Cac bai toan ve so nghiem cua mot so phuong trinhOn thi vao 10phan 3

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH</b>

Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ
bản của THCS. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng. Ta nhớ lại những điều
cần thiết :

* Cho phương trình bậc hai ax2_{+ bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x}
1,

x2 là các nghiệm của phương trình.

* Các điều kiện quan trọng :
+) x1 < 0 < x2 tương đương P < 0

+) 0 = x1 < x2 tương đương P = 0 và S > 0

+) x1 < x2 = 0 tương đương P = 0 và S < 0

+) x1 = x2 = 0 tương đương P = 0 và S = 0 hoặc là Δ = 0 và S = 0

+) 0 < x1 < x2 tương đương với Δ > 0 , P > 0 và S > 0

+) x1 < x2 < 0 tương đương Δ > 0 , P > 0 và S < 0

Sử dụng các kiến thức trên chúng ta có thể xét được số nghiệm của nhiều loại phương trình.

<b>1. Phương trình trùng phương </b>

ax4_{+ bx}2_{+ c = 0 (1)}

Đặt ẩn phụ t = x2_{≠ 0 thì (1) sẽ trở thành}

at2_{+ bt + c = 0 (2)}

Mỗi nghiệm t > 0 của (2) cho hai nghiệm của (1).

Nghiệm t = 0 của (2) sẽ cho một nghiệm x = 0 của (1). Tất nhiên t < 0 sẽ không cho nghiệm của
(1).

<b>Bài toán 1 :</b> Biện luận số nghiệm của phương trình : x4_{- mx}2_{+ 3m - 8 = 0 (3)}

<b>Lời giải :</b> Đặt t = x2_{Δ 0 thì (3) trở thành : t}2_{- mt + 3m - 8 = 0 (4)}

Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu các nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào dấu của các biểu
thức :

Δ = m2_{- 12m + 32 ; P = 3m - 8 ; S = m}

Ta lập bảng biện luận :

<b>Bài tốn 2 :</b> Tìm m để phương trình x4_{- 2mx}2_{+ m}2_{- 3 = 0 (5) có đúng ba nghiệm phân biệt.}

<b>Lời giải :</b> Đặt t = x2_{0 thì (5) trở thành : t}2_{- 2mt + m}2_{- 3 = 0 (6)}

Phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (6) có nghiệm t1, t2

thỏa mãn 0 = t1 < t2 tương đương P = 0 & S > 0 hay :

<b>2.Phương trình a(x - α)2_{+ b|x - α| + c = 0}</b>₍₇₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta thấy mối quan hệ giữa số nghiệm của (1), (7) với nghiệm của (2) rất giống nhau. Có thể tổng

kết lại nhờ bảng sau :

<b>Bài tốn 3 :</b> Tìm m để phương trình x2_{- 2x - |x - 1| + m = 0 (8) có đúng hai nghiệm phân biệt.}

<b>Lời giải :</b> Ta có (8) (x - 1)2_{- |x - 1| + m - 1 = 0}

Đặt t = |x - 1| ≥ 0 thì (8) trở thành : t2_{- t + m - 1 = 0 (9)}

Phương trình (8) có đúng hai nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (9) có nghiệm t1, t2

thỏa mãn t1 < 0 < t2 hoặc t1 = t2 > 0

<b>3. Phương trình:</b>

Để khơng tầm thường ta giả sử k ≠ 0.
Đặt ẩn phụ :

thì (10) trở thành (2). Với mỗi giá trị t ≥ 0 cho ta một nghiệm duy nhất x = 1/k.(t2_{- n). Do đó số}

nghiệm của phương trình (10) đúng bằng số nghiệm khơng âm của phương trình (2).

<b>Bài tốn 4 :</b> Tìm m sao cho phương trình:

có hai nghiệm phân biệt.

<b>Lời giải :</b> Đặt thì phương trình (11) trở thành t2_{- mt + 2m - 3 = 0 (12)}

Phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt tương đương Phương trình (12) có hai nghiệm phân
biệt t1, t2 thỏa mãn t2 > t1 ≥ 0

Tương đương với Δ > 0 , P ≥ 0 và S > 0
hay : m2_{- 8m + 12 > 0 , 2m - 3 ≥; 0 và m > 0}

hay là : m > 6 hoặc m < 2 , m ≥ 3/2 và m > 0
Tươn đương : m > 6 hoặc 3/2 ≥ m < 2 .

Trước khi dừng bài viết, xin đề nghị các em có thể tự giải các bài tập sau đây :

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài tập 2 :</b> Chứng minh rằng phương trình : mx4_{- 3(m - 2)x}2_{+ m - 3 = 0 ln có nghiệm với}

mọi m.

</div>

<!--links-->