Phương pháp giải toán quỹ tích hình học lớp 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (215.45 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I
B

A C

SÁNG KIẾN KINH NGHIEÄM
 NĂM HỌC 2007-2008

Đơn vị : Trường THPT Vọng Thê
Giáo Viên:PHẠM ANH DŨNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHAD (GSP)
 VÀO DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TỐN QUỸ TÍCH

CHƯƠNG I – HÌNH HỌC 11 NÂNG CAO

I-ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000, “phép dời hình và phép đồng
dạng” là chương cuối của hình học 10, khi đó phần lớn giáo viên và học sinh xem nhẹ
chương này , ít đầu tư và đi sâu vào các phép biến hình mà đặc biệt là các bài tốn về quỹ
tích

Trong sách giáo khoa mới ( cải cách năm 2007) , chương “ phép dời hình và phép

đồng dạng” lại được đặt ở chương đầu tiên của hình học 11 nâng cao, điều này nói lên
phần nào tầm quan trọng của nó , đồng thời gợi cho giáo viên và học sinh tính nghiêm túc
và cần thiết cao khi học chương này.

Thực tế để khi giải một bài tốn quỹ tích bằng phép biến hình ngừơi học gặp rất
nhiều khó khăn, người dạy cũng gặp khơng ít khó khăn khi hướng dẫn HS giải , cái khó ở
đây khơng phải là trình độ HS hay tay nghề, trình độ chun mơn của giáo viên mà là khó
trong việc thể hiện tính đúng đắn của bài tốn một cách trực quan mà chỉ có thể kiểm
chứng trên cơ sở lý thuyết, từ đó thiếu tính thuyết phục đối với người học, mặc khác HS sẽ
gặp khó khăn khi dự đốn quỹ tích các điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán.

Một ví dụ cụ thể: bài tập 9- ôn tập chương I, trang 35, sách giáo khoa hình học 11 nâng
cao:

“ Cho đường trịn (O; R) và điểm A cố định , một dây cung BC thay đổi của (O;R)có độ
dài khơng đổi BC = m . Tìm quỹ tích các điểm G sao cho ⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0 ”

Hoạt động hướng dẫn giải như sau:
Gọi I là trung điểm của BC

Câu hỏi 1: Điểm nào thay đổi, điểm nào cố định ?

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

-Đến đây người dạy sẽ gặp khó khăn khi muốn biểu diễn trực quan tính thay đổi của dây
BC cũng như tính cố định của độ dài cung dây BC = m, vì hình vẽ trên bảng là hình chết,
đồng thời người học tiếp thu một cách bất tự nhiên mặc dù biết giả thuyết của bài toán là
như vậy.

Câu hỏi 2 : Hãy dự đoán quỹ tích của điểm I

-Đây là một vấn đề quan trọng và khó , vì với hình vẽ trên bảng kết hợp với giả thuyết từ

đó tìm mối quan hệ giữa yếu tố thay đổi và yếu tố cố định , để làm được việc đó HS chỉ
có một cách là suy luận và tưởng tượng, mà đây là hai việc rất khó đối với HS

Trả lời 2:Trong Δ ABC vng ta có 
OI=

√

OB2−IB2=

√

R2−

(

m

)

=R ' (const)
Suy ra quỹ tích I là đường trịn (O; R’)
Câu hỏi 3: Nếu m = 2R, tìm quỹ tích I

Trả lời 3: m = 2R thì quỹ tích của I là điểm O

-Để minh hoạ quỹ tích của I khi m = 2R giáo viên có thể kẻ BC là đường kính của (O; R)
và kẻ (O; OI) nhưng khi đó hình vẽ trở nên nhiều nét khó quan sát.

Câu hỏi 4: Tìm mối quan hệ giữa điểm I và điểm G và suy ra quỹ tích G
Trả lời 4: ⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0⇔⃗AG=2

3⃗AI

Tức phép vị tự V tâm I tỉ số 32 biến điểm I thành điểm G, do đó quỹ tích của G là ảnh
của quỹ tích I qua phép vị tự V

-Khi suy luận và chứng minh xong , giáo viên sẽ gặp kho ùkhăn khi vẽ chính xác quỹ tích
của G

Tóm lại: Giáo viên chỉ có thể mơ tả bằng lời những yếu tố động và khó khăn trong
việc vẽ quỹ tích. Chỉ giài bài tốn quỹ tích theo hướng suy luận lý thuyết rồi dựng quỹ
tích, tại sao ta không cho HS giải theo chiều ngược lại, tức là cho HS dự đốn , khám phá
hình ảnh trực quan của quỹ tích trước rồi tìm lời giải, lời chứng minh sau.

Những khó khăn, yếu kém gặp phải trong ví dụ trên chỉ là một phần trong rất nhiều trở
ngại trong hướng dẫn HS ứng dụng các phép biến hình thực hiện một số hoạt động cũng
như các bài tập về quỹ tích của chương này mà hậu quả là phần lớn giáo viên lơ đãng , bỏ
qua mà nếu dạy tốn quỹ tích thì cũng chỉ hướng dẫn qua loa vì phần đơng là học sinh
trung bình yếu, hậu quả đa số HS mơ hồ và mang nặng tâm trạng ngán ngại học toán mà
cụ thể chương “phép dời hình và phép đồng dạng” nói chung , tốn về quỹ tích nói riêng.
-Trước đây, đối với các bài tốn quỹ tích , giáo viên thường giải một bài toán mẫu và
cho HS làm các bài tập tương tự .Giải pháp trên không mang lại hiệu quả cao, vì khi gặp
các bài tốn dạng khác HS sẽ gặp lúng túng trong việc phân tích đề và dự đốn quỹ tích,
mặc khác giáo viên mất khá nhiều thời gian trên lớp nhưng chỉ hướng dẫn đường một dạng
tốn thì khơng hay.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Nhìn chung , nguyên nhân gây ra khó khăn lớn trước đây là việc ứng dụng cơng nghệ
thơng tin trong nhà trường cịn rất hạn chế, tư tưởng người thầy còn bị ảnh hưởng nặng nề
lối dạy truyền thống, trình độ tin học cịn yếu nhất là đối với các giáo viên lớn tuổi.. Có
chăng chỉ là những tiết dạy mẫu bằng Powerpoint, mang tính chất thuyết trình, khơng đi
sâu khai thác các phần mềm chun môn như GSP, G3W, Cabri II, Cabri 3D…

II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 1. cơ sở lý luận

Theo quan điểm công nghệ thông tin (CNTT) , học là một q trình thu nhận thơng tin
có định hướng, có sự tái tạo và phát triển thơng tin; dạy là phát thơng tin giúp người học
thực hiện q trình trên một cách có hiệu quả.

Nếu nội dung bài học chỉ truyền tới người học dưới dạng văn bản thì người học có thể
sẽ kém hứng thú, nếu chỉ có sự truyền tin theo một chiều khơng có sự hỏi đáp thì thơng tin
thu được của học có thể phiến diện, khơng đầy đủ hoặc có thể bị biến dạng , có khi dẫn
đến hiểu sai nội dung.

Nói riêng tinh thần thay sách giáo khoa mới, chương trình tốn được thực hiện theo
phươnh châm “Sát thực –trực quan- nhẹ nhàng – đổi mới”, khi đó việc ứng dụng CNTT
càng trở nên cấp thíêt và phù hợp, góp phần giảm nhẹ lý thuyết, tăng tính trực quan,dễ
tiếp thu.

2. Giả thuyết

Trong hè năm 2007 , mỗi trường THPT ở tỉnh ta đều có cử giáo viên học tập huấn ứng
dụng CNTT vào dạy học mơn tốn, trong đó có phầm mềm dạy học GSP, ngồi ra các
giáo viên mơn tốn cịn có dip tiếp cận và chứng kiến hiệu quả của phần mềm GSP trong
các khoá học thay sách. Theo tơi nghĩ mọi giáo viên tốn nếu tiếp cận nghiêng cứu GSP
khỗng một tháng là có thể sử dụng khá thành thạo phần mềm dạy học này. Hiện nay mỗi
trường THPT đều có máy tính , máy projector, nên hồn tồn có thể sử dụng GSP vào dạy
học

- Khi dạy một bài tốn quỹ tích theo cách dạy truyền thống ta thực hiện theo con đường:
Vận dụng lý thuyết  suy luận kết luận quỹ tích  vẽ quỹ tích

-Tại sao ta không dạy theo hướng ngược lại :

Xem quỹ tích kết luận quỹ tích suy luận kết hợp lý thuyết  kiểm chứng

Khi đó , q trình giải một bài tốn quỹ tích sẽ là một q trình khám phá, mà HS là chủ
thể, từ đó người học chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu qủa.

3. Quy trình thực hiện

a) Chuẩn bị thiết bị phục vụ cho tiết dạy
- Nắm lịch cúp điện

- Liên hệ phịng thiết bị vào buổi trước mượn máy tính ( máy tính xách tay càng tốt), máy
chiếu projector, màn ảnh chiếu

- Dặn dò HS ở tiết trước để HS chuẩn bị sẵn móc treo bảng chiếu, trước tiết dạy khoảng 5
phút HS lên phòng thiết bị mang dụng cụ theo hướng dẫn của GV nhằm tránh mất thời
gian lắp ráp thiết bị

b) Chuẩn bị nội dung bài dạy:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

A-DI CHUYEN

H ?

chung minh

tinh tien

Q. Tích

Bài tốn 1/ trang 7 -SGK hình 11 nâng cao: giải bằng phép tịnh tiến

Trường hợp BC qua O
Trường hợp BC không qua O

Hãy rê điểm C đến trùng với B' (BC là trường kính của (O; R)).Nhận xét quỹ tích màu đỏ

của H

Mà A thay đổi ttên (O;R) nên trực tâm H
luôn nằm trên đường tròn cố định ( màu
đỏ) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến
nói trên

Tứ giác ABCD là hình
bình hành

Suy ra : AH = B'C <=>

Sử dụng phép tịnh tiến để chứng minh
quỹ tích H là đường trịn màu đỏ

Quan sát vết của H,nhận xét
tính chất và hình dạng của vết
Quan sát sự chuyển động của điểm H,
dự đoán quỹ đao di chuyển của nó

Q. Tích

Tinh tien
chung minh

H ?
H ?
H ?
A-DI CHUYEN

H

H O

B'

B

A

C

-Hướng 2: Chỉ có các hiệu ứng minh hoạ, hổ trợ soạn trong mơi trường GSP, cịn nội dung
lý thuyết thể viết bảng (hướng này ít tốn thời gian soạn bài hơn hướng 1)

c)Tiến hành tiết dạy

Ghi chuù:

- Aán vào nút để HS quan sát điểm A di chuyển trên (O; R)
-Aán vào nút để hiện câu hỏi hoặc ẩn câu hỏi

- GV click chọn điểm H , và bấm Ctrl + T để tạo vết cho H

-Aán vào nút để xem quỹ tích

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

"Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B. Một điểm M thay đổi trên (O), Tìm quỹ tích
điểm M' sao cho MM' +MA =MB "

BÀI 2 /Bài tập 4/ trang 9 -SGK hình 11 nâng cao

Ta có MM' + MA =MB <=>MM' =MB -MA =AB 
 <=>T

A B (M) = M'

Mà M chạy trêm (O) nên quỹ tích của M' là (O') là ảnh của (O)

TA B

Nhận xét tính chất quỹ tích của M'
Quan sát M' ? và dự đốn qũy tích của M'

Tinh tien
Quy tich
Vet

chung minh
H?
H ?
Di chuyen M

A
M

Di chuyen M

H ?

Vet

Quy tich

chung minh

Tinh tien

Nhận xét quỹ tích màu đỏ của H và (O;R)

Quan sát sự chuyển động của điểm H
dự đoán quỹ đao di chuyển của H
Quan sát vết của H,nhận xét
tính chất và hình dạng của vết

Sử dụng phép đối xứng trục để chứng
minh quỹ tích H là đường trịn màu
đỏ

Trường hợp BC khơng qua O

Trường hợp BC qua O

Bài tập 10 /trang 13-SGK hinh 11 nâng cao: giải bằng phép đối xứng trục

chung minh

Q. Tích

BC qua O
A-DI CHUYEN

H?
H ?
H ?
H ?

H

B

A

C
Ghi chuù :

-Aán vào nút để cho HS quan sát M chạy trên đường tròn (O; R)

-Aán nút để hiện hoặc ẩn câu hỏi

-Aán vào nút để hiện vết của M’ sau khi dự đoán
- Aán nút để hiện quỹ tích của M’

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BC qua O

Bài tốn 2/ trang 28-SGK hình 11 nâng cao : giải bằng phép vị tự

Tam giác A BC có hai đỉnh B, C cố định cịn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O ; R) cố định
khơng có điểm chung với BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác A BC

Gọi I là trung điểm của BC, I cố định
G là trọng tâm ABC<=>IG = 1

3 IA

Vậy có phép vị tự V tâm I tỉ số 1

3 bieán A thaønh G .

Mà A chạy trên (O; R) nên quỹ tích G là (O';R') là ảnh của (O;R) là
phép vị tự V ,với IO' = 1

3IO và R' = 
1
3 R
Dự đoán tâm của phép vị tự biến đường tròn
màu xanh thành đường tròn đỏ ? và chứng minh
dự đốn đó là đúng ?

Dự đốn mối quan hệ giữa đường tròn màu
xanh và đường tròn đỏ ?

Quan sát sự chuyển động của điểm A và dự
đoán quỹ đao di chuyển của trọng tâm G

Chung minh
H?

H?
Quy tich

An d. trung tuyen
H?

O'
G
I

B A

An d. trung tuyen

Ghi chuù:

-Trước khi yêu cầu HS quan sát vết của H , GV chọn H và ấn Ctrl+T để tạo vết cho H
-Aán nút để HS quan sát trường hợp BC qua tâm O, điểm C di chuyển đến
vị trí sao cho BC qua O

Ghi chú:

- n nút nếu muốn ẩn hoặc hiện các đường trung tuyến
-Để xuất hiện O’ ta thực hiện phép vị tự V tâm I tỉ số 1/3:

+ Chọn tâm I, vào menu transform / mark center

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

BC thay doi

Quan sát quỹ tích của I vaø G khi m = 2R

Bài tập 9- trang 35-SGK 11 nâng cao Giải bằng phép vị tự

Hãy dự đốn qũy tích trung điểm I

Khi I thay đổi , hãy dự đốn quỹ tích của G
Tìm mối quan hệ của I và G

GA +GB + GC =0 <=>AG= 2
3AI
Tức phép vị tự V tâm A tỉ số 2

3 biến điểm I thành điểm G,
do đó quỹ tích của G là ảnh của quỹ tích I qua phép vị tự V

Reset

m= 2R

Quy tich G

H?
Chung minh
H?

Quy tich I

BC thay doi

C
B

G I

A O C

m= 2R

Ghi chuù:

- Aán nút để quan sát sự thay đổi của dây BC với độ dài không đổi

-Aán nút để BC trở thành đường kính của (O;R), nhằm giúp HS quan sát sự thay
đổi của quỹ tích của I và quỹ tích của G

4/ Hiệu quả mới . Ý nghĩa của SKKG

-Nếu các tiết dạy các bài tốn quỹ tích của chương I được dạy như trên sẽ có các lợi ích
thiết thực như: ít mất thời giờ vẽ hình, giải thích nhằm mơ tả quỹ tích, độ chính xác tốn
học của các hình cao. HS tiếp thu kiến thức tự nhiên trực quan và hứng thú, khắc phục
được cái khó trước đây khi chưa áp dụng SKKG là tính động trong hình ảnh và có thể kiểm
chứng cho HS thấy độ chính xác toán học

- Khi thực hiện SKKG hầu hết GV đều tỏ ra hài lòng , và HS tiếp thu bài nhanh hơn

- Khi GV đã thành thạo trong việc sử dụng phần mềm GSP có thể thiết kế cho các bài
khác, các mơn khác

Tóm lại : Việc giải các bài tốn quỹ tích bằng phần mềm SGP như trên là một phần trong
các phương pháp đổi mới giáo dục, bước đầu đưa tin học giảng dạy , đúng nghĩa của một
giáo án điện tử

- Tuy nhiên nó có nhữ hạn chế : đòi hỏi người GV đầu tư nhiều thời gian và công sức thiết
kế và phụ thuộc vào trình độ tin học của các GV cũng như các trang thiết bị của nhà
trường. Không phải HS nào cũng có thể tự sử dụng máy tính để có thể khám phá và giải
các bài tốn quỹ tích ở tại nhà cũng như trong lớp.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

-Một lần nữa tơi xin nhắc lại mục đích của SKKN này là vận dụng phần mềm GSP vào
dạy các bài tốn quỹ tích chương I của hình học 11 nâng cao, giúp người đọc thấy được cái
hay và hiệu quả của phần mềm GSP. Các GV có thể tự mình thiết kế theo ý đồ mỗi người,
hoặc có thể sử dụng các thiết kế có sẵn trong đĩa kèm theo tại thư mục “tien hanh tiet day”
bài viết này .

- Nếu người đọc muốn sử dụng SKKN thì cần làm các cơng việc sau:

+ Máy tính phải có phần mềm Geometer’s Sketchpad , các bạn có thể tải tại trang wed
của bộ giáo dục , tải về giải nén và copy vào máy là có thể sử dụng được

+ Đọc SKKN này phải kết hợp với nội dung trong đĩa kèm theo
+ Phải có kĩ năng sử dụng cơ bản phần mềm GSP .

- Tuy nhiên , để nâng cao hiệu quả hơn, tổ toán ở mỗi trường cần phải tổ chức ít nhất một
buổi tập huấn, để GV thành thạo phần mềm GSP hướng dẫn cho các GV khác. Khi đã
thành thạo, các GV cần không ngừng nghiêng cứu, khám phá phần mềm GSP, vì nó rất
phong phú và đa dạng. Để làm được điều đó , nhà trường cần hổ trợ máy tính cho các GV.

Óc Eo, ngày 17 tháng 2 năm 20008
Người viết

Phạm Anh Dũng

</div>