
a b
≥ ≥
− −
Nên E
≥
8 Vậy Min E = 8 khi x=y =2 ( 1đ)
Bài 3:(2đ) ( y + 2 ) . x
2
+ 1 = y
2

⇔
x
2
=
2
1 3

2
2 2
y
y
y y
−
= − +
+ +
x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) (1đ)
y + 2 = 1 ; 3;-1;-3 Nên y = -1 ;1;-3 ;5
do x
2

0
≥
nên (y
2
-1)(y+2)
0
≥
, y
2
≠ ⇔

2 1y− ≤ ≤ −
hoặc y
1≥
do đó : y = -1 hoặc y = 1 suy ra x=0 Vậy nghiệm nguyên : (x,y)=
{ }
0 1 0 1( , );( , )−

(1đ)
Bài 4:(2đ)Trên tia đối của tia BC Lấy điểm M sao cho BM=DF

ABM ADF∆ = ∆
Suy ra: góc MAB = góc FAD và AM=AF (1đ)
Từ đó suy ra
MAF∆
vuông tại A có đường cao AB
Và hai cạnh góc vuông AF và AE
Nên
1 1 1
2 2 2
AE AF AB
+ =
(1đ)
Bài 5:(2đ) Gọi a , b, c là các cạnh đối diện với góc A, B, C và h
a
, h
b
, h
c
Là các đường cao tương ứng. Giả sử
,a b c≥ ≥
khi đó : h
a
h h
b c
≤ ≤

Ta có : S

ABC
= S
PAC
+ S
PBC
+ S
PAB
( 1đ)

⇒
2 S = a. PH + b . PK + c. PI
≤
a ( PH + PK + PI)

⇒
PH + PK + PI
2S
a
≥
= h
a


⇒
PH + PK + PI nhỏ nhất khi P trùng với A (1 đ)

M
F
E
D C

B
A
I
H
P
K
C
B
A