néi dung s¸ng kiõn kinh nghiöm 2 néi dung bµi to¸n 1 týnh s ph©n tých t×m lêi gi¶i nõu ta quy ®ång mêu sè ®ó thùc hiön phðp týnh th× mêt nhiòu thêi gian ta nhën thêy c¸c méu sè cã týnh chêt ®æc biö

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>2-nội dung</b>

<b>*Bài Toán 1: Tính S = </b>

1 1 1 1

..

1.2 2.3  7.8 8.9

- Phân tích tìm lời giải:

Nu ta quy đồng mấu số để thực hiện phép tính thì mất nhiều thời gian.Ta nhận thấy
các mẫu số có tính chất đặc biệt và với tính chất đó ta phân tích mỗi phân số thành hiệu
của hai phân số đơn giản hơn.

1 1 1

( 1) 1

<i>n n</i>  <i>n n</i>

Khi đó các phân số đối nhau bị triệt tiêu và còn lại
S = 1 -

1 8
9 9

<b>*Lời giải: Từ cách phân tích trên ta có lời giải sau:</b>

<i>Ta có: </i>

1 1 1 1 1 1 1 1

1 ; ;....;

1.2 2 2.3 2 3 8 9 8 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 8

.... 1 ...

1.2 2.3 7.8 8.9 2 2 3 8 9 9

<i>S</i>

     



           

+ Khai thác bài toán:

1- Mở rộng tổng S tới tổng có n sè h¹ng:
Sn =

1 1 1 1

... 1

1.2 2.3 ( 1) 1 1

<i>n</i>

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

     

   _{( 1 )}
<b>- Lêi gi¶i 1:</b>

Sn=

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ... 1 .

1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1 1 1

<i>n</i>

<i>n n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

            

   

<b>- Lời giải 2: Giải bằng phơng pháp quy nạp toán học:</b>
- Đẳng thức (1).Đúng với n = 1 V× Sn =

1
2

- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k .Tức là: Sk =

1 1 1

... ( )

1.2 2.3 ( 1) 1

<i>k</i>

<i>k N</i>

<i>k k</i> <i>k</i>

    

 

Ta phải chứng minh đẳng thức (1) đúng với n=k +1 tức là :
Sk+1 =

1
2

<i>k</i>
<i>k</i>



<i>ThËt vËy</i>: Sk+1= Sk +

2

1 1 2 1 1

( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

  

   

        _.

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
2- Gii bi toỏn tng t .

<b>*Bài toán 1.1: Thực hiện phép tính một cách hợp lý .</b>

S =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

90 72 56 42 30 20 12 6 2       

.
Gi¶i: Tõ lêi gi¶i của bài toán (1) ta có :
S =

1 1 1 1 1 1 1 1 1

( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 79

( ) (1 ) .

90 9.8 8.7 7.6 6.5 5.4 4.3 3.2 2.1 90 9 90 9 90



           

Vậy S =

79
90

.

<b>*Bài toán 1.2: Tính tæng S = </b>

1 1 1 1

....

1.3 3.5  15.17 17.19

<b>Gi¶i:</b>
Ta cã: 2S =

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 18

.... 1 .... 1

1.3 3.5  15.17 17.19   3 3 5   17 19   19 19

2S =

18

19 _{S =}
9
19_.

<b>*Bài toán mở rộng:</b>

<b>-Bi toỏn 1.3: Chng minh đẳng thức sau với n là số tự nhiên </b>

1 1 1

.... ( 1)

1.3 3.5 (2 1)(2 1) 2 1

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

    

  

<b>Gi¶i:</b>

<i><b>NhËn xÐt:</b></i>

1 1 2

2<i>n</i>1 2 <i>n</i>1 (2 <i>n</i>1)(2<i>n</i>1)

Đặt

1 1 1

....

1.3 3.5  (2<i>n</i>1)(2<i>n</i>1) <i>s</i>

Ta cã :
2S =

2 2 2 1 1 1 1 1 1 2

.... 1 ... 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1) 3 3 5 (2 1) 2 1 2 1 2 1

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

            

     

2S =

2
2 1

<i>n</i>

<i>n</i> _{= > S =}2 1

<i>n</i>

<i>n</i> _.

-Bài toán 1.4: Tính tổng một các hợp lý:
S =

3 3 3

....

1.3 3.5  49.51_.

<b>Gi¶i:</b>
Ta cã : S =

1 1 1

3( .... )

1.3 3.5  49.51

3 1 1 1 1 1

(1 ... )

2 3 3 5 49 51

      

.
=

3 1 3 50 25

(1 ) .

2  51 2 51 17 _.

VËy =

25
17_.

-Bài toán 1.5: Tính nhanh.
S =

25 25 25

....

1.6 6.11  41.46_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta cã: S = 5

5 5 5

( .... )

1.6 6.11  41.46 ₌

1 1 1 1 1

5(1 ... )

6 6 11 41 46

      

=

1 45 225

5.(1 ) 5.

46 46 46

  

.
VËy S =

225
46

Từ đây ta có thể đi n bi toỏn sau:

<b>* Bài toán 1.6: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dÃy sau:</b>

1 1 1 1

; ; ; ...
6 66 176 336

<b>Gi¶i:</b>

Tríc hÕt ta viÕt hÕt các mẫu 6; 66; 176; 336Dới dạng 1.6; 6.11; 11.16; 16.21…
sè h¹ng thø n cđa d·y cã d¹ng ( 5n - 4 ) ( 5n + 1 ) cÇn tÝnh tỉng:

S =

1 1 1 1

...

1.6 6.11 11.16   496.501

NhËn xÐt:

1-1 5 1 1 5

; ...

6 1.6 6 11 6.11  

Tỉng qu¸t:

1 1 5

5<i>n</i> 4 5 <i>n</i>1 (5 <i>n</i> 4)(5<i>n</i>1)

Do đó: 5S = 1 -

1 1 1 1 1 1 500

... 1

6 6 11   496 501   501 501

5S =

500 100

501 <i>S</i> 501

Từ đây tiếp tục đề xuất và giải quyết đợc các bài tốn khác.
<b>*Bài tốn 1.7: Tính tổng </b>

S1 =

1 1 1

...

1.5 5.9  (4<i>n</i> 3)(4<i>n</i>1)_{( n}1)

S2 =

1 1 1

...

4.5 5.6  (<i>n</i>3)(<i>n</i>4)_{( n}1)

S3 =

7 7 7 1

...

1.8 8.15  (7<i>n</i> 6)(7<i>n</i>1) 7 <i>n</i>1_{( n}1)
<b>Gi¶i:</b>

Ta cã:

4S1 =

4 4 4 1 4

... 1

1.5 5.9 (4 3)(4 1) 4 1 4 1

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

     

   

4S1 =

1

4

4 1 4 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>s</i>

<i>n</i>   <i>n</i>

S2 =

1 1 1 1 1

...

4.5 5.6 ( 3)( 4) 4 4 4( 1)

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

S3 =

7 7 7 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ... 1

1.8 8.15  (7<i>n</i> 6)(7<i>n</i>1) 7 <i>n</i>1  8 8 15   7<i>n</i> 6 7 <i>n</i>1 7 <i>n</i>1

<b>3- Mở rộng bài toán: </b>

P =



 



1 1

...

( ) ( )( 2 ) ( 1) ( )

<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>nb</i>

<i>a a b</i>  <i>a b a</i>  <i>b</i>   <i>a</i> <i>n</i> <i>b a nb</i>  <i>a a nb</i> <i>a a nb</i>

<b>4- Giải bài toán t ơng tự khác:</b>

<b>*Bi toỏn 1.8: Chứng minh đẳng thức sau với n là số tự nhiên</b>

1 1 1 ( 1)( 2)

...

1.2.3 2.3.4 ( 1) ( 1) 4 ( 1)

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n n</i>

 

   

   _{( n}2)

Ta cần phântích mỗi phân số ở vế trái thành hiệu của 2 phân số để làm xuất hiện trong
biểu thức những số hạng đối nhau đó là hiệu của 2 phân số nào?Ta xét các hiệu.

1 1 1 1

; ...

1.2 1.3 2.3 3.4 

Tỉng qu¸t:

1 1

(<i>n</i>1)<i>n n n</i> ( 1)

Gọi vế trái của đẳng thức phải chứng minh là S
Do:

1 1 2

(<i>n</i>1)<i>n n n</i> ( 1)(<i>n</i>1)(<i>n</i>1)<i>n</i>

Nªn

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

2 ... ...

1.2.3 2.3.4 ( 1) ( 1) 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1) 2 ( 1)
2 ( 1)( 2)

2 ( 1) 2 ( 1)

<i>S</i>

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n n n</i> <i>n n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n n</i> <i>n n</i>

            

    

   

 

 

2S =

( 1)( 2) ( 1)( 2)

( 1)2 4 ( 1)

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>S</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

   

 

 

<b>Tiếp theo ta đi đến bài toán sau:</b>

<b>Bài toán 1.9: Chứng minh đẳng thức với n là số tự nhiên.</b>
S =

1 1 1

... ( 2)

1.2.3.4 2.3.4.5  (<i>n</i>1) (<i>n n</i>1)(<i>n</i>2) <i>n</i>

Ta nhËn xÐt:

1 1 3

1.2.3. 2.3.4 1.2.3.4 

1 1 3

2.3.4 3.4.5 2.3.4.5

Tỉng qu¸t:

1 1 3

(<i>n</i>1) (<i>n n</i>1) <i>n n</i>( 1)(<i>n</i>2)(<i>n</i>1) (<i>n n</i>1)(<i>n</i>2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

3 3 3

3 ...

1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1) ( 1)( 2)

1 1 1 1 1 1

...

1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1) (( 1) ( 1)( 2)

1 1 ( 1)( 2) 6

1.2.3 ( 1)( 2) 6 ( 1)( 2)

<i>S</i>

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n n</i> <i>n</i>

<i>n n</i> <i>n</i>

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i>

   

  

      

   

  

  

   

Ta cã:

( 1)( 2) 6 ( 1)( 2) 6

3

6 ( 1)( 2) 18 ( 1)( 2)

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i>

<i>S</i> <i>S</i>

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i>

     

  

  

<b>Bài toán 10: Chứng minh rằng.</b>
2 2 2 2

1 1 1 1

... ( 2)

2 3 4

<i>A</i> <i>n</i>

<i>n</i>

     

<b>C¸ch 1:</b>

§Ó chøng minh A < 1 ta xÐt mét biÓu thøc trung gian B sao cho: A < B < 1 vµ biĨu thøc
B cã thĨ rót gän dƠ dµng.Ta thÊy:

2 2 2

1 1 1 1 1 1

; ; ..

2 1.2 3 2.3   <i>n</i> (<i>n</i>1)<i>n</i>

Do đó:

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1 ... 1 1

2 3 4 1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 4 1

<i>n</i>
<i>A</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>



                    

 

VËy: A < 1.

<b>C¸ch 2: Chän biĨu thøc trung gian.</b>
2 2 2 2

1 1 1 1

...

2 1 3 1 4 1 1

<i>B</i>

<i>n</i>

    

    _{th× A < B}

Cßn B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... (1 ... )

1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1) 2 3 2 4 3 5 1 1

1 1 1 1 1 1

(1 ... ... )

2 2 1 3 4 1

1 1 1 1 1 1 3

(1 ) .

2 2 1 2 3 4

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n n</i>

            

   

       

 

 

Vậy:

3
4

<i>A</i>

Từ bài toán ta có bài toán sau.

Chứng minh rằng: 2 2 2 2

1 1 1 1 1

...

2 4 6  (2 ) 2<i>n</i>  _n_₂

<b>Gi¶i:</b>
NÕu chän biĨu thøc trung gian lµ:

1 1 1

...

1.2 3.4 (2 1)2

<i>B</i>

<i>n</i> <i>n</i>

   

 _{rót gän khã}

<b>Cách 1: Ta đặt </b> 2 2 2 2

1 1 1 1

...

2 4 6 (2 )

<i>A</i>

<i>n</i>

    

Cho biÓu thøc trung gian.

2 2 2 2

1 1 1 1

...

2 1 4 1 6 1 (2 ) 1

<i>B</i>

<i>n</i>

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta thÊy A < B cßn:

1 1 1 1

...

1.3 1.5 5.7 (2 1)(2 1)

1 1 1 1 1 1 1 1

(1 ... (1 )

2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1

<i>B</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>
<i>B</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

    

 

         

   

VËy:

1

2 1 2 2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>A</i>

<i>n</i> <i>n</i>

  


<b>C¸ch 2</b>

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... (1 ... )

2 4 6 2 . 2 2 .2 2 .3 2 . 2 2 3

<i>A</i>

<i>n n</i> <i>n n</i> <i>n</i>

       

<b>Theo bài 1.10:Ta có,thì </b> 2 2 2

1 1 1

... 1

2 3  <i>n</i> 

Do đó:

1 1

(1 1)

4 2

<i>A</i>

Có thể giải bài toán 1.9;Bài 1.10 bằng phơng pháp quy nạp toán học.
<b>Bài toán 1.11: Chøng minh r»ng.</b>

1

1 1 1 1

... 1

2! 3! 4! 100!

<i>A</i>      

Ta cã:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

; ; ...

2! 1.2 3! 2.3 4! 1.2.3.4 3.4 100! 1.2.3.100     99.100

VËy

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1 ...

2! 1! 4! 100! 1.2 2.3 99.100 2 2 3 3 4 4 99 100
1 99

1 1

100 100

                

<b>Bài toán mở rộng: Chứng minh rằng</b>

1

1 1 1

... 1

2! 3! !

<i>A</i>

<i>n</i>

    

Ta cã:

1

1 1 1 1 1 1 1

... ... 1 1

2! 3! ! 1.2 2.3 ( 1) 1 1

<i>n</i>
<i>A</i>

<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i>

           

  

Vậy: A < 1

<b>Bài toán1.12: Chứng minh rằng</b>

1 2 3 99

... 1

2! 3! 4!   100!

Ta cã:

1 2 3 99 2 1 3 1 100 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... ...

2! 3! 4! 100! 2! 3! 100! 1! 2! 2! 3! 3! 99! 100!
1

1 1

100!

  

               

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

V©y:

1 2 3 99

... 1

2! 3! 4! 100!

<b>Bài toán1.13: Chứng minh r»ng </b>

2 2 2 3 2 2 2 2

3 5 7 19

... 1

1 .2 2 .3 3 .4  9 .10 

<b>Gi¶i:</b>
Ta cã:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 210 2

3 5 7 19 2 1 3 2 4 3 10 9 1

... ... 1 1

1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 10

   

           

VËy: 2 2 2 2 3 2 2 2

3 5 7 19

... 1

1 .2 2 .3 3 .4  9 .10 

<b>3- Bµi häc kinh nghiƯm</b>
<b>4- kÕt luËn</b>

Đổi mới phơng thức dạy học để không ngừng nâng cao hiệu suất lên lớp,phát năng
lực trí tuệ của học sinh là việc làm có tính thờng xun.Đặc biệt trong năm học này
ngành giáo dục ứng dụng công nghệ thông tin vào trong các nhà trờng.Địi hỏi mỗi thầy
cơ giáo phải thành thạo công nghệ thông tin để giảng dạy cho các em học sinh

Muốn vậy trong mỗi nhà trờng cần phải có những con ngời nhạy bén,sáng tạo ln
ln chủ động tìm ra cái mới.Đó cũng là cái đẹp,sức hấp dẫn của toán học.Chỉ với một
bài toán nếu chịu khó tìm tịi,suy nghĩ ta có thể đề xuất đợc những bài toán thú vị,thiết
lập đợc mối liên hệ giữa các bài toán.Kết quả tất yếu của quá trình tìm tịi,suy nghĩ trên

mỗi bài tốn đó là làm tăng năng lực giải toán của các bạn chắc chắn cịn nhiều thú vị
xung quanh bài tốn1.Các bạn hãy cùng tiếp tục suy nghĩ .

Mặc dù có nhiều cố gắng,giành nhiều thời gian nghiên cứu,tìm tòi,sáng tạo những
kiến thức ngời viết có hạn ,nội dung bài tập thì mênh mông.Chắc chắn rằng còn có
nhiều khiếm khuyết.

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tơi trong cơng tác dạy học mơn Tốn.Kính
mong các quý thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp đọc và xem xét góp ý bổ sung cho tơi
để kinh nghiệm nhỏ của tôi đợc đầy đủ và hoàn chỉnh hơn.

</div>

<!--links-->