Một thuật toán giải một lớp bài toán cân bằng với song hàm tựa lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRẦN DANH HÙNG

MỘT THUẬT TOÁN
GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG
VỚI SONG HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

TRẦN DANH HÙNG

MỘT THUẬT TOÁN
GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG
VỚI SONG HÀM TỰA LỒI
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - 2020


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu khoa học của riêng
bản thân tôi, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. LÊ DŨNG
MƯU. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực,
không sao chép của bất cứ ai và chưa từng cơng bố dưới bất kỳ hình thức
nào trước đây.
Ngồi ra, trong luận văn tơi có sử dụng tài liệu, thơng tin được đăng
tải trên các tạp chí và một số kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn
và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện có sự sao chép kết quả nghiên cứu
của đề tài khác, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm.

Thái Ngun, ngày 10 tháng 1 năm 2021
Tác giả

TRẦN DANH HÙNG

i


Lời cảm ơn
Trước tiên tôi xin cảm ơn tới GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU người
đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi tiến hành các hoạt
động nghiên cứu khoa học để hồn thành luận văn này.
Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Giáo sư, Phó Giáo sư đang cơng
tác tại Viện Tốn học, các Thầy Cô trong Trường Đại học Khoa học Thái
Nguyên, đã trực tiếp giảng dạy, đóng góp ý kiến. Qua đó tôi đã trau dồi

thêm rất nhiều kiến thức, kỹ năng phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác
của bản thân.
Tơi cũng muốn gửi lời cảm ơn Bộ mơn Tốn ứng dụng, Khoa Toán
Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,
hướng dẫn, phản biện để tơi có thể hồn thành tốt luận văn này. Do thời
gian có hạn, bản thân tơi cịn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu
sót. Tơi mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây dựng của
các thầy cô, và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 1 năm 2021
Tác giả

TRẦN DANH HÙNG

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iv

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

v

Lời mở đầu

1

1 Tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi

4

1.1

1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Tổ hợp lồi và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . .

5

Hàm lồi và hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Định nghĩa, ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi và hàm tựa lồi

15

2 Bài toán cân bằng
2.1
2.2

23

Giới thiệu bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . . . .

24

2.2.1

Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.2

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . .

24

iii

2.2.3

Bài toán cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.4

Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.5

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . .

26

3 Một thuật toán dưới đạo hàm giải bài tốn cân bằng Parađơn điệu

27

3.1

Tính đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.1.1

Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . .

28

Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2.1

29

3.2

Khảo sát sự hội tụ của thuật toán. . . . . . . . . . .

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38

iv


Một số ký hiệu và chữ viết tắt

Rn

không gian Euclide n−chiều

R = R ∪ {−∞, +∞}

trục số thực mở rộng

xT

chuyển vị của x

coA

bao lồi của A

A

bao đóng của A

ri(A)

tập điểm trong tương đối của tập A

int(A)

tập hợp các điểm trong của A

f

hàm bao đóng của f

domf

miền hữu dụng của f

epif

trên đồ thị của f

∂f (x)

dưới vi phân của f tại x

Af f (A)

giao của tất cả các đa tạp affine chứa A

✷

kết thúc chứng minh

v


Lời mở đầu
Ngày nay, lý thuyết về các tập lồi, hàm lồi và hàm tựa lồi ngày càng
khẳng định được một vị trí quan trọng trong tốn học nói chung và trong
giải tích nói riêng cụ thể liên quan đến hầu hết các ngành như giải tích
phức, giải tích hàm, giải tích lồi, hình học và tốn kinh tế,... Một trong các

cơng cụ chính trong giải tích lồi đó là “Bài toán cân bằng” và “Một thuật
toán dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng Para-đơn điệu”.
Bài toán cân bằng là bài tốn
Tìm x∗ ∈ C sao cho φ(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C,

(EQ)

trong đó C là tập cho trước và φ : C × C → R là một hàm cho trước sao
cho φ(x, x) = 0.
Giải tích lồi đóng vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết
các bài toán cực trị và các ngành tốn học ứng dụng có sử dụng cơng cụ giải
tích và khơng gian tuyến tính. Sau các kết quả đầu tiên của H. Minkowski
(1910) về tập lồi và hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi đã thu hút sự quan tâm
nghiên cứu của nhiêu nhà toán học. Lý thuyết giải tích lồi được hồn thiện
khoảng ba chục năm nay, sau các cơng trình nổi tiếng của H. Minkowski, C.
Carathéodory, W. Fenchel, L. D. Muu. Năm 1992 L. D. Muu và W. Oettli
đã đặt tên cho bất đẳng thức trên là “Bài toán cân bằng” (equilibrium
problem).
Bài toán cân bằng là bài toán bao hàm nhiều lớp bài toán quen thuộc
như: bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash, bài
1


tốn điểm n ngựa,...Về mặt hình thức, bài tốn này khá đơn giản, tuy
nhiên như đã nói ở trên bài tốn cân bằng nó bao hàm được nhiều lớp bài
tốn quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực quan trọng trong đời sống.
Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một số kiến thức cơ bản về tập
lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi và dưới vi phân của hàm lồi và hàm tựa lồi. Đặc
biệt nội dung chính của luận văn sẽ tập chung nhấn mạnh vào những kiến
thức cơ bản về bài toán cân bằng và một thuật toán dưới đạo hàm giải bài

toán cân bằng Para- đơn điệu với song hàm và tựa lồi theo biến thứ hai.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn gồm ba chương sau:
Chương 1. Tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi
Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan và trình bày về một
số khái niệm cơ bản, tính chất và ví dụ minh họa của tập lồi, hàm lồi, hàm
tựa lồi được trích dẫn trong tài liệu số [1] và [2], đặc biệt phần cuối chương
này tơi đi sâu vào các tính chất cơ bản của dưới vi phân hàm lồi và hàm
tựa lồi.
Chương 2. Bài tốn cân bằng
Đây là phần chính của luận văn, trong chương này, chúng tơi trình
bày bài tốn cân bằng, các trường hợp riêng của bài toán cân bằng như: Bài
toán tối ưu, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash và bài toán
điểm yên ngựa. Với mỗi trường hợp của bài tốn cân bằng tơi phát biểu bài
tốn và đưa ra ví dụ minh họa. Nội dung cụ thể của chương này được trích
dẫn trong tài liệu số [6] và [7].
Chương 3. Một thuật toán dưới đạo hàm giải bài tốn cân
bằng Para-đơn điệu
Đây cũng là phần chính và là chương cuối của luận văn. Trong chương
này, chúng tơi trình bày hai nội dung chính và là hai nội dung quan trọng
bao gồm: Thứ nhất sự đơn điệu của song hàm tựa lồi. Thứ hai thuật toán

2


và sự hội tụ. Nội dung cụ thể của chương này được trích dẫn từ tài liệu số
[5].

3

Chương 1
Tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi
Trong chương mở đầu của luận văn, chúng tơi trình bày một số khái
niệm, một số tính chất cơ bản của tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi, các ví
dụ minh họa cho các khái niệm và tính chất trên. Đặc biệt phần cuối của
chương sẽ đi sâu vào khái niệm dưới vi phân hàm lồi và hàm tựa lồi. Các
kiến thức ở chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1] và [2].

1.1

Tập lồi
Phần mở đầu của chương này chúng tôi sẽ trình bày về một số khái

niệm cơ bản, ví dụ minh họa và các tính chất cơ bản của tập lồi, tổ hợp lồi.

1.1.1

Định nghĩa và ví dụ
Cho Rn là một không gian vectơ, ta ký hiệu:

L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R} là đường thẳng đi qua x, y.
[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} là đoạn thẳng nối hai điểm x, y.
(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} là đoạn thẳng mở nối hai điểm x, y.
Định nghĩa 1.1.1. Một tập X ⊆ Rn được gọi là một tập lồi nếu

x, y ∈ X ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1],
4

nghĩa là nếu x, y ∈ X thì đoạn thẳng [x, y] ∈ X.
Ví dụ 1.1.2. Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R thì các tập A + B, αA là
các tập lồi.
Ví dụ 1.1.3. Nếu A, B là các tập lồi trong Rn , thì

A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B},
là tập lồi.
Ví dụ 1.1.4. Nếu A là tập lồi trong Rn , X là tập lồi trong Rm thì tập sau
là lồi:

A × X := x ∈ Rn+m | x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ X .
1.1.2

Tổ hợp lồi và các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.1.5. Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc tơ) x1 , ..., xk
nếu

k

k
j

λj x , λj > 0, ∀j = 1, . . . , k,

x=
j=1

λj = 1.
j=1

Định nghĩa 1.1.6. Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn
giản là tập affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M.
Định nghĩa 1.1.7. Nếu A ∈ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao
affine của A, là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A, kí hiệu là Af f (A).
Nhận xét 1.1.8. Một tổ hợp affine x =

k
j
j=1 λj x

với các λj > 0, ∀j =

1, . . . , k sẽ được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm (véc tơ) x1 , ..., xk .
Định nghĩa 1.1.9. Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi (convex hull) của
một tập A ⊂ X ∈ Rn là giao của tất cả các tập lồi chứa A, kí hiệu bao lồi
của A là coA.
5


Mệnh đề 1.1.10. Từ định nghĩa trên ta rút ra được một số tính chất sau.

• coA = x với x là tổ hợp lồi của các véc tơ thuộc A.
• X là tập lồi khi và chỉ khi X = coX , tức là
m

m
∗

λi ai | m ∈ N ; ai ∈ X; λi ≥ 0 :

X=
i

λi = 1
i

Nếu X là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của X chính là số chiều của

Af f (X):
dimX := dimAf f (X).
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử A ⊂ X , khi đó giao của tất cả các tập lồi đóng
chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là coA.
Nhận xét 1.1.12. coA là một tập lồi đóng. Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất
chứa A.
Định nghĩa 1.1.13. (Tốn tử chiếu lên tập lồi đóng) Cho C là một tập lồi
đóng khác rỗng của R. Gọi y là một véc tơ bất kì, đặt

dC (y) := inf||x − y||.
x∈C

Khi đó ta nói dC (y) là khoảng cách từ y tới C . Nếu tồn tại π ∈ C sao cho

dC (y) = ||π − y||, thì ta nói π là hình chiếu vng góc của y trên C .
Theo định nghĩa trên, ta thất rằng hình chiếu pC (y) của y trên C sẽ là
nghiệm của bài toán tối ưu

min

1

x − y 2, x ∈ C .
2

Nói cách khác việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực
tiểu của hàm tồn phương ||x − y||2 trên C . Kí hiệu π = pC (y).
6


Tính chất tốn tử chiếu lên tập lồi
Tính chất 1: Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó:
(i) Với mọi y ∈ R, π ∈ C hai tính chất sau là tương đương:
a) π = pC (y),
b) y − π ∈ NC (π), trong đó NC (π) là nón pháp tuyến của tập C tại π .
(ii) Với mọi y ∈ Rn , hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy
nhất.
(iii) Nếu y ∈
/ C , thì pC (y) − y, x − pC (y) = 0 là siêu phẳng tựa của C tại

pC (y) và tách hẳn y khỏi C , tức là
pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0,

∀x ∈ C

và

pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
(iv) Ánh xạ y → pC (y) có các tính chất sau:
a) pC (x) − pC (y) ≤ x − y ∀x, ∀y, (tính khơng giãn).
b) pC (x) − pC (y), x − y ≥ pC (x) − pC (y)

2

, (tính đồng bức).

Tính chất 2: Giả sử α > 0. Với mỗi x ∈ C , đặt

h(x) := pC x −

1
F (x) .
α

Khi đó x∗ = h (x∗ ) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của (V IP ).
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và F : C → Rn . Bài toán
bất đẳng thức biến phân (V IP ) có dạng:

 Tìm x∗ ∈ C
(V IP )
 sao cho F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0,

∀x ∈ C.

Tính chất 3: Giả sử C là tập lồi đóng và ánh xạ F : C → Rn đơn điệu mạnh
L2
trên C với hệ số β và Lipschitz trên C với hằng số L. Khi đó nếu α >
2β
7


thì

h(x) := pC x −

1
F (x)
α

là ánh xạ co trên C với hệ số co

δ=

1.2

2β L2
1−
+ 2.
α
α

Hàm lồi và hàm tựa lồi
Trong mục này chúng tơi trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm tựa lồi,

các tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm tựa lồi và một số ví dụ điển hình.
Đồng thời trong mục này, tơi có trình bày các tính chất cơ bản của dưới vi
phân hàm lồi và hàm tựa lồi.

1.2.1

Định nghĩa, ví dụ

Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊆ Rn là tập lồi và một ánh xạ f : X → R. Các
tập hợp

domf := {x ∈ X | f (x) < +∞}
epif := {(x, µ) X ì R | f (x) à}
ln lt được gọi là miền hữu dụng (effective domain) và trên đồ thị (epigraph) của hàm f. Khi đó ta nói hàm f : X → R được gọi là hàm lồi
(convex function) trên X , nếu epif là một tập lồi trong Rn+1 .
Ngoài ra với mỗi α ∈ R ta gọi các tập sau là tập mức dưới của hàm

f tương ứng với mức α:
Lf (α) := {x|f (x) ≤ α},

lf (α) := {x|f (x) < α}.

Cho f : X → R, hàm f được gọi là chính thường (proper function)
nếu domf = ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ X. Hàm f được gọi là đóng (closed
function), nếu epif là một tập đóng trong Rn+1 .
8


Mệnh đề 1.2.2. Cho f : X → R. Hàm f là lồi khi và chỉ khi

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1).

(1.1)

Định nghĩa 1.2.3. Hàm f : Rn → R được gọi là lồi chặt (strictly convex
function) trên X nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1).

(1.2)

Hàm f : Rn → R được gọi là lồi mạnh (strongly convex function) trên X
với hệ số η > 0, nếu ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1) ta có:

1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2

(1.3)

Hàm f : Rn → R được gọi là một hàm lõm (concave function) trên C , nếu

−f lồi trên C .
Ví dụ 1.2.4. Các hàm mũ chẵn x2 , x4 , ... và hàm lũy thừa ex là các hàm
lồi cơ bản trong chương trình phổ thơng.
Ví dụ 1.2.5. Với x ∈ Rn , b ∈ R hàm affine aT x + b được gọi là hàm lồi.
Khi b = 0 thì hàm trên được gọi là hàm tuyến tính.
Ví dụ 1.2.6. Cho X là một tập lồi đóng, xét hàm khoảng cách được xác
định bởi dX (x) := min||x − y|| với mọi y ∈ X . Hàm khoảng cách được xác
định như trên được gọi là hàm lồi.
Ví dụ 1.2.7. Giả sử x = (x1 , ..., xn ). Xét hàm chuẩn được xác định như
sau:

f (x) := ||x||1 := max|xi |
hoặc

f (x) := ||x|| := x21 + ... + x2n
các hàm chuẩn xác định như trên là hàm lồi.

9

1
2


Định nghĩa 1.2.8. Cho C là một tập mở trên Rn , một hàm ϕ : Rn → R
được gọi là tựa lồi trên C khi và chỉ khi với mỗi x, y ∈ C và λ ∈ [0; 1], thỏa
mãn

ϕ [(1 − λ)x + λy] ≤ max{ϕ(x), ϕ(y)}.

(1.4)

Ví dụ 1.2.9. Hàm Logarit là hàm tựa lồi trên trục số dương, nhưng khơng
phải hàm lồi. Nói chung hàm đơn điệu 1-biến là tựa lồi.
Ví dụ 1.2.10. Xét hàm số f (x) = x3 xác định trên R. Khi đó f (x) là hàm
tựa lồi trên R nhưng không là hàm lồi.

1.2.2

Các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.2.11. Một hàm f : Rn → R được gọi là nửa liên tục dưới
đối với E tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ E , xk → x ta có
lim inff (xk ) ≥ f (x). Hàm f được gọi là nửa liên tục trên, đối với E , tại x
nếu −f nửa liên tục dưới, đối với E , tại x. Nói một cách khác với mọi dãy

xk ⊂ E , xk → x thì lim supf (xk ) ≤ f (x).
Hàm f được gọi là liên tục đối với E, tại x nếu như nó vừa nửa liên tục

trên và nửa liên tục dưới, đối với E , tại x.
Mệnh đề 1.2.12. (Tính liên tục) Cho f : Rn → R ∪ {+∞}, khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
(i) Trên đồ thị của f là một tập đóng trên Rn+1 , tức là f = f .
(ii) Với mọi số thực α, tập mức dưới Lf (α) := {x|f (x) ≤ α} là một tập
đóng.
(iii) Hàm f là nửa liên tục dưới trên R.
Chứng minh. Ta sẽ tiến hành chứng minh các điều kiện trên là tương đương:
(i) → (ii). Giả sử xj → x, f (xj ) ≤ α. Khi đó (xj , α) ∈ epif .
10


Do epif đóng, nên (x, α) ∈ epif . Vậy x ∈ Lf (α).
(ii) → (iii). Giả sử xj → x. Nếu lim inff (xj ) < f (x), khi đó tồn tại

α < f (x) sao cho f (xj ) ≤ α với mọi j đủ lớn. Vậy xj ∈ Lf (α).
Do xj → x và Lf (α) đóng, nên x ∈ Lf (α). Tức là f (x) ≤ α điều này mâu
thuẫn với giả thiết α < f (x).
(iii) → (i). Giả sử (xj , µj ) ∈ epif và (xj , µj ) → (x, µ).
Khi đó f (xj ) ≤ µj với mọi j. Do (iii), suy ra lim inff (xj ) ≥ f (x).
Vậy µ ≥ f (x). Suy ra (x, µ) ∈ epif do đó epif là tập đóng.
Mệnh đề 1.2.13. Cho f là một hàm lồi chính thường trên Rn và x0 ∈

int(domf ), khi đó các điều kiện sau là tương đương.
(i) f liên tục tại điểm x0 .
(ii) f bị chặn trên trong lân cận của x0 .
(iii) int(epif ) = ∅.
(iv) int(domf ) = ∅ và f liên tục trên tập int(domf ).
Chứng minh. Ta sẽ tiến hành chứng minh các điều kiện trên là tương đương:
(i) → (ii). Vì f là hàm lồi chính thường trên Rn nên hàm f liên tục tại

điểm x0 suy ra f bị chặn trên trong một lân cận của x0 .
(ii) → (iii). Giả sử có một lân cận U sao cho f (x) ≤ c, ∀x ∈ U.
Do đó U × (c, ∞) ⊂ epif. Vậy int(epif ) = ∅.
(iii) → (iv). Do int(epif ) = ∅, nên nếu (x, µ) ∈ int(epif ) thì f bị chặn
trên trong một lân cận của x. Hơn nữa do int(domf ) là hình chiếu của

int(epif ) lên Rn , tức là
int(domf ) = {x|∃µ ∈ R : (x, µ) ∈ int(epif )}.
Vậy int(domf ) = ∅.
(iv) → (i). Là hiển nhiên.
11


Mệnh đề 1.2.14. Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó

f liên tục tại mọi điểm x ∈ int(domf ).
Chứng minh. Do f lồi, nên domf và int(domf ) là các tập lồi. Khi đó có
một đơn hình n-chiều S ⊂ int(domf ).
Giả sử v 1 . . . v n+1 là các đỉnh của đơn hình S . Khi đó với mọi x ∈ S , ta có:
n+1

n+1
j

λj v , λj ≥ 0,

x=
j=1

λj = 1.

j=1

Do f lồi nên
n+1

λj f v j .

f (x) ≤
j=1

Suy ra

f (x) ≤ max f v j | j = 1, . . . , n + 1 .
Thế nhưng do phần trong của đơn hình S khác rỗng, nên f bị chặn trên
trong một lân cận của một điểm x0 ∈ int(S) và do đó, theo Mệnh đề 1.2.14

f liên tục trên tập int(domf ).
Hệ quả 1.2.15. Cho f là một hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó với
mọi tập com-pắc C ⊆ int(domf ), tập f (C) com-pắc.
Định nghĩa 1.2.16. Một hàm f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương
tại x với hằng số Lipschitz L nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho

||f (x) − f (y)||

L||x − y|| ∀x, y ∈ U.

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D nếu nó Lipschitz địa phương
tại mọi điểm thuộc D (tất nhiên hằng số Lipschitz có thể khác nhau ở mỗi
điểm).
Hàm lồi cịn có tính liên tục Lipschitz. Mệnh đề sau đây sẽ chỉ ra mối liên

hệ đó.
12


Mệnh đề 1.2.17. (Tính Lipschitz) Giả sử f là một hàm lồi chính thường
trên Rn và bị chặn trên trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc một
tập mở D ⊆ domf . Khi đó f Lipschitz địa phương trên tập D.
Hệ quả 1.2.18. Nếu f : Rn → R lồi, thì f Lipschitz địa phương trên tồn
Rn (do đó liên tục).
Dưới đây là một số phép tốn khác bảo tồn tính lồi.
Cho f và g là hai hàm xác định trên C và không nhận giá trị −∞. Khi đó
với mọi x ∈ C, ta định nghĩa các hàm:

• (f + g)(x) := f (x) + g(x).
• (λf )(x) := λf (x), λ là số thực.
Mệnh đề 1.2.19. Nếu F là một tập lồi trong Rn+1 , thì hàm số

f (x) := inf {µ ∈ R|(µ, x) ∈ F }
là một hàm lồi trên Rn .
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ Rn và r, s ∈ R thỏa mãn f (x) < r, f (y) < s.
Theo định nghĩa của cận dưới đúng, ta có µ ∈ R, v ∈ R, sao cho (µ, x) ∈

F, (v, y) ∈ F và µ < r, v < s. Do F là tập lồi, nên với mọi λ ∈ [0, 1], ta có:
(λµ + (1 − λ)v, λx + (1 − λ)y) ∈ F.
Từ đây và theo định nghĩa của f , suy ra

f (λx + (1 − λ)y)
Vậy theo Mệnh đề 1.2.9 f là hàm lồi.

13

λµ + (1 − λ)v.


Mệnh đề 1.2.20. Cho A ⊆ Rm , B ⊆ Rn là các tập lồi.
Giả sử ϕ : A × B → R ∪ {+∞} là một hàm lồi trên A × B. Khi đó

f (x) := inf ϕ(x, y)
y∈B

là một hàm lồi trên A.
Chứng minh. Giả sử x1 , x2 ∈ A và λ ∈ [0, 1] và x = λx1 + (1 − λ)x2 .
Với mỗi i = 1, 2 ta có dãy y i,k ∈ B sao cho

ϕ(xi , y i,k ) → f (xi ), (i = 1, 2).
Do f là hàm lồi nên

f (x) ≤ ϕ λx1 + (1 − λ)x2 , λy 1,k + (1 − λ)y 2,k ≤ λϕ x1 , y 1,k +(1−λ)ϕ x2 , y 2,k .
Cho k → ∞, ta được

f (x) ≤ λf x1 + (1 − λ)f x2 .
Vậy f lồi trên tập A.
Định nghĩa 1.2.21. (Định nghĩa tương đương của hàm tựa lồi)
Cho C là một tập mở trên Rn , một hàm ϕ : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là
tựa lồi trên C khi và chỉ khi với mỗi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1], thỏa mãn tập
mức dưới

Lϕ (α) := {x ∈ C : ϕ(x) ≥ α}
là lồi, với mọi α ∈ R.
Định nghĩa 1.2.22. Cho C là một tập mở trên Rn , hàm ϕ : Rn → R ∪

{+∞} hàm ϕ được gọi là tựa lõm trên C nếu −ϕ là hàm tựa lồi trên C .

14


Dễ thấy rằng nếu ϕ tựa lồi trên C thì với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1]
ta có:

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y)).
Tương tự nếu ϕ tựa lõm trên C , thì với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có:

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≥ min(ϕ(x), ϕ(y)).
Ví dụ 1.2.23. Cho hàm số y = x3 hàm số này được gọi là hàm tựa lồi, hơn
nữa nó cịn là hàm tựa lồi chặt.

1.2.3

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi và hàm tựa lồi

Định nghĩa 1.2.24. (Đạo hàm theo hướng)
Cho f : C → R và x0 ∈ C . Với mỗi véc tơ d ∈ C , ta định nghĩa đạo hàm
của hàm f theo hướng d là giới hạn sau, nếu nó tồn tại hữu hạn hoặc vô
hạn:

f (x0 ; d) := lim+
λ→0

f (x0 + λd) − f (x0 )
.

λ

Ví dụ 1.2.25. Cho hàm số f : R → R và g : R → R, xác định bởi


 x sin 1
khi x > 0
x
f (x) =

0
khi x 0,

g(x) =

√
3

x, x ∈ R.

Khi đó f (0; 1) không tồn tại, f (0; −1) = 0 và g (0; 1) = +∞, g (0; −1) =

−∞.
Qua ví dụ này ta thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặc không, tuỳ
theo từng trường hợp. Tuy vậy, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của nó theo
mọi hướng luôn luôn tồn tại.
15


Định nghĩa 1.2.26. (Dưới vi phân)

Cho f : Rn → R ∪ {+∞} ta nói x∗ ∈ Rn là dưới đạo hàm của hàm f tại x
nếu

x∗ , z − x + f (x)

f (z) ∀z.

Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x). Tập

∂f (x) có thể bằng rỗng trong Rn . Khi ∂f (x) = ∅, thì ta nói hàm f khả dưới
vi phân tại x. Theo định nghĩa trên, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi
nó thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy ∂f (x)
là giao của các nửa khơng gian đóng. Vậy ∂f (x) ln là một tập lồi đóng.
Ví dụ 1.2.27. Cho hàm f (x) = ||x||, x ∈ Rn . Tại điểm x = 0 hàm này
khơng khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân và

∂f (0) = {x∗ | x∗ , x

||x||, ∀x} .

Mệnh đề 1.2.28. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Khi
đó ta có:
(i) x∗ ∈ ∂f (x) khi và chi khi f (x, y) ≥ x∗ , y ∀y. Nếu x ∈ ri(domf ), thì

f (x, y) = supx∗ ∈∂f (x) x∗ , y với mọi y.
(ii) Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn , thì với mọi x ∈ dom(∂f ), ta
có: f (x) = f¯(x) và ∂f (x) = ∂ f¯(x).
Mệnh đề 1.2.29. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Khi
đó
(i) Nếu x ∈

/ dom f, thì ∂f (x) = ∅.
(ii) Nếu x ∈ int(domf ), thì ∂f (x) = ∅ và com-pắc. Ngược lại, nếu

∂f (x) = ∅, com-pắc, thì x ∈ ri(domf ).

16


Chứng minh. (i) Chọn z ∈ dom f, thì f (z) < +∞. Vậy nếu x ∈
/ dom f, thì

f (x) = +∞ và do đó khơng thể tồn tai x∗ thoả mãn
x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z) < +∞
Vậy ∂f (x) = ∅.
(ii) Giả sử x ∈ int(dom f ). Ta có điểm (x, f (x)) nằm trên biên của epif .
Do f lồi, chính thường, nên tồn tại siêu phẳng tựa của bao đóng của epif
đi qua (x, f (x)), tức là tồn tại p ∈ Rn , t ∈ R không đồng thời bằng 0 thỏa
mãn

p, x + tf (x) ≤ p, y + tµ,

∀(y, µ) ∈ epif .

(1.5)

Ta có t = 0, vì nếu t = 0 thì

p, x ≤ p, y ∀y ∈ dom f.
Nhưng do x ∈ int(dom f ), nên điều này kéo theo p = 0. Vậy t = 0. Hơn
nữa t > 0, vì nếu t < 0 thì trong bất đẳng thức (1.5) khi cho µ → ∞ suy

ra mâu thuẫn vì vế trái cố định.
Chia hai vế của (1.5) cho t > 0, đồng thời thay µ = f (y) và đặt
p
x∗ = − , ta được
t

x∗ , x + f (x) ≤ x∗ , y + f (y),

∀y ∈ dom f.

Hay là

x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y),

∀y ∈ dom f.

Nếu y ∈
/ dom f. Thì f (y) = ∞, do đó

x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y), ∀y.
Chứng tỏ x∗ ∈ ∂f (x).
17


Cách chứng minh trên cho thấy dưới đạo hàm của f tại x chính là
véc-tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa của bao đóng của epif tại (x, f (x)).
Bây giờ ta chỉ ra tập ∂f (x) com-pắc.
Do x ∈ dom f, theo Mênh dề 1.2.31, x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi

f (x, d) ≥ x∗ , d ∀d.

(1.6)

Lấy ei véc-tơ đơn vị thứ i(i = 1, . . . , n) của Rn . Áp dụng (1.6) lần
lượt với d = ei với i = 1, . . . , n, ta có: x∗i

d = −ei với i = 1, . . . , k, ta có −x∗i

f x, ei . Tương tự, áp dụng với

f (x, −ei ) . Hay x∗i ≥ −f x, −ei .

Tóm lại

−f x, −ei ≤ x∗i ≤ f x, +ei ∀i = 1, . . . , n.
Do x ∈ ri(dom f ), nên f (x, y) hữu hạn với mọi y. Nói riêng f x, −ei và

f x, ei hữu hạn với mọi i = 1, . . . , n. Vậy ∂f (x) bi chặn, và do tính đóng,
nên nó com-pắc.
Ngược lại giả sử rằng ∂f (x) khác rỗng và com-pắc. Ta chỉ ra rằng

x ∈ ri(domf ). Do ∂f (x) = ∅, nên x ∈ dom f . Nếu ngược lại x ∈
/ ri(domf ),
thì x ở trên biên tương đối của domf. Do domf lồi, theo mệnh đề về siêu
phẳng tựa, tồn tại một siêu phẳng tựa của bao đóng của domf tại x, tức là
tồn tại véc tơ p ∈ Rn , p = 0 sao cho

pT x ≥ pT z, ∀z ∈ dom f.
Lấy x∗ ∈ ∂f (x). Từ đây và theo định nghĩa dưới vi phân ta có:

f (z) − f (x) ≥ x∗ , z − x ≥ x∗ + λp, z − x ∀λ ≥ 0, ∀z.
Chứng tỏ x∗ + λp ∈ ∂f (x) với mọi λ ≥ 0. Điều này mâu thuẫn với tính bị
chặn của ∂f (x). Vậy x ∈ ri(domf ).
18