TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (180.72 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I.

CÁC HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIAC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = ha và các đường trung

tuyến

AM = ma, BN = mb, CP = mc.

a.

Định lí cosin.

a

= b

+ c

– 2bccosA

b

= a

+ c

– 2accosB

c

= a

+ b

– 2abcosC



Hệ quả

cos

A

=

b

+

c

− a

2 bc

cos

B

=

a

+

c

−b

2 ac

cos

C

=

a

+

b

− c

2 ab

b.

Định lí sin.

R

a

sin

A

=

b

sin

B

=

c

sin

C

=

2 R

¿

: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)

c. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

.

2 2 2 2 2 2 2 2 2

;

2

4

2

4

2

4

a b c

b

c

a

c

b

a

b

c

m







m







m







4. Các công thức tính diện tích tam giác.

Diện tích S của tam giác được tính theo các cơng thức:

*

1 .

2

a

2

b

2

c

S



a h



b h



c h

*

S

=

1

2 ab sin

C

=

1

2 ac sin

B

=

1

2 bc sin

A

*

S

=

abc

4 R

( R : bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)

*

S=

pr

với

p

=

1

2 (

a

+

b

+

c

)

và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC.

*

S

=

√

p

(

p − a

)(

p − b

)(

p − c

)

với

p

=

1

2 (

a

+

b

+

c

)

(công thức Hê- rông)

II.

TỌA ĐỘ

1.

Hệ trục toạ độ

Oxy

gồm ba trục

Ox

,

Oy

đơi một vng góc với nhau với ba vectơ đơn vị

i j,


 



ij 1



.

2.

a a a



1; 2



 a a i1 a j2

   

;

M

(

x

;

y

)



OM xi y j

 

3. Tọa độ của vectơ:

cho

u x y v x y

( ; ), ( '; ')

 

a.

u v

 

x x y y



';



'

 

b.

u v 



x x y y ';  '



 

c.

ku



( ; )

kx ky



d.

u v xx

.



'



yy

'

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

e.

u v

 

xx

'



yy

' 0



 

f.

2 2

u





x



y

g.

 

cos ,

.



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

u v

.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a.

AB





x

B



x y

A

;

B



y

A





b.









2 2

B A B A

AB x  x  y  y

c.

G

là trọng tâm tam giác

ABC

ta có:

A B C

G

x x x

x   

;

A B C

G

y y y

y   

d.

M

chia

AB

theo tỉ số

k

:

1 ; 1

A B A B

M M

x kx y ky

x y

k k

 

 

 

Đặc biệt:

M

là trung điểm của

AB

:

2 ; 2 .

A B A B

M M

x x y y

x  

y

 

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Phương rình tham số.

* Phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua điểm M

(x

; y

), có vec tơ chỉ phương

u

→

=(

u

1

;u

2

)

là

¿

x

=

x

+

tu

y

=

y

+

tu

(

u

1
2

+

u

2
2

≠

0 )

¿

{

¿

* Phương trình đường thẳng

Δ

đi qua M

(x

; y

) và có hệ số góc k là: y – y

= k(x – x

).

2. Phương trình tổng quát

.

* Phương trình của đường thẳng

Δ

đi qua điểm M

(x

; y

) và có vec tơ pháp tuyến

n

→

=(

a; b

)

là:

a(x – x

) + b(y – y

) = 0 ( a

+ b

0 ¿

* Phương trình ax + by + c = 0 với a

+ b

0

là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận

n

→

=(

a; b

)

làm véc tơ pháp tuyến và

u





( b; -a ) làm vectơ chỉ phương

* Đường thẳng

Δ

cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn

là :

x

a

+

y

b

=

1 (

a , b≠

0 )

* Cho (d) : ax+by+c=0 Nếu



// d thì phương trình



là ax+by+m=0 (m khác c)

Nếu



vng góc d thì phươnh trình



là : bx-ay+m=0

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng

Δ

Δ

:

a

x

+

b

y

+

c

=

0 :

a

x

+

b

y

+

c

=

0 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Δ

1

và

Δ

2

ta xét số nghiệm của hệ phương trình

¿

a

x

+

b

y

+

c

=

0 a

x

+

b

y

+

c

=

0 ¿

{

¿

(I)



Chú ý:

Nếu a

b

c

0 thì :

Δ

∩ Δ

⇔

a

1

a

≠

b

Δ

1

//

Δ

2

⇔

a

2

=

b

2

≠

c

2

Δ

1

≡ Δ

2

⇔

a

2

=

b

1

b

2

=

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4. Góc giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng

Δ

và

Δ

có VTPT

n

→

và

n

→

được tính theo cơng thức:

¿

a

1

a

2

+

b

1

b

2

∨

¿

√

a

1
2

+

a

22

.

√

b

12

+

b

22

¿

n

→

∨

¿

n

→

∨

¿

=

¿

n

→

.

n

→

∨

¿

¿

cos

(

Δ

1

, Δ

2

)=

cos

(

n

→

, n

→

)=

¿

5. Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm M

(x

; y

) đến đường thẳng

Δ

: ax + by + c = 0 cho bởi công thức:

d(M

,

Δ

) =

¿

ax

0

+

by

0

+

c

∨

¿

√

a

+

b

¿

B. BÀI TẬP.

1) Cho tam giác ABC với A(-1;2);B(2;-4);C(1;0).Tìm phương trình các đường thẳng chứa đường cao tam giác ABC

2) Viết phương trình các trung trực các cạnh tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh là M(-1;1) ; N(1;9) và P(9;1)

3) Cho A(-1;3) và d: x-2y +2=0.Dựng hình vng ABCD có B và C thuộc d, C có tọa độ là số dương

a) Tìm tọa dộ A,B,C,D

b) Tìm chu vi và diện tích hình vng ABCD

4) Cho d1: 2x-y-2=0 và d2:x+y+3=0 ; M(3;0)

a) Tìm giao điểm d1 và d2

b) Tìm phương trình đường thẳng d qua M cắt d1 và d2 tại A và B sao cho M là trung điểm đoạn AB

5) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d:

1 2

3 x

t

y

t

 





 



t



R

b)Viết phương trình tham số đường thẳng d: 3x-y +2 = 0

6) Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau :

2

1 x

t

y

t







 



t



R

và d2:

2

7

3

1 x





7) Cho d1

2 3

1 x

t

y

t

 





 



và d2:

'
'

3 1 2

x

t

y

t

  





 





a) Tìm giao điểm của d1 và d2 gọi là M

b) Tìm phươn trình tổng quát đường thẳng d đi qua M và vuông góc d1

8) Lập phương trình sau đây M( 1;1) ; d : 3x +2y-1 = 0

a) đường thẳng di qua A( -1;2) song song đường thẳng d

b) đường thẳng đi qua M vng góc d

c) đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k = 3

d) đường thẳng đi qua M và A

9) Cho d

2 2

1 2

x

t

y

t

 





 



và M (3;1)

a) Tìm A thuộc d sao cho AM = 3 b) Tìm B thuộc d sao cho MB đạt giá trị nhỏ nhất

10) Cho d có 1 cạnh có trung điểm M( -1;1) ; 2 cạnh kia nằm trên các đường thẳng: 2x + 6y+3 = 0 và

2 x

t

y t

 









Tìm phương trình cạnh thứ 3 của tam giác

11) Cho tam giác ABC có pt BC :

1

2

1

2 x



y







Pt đường trung tuyến BM và CN có pt : 3x + y – 7 = 0 và x + y

– 5 =0 viết pt các cạnh AB và AC

12) Cho A ( -1; 2 ) ; B(3;1) và d :

1

2 x

t

y

t

 





 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

13) Cho A( -1;2) và d :

1 2

2 x

t

y

t

 









Tìm d’ (A;d) . Tìm diện tích hình tròn tâm A tiếp xúc d

14/ Viết pt đường thẳng : Qua A( -2; 0) và tạo với : d : x + 3y + 3 = 0 một góc 450

15/ Viết pt đường thẳng : Qua B(-1;2) tạo với đường thẳng d:

2 3

2 x

t

y

t

 









một góc 600

16/a) Cho A(1;1) ; B(3;6) . Tìm pt đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2

b) Cho d: 8x – 6y – 5 = 0 tìm pt d’ sao cho d’ song song d và d’ cách d một khoảng bằng 5

17) A(1;1); B(2;0); C(3;4) .Tìm pt đường thẳng qua A cách đều B và C

18) Cho hình vng có đỉnh A (-4;5) pt một đường chéo là 7x – y + 3 = 0 lập pt các cãnh hình vng và đường chéo
cịn lại

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. phương trình đường trịn.

* Phương trình đường trịn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)2 + (y – b)2 = R2.

* Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường trịn tâm

I(a ; b), bán kính R =

√

a

+

b

−c

* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì khơng có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

2. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn.

Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0

B. BÀI TẬP.

19) Tìm pt đường trịn (C) trong các trường hợp sau

a) Có đường kính AB với A ( 7;3); B(1;7)

b) Ngoại tiếp tam giác ABC với A(1;3);B(5;6) và C(7;0)

c) Đi qua A(2;-1) tiếp xúc các trục tọa độ

d) Có tâm thuộc d: 3x – 5y – 8 = 0 và tiếp xúc các trục tọa độ

e) Đi qua A(-1;0) ; B(1;2) tiếp xúc d: x – y – 1 = 0

f) Tiếp xúc 0x tại A(6;0) và đi qua B(9;9)

g) Có tâm I(1;3) tiếp xúc d: x + y + 2 = 0

20/ Tìm tâm I và bán kính R của các đường trịn sau :
a) x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0

b) 3x2 + 3y2 – 6x + 4y – 1 = 0

21/ Cho (C) : x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 và d: 2x + y – 1 = 0 .Tìm pttt d’ của (C) biết d song song d’. Tìm tọa độ tiếp

điểm

22/ Cho ( C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0

a) Tìm tâm I và bán kính R của (C)

b) Tìm pttt d với (C) tại M (2;1)

c) Tìm pttt d với (C) biết d song song d’ : 4x – 3y +1 = 0

d) Tìm pttt d với (C) biết d vuông gốc d’ : 4x – 3y + 1 = 0

e) Tìm pttt d với (C) biết d đi qua A(2;6)

V. ELIP

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1.

Phương trình chính tắc:

2 2

1 x

y

a



b



, (

a

>

b

>0).

2.

Các yếu tố:

c



a



b

,

c

>0.

Tiêu cự:

F

=2

c

;

Độ dài trục lớn

A

=2

a

Độ dài trục bé

B

=2

b

.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bốn đỉnh: đỉnh trên trục lớn

A





a

;0 ,



A a



;0



,

đỉnh trên trục bé

B



0;



b B



,



0;

b



.

Bán kính qua tiêu điểm:

MF

  

r

a ex

M

;

MF



r

 

a ex

M

Tâm sai:

1 c

e

a





Đường chuẩn:

a

x

e

c

 

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn:

2 a

d

e



.

3.

Điều kiện để đường thẳng

Ax

+

By

+

C

=0 tiếp xúc với elip là:

A

a

+

B

b

=

C

.

B. BÀI TÂP

23/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:
a)

x

25 +

y

16 =

1

b) 4x

2 + 16y2 – 1 = 0 c) x2 + 4y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 2

24/ Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết.

a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E).
b) F1(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12)

c) Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5.

d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x =

±

4 , y

=

±

3

25/ Tìm những điểm trên elip (E) :

x

9 +

y

=

1

thỏa mãn :

a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải.
b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vng.

26/ Cho elip (E) :

x

9 +

y

4 =

1

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E).
b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.

x
y

F
2

B2
B1

A
2
A1

</div>

TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

<b>PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG</b>

<b>I.</b>

CÁC HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIAC VÀ GIẢI TAM GIÁC

<i><b> Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = ha và các đường trung</b></i>

<i><b>tuyến </b></i>

<i><b>AM = ma, BN = mb, CP = mc.</b></i>

<b>a.</b>

Định lí cosin.

a

<sub> = b</sub>

<sub> + c</sub>

<sub> – 2bccosA</sub>

b

<sub> = a</sub>

<sub> + c</sub>

<sub> – 2accosB</sub>

c

<sub> = a</sub>

<sub> + b</sub>

<sub> – 2abcosC</sub>



<b>Hệ quả</b>

cos

<i>A</i>

=

<i>b</i>

+

<i>c</i>

<i>− a</i>

2 bc

cos

<i>B</i>

=

<i>a</i>

+

<i>c</i>

<i>−b</i>

2 ac

cos

<i>C</i>

=

<i>a</i>

+

<i>b</i>

<i>− c</i>

2 ab

<b>b.</b>

Định lí sin.

<i>R</i>

<i>a</i>

sin

<i>A</i>

=

<i>b</i>

sin

<i>B</i>

=

<i>c</i>

sin

<i>C</i>

=

2

<i>R</i>

¿

: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)

<b>c. Độ dài đường trung tuyến của tam giác</b>

.

<sub>; </sub>

<sub>; </sub>

2

4

2

4

2

4

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>a</i>