chuyên đề ĐỘNG học vật rắn

ĐỘNG HỌC VẬT RẮN
Phần 1. Cơ sở lí thuyết
Có 3 loại chuyển động của vật rắn: Chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay quanh trục cố
định và chuyển động song phẳng.
I. Chuyển động tịnh tiến.
Tất cả các điểm trên vật rắn có cùng vận tốc và có cùng gia tốc ở cùng 1 thời điểm:

v v
v A = vB ,
v v
a A = aB .
II. Chuyển động quay quanh một trục cố định
Tất cả các điểm trên vật rắn quay quanh một trục cố định với cùng vận tốc góc và gia tốc góc.

dθ
,
dt
dω
α=
,
dt
α dθ = ω d ω .

ω=

Nếu gia tốc góc khơng đổi

ω2 = ω1 + α t ,
1
θ 2 = θ1 + ω1t + α t 2 ,
2

2
2
ω2 = ω1 + 2α ( θ 2 − θ1 ) .
Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật khi quay với gia tốc biến đổi

v v v
v = ω ×r,
v v v v v v v v
a = at + an = α × r + ω × ( ω × r ) .
III. Chuyển động song phẳng của vật rắn
Là tổng hợp của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay
1. Chuyển động song phẳng: trục quay chuyển động tịnh tiến
Xét hệ quy chiếu đứng yên, A là trục đang chuyển động tịnh tiến, B là một điểm trên vật rắn,
vật rắn quay với tốc độ góc ω. Chuyển động song phẳng của vật rắn có thể phân tích thành
chuyển động tịnh tiến của A và chuyển động quay của vật rắn.

1

1


v v v
rB = rA + rB / A ,
v v v
v v v
vB = v A + vB / A = v A + ω × rB / A ,
v v v
v v
v
v

v v v
aB = a A + ( aB / A ) t + ( aB / A ) n = a A + α × rB / A + ω × ( ω × rB / A ) .
•
•
•

Áp dụng cho
Các cơ cấu có chốt cố dịnh
Các mặt trượt cố định
Lăn không trượt

Điểm tiếp xúc không trượt, chuyển động trên các quỹ đạo khác nhau, có cùng vận tốc và gia tốc
tiếp tuyến nhưng gia tốc hướng tâm khác nhau

Lăn khơng trượt có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

2

2


v
v
v
v
v
=
r
ω
i

a
=
α
ri
.
G
G
Lăn không trượt, vận tốc khối tâm
gia tốc khối tâm
Xác định tâm vận tốc tức thời:

2. Trục quay vừa chuyển động tịnh tiến, vừa chuyển động quay
Trong hệ quy chiếu cố định, A là trục vừa chuyển động quay, vừa chuyển động tịnh tiến.

v v v
rB = rA + rB / A ,
v v v v
v
vB = v A + Ω × rB / A + ( vB / A ) xyz ,
v v v
v v
v v v
v
&× rv + Ω
aB = a A + Ω
× ( Ω × rB / A ) + 2Ω × ( vB / A ) xyz + ( aB / A ) xyz .
B/ A

3

3


Áp dụng cho:
Vật rắn trượt tự do ở điểm liên kết.
Chuyển động của 2 điểm trên 2 vật rắn khác nhau.
Hạt chuyển động trên 1 quỹ đạo đang quay
Phần 2. Bài tập áp dụng
Bài 1: Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng thẳng đứng tạo thành từ 3 thanh cứng AB,
BC, CD của một tam giác. AB và CD có thể chuyển động quanh 2 trục A, D cố định vng góc
với mặt hình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang. Hai đầu của thanh BC nối với
AB và CD có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề).
Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc ω tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng,
0
BC và CD đều tạo với phương nằm ngang góc 45 . Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC
và CD được xác định như trong hình vẽ. Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc ac của điểm C
•
•
•

(biểu diễn qua góc với thanh CD)

Cách giải 1 :
Vì điểm B quay trịn quanh trục A, tốc độ của nó là
vB = ωl

(1)

a B = ω 2l

(2)

gia tốc hướng tâm của điểm B là

4

4


Hình 1
Vì chuyển động với tốc độ góc khơng đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng
0 và aB cũng là gia tốc toàn phần của B, nó có hướng dọc theo BA. Điểm C quay tròn quanh
trục D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vng góc với thanh CD. Từ hình 1có
thể thấy hướng đó dọc theo BC. Vì BC là thanh cứng nên tốc độ của B và C theo hướng BC ắt
phải bằng nhau và bằng

vC = vB cos450 =

2
ωl
2

(3)

Lúc đó thanh CD quay quanh trục D theo hướng thuận chiều kim đồng hồ, gia tốc pháp tuyến
của C bằng

vC2
aCn =
CD

(4)

Hình 1 cho thấy CD = 2 2l , từ (3), (4) ta được

aCn =

2 2
ωl
8

(5)

Gia tốc này có hướng dọc theo hướng CD.
Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vng góc với thanh CD, tức là gia tốc
tiếp tuyến aCt . Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quay quanh
B, phương của vận tốc ắt phải vng góc với thanh BC. Gọi vCB là độ lớn của vận tốc này, theo
(1) và (3) ta có

vCB = v B2 − vC2 =

2
ωl
2

(6)

Điểm C quay tròn quanh điểm B, vậy gia tốc hướng tâm của nó đối với B là

aCB

5

2
vCB
=
CB

(7)

5


Hình 1

α

A
C

Vì CB = 2l nên

aCB =

2 2
ωl
4

(8)

Gia tốc này có hướng vng góc với CD
Từ cơng thức (2) và hình 1 thấy rằng thành phần gia tốc dọc thanh BC của điểm B là

( aB ) BC = aB cos450 =

2 2
ωl
2

(9)

Cho nên thành phần gia tốc vng góc với thanh CD của điểm C đối với điểm A (hoặc điểm D)
là

aCt = aCB + ( aB ) BC =

2 2
2 2 3 2 2
ω l+
ωl=
ωl
4
2
4

(10)

Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyến aCn khi C chuyển động tròn quanh
D và gia tốc tiếp tuyến aCt , nghĩa là
2

aC = aCn
+ aCt2 =

74 2
ωl
8

(11)

Góc giữa phương của aC với thanh CD là

θ = arctan

aCt
= arctan 6 = 80,54 0
aCn

(12)

Bài 2:
Một khối trụ bán kính R có quấn chỉ trên mặt ngồi, một đầu dây buộc cố định. Người ta đặt khối trụ lên
mặt phẳng nhẵn nghiêng góc α (hình 1). Ở thời điểm khi sợi dây có phương thửng đứng thì vận tốc góc củ
khối trụ là ω . Hỏi tại thời điểm đó:
a) Vận tốc trục hình trụ bằng bao nhiêu?

b) Vận tốc của điểm tiếp xúc giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng là bao nhiêu?
Lời giải

6

6


v0
v
v A'q

α

Do dây không dãn nên đầu dưới của phần dây thẳng đứng và điểm tiếp xúc của dây với khối trụ

r
v
(điểm A) có cùng một vận tốc và hướng theo phương ngang A . Chuyển động của khối trụ bao
r
gồm: chuyển động tịnh tiến cùng với trục với vận tốc v 0 hướng theo mặt phẳng nghiêng và
chuyển động quay quanh trục theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc ω . Khi đó:

a)

Điểm A:

r
r r
v A = v 0 + v 'q

r
v 'q = ωR 
ωR
r

r  → v0 =
v A ⊥ v 'q 
sin α

b)

v ''
vC q

Điểm tiếp xúc C:

r
r r
r
r
v C = v 0 + v ''q ; v 0 ↑↓ v ''q
vC = v0 − ωR = ωR

r
v0

1 − sin α
sin α

Bài 3:
Trên mặt phẳng thẳng đứng P có vẽ một vịng trịn C bán kính R
tiếp xúc với mặt phẳng ngang. Một chiếc vịng M có bán kính R
lăn khơng trượt trên mặt phẳng ngang tiến về phía vịng trịn C.

A

M

C
v
O1

O2

Vận tốc của tâm O1 của vòng M là v. Mặt phẳng của M nằm sát
mặt phẳng P. Gọi A là một giao điểm của hai vòng tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là
d < 2R. Tìm:

7

7


aht
α α
a
vA

A

vx

M

C

v
O1

O2

a) Vận tốc và gia tốc của A.
b) Bán kính quỹ đạo và vận tốc của điểm nằm trên vòng M tại A.
Lời giải
a) Giao điểm A dịch chuyển trên đường tròn C với vận tốc vA tiếp tuyến với C, hình chiếu

lên phương ngang là vx = v/2 = vAcosα = vA

R 2 − d2 / 4
R
. Vậy:

v

vA =

2 1−

d2
4R 2 .

r
v
Vì thành phần vận tốc của A theo phương ngang không đổi nên gia tốc của A hướng thẳng
đứng và thành phần của gia tốc này lên phương bán kính O2A là gia tốc hướng tâm:

v 2A
v2
v2
v 2A
=
=
a ht = a.cosα =
3
2
2 3/ 2
R → a = Rcosα 4.R.cos α 4R(1 − d / 4R )
b) Trong khoảng thời

β

gian rất ngắn quỹ đạo
β

A1

M
a1
O1

cong của điểm A1 (tại
A) trên vịng có thể coi
v1

là một cung trịn. Vịng

lăn khơng trượt nên có
thể xem như nó đang
quay quanh điểm tiếp

I

xúc với vận tốc góc ω
= v/R.

Ta có:

8

IA1 = 2R.cosβ, với β = α/2.

8


→ cosβ =

1
d2 
1 + 1 −
÷
2 
4R 2 ÷


d2 
2 1 + 1 −

÷
2 ÷

4R

.

Do đó v1 = ω.IA1 = v

Gia tốc của A1 hướng về tâm O1 và có độ lớn là a1 = v2/R. Gia tốc hướng tâm của A1 lại là:


d2 
v12
2 1 + 1 −
÷
2 ÷

4R
R


aht1 = a1.cosβ = 1 . Vậy: R1 = 2R

Bài 4:
Một tấm gỗ dán mỏng phẳng rơi trong không gian. Ở một thời điểm nào đó vận tốc của 2 điểm



A và B trên tấm gỗ là vA = vB = v và nằm trong mặt phẳng của tấm. Điểm C (tam giác ABC

đều: AB = AC = BC = a) có vận tốc 2v. Hỏi những điểm trên tấm gỗ có vận tốc là 3v nằm ở
cách đường thẳng AB là bao nhiêu?
Lời giải



v
=
v
=
v
A
B
Trong hệ quy chiếu (HQC) chuyển động với vận tốc
thì A và B đứng n cịn
C quay quanh AB. Như vậy trong HQC gắn với đất:

r
r r
vC = v + vq

, trong đó

r
vq

là vận tốc C quay

r




r
v
v
=
v
=
v
B
quanh AB. Vì A
và nằm trong mặt phẳng của tấm nên q vng góc với v . Vậy:

vC2 = vq2 + v 2 ⇒ vq = 3v

.

Vận tốc góc của chuyển động quay

ω=

vq
R

;R =

3
a
2 .

Những điểm có vận tốc 3v nằm trên hai đường thẳng song song với AB và cách AB là L,
quay quanh AB với vận tốc

vq' = ωL

, trong đó

(3v) 2 = v 2 + (vq' ) 2

vq'

tìm từ phương trình:

Như vậy

vq' = 2 2v = ωL

→ L = 2a

Bài 5:
Một đĩa nặng bán kính R có 2 dây không dãn quấn vào. Các đầu tự do của dây gắn chặt (hình
3). Khi khối đĩa chuyển động thì dây ln căng. Ở một thời điểm vận tốc góc của đĩa bằng ω và
góc giữa các dây là α. Tìm vận tốc của tâm đĩa ở thời điểm này.

9

9


α

O
R

Hình 3

Lời giải
Gọi v0 là vận tốc của tâm O của đĩa. Tại các điểm tiếp xúc C và D của dây và đĩa vận tốc là:

r
r r
v C = v0 + vC0
r
r r
v D = v 0 + v D0

(1)

trong đó vD0 và vC0 là các vận tốc của C và D trong chuyển động quay quanh O:
vC0 = vD0 = ωR

10

10


vC0
vD0

v0

yx

α
D

O

C

r
r
v
v
C
Do dây khơng giãn nên hình chiếu của
và D lên phương của các dây tương ứng phải
bằng không. Chọn hệ quy chiếu gắn với tâm O của đĩa và hai trục song song với hai dây, như

r
r
v
v
C
vậy góc giữa hai trục này bằng α. Chiếu
và D cho bởi hệ các phương trình (1) lên hai trục
ta được:
vCx = v0x - ωR = 0
vDy = v0y - ωR = 0

ωR

r
Có nghĩa là v 0 hướng theo phân giác của góc giữa hai dây, và có độ lớn là: v = cos(α / 2)

Bài 6:
Hai thanh cứng, cùng chiều dài L, được nối với nhau ở một đầu bằng một bản lề. Đầu kia của
một thanh được giữ cố định bằng một bản lề, cịn đầu kia của thanh thứ hai thì cho chuyển động
với vận tốc véctơ v0 không đổi cả về độ lớn lẫn hướng, đồng thời tại thời điểm ban đầu véc tơ
vận tốc v0 song song với đường phân giác của góc tạo bởi hai thanh ở thời điểm đó (hình 4).
Hãy tìm độ lớn và hướng của véc tơ gia tốc của bản lề nối hai thanh sau thời điểm ban đầu một
khoảng thời gian rất ngắn.
Bản lề

Lời giải
- Quỹ đạo của B là tròn.
- Do thanh BC cứng, hình chiếu của B và C lên phương thanh

2

bằng nhau:
v0 cosα = vB sin2α ⇒ vB =

11

v0

v0
2sinα

(1)

Bản lề cố định
Hình 4

11


+ Gia tốc B gồm hai thành phần:

vB2
v02
=
L 4L sin2 α
* Pháp tuyến:
uu
r
v
* Tiếp tuyến at hướng theo B
an =

vB

(2)

B

vBC

Xét trong hệ quy chiếu quán tính gắn với C
uuu
r uuu

r uu
r
vBC = vBA − vo

at
- v0

an
v0

v0
vBC =
2sinα
Từ hình vẽ tính được:

C

A

Vận tốc này vng góc với BC do B quay quanh C.
Gia tốc pháp tuyến của B trong hệ này (hướng từ B về C):
anC = an.cos2α + at cosβ

(vì an hướng theo thanh AB, còn at theo phương của

= an cos2α + at sin2α =

uu
r
vB

)

vBC 2
v2o
=
= an
L
4L sin2 α

v2
r⇒ at sin2α = an(1− cos2α ) = an.2sin2 α = 0
aA
2L

VA ⇒ a =
t

P

r
aB

rn
aBA

v02
4L sinα cosα

⇒ aB = an2 + at2 =

v02
L sinα

sinα + cosα
sin2α

at
= tgα
a
⇒
n
Hướng của aB hợp với AB góc ϕ
tgϕ =

r
aB

Bài 7:

⇒ ϕ = α, tức là gia tốc của B hướng dọc theo phân giác góc 2α.
r
aA


V
A
Thanh AB chuyển động
trong mặt phẳng thẳng đứng
với đầu A chuyển động theo phương ngang và đầu B

chuyển động theo phương đứng. Tại thời điểm khảo
sát đầu A có vận tốc VA = 40 cm/s và gia tốc
WA= 20 cm/s2. Trong đó AB = 20 cm và α = 30o
Tìm gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB
LG
Gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB
P là tâm vận tốc tức thời : Sin α =PA/L vậy PA=L.Sin α , AP = 10 cm
V
40
ω AB = A = . =
A P 10 4 rad/s
Vận tốc góc của thanh AB:
r
r rτ
rn
Gia tốc của điểm B: aB = a A + aBA + aBA
(a)
Trong đó :
n
2
aτAB = γ BA . AB
; aBA = ω AB . AB = 320 cm/s2

B

Chiếu biểu thức (a) lên phương AB, ta có:

12

12

n
aB sin 300 = a A cos 300 + aBA

⇒ aB = 674,64 cm/s2

Bài 8:
Tay quay OA có vận tốc góc ωOA khơng đổi . Hãy xác định gia tốc của con chạy B và gia tốc
góc của thanh truyền AB tại thời điểm khi góc BOA = 900 Cho biết OA = r, AB = l .
Xác định gia tốc của con chạy B và gia tốc góc của thanh
truyền AB

A o

ω OA
P

B
o

Oo

γ
A
o

r
aA
o

Oo

B

Vì tại thời điểm khảo sát tâm vận tốc tức thời của thanh AB nằm ở vô cực

γ AB
2
⇒ ωAB = 0. vậy tanα = ω AB = ∞ . ⇒ α = 900
Gia tốc của điểm A bằng aA = r.ωOA2 và hướng dọc theo OA. và điểm B chuyển động thẳng nên
gia tốc của B hướng dọc theo OB

⇒

P là tâm gia tốc tức thời
r ω 2 OA
aA
γ AB =
2
2
PA = l − r

r 2 ω 2 OA
;

aB = γ AB PB =

l 2 − r 2 (PB=AO=R)

Bài 9:
Bánh xe có bán kính R lăn trên đường ray thẳng
với vận tốc Vc của tâm C không đổi.
Hãy xác định gia tốc của điểm M ở trên vành bánh xe

M



C r

13

VC

13

r
aB


Xác định gia tốc của điểm M ở trên vành bánh xe
r
r rτ
rn
aM = aC + aMC
+ aMC
Trong đó:
• Vc = const ⇒ Wc = 0
V V

dω
ω = c = c = const ⇒ γ =
= 0 ⇒ aτMC = 0
PC R
dt
•

M



C
r
aM



r
VC

Vc2
⇒ aM = a = CM ω2 = R
Chú ý: Có thể tìm gia tốc bằng phương pháp tâm gia tốc tức thời ( α = 0)
n
MC

r
aB

Bài 10:

r
aτBA
rn
aBA

r
a

Một tấm hình vng cạnh a chuyển động trong mặt
phẳng như hình vẽ. Lúc khảo sát các đỉnh A,B có
2
gia tốc WA
A = WB=16 cm/s và tương ứng hướng theo
các cạnh AD, BA. Tìm gia tốc của đỉnh C

A

B

D

C

n
aCB

rτ
aCB

r

Hình vng chuyển
động song phẳng
aB uu
r uuu
r
r uur uunu
t
a
=
a
+
a
+
a
A
BA
BA
r A làm cực : B
Chọn
aA
Chiếu (1) lên hai trục vng góc
aB
n
aB = aBA = AB. ω2 = a.ω2 ⇒ ω = a
τ
BA

(1)
A

B

D

C

WA
γ= a

τ
BA

0 = - aA + a ⇒ a = aA = AB.γ ⇒
ur
uur uur uunur uu
τ
aC = aB + aCB
+ aCB
Chọn B làm cực :
(2)
Trong đó :
n
τ
aCB
= CB.ω2 = a.ω2 = W ; aCB = CB.γ = a.γ = W
B

A

Chiếu (2) lên 2 trục tọa độ.

τ
aCx = - aB + aCB = - aB + aA = 0
n
aCy = aCB = aω2
⇒ aC = aCy = 16 cm/s2 hướng từ C đến B.
Chú ý: Có thể tìm gia tốc bằng phương pháp tâm gia tốc tức thời

14

14


2bb
2b

Bài 11
Trong cơ cấu
bốn khâu bản
lề, tay quay
OA=b quay
nhanh dần với
vận tốc góc ω0
và gia tốc γ0.
Thanh truyền
AB = 2.OA, tại
thời điểm đã
cho tạo với
đường thẳng
OO1 góc α =
300 và OA, O1B

đều vng góc
với OO1. Tìm
gia tốc góc của
thanh AB và
gia tốc củaB tại
vị trí đó
a

Chọn điểm A
làm cực, định
lý về quan hệ
gia tốc cho ta:

o

o

A

B

15

O1
O

15


rτ

aBA
r
aBτ

r
aBn

r r
r r n rt
r r
r r r n rt
aτB + aBn = a A + aBA
+ aBA ⇒ aBτ + aBn = a At + a An + aBA
+ aBA
rτ
Trong đó : a A

r
a An

a = bω ,
n
A

2
0

a

n

BA

=0

; VA = b.ω0 ,

a = ε 0 .b
t
A

n
aBA
=

(*)
2a

b ωo2
2

2a

Chiếu hai vế của (*) lên trục AB
b
τ
a
=
( 3 ωo2 − 6 ε o )
B
a cosα + a sin α = a cos α + a sin α ⇒

6
Chiếu hai vế của (*) lên trục vng góc AB ta nhận được:
a ωo2
τ
aBA =
−aB = −a An sin α + aτBA cos α
3
⇒
τ
B

⇒

n
B

τ
A

ε BA =

ω o2 rad
2 3 s2

r
aB

45

45+

n
A

Q

r
aA

rτ
aBA

r
aBA
Thanh thẳng AB = l chuyển
động song phẳng. Tại thời điểm đã cho, gia tốc tại A và B có trị số
rn
aBA
r
bằng nhau a = a = a, có phương vng góc với nhau và gia tốc aaA tạo góc α (α < 450) với

Bài 12.

B

A

B

a

A

thanh AB.
Tìm tâm gia tốc tức thời của thanh và gia tốc tại điểm giữa C của thanh
C
A

o
o

Tâm gia tốc tức thời:
Thanh AB chuyển động song phẳng:
r
r r
r
r r
rτ
rn
aB = a A + aBA ⇒ aBA = aB − a A = aBA
+ aBA
= aBA = a 2
n
aBA
= aBA sin(450 − α ) = a 2 sin(450 − α )

A

aτBA = aBA cos(450 − α ) = a 2 cos(450 − α )

a

n
BA

= lω

2

aτBA = lε 2

16

⇒
⇒

ω2 =
ε=

a 2
sin(450 − α )
l

a 2
cos ( 450 − α )
l

O

16

tgλ =

17

ε
= cot g ( 450 − α ) = tg ( 450 + α )
2
ω

17


0
⇒ λ = 45 + α

18

AQ =
Và

aA

ω4 + ε 2

=

l 2
2

18


l 2
r
rτ
AQ =
2 tìm
Chiều ε theo chiều a AB . Quay gia tốc a A quanh A góc λ = 450 + α, lấy đoạn
l 2
được tâm gia tốc Q, tạo thành tam giác vng cân ∠( AQB) có cạnh QA = QB = 2 .

19

19


b. Gia tốc điểm giữa C :

20

20


Có phương tạo với đoạn CQ góc λ và có giá trị bằng:

21

21

aC = CQ ω 4 + ε 2 =

l a 2 a 2
=
2 l
l

Bài 13.

22

22


Tay quay OA = r quay đều quanh trục O cố định với vận tốc góc ω0. Đầu B của thanh truyền
gắn bản lề với trục của con lăn D có bán kính R, lăn khơng trượt trên đường nằm ngang. Biết
chiều dài thanh AB = 1.

23

23


o

Tìm vận tốc và gia tốc tại hai điểm I, K trên chu vi con lăn tại thời điểm bán kính BI thẳng
đứng và bốn điểm O, A, B, K cùng nằm trên đường thẳng ngang

O

K

B

I

A

24

24


25

25