Giao trinh Vat Ly thong ke

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Khoa V</b>

ậ

<b>t Lý-</b>

Đạ

<b>i H</b>

ọ

<b>c S</b>

ư

<b> Ph</b>

ạ

<b>m Hà N</b>

ộ

<b>i </b>

<b>GIÁO TRÌNH </b>

<b>V</b>

Ậ

<b>T LÝ TH</b>

Ố

<b>NG KÊ </b>

<b>Ng</b>

ườ

<b>i biên so</b>

ạ

<b>n: GS. TS. Nguy</b>

ễ

<b>n H</b>

ữ

<b>u Mình </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>I. Ma trận mật độ. Phương trình chuyển động của ma trận mật độ. </b>
<b>§1. Ma trận mật độ </b>

Nếu hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác giữa hệ

và trường ngoài đã biết được chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử được

mơ tả bởi hàm sóng. Trạng thái của hệ lượng tử được mơ tả bằng hàm sóng
được gọi là trạng thái sạch.

Ta khảo sát hệ lượng tử mà trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng

( )

x

Ψ trong đó x là kí hiệu một tập hợp biến sốđộng lực xác định trạng thái

của hệ. Giả sử ˆA x là toán t

( )

ử biểu diễn đại lượng vật lí A x

( )

nào đó đặc

trưng cho hệ. Khi đó giá trị trung bình của A trong trạng thái Ψ

( )

x được xác
định bằng công thức:

( ) ( ) ( )

* ˆ

A= Ψ

_∫

x A x Ψ x dx (1)

Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác giữa hệ với các hệ xung quanh

không được cho một cách chính xác thì trạng thái của hệ khơng được mơ tả

bằng hàm sóng. Bởi vì khi tương tác giữa hệ và trường ngồi chưa biết thì

khơng thể giải phương trình Schrưdinger để xác định hàm sóng. Để mơ tả hệ

lượng tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét (gọi là hệ

con) và các hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn) làm thành một hệ

kín. Khi đó ta có thể dùng khái niệm hàm sóng để mơ tả trạng thái của hệ

kín. Giả sử hệ lớn được mơ tả bằng một tập hợp biến số động lực q. Hàm

sóng mơ tả trạng thái hệ kín là hàm của x và q:

(

q, x

)

Ψ = Ψ (2)

Ta chọn hàm sóng sao cho giá trị trung bình của đại lượng A(x) của hệ con
được xác định bằng hệ thức:

(

) ( ) (

)

* ˆ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Chú ý rằng toán tử ˆA x ch

( )

ỉ tác dụng lên biến x của hệ con.
Đặt:

(

)

(

) ( )

(

)

*

(

) (

)

ˆ

A x ', x x ' x A x

x ',x q,x ' q,x dq

= δ −

ρ = Ψ

∫

Ψ (4)

Ta viết được:

(

) (

)

A=

_{∫ ∫}

A x ', x ρ x ',x dxdx '

Đại lượng ρ

(

x ', x

)

là yếu tố của ma trận mật độ ρ trong x-biểu diễn (trong

toạđộ biểu diễn). Dùng quy tắc nhân ma trận, ta viết được:

[ ]

_{x ' x '}

( )

A=

∫

Aρ dx ' Sp A= ρ (5)

Biết được ma trận mật độ ρ ta xác định được A đặc trưng cho hệ con. Trạng

thái của hệ con được mô tả bằng ma trận mật độ ρ được gọi là trạng thái hỗn

hợp.

Giả sử Ψ_n

( )

x là hàm riêng của tốn tử nào đó đặc trưng cho hệ con. Ta khai

triển hàm sóng Ψ

(

q,x

)

theo hệ hàm trực giao và chuẩn hoá Ψ_n

( )

x :

(

)

n

( ) ( )

n

n

q,x C q x

Ψ =

∑

Ψ (6)

Trong đó hệ số khai triển C q_n

( )

≡C F_q

( )

_n là hàm sóng trong F-biểu diễn
ứng với giá trị q đã cho. Đặt (6) vào (3) ta được:

( )

mn nm
m,n

A=

∑

A ρ =Sp Aρ (7)

Ởđây:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

*

nm n m

*

mn m n

C q C q dq
ˆ

A x A x x dx

ρ =

= ψ ψ

∫

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ma trận mật độ trong x- biểu diễn bây giờ có dạng:

(

)

*

( ) ( )

nm m n
n,m

x ', x x ' x

ρ =

∑

ρ ψ ψ (9)

Ma trận ρ ứng với yếu tố ρ_nm là ma trận mật độ trong F-biểu diễn. Từ hệ

thức (8) ta thấy rằng ρ = ρ_nm *_mn. Ma trận mật độ có tính chất là ma trận

Hermitic. Đối với ma trận Hermitic ta ln có thể chuyển về dạng chéo nhờ

chọn hàm sóng ψ_n

( )

x thích hợp.

Bây giờ ta viết tốn tử ma trận mật độ trong kí hiệu Dirac.

Các kí hiệu Dirac:

( )

( )

(

)

( ) ( )

n n n n

*

* *

m m m m m

*

m n m n mn

n ; x x x n

m ; x x x m x

m n x x dx

ψ = ψ ≡ ψ = Ψ ≡

Ψ = Ψ ≡ Ψ = Ψ = Ψ =

Ψ Ψ = = Ψ

∫

Ψ = δ

(10)

Ma trận mật độ trong x- biểu diễn được viết lại:

(

)

nm

m,n

x, x ' x x ' x n m x '

ρ = ρ =

∑

ρ (11)

Toán tử ma trận mật độ có dạng:

nm
m,n

n m

ρ =

∑

ρ (12)

Dễ thấy rằng:

nm n ',n nm m ',m n 'm '

m,n m,n

n ' m'ρ =

∑

n ' n ρ m m' =

∑

δ ρ δ = ρ

Hay

nm n m

ρ = ρ (13)

Công thức (13) là yếu tố ma trận trong F-biểu diễn và công thức (11) là yếu

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Nếu chọn m là hàm riêng của toán tử ρ tương ứng với giá trị riêng ρ_m, ta

có:

m

nm m m nm

m m

n m n m

ρ = ρ

ρ = ρ = ρ = ρ δ (14)

nm m nm

m,n m,n

m
m

n m n m

m m

ρ = ρ = ρ δ

ρ = ρ

∑

∑

∑

(15)

mn nm mn m nm

m,n m,n

mm m m

m m

A A A

A A m A m

= ρ = ρ δ

= ρ = ρ

∑

∑

∑

∑

(16)

Ở đây A_mm = m A m là giá trị trung bình của đại lượng A trong trạng thái
m và:

( )

2
mm m Wm C q dqm

ρ = ρ = =

∫

(17)

Là xác suất tìm thấy trạng thái sạch của hệ con được mơ tả bằng hàm sóng
m trong khi đó hệ lớn có thể ở trạng thái với q bất kì. Đối với trạng thái

hỗn hợp, ta khơng biết chính xác trạng thái m mà chỉ biết trạng thái m

xuất hiện với xác suất W_m.

Đặt biểu thức ρ = ρ δ =_nm _{m nm} W_{m nm}δ vào (9) ta được:

(

)

*

( ) ( )

m m m

m

x,x ' W x ' x

ρ =

∑

Ψ Ψ (18)

Nếu Fˆ =H xˆ

( )

là toán tử Hamilton của hệ con thì Ψ_m

( )

x là hàm riêng của
ˆH tương ứng với giá trị riêng E_m và W_m là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái

( )

m x

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>§2. Các tính chất của ma trận mật độ </b>

a. Ma trận mật độ là ma trận Hermitic:

(

)

*

(

)

*

nm mn

x,x ' x ', x ,

ρ = ρ ρ = ρ

b. Nếu cho Aˆ =ˆI là tốn tử đơn vị thì từ (5) (7) suy ra:

[ ]

Sp ρ =1 (19)

c. Ma trận mật độ thoả mãn điều kiện Sp _{ }_{ }ρ ≤2 1. Ta hãy chứng minh tính

chất này. Ta biết:

nm m nm nm

0 khi n m
;

1 khi n m

 ≠



ρ = ρ δ _{δ = }

 =



Dễ thấy rằng:

( )

m m nm nm
n n mn mn

m n mm nn nm mn

2 2

m n mm nn nm mn _mm

m,n m n m,n m

Sp

ρ ≥ ρ δ = ρ
ρ ≥ ρ δ = ρ

ρ ρ = ρ ρ ≥ ρ ρ

 

ρ ρ = ρ ρ ≥ ρ ρ = ρ = _{ }_{ }ρ

∑

∑ ∑

∑

∑

Vì _mm _nn

[ ]

m n

Sp 1

ρ = ρ = ρ =

∑

∑

Nên ta có _Sp _{ρ ≤}2 ₁

 

  (20)

d. Ta hãy chứng minh rằng đối với trạng thái sạch thì Sp _{ }_{ }ρ =2 1. Thật vậy,
đối với trường hợp hệ con coi là độc lập thì hàm sóng ψ

(

q,x

)

được biểu

diễn bằng tích hai hàm sóng mơ tả trạng thái của hai phần cô lập với nhau

(trong cơng thức (6) chỉ có một số hạng):

(

q,x

)

C qn

( ) ( )

n x

ψ = Ψ (21)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

(

) (

)

(

) (

)

*
*

n n

q,x q,x dxdq=1
q, x q, x dxdq=1

ψ ψ

ψ ψ

∫

∫

Suy ra: *

( ) ( )

n= C q C q dq 1n n

ρ

_∫

= (22)

Trong trường hợp này, ta có:

mn n mn mn
mn nm mn nm

m,n m,n

1

ρ = ρ δ = δ

ρ ρ = δ δ =

∑

∑

Vậy đối với trạng thái sạch, ta có:

[ ]

2

mn nm
m,n

Sp _{ }_{ }ρ =

∑

ρ ρ =1;Sp ρ =1 (23)

2
n

n n n n ;

ρ = ρ = ρ = ρ

<b>§3. Phương trình chuyển động của ma trận mật độ </b>

Ta biểu diễn ma trận mật độ phụ thuộc vào thời gian t và sau đó lập phương

trình chuyển động của ma trận mật độ. Ở trạng thái hỗn hợp, mỗi trạng thái

sạch được mô tả bằng hàm sóng Ψ_m

( )

x,t có một xác suất ρ =_m W_m xác
định. Ta khai triển hàm Ψ_m

( )

x,t theo hệ hàm riêng ϕ_S

( )

x trực giao và

chuẩn hoá của toán tử ˆG x

( )

nào đó đặc trưng cho hệ:

( )

m

( ) ( )

m S S

S

x, t a t x

ψ =

∑

ϕ (24)

Nhân hai vế của đẳng thức này với ϕ*_r

( )

x rồi tích theo x, ta được:

( )

( ) ( )

m *

r r m

a t = ϕ

∫

x ψ x, t dx= r m, t (25)
Dùng kí hiệu Dirac, ta viết được:

( )

(

)

*

*m
S

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Hệ số khai triển a tm_r

( )

là hàm sóng trong G-biểu diễn. Yếu tố ma trận ρ_rs

của ma trận mật độ trong G-biểu diễn có dạng:

( )

rs m

m

t r s r m,t m, t s

ρ = ρ =

∑

ρ

Hay:

( )

m

( ) ( )

*m

rs m r s

m

t a t a t

ρ =

∑

ρ (27)

Nhân hai vế của đẳng thức này với i rồi lấy đạo hàm theo thời gian ta
được:

*m
m

*m m

rs r s

m s r

m

a
a

i i a a i

t t t

 

∂ρ ₌ _ρ _ ∂ ₊ ∂ _

 

∂

∑

_ ∂ ∂ _

(28)

Gọi ˆH là toán tử Hamilton của hệ lượng tử, dùng phương trình Schrưdinger:

m
m
ˆ
i H
t
∂ψ _{= ψ}
∂

Ta viết được:

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

m

r * m

r
*

r m

* m

r k k

k

a t x, t

i x i dx

t t

ˆ

x H x, t dx
ˆ

x H a x dx

∂ ∂ψ
= ϕ
∂ ∂
= ϕ ψ
= ϕ ϕ

∫

∫

∑

∫

( )

m
r m
rk k
k
a t

i H a

t

∂

=

∂

∑

(29)

Ởđây:

( )

( )

*

rk r ˆ k

H = ϕ

∫

x Hϕ x dx

Lấy liên hợp phức phương trình (29), ta có:

( )

*m

r * *m

rk k
k

a t

i H a

t

∂

− =

∂

∑

Vì tốn tử là Hermitic nên H_rk =H*_kr, khi đó ta có:

( )

*m

r * *m

kr k
k

a t

i H a

t

∂

= −

∂

∑

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Hay:

( )

*m

s * *m

ls l
l

a t

i H a

t

∂

= −

∂

∑

(30)

Đặt (29) và (30) vào (28) với sự chú ý (27), ta được:

( )

( )

rs

rk ks rl ls _rs _rs

k l

i H H H H

t

∂ρ

= ρ − ρ = ρ − ρ

∂

∑

∑

(31)

Hay:

[

]

i H H ,H

t

∂ρ_{== ρ − ρ = − ρ}
∂

(32)

Đó là phương trình chuyển động của ma trận mật độ. Giải phương trình (32)

với điều kiện biên đã cho ta tìm được ρ. Biết ρ ta tính được giá trị trung

bình của tất cả các đại lượng vật lí đặc trưng cho hệ.

Nếu G xˆ

( )

=H xˆ

( )

là toán tử Hamilton của hệ thì ˆHϕ = ϕ_r E_r _r và

rk k rk

H = δE , H_ls = δE_{s ls}. Khi đó ta có:

( )

(

)

( )

rs

r s rs

t

i E E t

t

∂ρ

= − ρ

∂

(33)

Nghiệm của phương trình (33) có dạng:

( )

( )

(

)

rs rs r S

i

t 0 exp E E t

ρ = ρ −

 

  (34)

Trong đó ρ_rs

( )

0 là yếu tố ma trận ở thời điểm t=0.

Xét trường hợp hệ ở trạng thái cân bằng:

rs ₀

t

∂ρ ₌

∂ hay t 0

∂ρ₌

∂ (35)

Khi đó mọi giá trị trung bình của các đại lượng A đặc trưng cho hệ không

phụ thuộc vào thời gian. Từ (33) ta thấy rằng khi rs 0

t

∂ρ ₌

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

(

Er −Es

)

ρ =rs 0. Nếu thì r≠s thì ρ =rs 0. Vậy yếu tố ma trận ρrs khi hệ ở

trạng thái cân bằng có dạng:

rs rr rs r rs

ρ = ρ δ = ρ δ (36)

Trong đó:

2
m

rr r m r

m

a

ρ = ρ =

∑

ρ (37)

Trong năng lượng biểu diễn, đại lượng am_r 2 là xác suất tìm năng lượng

bằng E_r ở trạng thái m . Đại lượng ρ_m am_r 2 là xác suất đồng thời tìm một

trạng thái lượng tử m mà trong trạng thái này năng lượng có giá trị bằng

r

E . Đại lượng ρ_r là xác suất tìm thấy hệ có năng lượng bằng E_r hoặc ở

trạng thái lượng tử m này hoặc ở trạng thái lượng tử m khác bất kì,

nghĩa là ρ_r là xác suất tìm hệ có năng lượng bằng E_r. Hàm ρ_r phụ thuộc vào

r

E và toán tử ma trận mật độ ρ phụ thuộc vào H:

( )

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>II. Ma trận mật độ và các phân bố thống kê </b>

<b>§1. Ma trận mật độ cân bằng. Phân bố chính tắc Gibbs </b>

Ma trận mật độ thoả mãn các điều kiện:
0

t

∂ρ₌

∂ hay ρ − ρ =H H 0 (1.1)

gọi ρlà ma trận mật độ cân bằng. Từ hệ thức (1.1) ta thấy rằng ρ là hàm của

H:

( )

_m

m

H m m

ρ = ρ =

∑

ρ (1.2)

Để tìm biểu thức của ρ phụ thuộc vào H ta xét một hệ ở trạng thái cân bằng

cấu tạo từ hai hệ con (1) và (2) độc lập (tương tác giữa các hệ con (1) và (2)
được bỏ qua). Khi đó ta có:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 m m1 m2 1 2

1 2 m m 1 2
m ,m

1 m 1 2 m 2 1 2
m ,m

m m m ; ;H H H

m m m m

m m m m

= ρ = ρ ρ = +

ρ = ρ ρ

ρ = ρ ρ = ρ ρ

∑

∑

(1.3)

Biểu thức của ρ phụ thuộc vào H phải thỏa mãn các hệ thức sau:

( )

1

( )

1 2

( )

2

1 2

ln H ln H ln H

H H H

ρ = ρ + ρ

= + (1.4)

Vi phân đẳng thức (1.4), ta có:

(

)

1 2

1 2 1 2

1 1 2 1

d d

1 d 1 1

d H H dH dH

dH dH dH

ρ ρ

ρ ₊ ₌ ₊

ρ ρ ρ

Hay:

1 2

1 2

1 1 2 2

d d

1 d 1 1 d 1

dH dH 0

dH dH dH dH

 _ρ _ρ _  _ρ _ρ _

 ₋ _ ₊ ₋ _ ₌

 _  _

   

ρ ρ ρ ρ

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

1 2

1 1 2 2

d d

1 d 1 1 d 1

0; 0

dH dH dH dH

 _ρ _ρ _  _ρ _ρ _

 ₋ _₌  ₋ _₌

 _  _

   

_ρ _ρ _ρ _ρ

   

Hay:

1 2

1 1 2 2

d d

1 d 1 1

dH dH dH

ρ ρ

ρ ₌ ₌ _{= β}

ρ ρ ρ

Dễ thấy rằng:

( )

( )

( )

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

ln H H

ln H H

ln H H,

ρ = α + β

ρ = α + β

ρ = α + β α = α + α

(1.5)

Ở đây α α β₁, ₂, là những hằng số. Hằng số β phải như nhau đối với hệ con

(1), hệ con (2) và của hệ lớn cấu tạo từ hai hệ con để thoả mãn các hệ thức

(1.4). Ma trận mật độ cân bằng phụ thuộc vào H có dạng:

( )

_H _eα+βH _AeβH

ρ = = (1.6)

Hằng số A=eα được xác định từ điều kiện Sp

( )

ρ =1

[ ]

H

H

Sp ASp e 1

1

A , Z Sp e

Z

β
β

 
ρ = __ __=

 

= = __ __

Ta tính Z:

( )

(

)

m

m m

H H

m
n
H

n

n _E

m
n

E E

H

Z Sp e m e m

1

e m H m

n!
1

E m e m

n!

m e m e m m e

β β

β

β

β β

β

 
= __ __=

= β

= β =

= =

∑

∑

∑

Vậy: Em

m

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Ma trận mật độ bây giờđược viết lại như sau:

H

e
Z

β

ρ = (1.8)

Yếu tố chéo của ma trận mật độ bằng:

H

mm m m

1

W m m m e m

Z

β

ρ = ρ = = ρ =

m

E
m

e
W

Z

β

= (1.9)

Đại lượng W_m là xác suất tìm hệ ở trạng thái cân bằng có năng lượng E_m.

Năng lượng trung bình của hệ:

[ ]

m

m m

m m
m

E H Sp H m H m E m m

ln Z
W E

= = ρ = ρ = ρ

∂

= =

∂β

∑

∑

∑

(1.10)

Entropy S của hệđược định nghĩa bằng hệ thức:

[

]

S k= σ = −klnρ = −kSp lnρ ρ (1.11)

Trong đó k là hằng số Boltzmann.

Xét trường hợp ma trận mật độ ở trạng thái cân bằng nhiệt có dạng (1.8).

Khi đó ta có:

(

)

[ ]

[

]

ln ln Z H

S k kSp ln Z H

S k ln ZSp kSp H k ln Z k E

ρ = − + β

= σ = − _ρ − + β _

= ρ − β ρ = − β

(1.12)

Kí hiệu T là nhiệt độ tuyệt đối, θ =kT. Nhiệt độ tuyệt đối T là đại lượng đặc

trưng cho trạng thái cân bằng nhiệt của hệđược xác định bằng hệ thức:

S 1

E T

∂
=

∂ hay

1
E

∂σ
=

∂ θ (1.13)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

S 1
k

E T

∂

= = − β

∂ hay

1 1

kT

β = − = −

θ (1.14)

Đặt F= −θln Z thì các hệ thức (1.8) và (1.9) được viết lại như sau:

F H

e

−
θ

ρ = (1.8’)

m

F E
mm Wm e

−
θ

ρ = = (1.9’)

Phân bốđược xác định bằng hệ thức (1.9’) gọi là phân bố chính tắc Gibbs.
Đại lượng Z được gọi là tổng thống kê trong phân bố chính tắc Gibbs và đại

lượng F gọi là năng lượng tự do của hệ. Dùng hệ thức:

(

)

m

(

)

m nm
nm

F E
F H

lnρ = n ln mρ = n − m = − n m = ln W δ

θ θ

Ta viết lại biểu thức của entropy của hệ trong phân bố chính tắc Gibbs như

sau:

[

]

mn

(

)

_nm mn

(

m

)

nm

m,n m,n

m m m

m

S kSp ln k ln k ln W

S k W ln W kln W

= − ρ ρ = − ρ ρ = − ρ δ

= − = −

∑

∑

∑

(1.15)

Đặt ln W_m F Em

kT
−

= vào (1.15) ta được:

m
m

m

F E E F

S k W

kT T T

−

= −

∑

= − (1.16)

Hay: F E TS= −

Hệ thức này cũng có thể nhận được từ (1.12)

Dùng các hệ thức:

2

ln Z ln Z T ln Z

F kTln Z; E kT

T T

F ln Z

k ln Z kT

T T

∂ ∂ ∂ ∂

= − = = =

∂β ∂ ∂β ∂

∂ ∂

= − −

∂ ∂

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

E F ln Z F

S kT k ln Z

T T T T

∂ ∂

= − = + = −

∂ ∂ (1.17)

Biết được năng lượng tự do F ta tính được:

F F

S ; E F TS F T

T T

∂ ∂

= − = + = −

∂ ∂ (1.18)

Vì năng lượng E của hệ phụ thuộc vào các điều kiện ngoài đặt lên hệ, nghĩa

là phụ thuộc vào các thơng số ngoại ak (thí dụ a=V là thể tích của hệ) nên

các đại lượng Z, F, E, S là hàm của ak. Trong công thức (1.17) ta tính đạo

hàm của F theo T khi ak không đổi, nghĩa là

k

a

F
S

T
∂

 

= −_ _
∂

  .

Đại lượng

k

E
a
∂
−

∂ là lực suy rộng tương ứng với toạ độ suy rộng là thông số
ngoại ak và đại lượng:

m

k m

m

k k k k _T

E E ln Z F

A W kT

a a a a

   

∂ ∂ ∂ ∂

= − = _− _= = −_ _

∂

∑

_ ∂ _ ∂ _ ∂ _ (1.19)

Là lực suy rộng trung bình ứng với toạ độ suy rộng ak. Trường hợp thông số

ngoại a là thể tích V của hệ thì lực suy rộng trung bình A là áp suất P:

k k T

E F

P

a a

 

∂ ∂

= − = −_ _

∂ _ ∂ _ (1.20)

Vì F là hàm của ak và T nên ta có:

k

k

k k T a

k k
k

F F

dF da dT

a T

dF A da SdT

 _∂  _ _∂ _

= _ _ +_ _

∂ ∂ 

 

= − −

∑

∑

(1.21)

Dễ thấy:

k k
k

dE dF TdS SdT= + + = −

∑

A da +TdS (1.22)

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Đại lượng Q TdSδ = là nhiệt do hệ nhận được trong q trình cân bằng. Khi

chỉ có một thơng số ngồi là thể tích V, ta có:

dF pdV SdT

dE pdV TdS

= − −

= − +

<b>§2. Ma trận mật độ cân bằng. Phân bố chính tắc lớn. </b>

Ta xét hệ ở trạng thái cân bằng có năng lượng và số hạt biến đổi. Gọi N1, N2

là số hạt của hệ con 1 và hệ con 2, N là số hạt của hệ lớn cấu tạo từ hai hệ

con độc lập 1 và 2. Khi đó ta có:

(

)

1

(

1 1

)

2

(

2 2

)

1 2

1 2

ln H, N ln H , N ln H , N

H H H

N N N

ρ = ρ + ρ

= +

= +

(2.1)

Các ma trận mật độ phụ thuộc vào toán tử năng lượng và số hạt có dạng

giống nhau và phải thoả mãn điều kiện (2.1) chỉ khi:

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 2

ln H , N H N

ln H , N H N

ln H, N H N;

ρ = α + β + γ

ρ = α + β + γ

ρ = α + β + γ α = α + α

(2.2)

Trong đó ,β γ phải như nhau đối với các hệ con và hệ lớn. Toán tử ma trận

mật độ cân bằng ρ có dạng:

H N H N

eα+β +γ Aeβ +γ

ρ = = (2.3)

Hệ số A e= α được xác định từ điều kiện:

[ ]

H N( ) N
N 0 m

Sp ∞ m, N m, N ASp eβ +γ 1

=

 

ρ =

∑∑

ρ = _ _=

Đặt:

1

1 1

A ; ;

Z

µ

= β = − γ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

( ) ( )

( )

( )

( )
( )
( )
m
m
m

H N N H N N

1

N 0 m

n
1

N 0 m n 0

n
m

N 0 m n 0

E N N
N 0 m

E N N
N 0 m

E N N
1

N 0 m

Z Sp e m, N e m, N

H N N

1

Z m, N m, N

n!

E N N

1

m, N m, N

n!

m, N e m, N

e m, N m, N

Z e
−µ _∞ −µ
− −
θ θ
=
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
−µ
∞ ₋
θ
=
−µ
∞ ₋
θ
=
−µ
∞ ₋
θ
=
 
=   =
 

 
− µ
 
= _− _
θ
 
− µ
 
= _− _
θ
 
=
=
=

∑∑

∑∑

∑

∑∑

∑

∑∑

∑∑

∑∑

 _(2.4)

Đặt Ω = −θln Z₁ ta viết lại hệ thức (2.3) như sau:

( )

H N N

e

Ω− +µ
θ

ρ = (2.4)

Yếu tố của ρ có dạng:

( )

( )

m

E N N
m

W N m, N m, N e

Ω− +µ

θ

= ρ = (2.5)

Đại lượng W N_m

( )

là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái có số hạt bằng N, có

năng lượng bằng Em(N).

Entropy của hệ:

[

]

H N

( )

N

S kSp ln kSp

kT
E N
S
T
 _{Ω −} _{+ µ} 
= − ρ ρ = − ρ 
  
 
Ω − + µ
= −
(2.6)

Ở đây, E Sp H N= _ρ

( )

_ và N Sp N=

[

ρ

]

là năng lượng trung bình và số hạt

trung bình của hệ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

E= Ω +TS+ µN

Hay: F E TS= − = Ω + µN (2.7)

Đại lượng E
N

∂
µ =

∂ bằng độ biến thiên của năng lượng trung bình E khi số

hạt trung bình thay đổi một đơn vị được gọi là thế hoá học. Các đại lượng Z1

và Ω = −θln Z₁ là hàm của nhiệt độ T, thông số ngoại ak và thế hoá học. Dễ

thấy rằng:

( )

m
N 0 m

N ∞ NW N

=

∂Ω

= = −

∂µ

∑∑

(2.8)

(

)

(

)

( )

k m k

k m

N 0 m

k k k

E N,a E N,a

A W N

a a a

∞
=

∂  ∂  ∂Ω

= − = _− _ = −

∂

∑∑

_ ∂ _ ∂ (2.9)

E N

S kln

T T

Ω − + µ ∂Ω
= − ρ = − = −

∂ (2.10)

Khi a=V là thể tích của hệ thì A=p là áp suất.

Các vi phân toàn phần:

k
k

k
k

a , k

a ,T ,T

d d dT da

T _µ a

µ

 
∂Ω ∂Ω ∂Ω
Ω =_ _ µ +_ _ + _ _

∂µ  ∂  ∂

 

∑

 

k k
k

dΩ = −Ndµ −SdT−

∑

A da (2.11)

k k
k

dE d TdS SdT dN Nd
dE TdS A da dN

= Ω + + + µ + µ

= −

∑

+ µ (2.12)

k k
k

dF d dN Nd

dF A da SdT dN

= Ω + µ + µ

= −

∑

− + µ (2.13)

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

k k

a ,S a ,T

E E

N N

∂ ∂

   

µ =_ _ =_ _

∂ ∂

    (2.14)

Ta hãy tìm các điều kiện cân bằng trong phân bố chính tắc lớn. Các ma trận

mật độ cân bằng của các hệ con và hệ lớn có dạng:

( ) ( )

1 1 1

1

2 2 2

2

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

1 2

N H
1 1

N H
2 2

N H N H N N H H
1 2 1 2

A e
A e

A A e Ae

µ −
θ
µ −

θ

µ − ₊µ − µ + − +

θ θ _θ

ρ =
ρ =

ρ = ρ ρ = =

(2.15)

Từ (2.15) suy ra các điều kiện cân bằng:

1 2 ; 1 2

µ = µ = µ θ = θ = θ (2.16)
Các hệ số A1, A2, A có dạng như sau:

1 ₁ 2 ₂

1 2

1 2

1 1

1 2 1 2

A e e , A e e

A A A e e ,

Ω _Ω Ω _Ω

θ _θ θ _θ

Ω +Ω Ω

θ θ

= = = =

= = = Ω = Ω + Ω

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>§3.Phân bố Fermi-Dirac và phân bố Bose-Einstein </b>

Trong phần này ta áp dụng phân bố chính tắc lớn để tìm phân bố

Fermi-Dirac và phân bố Bose-Einstein. Hạt Fermi là hạt có spin bán nguyên mỗi

trạng thái lượng tử bị chiếm hoặc 0 hạt hoặc 1 hạt. Hạt Bose là hạt có spin

nguyên, mỗi trạng thái lượng tử bị chiếm bởi số hạt bất kì bằng 0, 1, 2, 3…

Ta xét một hệ N hạt đồng nhất không tương tác với nhau (khí lí tưởng). Đối

với hệ hạt đồng nhất ta không cần quan tâm hạt cụ thể nào ở trạng thái lượng

tử nào mà chú trọng đặc biệt có bao nhiêu hạt ở cùng một trạng thái lượng

tử. Gọi nk là số hạt ở cùng một trạng thái lượng tử có năng lượng εk. Đối với

khí Fermi-Dirac thì nk=0,1 cịn đối với khí Bose-Einstein thì nk=0, 1, 2, 3…

Ta hãy tính giá trị trung bình theo tập hợp thống kê của nk. Ta biết phân bố

chính tắc lớn có dạng:

( )

( )

( )

m

E N N

m m

W N N e

Ω− +µ

θ

= ρ = (3.1)

Đối với hệ hạt đồng nhất ta có:

( )

m k k k

k k

E N =

∑

n ε ; N=

∑

n (3.2)

Đặt: _k

k

Ω =

∑

Ω , ta viết được:

( )

(

)

( )

k k k k

k

n n

m 1 2 k k

k

W N W n ,n ,..n ,.. e W n

Ω − ε +µ
θ

∑

= = = ∏ (3.3)

Là xác suất tìm thấy hệ con có nk hạt đồng nhất ở trạng thái có năng lượng

bằng n_{k k}ε . Từ điều kiện chuẩn hố của xác suất:

( )

k

k
n

W n =1

∑

Ta có:

k

k k k

k

k k

n n _n

k

n n

ln e ln e

µ−ε

 

µ− ε

 

θ

 

θ

Ω = −θ

∑

= −θ

∑

(3.5)

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

( )

k k k k

k k

n n

k

k k k k

n n

n n W n n e

Ω − ε +µ

θ ∂Ω

= = = −

∂µ

∑

∑

(3.6)

Đối với khí Fermi-Dirac thì nk=0, 1 nên ta có:

k

k

k

k
k

ln 1 e
1
n
e 1
µ−ε
θ
ε −µ
θ
 
Ω = −θ  + 
 

∂Ω
= − =
∂µ
+
(3.7)

Đối với khí Bose-Einstein, ta có nk=0, 1, 2, 3, …

Đặt

k

q e

µ−ε
θ

= dễ thấy rằng:

k
k
k
k
k k
k
k
n
n
n n
k

k
k
1 1
e q
1 q
1 e
ln 1 e

1
n
e 1
µ−ε
θ
µ−ε
θ
µ−ε
θ
ε −µ
θ
 
= = =
 
−
  ₋
 
Ω = θ  − 
 
∂Ω
= − =
∂µ

−

∑

∑

(3.8)

Hàm phân bố:

(

)

kT

1

f ,T n

e 1

ε−µ

ε = =

+

(3.9)

gọi là hàm phân bố Fermi-Dirac và hàm phân bố:

(

)

kT

1

f ,T n

e 1

ε−µ

ε = =

−

(3.10)

gọi là hàm phân bố Bose-Einstein.

Xét trường hợp khi n1, nghĩa là ekT 1

ε−µ

. Khi đó phân bố Bose-Einstein

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

(

)

kT kT kT

f ,T e Ae ; A e

µ−ε −ε µ

ε = = = (3.11)

<b>§4. Ma trận mật độ cân bằng. Phân bố chính tắc đẳng áp </b>

Xét một hệ ở trạng thái cân bằng cấu tạo từ hai hệ con độc lập. Gỉa thiết rằng

số hạt của mỗi hệ con khơng thay đổi (N1=const, N2=const) nhưng các thể

tích V1 và V2 của các hệ con có thể thay đổi. Khi đó ta có:

(

)

1

(

1 1

)

2

(

2 2

)

1 2

1 2

ln H,V ln H ,V ln H ,V

H H H

V V V

ρ = ρ + ρ

= +

= +

(4.1)

Các ma trận mật độ ρ ρ ρ₁, ,₂ cân bằng phụ thuộc vào năng lượng và thể tích

có dạng giống nhau khi:

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 2

ln H ,V H V

ln H ,V H V

ln H,V H V;

ρ = α + β + χ

ρ = α + β + χ

ρ = α + β + χ α = α + α

(4.2)

Trong đó các hệ số ,β χ giống nhau đối với các hệ con và hệ lớn. Các hệ

thức (4.2) thoả mãn các điều kiện (4.1).

Toán tử ma trận mật độ ρ phụ thuộc vào H và V ở trạng thái cân bằng có

dạng:

H V H V

eα+β +χ Aeβ +χ

ρ = = (4.3)

Hệ số A e= α được xác định từ điều kiện:

[ ]

H V

Sp _{ρ =}ASp e_ β +χ _₌1

  (4.4)

Đặt

2

1 p 1

; ; A

Z

β = − χ = − =

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

( )

( )

( m )

H pV 1 _{H pV}

2

m

1 _E _{V pV}
m

Z Sp e m,V e m,V dV

m,V e m,V dV

+

− − +

θ θ

− +

θ

 

= _ _=

 

=

∑

∫

∑

∫

Toán tử ma trận mật độ cân bằng bây giờđược viết dưới dạng:

H pV

H pV
2

e

e
Z

+

− _{Φ− −}

θ

θ

ρ = = (4.6)

Trong đó: Φ = −θln Z₂. Hàm phụ thuộc Φ = Φ θ

(

,p,a_k

)

vào nhiệt độ T,

thông số ngoại a_k ≠V (do H phụ thuộc ak) và thông số p được gọi là thế

nhiệt động Gibbs.

Entropy của hệđược xác định bằng hệ thức:

E pV E pV

S kln k

T

_{Φ −} ₋  _{Φ −} ₋

= − ρ = − _ _= −
θ

  (4.7)

Hệ thức (4.7) được viết lại như sau:

E= Φ +TS pV− hay Φ =E TS pV F pV− + = + (4.8)

Đại lượng p E

V

∂
= −

∂ là áp suất không đổi (đẳng áp). Yếu tố chéo của ρcó

dạng:

( )

( )

m

E V pV
m

W V m,V m,V e

Φ− −

θ

= ρ = (4.9)

Yếu tố chéo Wm(V) là xác suất tìm hệ ở trạng thái cân bằng có năng lượng

Em(V) và thể tích V. Dễ thấy rằng:

( )

k

m

m _T,a

V dV VW V

p

∂Φ

= =_ _

∂

 

∑

∫

(4.10)

(

)

(

)

_{( )}

m k m k

k m

m

k k k _p,T

E V,a E V,a

A dV W V

a a a

∂ ∂   ∂Φ 

= − = −_ _ = −_ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

k

p,a

pV E

S k ln

T T

Φ − − ∂Φ

= − ρ = − = −_ _

∂

  (4.12)

k k

p,a T,a

E TS pV T p

T p

 

∂Φ ∂Φ

 

= Φ + − = Φ − _ _ − _ _

∂ ∂

  _ _ (4.13)

Trong các công thức ở trên a_k ≠V. Tính được Z2 ta tính được các đại lượng

(

)

k k

V,A A ≠p , S, E.

Ta hãy tìm các điều kiện cân bằng của hệ. Các ma trận cân bằng của các hệ

con và hệ lớn có dạng:

( ) ( )

1 1 1

1

2 2 2

2

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

1 2

p V H
1 1

p V H
2 2

p V H p V H p V V H H

1 2 1 2

A e

A e

A e A e Ae

+
−

θ
+
−

θ

+ + + + +

− − ₋

θ θ _θ

ρ =

ρ =

ρ = ρ ρ = =

(4.14)

Từ (4.1) suy ra các điều kiện cân bằng:

1 2 1 2

p =p =p;θ = θ = θ (4.15)

Các hệ số A1, A2, A có dạng:

1 ₁ 2 ₂

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

A e e , A e e

A A A e e ;

Φ Φ Φ Φ

θ _θ θ _θ

Φ +Φ Φ

θ θ

= = = =

= = = Φ = Φ + Φ

(4.16)

Thế nhiệ động Gibbs là đại lượng cộng được. Thế nhiệt động Φ của hệ lớn

bằng tổng các thế nhiệt động Φ Φ₁, ₂ của các hệ con.

Thế nhiệt động Gibbs là đại lượng cộng được nên được viết dưới dạng:

(

k

)

Nf p,T,a

Φ = với a_k ≠V (4.17)

Ở đây f p,T,a

(

_k

)

là thế nhiệt độ Gibbs ứng với một hạt và N là số hạt trung

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Đối với hệ có số hạt biến thiên, ta có:

E TS N

F E TS N

F pV N pV

= + Ω + µ
= − = Ω + µ
Φ = + = Ω + µ +

(4.18)

Các biểu thức vi phân d ,dΩ Φ có dạng:

k k
k

/

k k
k

d Nd SdT A da

d Nd SdT pdV A da

Ω = − µ − −

Ω = − µ − − −

∑

∑

(4.19)

(

)

/

k k
k

dΦ =d Ω + µN pV+ = −SdT Vdp+ −

∑

A da + µdN (4.20)
Ở đây kí hiệu

k

'

∑

ứng với các trường hợp a_k ≠V. Từ các hệ thức (4.17) và

(4.20) ta có:

(

)

k

k
T,p,a

f T,p,a
N

∂Φ

 

µ =_ _ =
∂

  (4.21)

N pV N

Φ = Ω + µ + = µ (4.22)

Từ hệ thức (4.22) suy ra: Ω = −pV (4.23)

<b>§5. Chuyển từ thống kê lượng tử về thống kê cổ điển. </b>

Ta khảo sát một hệ cổđiển cấu tạo từ N hạt và có s bậc tự do. Trong cơ học

cổ điển, trạng thái vi mô của hệ được xác định bằng s giá trị của các toạ độ

suy rộng q1, q2,.. qs vàs giá trị của các xung lượng suy rộng p1, p2,.., ps. Sự

thay đổi trạng thái vi mô của hệ được mô tả bằng 2s phương trình chính tắc

Hamilton:

i i

i i

i i

dq H dp H

q ; p

dt p dt q

• _∂ • _∂

= = = = −

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Trong đó H q ,q ,..q ,p ,p ,..p

(

₁ ₂ _s ₁ ₂ _s

)

là Hamilton của hệ. Đối với hệ bảo toàn

hàm H bằng động năng T cộng với thế năng U của hệ. Giải hệ 2s phương

trình (5.1) ta tìm được q ,p_i _i là hàm của thời gian t:

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0
i i 1 2 s 1 2 s
0 0 0 0 0 0
i i 1 2 s 1 2 s

q q q ,q ..q ,p ,p ..p ,t

p p q ,q ..q ,p ,p ..p ,t i 1,2,..s

=

= =

(5.2)

Trong đó q ,p_i0 0_i là các toạ độ suy rộng và xung lượng suy rộng ban đầu. Từ

(5.2) suy ra rằng trạng thái vi mô của hệ ở thời điểm t bất kì hồn tồn được

xác định một cách đơn giá bởi trạng thái vi mô của hệ ban đầu.

Về mặt hình học, trạng thái vi mô của hệ được biểu diễn bằng một điểm

trong không gian 2s chiều q ,q ,..q ,p ,p ,..p₁ ₂ _s ₁ ₂ _s. Không gian 2s chiều được

xác định như vậy gọi là không gian pha và được kí hiệu bằng chữ Γ. Điểm

biểu diễn trạng thái vi mô của hệ trong không gian pha được gọi là điểm

pha. Theo thời gian, trạng thái vi mơ của hệ thay đổi và do đó điểm pha vạch

trong không gian pha một đường cong nào đó gọi là quỹđạo pha.

Nếu số bậc tự do s của hệ rất lớn (trong 1cm3 của khơng khí có khoảng

19

2.69.10 phân tử và s 10≈ 20) thì ta khơng thể xác định được một cách chính

xác các điều kiện ban đầu và do đó không thể xác định được q ,p_i _iở thời
điểm t bất kì. Vì vậy bài toán về chuyển động một số lớn hạt thực tế không

giải được và phải dùng phương pháp thống kê để tìm xác suất sự xuất hiện

các trạng thái vi mơ của hệ và tính giá trị trung bình các đại lượng vĩ mô đặc

trưng cho hệ.

Gọi dN là sốđiểm pha ở trong thể tích nguyên tố không gian pha dΓ

s

1 1 2 2 s s i i
i 1

d dq dp dq dp ..dq dp dq dp

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Và N là số điểm pha toàn phần của hệ ở Trong vùng khơng gian pha mà hệ

có thể đi qua được trong khoảng thời gian τ đủ lớn (τ → ∞) thì xác suất tìm

một trạng thái vi mơ của hệ hay xác suất tìm một điểm pha trong dΓ bằng:

(

1 2 S 1 2 S

)

dN

dW= q ,q ,..,q ,p ,p ,..,p d

N = ρ Γ (5.4)

Trong đó ρ là mật độ xác suất hay cũng gọi là hàm phân bố thống kê và N

có số trị rất lớn.

Để kết quả nghiên cứu được chính xác hơn ta hãy viết biểu thức của dW

trong gần đúng giả cổ điển, nghĩa là gần đúng có tính đến ảnh hưởng các

tính chất lượng tử của các hạt vi mô cấu tạo nên hệ. Hiện tượng nhiễu xạ của
điện tử và các hạt vi mơ khác như proton, nơtron,.. khẳng định tính chất sóng

của chúng. Chuyển động của các hạt vi mơ giống như chuyển động của sóng

hơn la chuyển động của hạt theo quỹ đạo. Vì vậy trong cơ học lượng tử

không tồn tại khái niệm quỹđạo của hạt và do đó khơng đồng thời xác định
được một cách chính xác cả toạ độ và xung lượng của hạt trên một phương

bất kì. Sự kiện này được phân tích trong hệ thức bất định Heisenberg :
q p h

∆ ∆ ≥ (5.5)

Ởđây h 6,6.10 j.s= −34 là hằng số Plank.

Bởi vì cả q và p khơng được xác định một cách chính xác đồng thời cho nên

khái niệm trạng thái vi mô của hệ trong có học cổ điển có giới hạn áp dụng

và khái niệm này mất hết ý nghĩa khi nghiên cứu hệ lượng tử. Nếu hệ có s

bậc tự do thì thể tích khơng gian pha tương ứng với một trạng thái vi mô

không phải là một điểm mà là một ô bằng hS. Số trạng thái vi mô của hệ

trong thể tích khơng gian pha dΓ sẽ là d / hΓ S. Xác suất tìm một trạng thái vi

mơ của hệ trong dΓ được xác định bằng hệ thức :

dW= q ,q ,..,q ,p ,p ,..,p

₍

₁ ₂ _S ₁ ₂ _S

₎

d_S
h

Γ

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Kí hiệu q ,p( )k ( )k là một tập hợp những toạ độ suy rộng và xung lượng suy

rộng của hạt thứ k. Nếu hệ cấu tạo từ N hạt đồng nhất (các hạt giống nhau về

mọi đặc tính vật lí như khối lượng nghỉ, điện tích, spin,vv..) thì trạng thái vi

mô ( )

( )
( )

(

)

( )

( )
( )

(

)

( )

( )
( )

(

)

( )

( )
( )

(

)

1 1 2 2 3 3 N N

1 2 3 N

q p q p q p .. q p này và trạng thái vi mơ khi

giao hốn các giá trị q và p của hạt thứ nhất cho hạt thứ hai

( )
( )

( )

(

)

( )

( )
( )

(

)

( )

( )
( )

(

)

( )

( )
( )

(

)

2 2 1 1 3 3 N N

1 2 3 N

q p q p q p .. q p là không khác nhau. Hệ có N hạt

đồng nhất thì có N! cách giao hốn giữa các cặp hạt bất kì cho nhau. N!

trạng thái vi mô giống nhau này được biểu diễn bằng N! ô hS trong không

gian pha Γ và cùng mô tả một trạng thái vật lí vi mơ duy nhất. Vậy thể tích

khơng gian pha bé nhất tương ứng với một trạng thái vật lí vi mơ của hệ N

hạt đồng nhất không phải bằng hS mà bằng N!hS. Số trạng thái vi mô khác

nhau của hệ N hạt đồng nhất ở trong dΓ bằng d _S
N!h

Γ

. Xác suất tìm một trạng

thái vi mơ của hệ sẽ là :

S

d
dW=

N!h

Γ

ρ (5.7)

Biết được dW ta tính được giá trị trung bình của đại lượng vĩ mô A q,p

(

)

đặc trưng cho hệ :

(

)

(

1 2 S 1 2 S

)

S

d
A A q,p dW A q ,q ,..q ,p ,p ,..p

N!h

Γ

=

∫

=

∫

ρ (5.8)

chuyển từ thống kê lượng tử sang thống kê cổđiển ta thay :

( )

( )

S

m

d
... ...

N!h

Γ

→ ρ

∑

_∫

(5.9)

Điều kiện chuẩn hoá của xác suất :

S

d

dW= 1

N!h

Γ

ρ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Ở trạng thái cân bằng hàm phân bố chính tắc Gibbs trong gần đúng giả cổ
điển có dạng :

( k)

H p,q,a

Ae− θ

ρ = (5.11)

trong đó H là năng lượng của hệ. Hàm H phụ thuộc vào các toạ độ suy rộng

qi, các xung lượng suy rộng pi và các thông số ngoạ ak. Hệ số A được xác

định từđiều kiện chuẩn hoá của xác suất :

( )

( )

k

k

H p,q,a

S S

H p,q,a

S

d d

A e 1

N!h N!h

1 d

A ,Z e

Z N!h

−
θ

−
θ

Γ Γ

ρ = =

Γ
= =

∫

∫

∫

(5.12)

Đại lượng Z được gọi là tích phân của trạng thái và F= −θln Z gọi là năng

lượng tự do của hệ. Biểu thức ρ của bây giờ được viết dưới dạng :

( k)

H p,q,a
F

Ae − θ

ρ = (5.13)

Biết ρ ta xác định được giá trị trung bình của đại lượng vật lí vĩ mơ B bất

kì :

(

)

( i i k)
H q ,p ,a

i i S

1 d

B B q ,p e

Z N!h

−

θ Γ

=

∫

(5.14)

Dễ thấy rằng :

(

)

(

)

k

H

2
S

k

a
H

k S

k k

k k

1 d

E H He ln Z

Z N!h

F
F ,a

H 1 H d

A e

a Z a N!h

ln Z F

a a

−
θ

−
θ

θ θ

Γ ∂
= = = θ

∂θ
∂

 

= θ − θ_ _
∂θ

 

∂ ∂ Γ

= − = −

∂ ∂

_∂   _∂ 

= θ_ _ = −_ _

∂ ∂

   

∫

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

ln Z F
p

V _θ V _θ

∂ ∂

   

= θ_ _ = −_ _

∂ ∂

   

(

)

( ) ( )

(

)

k i i k

k

F ,a H q ,p ,a

k S

E H

k 2 S

a

B d

B p,q,a e

N!h

B H F 1 F d

B p,q,a e

N!h

θ −
θ

−
θ

∂ ∂ Γ

=
∂θ ∂θ

 

∂ − ∂  Γ

=  +   

∂θ _ θ θ ∂θ  _

∫

∫

Chú ý

k

a

F F H

∂ −

 

=

 

∂θ θ

  , ta có :

(

)

F H F H

2 S 2 S

2

B 1 d H d

BHe Be

N!h N!h

B 1

BH HB

− −

θ θ

∂ Γ Γ

= −

∂θ θ θ

∂

= −
∂θ θ

∫

∫

Trường hợp đặc biệt khi B=H, ta có :

( ) (

2

)

2

(

)

2

2 2

1/ 2

H

H H H H H

H H

H H

∂

θ = − = − ≡ δ
∂θ

 

δ θ ∂
= _ _

∂θ

 

(5.15)

Năng lượng trung bình H tỉ lệ với số hạt N của hệ nên :

H 1

H N

δ

∼ (5.16)

Nếu số hạt N của hệ...Khi đó gần đúng ta có :

F H F H

S S S

F H
S

d d d

e e 1

N!h N!h N!h

e 1

N!h

− −

θ θ

−
θ

Γ Γ Γ

ρ = ≈ =

∆Γ
=

∫

∫

∫

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

S

F H

S kln k k ln

N!h

 ₋  _ _∆Γ _

= − ρ = − _ _= _ _
θ  

 

Đại lượng _S
N!h

∆Γ

là số trạng thái vi mô trong ∆Γ tương ứng với một trạng

thái vĩ mô của hệ có H, N,a_k. Đại lượng G _S
N!h

∆Γ

= gọi là xác suất nhiệt
động hay trọng lượng thống kê.

<b>§6.Phương trình động. Định luật tăng entropy. </b>
<b>1. Entropy. </b>

Ta định nghĩa entropy của hệ ở trạng thái cân bằng bằng công thức:

[

]

S= −klnρ = −kSp lnρ ρ (6.1)

trong đó k là hằng số Boltzmann và ρ là toán tử ma trận mật độ.

Giả sử những hàm sóng n tạo thành một hệ đủ, trực giao và chuẩn hoá

trong một biểu diễn nào đó. Khi đó biểu thức của S được viết dưới dạng :

m,n

S= −k

∑

n ρm m ln mρ (6.2)

Nếu m là hàm riêng của ρ thì ta có :

m m nm

m
m

m m , n m

S k m ln m

ρ = ρ ρ = ρ δ
= −

∑

ρ ρ

Trong phân bố chính tắc Gibbs:
m

ˆ _{F E}
F H

m

m

m

e , e

ˆ _{F E}

F H

m ln m m m ln

−
−

θ θ

ρ = ρ =

−
−

ρ = = = ρ

θ θ

Trong phân bố chính tắc lớn:
m

ˆ E N

H N

m

e , e

Ω− +µ
Ω− +µ

θ θ

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

( )

m

m

ˆ _{E N} _N

H N

m ln mρ = m Ω − + µ m =Ω − + µ =lnρ

θ θ

Trong phân bố chính tắc đẳng áp:

( )

m

ˆ E V pV
H pV

m

m

m

e , e

ˆ _E _pV

H pV

m ln m m m ln

Φ− −
Φ− −

θ θ

ρ = ρ =

Φ − −

Φ − −

ρ = = = ρ

θ θ

Biểu thức entropy, nói chung được viết dưới dạng:

m m
m

S= −k

∑

ρ lnρ (6.3)

<b>2. Phương trình động. Định luật tăng entropy. </b>

Nếu hệ ở trạng thái khơng cân bằng thì ρ_m

( )

t phụ thuộc vào thời gian t.

Entropy của hệ ở trạng thái không cân bằng được định nghĩa bằng công

thức:

( )

m

( )

m

( )

m

S t = −k

∑

ρ t lnρ t (6.4)

Gọi N t_m

( )

là số trạng thái lượng tử m,t (hay số hệ của tập hợp thống kê ở

trạng thái m,t ), N là số trạng thái tổng cộng toàn phần (hay số hệ của tập

hợp thống kê), ta có:

( )

m

( )

m

N t
t

N

ρ = , N là số rất lớn (6.5)

Đại lượng ρ_m

( )

t là xác suất tìm hệ ở trạng thái lượng tử m,t . Từ điều kiện

chuẩn hoá của xác suất _m

( )

m

t 1

ρ =

∑

Ta có:

( )

m
m

N t =N const=

∑

(6.6)

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

( )

( )

( )

( )

m m

m

m m

m

N t N t

S k ln

N N

k

Nln N N t ln N t
N

= −

 

= − _ − _

 

∑

∑

(6.7)

Đạo hàm của S theo thời gian t với sự chú ý dN tm

( )

N t_m

( )

dt = và :

( )

( )

m m

m m

d dN

N t N t 0

dt

∑

=

∑

= dt = (6.8)

Ta được:

( )

( )

m m

m

dS k

N t ln N t

dt = −N

∑

(6.1)

Ta hãy thiết lập phương trình để xác định N t_m

( )

và N t _m

( )

.

Gọi Wnm là xác suất chuyển hệ từ trạng thái n đến trạng thái m. Ta xác định

xác suất Wnm sao cho Wnmdt là xác suất tìm hệ ở trạng thái m ở thời điểm

t+dt nếu ở thời điểm t hệ ở trạng thái n. Nhờ khái niệm xác suất Wnm ta có

thể tìm được dN tm

( )

dt .

Trong dt giây trong số Nn trạng thái n có nm n
m

W dtN

∑

trạng thái đã chuyển từ

trạng thái n vào trạng thái m bất kì nào đó. Cũng trong khoảng thời dt giây

nói trên có những trạng thái m bất kì nào đó chuyển về trạng thái n. Số trạng

thái n được tăng thêm trong dt giây bằng _mn _m

m

W dtN

∑

. Trong dt giây số

trạng thái n được tăng lên _mn _m

m

W dtN

∑

và giảm đi là _nm _n

m

W dtN

∑

. Vậy độ

biến thiên của Nn trong dt giây bằng :

(

)

( )

n n mn m nm n

m m

N t dt+ −N t =

∑

W dtN −

∑

W dtN

Từ hệ thức này suy ra : m _n

[

_mn _m _nm _n

]

m

dN

N W N W N

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

hay : m

_[

_]

mn m nm n
m

d

W W

dt

ρ

=

∑

ρ − ρ (6.11)

trong đó Wmn là xác suất chuyển trong một đơn vị thời gian. Phương trình

(6.11) hay (6.10) là phương trình động cơ bản.

Theo nguyên lí cân bằng chi tiết hay nguyên lí về thuận nghịch vi mơ thì

nm mn

W =W nghĩa là xác suất đối với quá trình thuận và nghịch là như nhau.

Khi đó phương trình (6.10) và (6.11) được viết lại như sau :

(

)

m mn n m
n

N =

∑

W N −N (6.12)

hay :

(

)

m mn n m
n

W

ρ =

∑

ρ − ρ (6.13)

Ở trạng thái cân bằng dNm 0

dt = , ta có :

(

)

mn n m

n

W ρ − ρ =0

∑

(6.14)

Phương trình này có nghiệm:

n m

N =N (6.15)

Ta hãy chứng minh rằng nghiệm này là duy nhất. Giả thiết rằng khơng phải

tất cả Ni bằng nhau. Chọn thích hợp cách đánh số thứ tự của những số này

và có thể phân chia những số Ni này thành từng nhóm theo thứ tự tăng dần:

1 2 l l 1 l 2 l k l k 1

N =N =... N= <N₊ =N₊ =... N= ₊ <N_{+ +} =...

Ta khảo sát phương trình dNm 0

dt = trong đó 1 m l≤ ≤ . Khi đó ta có :

(

)

(

)

m,l+1 n 1 m m,l+2 n 2 m

W N ₊ −N +W N ₊ −N +... 0= (6.16)

Vì những số đều lớn nên mỗi số hạng trong tổng (6.16) đều dương và tổng

(6.16) không thể bằng 0. Vậy giả thiết không phải tất cả Ni bằng nhau là

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Như vậy khi hệ ở trạng thái cân bằng thì mọi trạng thái vi mơ có xác suất

bằng nhau, nghĩa là :

n m

N =N hay ρ = ρ_n _m (6.17)

Khẳng định rằng Nn=Nm hay ρ = ρn m chỉ được áp dụng đối với hệ có năng

lượng E_m =E_n =E const= . Hệ như vậy là hệ cơ lập thuộc tập hợp vi chính

tắc.

Đặt N_m từ (6.12) vào (6.9), ta có :

(

)

mn n m m
n,m

m n

dS k

W N N ln N
dt N

≠

= −

∑

− (6.18)

Thay chỉ số lấy tổng mn và chú ý W_mn =W_nm, ta viết được:

(

)

(

)

mn m n n
n,m

mn n m n
n,m

dS k

W N N ln N
dt N

dS k

W N N ln N
dt N

= − −

= − −

∑

∑

(6.19)

Cộng (6.18) và (6.19) theo vế, ta được :

(

)(

)

mn m n n m

n,m

dS k

2 W N N ln N ln N

dt = N

∑

− − (6.20)

Nếu N_n >N_m thì ln N_n >ln N_m và nếu N_n <N_m thì ln N_n <ln N_m. Vậy:

(

Nn −Nm

)

[

ln Nn −ln Nm

]

≥0 (6.21)

Sử dụng (6.21) ta tìm được :
dS

0

dt ≥ (6.22)

Dấu bằng đối với trường hơp hệ ở trạng thái cân bằng và dấu lớn hơn đối với

hệ ở trạng thái không cân bằng. Với hệ cô lập đoạn nhiệt (E=const) khi hệ

chuyển từ trạng thái không cân bằng về trạng thái cân bằng thì entropy của

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Chú ý rằng, đối với tập hợp vi chính tắc (các hệ của tập hợp có E=const) thì

xác suất tìm một trạng thái bất kì của hệ là bằng nhau (ρ = ρ_n _m).

Gọi N là số trạng thái vi mơ tồn phần thì xác suất tìm một trạng thái vi mơ

bằng: _m 1
N

ρ =

Dễ thấy rằng :

N N

m m

m 1 m 1

1 1

S k ln k ln

N N

S k ln N

= =

   

= − ρ ρ = − _ _{ } _

   

=

∑

∑

N là số trạng thái vi mô tương ứng một trạng thái vĩ mô có E=const đã cho.
<b>§7. Nhiệt độ âm tuyệt đối </b>

Từ trước tới nay ta chỉ khảo sát những hệ vật lí thơng thường. Năng lượng

của hệ có giá trị cực tiểu E=Emin (Emin có thể âm hay dương) và giá trị giới

hạn trên của năng lượng không hạn chế, nghĩa là :

min k

E ≤E ≤ ∞ (7.1)

Ở đây Ek là giá trị năng lượng của hệ ở trạng thái k. Xác suất tìm hệ ở trạng

thái có năng lượng Ek theo phân bố chính tắc Gibbs bằng Wk :

k

E
k

W ₌Ae− θ (7.2)

Ở đây θ =kT, T là nhiệt độ tuyệt đối và hệ số A được xác định từ điều kiện

chuẩn hoá của xác suất. Để điều kiện chuẩn hoá của xác suất ( _k

k

W =1

∑

)

được thực hiện khi E_k →∞ thì T phải dương. Bởi vì khi E_k →∞ nếu T<0

thì k

E

e− θ _→∞ và _đi_ều ki_ện chu_ẩn hố c_ủa xác su_ất khơng th_ực hi_ện _được.

Trong thực tế cịn tồn tại những hệ có Ek cực tiểu bằng Emin và Ek cực đại

bằng Emax (Emax có giá trị dương và hữu hạn), nghĩa là :

min k max

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Vì năng lượng của hệ là giới nội nên khi T>0 hay T<0 thì xác suất của hệ ở

trạng thái k có giá trị giới nội. Do đó đối với hệ này điều kiện chuẩn hố của

xác suất được thực hiện khơng chỉ với trường hợp T>0 mà cả T<0.

Sau đây ta hãy chỉ rằng trạng thái của hệ ở nhiệt độ T= +∞ và T= −∞ là
đồng nhất với nhau và trạng thái của hệ ở nhiệt độ T= +0 và T= −0 là

khác nhau. Thật vậy, tổng thống kê Z của hệ bằng :
k

E
F

kT kT
k

Z e= − =

∑

e− (7.4)

Khi T→ ±∞ thì

k

E
kT

e− →1 và

Z_−∞ =Z_+∞ =n (7.5)

Ởđây n là số mức năng lượng không suy biến tồn phần của hệ.

Năng lượng trung bình của hệ khi T→ +∞ và T→ −∞ bằng:
k

k

E
kT

F E _k

k
kT

k k

T _k T _k

E e ₁

E lim E e lim E

Z n

−
−

±∞ = _→±∞ = _→±∞ =

∑

∑

∑

(7.6)

Vì E+∞ và E−∞ đều bằng _k

k

1
E

n

∑

nên trạng thái của hệ ở nhiệt độ T→ +∞

và trạng thái của hệ ở nhiệt độ T→ −∞ là đồng nhất với nhau (năng lượng

là hàm đơn giá của trạng thái).

Khi T=+0 thì số hạng có năng lượng cực tiểu trong tổng trạng thái Z đóng

vai trị quyết định cịn các số hạng khác bé có thể bỏ qua. Vì vậy :
k min

E E
kT kT
0 _T ₀

k

Z₊ lim e− e−

→+

=

∑

≈ (7.7)

Năng lượng trung bình của hệ khi T→ +0 bằng :
k

min

E

E
kT

kT
k

k min

0 _min

T 0

0

E e _{E e}

E lim E

Z Z

−

−
+

→+

+

= ≈ =

∑

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Khi T=-0 thì số hạng có năng lượng cực đại trong tổng trạng thái Z đóng vai

trị quyết định cịn các số hạng khác bé có thể bỏ qua. Khi đó ta có :
max

k E

E

kT kT
0 _T ₀

k

Z₋ lim e− e−

→−

=

∑

≈

Năng lượng trung bình của hệở nhiệt độ T=-0 bằng :
k

max

E

E
kT

kT
k

max
k

0 _max

T 0

0

E e _{E e}

E lim E

Z Z

−

−
−

→−

−

= ≈ =

∑

(7.9)

Như vậy ở trạng thái với T=+0 hệ có năng lượng nhỏ nhất và ở trạng thái

T=-0 hệ có năng lượng lớn nhất. Vì E−0 ≠E+0 nên trạng thái của hệ ở nhiệt

độ T=-0 và T=+0 là khác nhau.

Rõ ràng rằng khi chuyển liên tục từ trạng thái có nhiệt độ dương tuyệt đối

sang trạng thái có nhiệt độ âm tuyệt đối hệ sẽ đi qua trạng thái với nhiệt độ

T→ ±∞ mà không phải đi qua trạng thái nhiệt độ khơng. Điều đó phù hợp

với ngun lí III của nhiệt động lực học là không thể đạt được nhiệt độ

không tuyệt đối.

Khi chuyển từ trạng thái T=+0 đến trạng thái T=-0 (qua trạng thái với

T→ ±∞) thì năng lượng của hệ sẽ tăng từ giá trị cực tiểu Emin sang giá trị

cực đại Emax. Năng lượng của hệ ở trạng thái nhiệt độ âm tuyệt đối lớn hơn

năng lượng của hệ ở trạng thái nhiệt độ dương tuyệt đối. Ta hãy chỉ ra rằng

khi tiếp xúc nhiệt giữa hệ (1) có nhiệt đố dương tuyệt đối (T1>0) và hệ (2) có

nhiệt độ âm tuyệt đối (T2<0) thì dịng năng lượng sẽ truyền từ hệ (2) có nhiệt

độ âm tuyệt đối sang hệ (1) có nhiệt độ dương tuyệt đối. Thật vậy, ta xét hệ

có nhiệt độ âm tuyệt đối và hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối làm thành một hệ

cơ lập. Khi đó ta có :

1 2

1 2

E E const

S S S 0

+ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

hay:

1 2

1 2 1

1 2 1 2

1
1 2

S S S S

S E E E

E E E E

1 1

S E 0

T T

 

∂ ∂ ∂ ∂

δ = δ + δ =_ − _δ

∂ ∂ _∂ ∂ _

 

δ =_ − _δ >

 

(7.11)

Vì T1>0, T2 <0 nên

1 2

1 1

0

T T

 

− >

 

  và do đó δE1 >0.

Bất đẳng thức δE₁ >0 chỉ rằng năng lượng được truyền từ hệ con (2) có

nhiệt độ T2 <0 sang hệ con (1) có nhiệt độ T1 >0. Như vậy hệ có nhiệt độ âm

tuyệt đối ‘nóng’ hơn hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối, nhiệt độ âm tuyệt đối

nằm trên nhiệt độ dương tuyệt đối.

Trong thực tế khơng có hệ hồn tồn cơ lập trong một khoảng thời gian dài.

Vì vậy hệ ở trạng thái cân bằng với nhiệt độ âm tuyệt đối sau một khoảng

thời gian dài nhất định nào đó sẽ truyền năng lượng của mình cho mơi

trường xung quanh (hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối) và chuyển hệ từ trạng

thái có nhiệt độ âm tuyệt đối sang trạng thái có nhiệt độ dương tuyệt đối.

Như vậy, trạng thái của hệ ở nhiệt độ âm tuyệt đối là trạng thái khơng bền.
<b>Thí dụ : </b>

Ta hãy xét hệ gồm N hạt nhân mỗi hạt nhân có spin ½ và có mơmen từ spin

µ. Đặt hệ N mơmen từ spin µ trong từ trường ngoài H . Năng lượng tương

tác giữa µ và H bằng:

H
H

H
−µ



−µ =

µ



(7.12)

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Giả sử trong N mơmen từ có n mơmen từ có chiều ngược chiều với H và

(N-n) mơmen từ có chiều cùng chiều với H . Ta tính năng lượng và entropy

của hệ.

Năng lượng của hệ N mômen từ bằng E :

(

)

(

)

E n H= µ + −_ N n H− µ _= µH 2n N− (7.13)
Entropy của hệ bằng S :

S k ln G= (7.14)

Ở đây G gọi là trọng lượng thống kê hay xác suất nhiệt động, tức là số trạng

thái vi mô tương ứng một trạng thái vĩ mơ với E đã cho. Có bao nhiêu cách
đặt n mômen từ ngược chiều với H trong số N mơmen từ tồn phần của hệ

thì có bấy nhiêu trạng thái vi mơ ứng với một trạng thái vĩ mơ có năng lượng

E. Số G bằng tổ hợp chập n trong N phần tử:

(

)

N!
G

n! N n !
=

− (7.15)

Vì N1 và n1 nên

ln N! Nln N N, ln n! n ln n n≈ − ≈ −

(

) (

) (

) (

)

ln N n !− = N n ln N n− − − N n−

Biểu thức S bây giờ có dạng:

(

)

(

) (

)

(

(

)

)

S k ln G k N ln N 1₌ ₌ _ ₋ ₋n ln n 1₋ ₋ N n ln N n₋ ₋ ₋1 _ _(7.16)

Dễ thấy rằng:

1 S S n k N n

ln

T E n E 2 H n

∂ ∂ ∂  − 

= = = _ _

∂ ∂ ∂ µ   (7.17)

Khi n=0 thì E E= _min = − µN H,S 0= và 1

T = +∞ hay T= +0. Khi n tăng thì E
tăng và S tăng. Entropy S đạt giá trị cực đại khi n=N/2. Khi n=N/2 thì 1 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

hay T= +∞. Khi n tăng tiếp tục (N n N

2 ≤ ≤ ) đến giá trị N thì E đạt giá trị
cực đại E_max = µN H và S=0. Khi n=N thì S=0 và 1

T = −∞ hay T= −0.
Ta khảo sát sự thay đổi của entropy

S theo nhiệt độ T từ T= +0 đến T= -0.

Theo định nghĩa 1 S

T E

∂

 

=_ _

∂

  khi

chuyển từ T=+0 đến T= +∞
thì E tăng (1 0

T > ) nên S tăng.

Khi chuyển từ T = −∞ đến T=-0 thì E vẫn tăng nhưng 1 0

T < nên S giảm.
Tại T=+0 thì S=0 (phù hợp nguyên lí III của nhiệt động lực học). Khi

chuyển từ T=+0 đến T=-0 thì entropy của hệ tăng và đạt giá trị cực đại sau
đó giảm từ giá trị cực đại đến 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

<b>III. Chất lỏng lượng tử </b>
<b>§1. Chất lỏng Hêli 4. </b>

Khi chất lỏng ở gần nhiệt độ khơng tuyệt đối thì chuyển động của chất lỏng

tuân theo định luật lượng tử.

Trong chương này ta hãy nghiên cứu chất lỏng lượng tử. Trong tự nhiên có

một chất cịn ở trạng thái lỏng khi nhiệt độ gần nhiệt độ không tuyệt đối,

chất đó là Hêli 4. Hêli 4 có khối lượng nguyên tử bé (do đó dễ linh động) và

lực tương tác giữa các nguyên tử yếu (khí trơ) nên khi nhiệt độ gần nhiệt độ

không tuyệt đối các nguyên tử Hêli 4 không sắp xếp thành mạng tinh thể mà

còn ở trạng thái lỏng. Trạng thái lỏng của Hêli 4 có hai pha I và II. Với áp

suất ngồi nhỏ hơn 25at thì khi giảm nhiệt độ có hiện tượng chuyển từ pha I

sang pha II. Ở nhiệt độ chuyển pha nhiệt dung của chất lỏng He4 nhảy vọt.

Vì vậy chuyển pha từ pha lỏng Heli I sang pha lỏng Heli II là chuyển pha

loại II. Những đồ thị sau đây cho ta thấy sự phụ thuộc nhiệt dung vào nhiệt
độ của chất lỏng He4 và những đường cân bằng pha của He4:

Hình 2 Hình 3

Chất lỏng Hêli II có một loạt tính chất đặc biệt của nó. Sau đây ta hãy

nghiên cứu tính chất của chất lỏng He4 II. Khi T=0 chất lỏng He4 II ở trạng

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

không tuyệt đối thì chất lỏng He4 ở trạng thái kích thích nhiệt độ với mức

năng lượng:

0

E=E + ∆E (1.1)

Theo quan điểm cơ học lượng tử, phần năng lượng kích thích E∆ bé này

được khảo sát như tổng năng lượng của những kích thích nhiệt cơ bản. Mỗi

kích thích nhiệt cơ bản có năng lượng ε = ω và có xung lượng p. Ta biểu

diễn E∆ dưới dạng:

i i
i

E n

∆ =

∑

ε (1.2)

Ở đây ni là số kích thích nhiệt cơ bản có năng lượng εi. Mỗi kích thích nhiệt

được khảo sát như một chuẩn hạt (hạt giả) có năng lượng ε và xung lượng

p. Một trong những đặc tính của chuẩn hạt là sự phụ thuộc của ε vào p.
Bằng phép phân tích thực nghiệm đối với H_e4 lỏng II ta nhận được sự phụ

thuộc của ε vào p theo định luật như

hình vẽ.

Khi hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt thì
đa số chuẩn hạt ở vùng có năng lượng

nhỏ nhất nghĩa là ở vùng năng lượng ε
có giá trị gần bằng khơng và vùng năng

lượng ε có giá trị gần bằng ε₀. Chuẩn

hạt có năng lượng nằm trong vùng

năng lượng ε có giá trị gần bằng khơng chính là phonôn trong chất lỏng H4_e

II. Mối liên hệ giữa và trong vùng này là mối liên hệ bậc nhất:

2

vp v q v π h

ε = = = = ν

λ

(1.3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Ở đây v là vận tốc truyền sóng âm trong chất lỏng II, q là véctơ sóng âm, λ
là độ dài của sóng âm. Trong vùng này p bé do đó λ lớn. Chuẩn hạt có năng

lượng ε nằm trong vùng gần ε₀ là những chuẩn hạt có xung lượng lớn (λ
bé) gọi là hạt rotơn. Để tìm mối liên hệ giữa năng lượng và xung lượng của

rotôn, ta khai triển ε theo (p-p0). Vì tại p=p0 thì ε có giá trị cực tiểu nên

trong ε chỉ chứa số hạng bậc hai của (p-p0):

(

0

)

2
0

0

p p
2
−
ε = ε +

µ (1.4)

Trong đó ε₀ là năng lượng của roton tại p=p0 và µ0 là hằng số được xác

định từ thực nghiệm. Phonôn và rotôn là những lượng tử của sóng âm có độ

dài sóng lớn và độ dài sóng bé. Phonơn và rotơn (có spin bằng không) thuộc

loại hạt Bozon tuân theo phân bố Bose-Einstein:

kT

1
n

e 1

ε−µ

=

−

Vì số hạt phonơn và rotơn khơng bảo toàn nên hệ ở trạng thái cân bằng khi

năng lượng tự do của hệ đạt giá trị cực tiểu, nghĩa là:

F

0
n

∂

= µ =
∂

Như vậy, đối với hệ phonơn và rotơn thì thế hố học µ bằng khơng. Khi đó

hàm phân bố n của phonơn và rotơn có dạng:

kT

1
n

e 1

ε

=
−

(1.5)

Số n chính là số hạt phonơn hay rotơn trung bình trong một trạng thái lượng

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Chú ý rằng hàm phân bố n của phonôn hay rotơn cũng được tính trực tiếp

như sau. Gọi W_n là xác suất tìm hệ n phonơn (hay rotơn) ở trạng thái có

năng lượng nε, ta có:

n n

kT kT

n

1

W Ae e

Z

ε ε

− −

= =

Trong đó:

n
kT

n 0 _kT

1 1

A , Z e

Z

1 e

ε
∞ ₋

ε
−
=

= = =

−

∑

Đặt a

kT

ε

= , ta viết được:

(

)

n

-kT
n

n n

-n _kT _kT

n

ne

ln Z 1

n nW

a

e e 1

ε

ε ε

∂

= = = − =

∂

−

∑

∑

∑

(1.8)

Từ sự phân tích ở trên ta thấy rằng hệ chất lỏng Hêli II được khảo sát như

hỗn hợp khí lí tưởng phonơn và rotơn.

<b>§2. Những đại lượng nhiệt động của chất lỏng Hêli II. </b>

Ta hãy tính năng lượng và năng lượng tự do của khí phonơn và sau đó tính

năng lượng và năng lượng tự do cho khí rotơn. Biết năng lượng tự do của

khí phonơn và rotơn, ta tính được năng lượng tự do của chất lỏng Heli II.

Ta biết trong thể tích khơng gian pha V4 p dpπ 2 có V4 p dp / hπ 2 3 trạng thái

vi mô và mỗi trạng thái vi mơ có n hạt có năng lượng bằng hν.

Số phonơn có xung lượng nằm giữa p và p+dp hay có tần số nằm giữa ν và
d

ν + νbằng:

( )

( )

2 2

h

3 3

kT

V4 p dp 1 V4 dp

dN n

h v

e 1

ν

π πν

ν = ν =

−

(2.1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

( )

max max 3

f 3 h

0 0 kT

4 Vh d
E h dN

v

e 1

ν ν

ν
π ν ν
∆ = ν ν =

−

∫

∫

(2.2)

Đặt x h
kT

ν

= , ta có:

max

4 x 3

f 3 x

0

4 Vh kT x dx
E

v h e 1

π  

∆ = _ _

−

 

∫

(2.3)

Vì chất lỏng Hêli II ở vùng nhiệt độ rất thấp nên x_max h max
kT

ν

= → ∞. Chú ý

rằng:

max

x ₃ ₄

x
0

x dx
e 1 15

π
=
−

∫

(2.4)

Ta có:

(

)

4
5

f 3 3

4 V kT
E

15h v

π

∆ = (2.5)

Ta biết năng lượng tự do của khí phonơn liên hệ với năng lượng bằng hệ

thức:

2

f f

f f f

F F

E F TS F T T

T T T

 

∂ ∂ _ _

∆ = + = − = − _{ }_{ }

∂ ∂ (2.6)

Hay:

T

f

f 2

0

E

F T dT

T
∆

= −

∫

(2.7)

Dễ thấy rằng:

( )

5

4

f 3 3

4 V

F kT

45h v
π

= − (2.8)

Bây giờ ta tính Fr: Từ sự kiện thực nghiệm đối với chất lỏng Hêli II, ta có:

0 0 8 1

0 0 He

p

8.5 K, 1,9.10 cm ,− 0,16m

ε = = µ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Khi nhiệt độ T đủ thấp (Tε₀) thì:

(

)

2
0
0
0
p p
T
2
−
ε + = ε
µ

khi đó _ekT ₁

ε

và hàm phân bố của rotôn chuyển về

dạng hàm phân bố Boltzmann.

( )2

0
0
0
p p
2 kT
kT kT

n e e e

−
ε

ε ₋

− − _µ

= = (2.9)

Năng lượng tự do của khí lí tưởng rotơn có dạng:

r r

F = −kTln Z (2.10)

trong đó Z_r là tích phân trạng thái của hệ N_r rotơn.

r
r

r

N
E

x y z

kT kT

r 3N 3

r
r

dp dp dp

d 1

Z e V e

N ! h

N !h
ε
− Γ  − 
 
= = _ _
 

∫

∫

(2.11)

Chú ý rằng:

r

r r r r r

N
ln N ! N ln N N N ln

e
 _


= − = __{ }_ (2.12)

Ta có:

x y z
kT

r r 3

r

dp dp dp
eV

F N kT ln e

N h
ε
−
 
 
= − _ _



∫

 (2.13)

Số Nr phụ thuộc vào nhiệt độ. Khi nhiệt độđã cho, số rotôn được xác định từ

cực tiểu của năng lượng tự do Fr, nghĩa là r
r
F
0
N
∂
=

∂ . Từ điều kiện này ta tìm
được:

x y z
kT

r 3

dp dp dp
N V e

h

ε
−

=

_∫

(2.14)

hay:

x y z
kT

3
r

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Dùng hệ thức này, ta viết lại biểu thức của F_r như sau:

x y z
kT

r r 3

dp dp dp
F N kT ln e kTV e

h

ε
−

= − = −

∫

(2.16)

Để tìm Fr, ta tính tích phân I.

( )2

0
0

0

x y z 2

kT kT

3 3

p p
2 kT 2
kT

3

dp dp dp ₄

I e e p dp

h h

4

e e p dp

h
ε ε
− −
−
ε ₋
− _µ
π
= =
π
=

∫

∫

∫

(2.17)

Khi

(

)

2
0

0
p p
kT
2
−

µ thì về mặt thực tế biểu thức nằm dưới tích phân của I

tiến tới khơng. Vì vậy ta có thể mở rộng giới hạn của tích phân I từ +∞ đến
−∞:

( )2

0
0

0

p p
2 kT 2
kT

3

4

I e e p dp

h
−

+∞
ε ₋
− _µ
−∞
π
=

∫

Vì _p2_thay

đổi chậm so với

( )2

0
0
p p
2 kT
e
−
−

µ _{nên có th}_ể _đư_a_p2_{ra ngồi d}

ấu tích

phân của I và lấy giá trị gần đúng p=p0.

Biểu thức gần đúng của I bây giờ có dạng:

( )2

0

0 0

0

p p
2 kT

2 _kT 2 _kT

0 0 0

3 3

4 4

I p e e dp p 2 kTe

h h
−
+∞
ε ₋ ε
− _µ −
−∞
π π

=

∫

= πµ (2.18)

Biết được I, ta tìm được biểu thức của Fr:

( )

3/ 2 0

0 2 _kT

r 3 0

4 2

F kT Vp e

h

ε
−

π πµ

= − (2.19)

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

( )

_{( )}

0

0 p r

4
5

3/ 2 ₂ _kT

0 3 3 3 0 0

F F F F

4 V kT 4

F F 2 kT Vp e

45h v h

ε
−

= + +

π π

= − − πµ (2.20)

Biết được F ta tính được entropy S và nhiệt dung _v

V

S

C T

T

_{∂ }


= __{ }__

∂

Entropy S:

0

4

5 3 2 3/ 2 0 1/ 2 kT

0 0

3 3 3

V

F 16 k V 4 3

S T 2 Vp k T e

T 45 h v h 2 kT

ε
−

 

∂ _ π _ ε _



= −__ __ = π + πµ __ + __

∂    (2.21)

Nhiệt dung CV:

0

3
5

v

V

2
3/ 2

2 0 kT

0 0 0
3

0 0

S 16 kT

C T kV

T 15 hv

4 kT 3 kT

2 kVp e 1

h kT 4

ε
−

_{∂ }  _

 

= __ __ = π __ __

∂   

 _ _ 

ε  

π _ _ _ _ __ _

+ πµ ε __ _ __ + + __ _{ }_ 

  _ ε ε  _

(2.22)

<b>§3. Hiện tượng siêu chảy của chất lỏng Hêli II. </b>

Chất lỏng Hêli II có tính chất rất đặc biệt đó là tính chất siêu chảy. Hiện

tượng chảy của chất lỏng Hêli II dọc theo ống mao dẫn (hay theo thành rắn

nào đó) với độ nhớt coi bằng khơng gọi là hiện tượng siêu chảy. Vì độ nhớt

của chất lỏng Hêli II coi bằng không nên sự chảy của chất lỏng Hêli II dọc

theo thành rắn là sự chảy không chậm dần và chất lỏng Hêli II sẽ lan khắp

thành rắn.

Để giải thích hiện tượng siêu chảy ta chú ý rằng ở nhiệt độ không tuyệt đối

chất lỏng Hêli II ở trạng thái cơ bản (trạng thái khơng có một kích thích

nào). Ở trạng thái này tất cả các nguyên tử của Hêli II chuyển động như toàn

bộ (các nguyên tử cùng có vận tốc như nhau). Đó là sự chảy thành dòng

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

không tuyệt đối, chất lỏng Hêli II ở trạng thái kích thích nhiệt. Ở trạng thái

này một số nguyên tử Hêli II nhận được những kích thích nhiệt và chuyển
động vô trật tự. Số nguyên tử Hêli II chuyển động vô trật tự càng lớn nếu

nhiệt độ càng tăng. Trong trường hợp này sự chảy của chất lỏng Hêli II là sự

chảy có xoắn (sự chảy thường). Bây giờ ta hãy giải thích hiện tượng siêu

chảy của chất lỏng Hêli II. Ở nhiệt độ không tuyệt đối, chất lỏng Hêli II chảy

thành dịng (khơng xoắn) như tồn bộ. Sự chảy này khơng thể chậm dần vì

chất lỏng khơng nhận năng lượng từ ngồi (khơng nhận kích thích nhiệt) đủ

lớn để ngăn cản sự chảy của chất lỏng. Thành thử, sự chảy của chất lỏng

trong trường hợp này là siêu chảy. Rõ ràng rằng khi chất lỏng ở trạng thái

siêu chảy thì sự chảy của chất lỏng khơng mang theo những kích thích nào.

Khi nhiệt độ tăng nhưng vẫn gần nhiệt độ không tuyệt đối (T<2 K0 ) một số

nguyên tử kích thích Hêli II nhận được những kích thích nhiệt và chuyển
động vơ trật tự, cịn một số ngun tử khác của chất lỏng Hêli II vẫn chuyển
động thành dịng như tồn bộ không xoắn. Như vậy khi T≠0 nhưng

0

T 1.9 K< có hai dạng chuyển động của chất lỏng Hêli II xảy ra đồng thời:

siêu chảy và chảy thường. Một cách sơ bộ coi rằng trong chất lỏng Hêli II là

hỗn hợp hai chất lỏng: chất lỏng siêu chảy và chất lỏng chảy thông thường

tồn tại đồng thời và độc lập với nhau. Dòng siêu chảy khơng mang kích

thích nhiệt và dịng thường mang các kích thích nhiệt. Khi nhiệt độ

0

T 1.9 K= thì tất cả các nguyên tử Hêli II đều ở trạng thái kích thích nhiệt

và hiện tượng siêu chảy biến mất.

Sự tồn tại hiện tượng siêu chảy trong chất lỏng Hêli II chỉ có thể xẩy ra khi

vận tốc của chất lỏng khơng thể lớn hơn vận tốc sóng âm dài. Thật vậy, ta

khảo sát sự chảy của chất lỏng Hêli II dọc theo thành rắn. Để thuận tiện, đầu

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

vận tốc v. Trong hệ qui chiếu này chất lỏng Hêli II đứng yên và thành rắn

chuyển động với vân tốc v−. Đầu tiên ta coi rằng chất lỏng Hêli II ở trạng

thái cơ bản (khi T= +0). Giả sử trong chất lỏng Hêli II có xuất hiện một

kích thích nhiệt với xung lượng p và năng lượng ε

( )

p . Khi đó đối với hệ

qui chiếu K’ “gằn liền” với chất lỏng Hêli II (K’ chuyển động cùng chất

lỏng Hêli II) chất lỏng Hêli II có năng lượng bằng ε

( )

p và xung lượng bằng

p

(tính từ mức cơ bản). Đối với hệ qui chiếu K gắn liền với thành rắn thì

chất lỏng Hêli II chuyển động với vận tốc v và có năng lượng E. Ta hãy tìm

cơng thức biến đổi năng lượng nói chung khi chuyển từ hệ K’ sang hệ K và

sau đó áp dụng tương tự cho bài toán của chúng ta. Gọi v và v' là vận tốc

của vật đối với hệ qui chiếu K và K’, V

là vận tốc của hệ K’ chuyển động
đối với hệ K, theo định lí cộng vận tốc, ta có:

v= +v' V (3.1)

Cơ năng của vật đối với hệ K và K’ bằng:

(

)

2
2

2

m v' V
mv

E U U

2 2

mv'

E' U

2

+

= + = +

= +

(3.2)

trong đó m là khối lượng và U là thế năng của vật. Dễ thấy rằng:

2 2

mV mV

E E ' mv'V E ' p'V

2 2

= + + = + + (3.3)

Thay E’ bằng ε

( )

p và p' bằng p ta có cơng thức biến đổi năng lượng của

chất lỏng Hêli khi chuyển từ hệ K’ sang hệ K như sau:

( )

2

mV

E p pV

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

Ởđây V là vận tốc và

2

mV

2 là động năng của chất lỏng Hêli II.

Nếu chất lỏng Hêli II chuyển động không ma sát (siêu chảy) thì năng lượng

của chất lỏng bằng

2

mV

2 . Khi có ma sát thì

2

mV
E

2

− là độ giảm năng

lượng của chất lỏng do ma sát. Ta có:

( )

2

mV

E p pV 0

2

− = ε + < (3.5)

Độ giảm này bé nhất khi p ngược chiều với V

, nghĩa là:

( )

p pV 0

ε − < hay V

( )

p

p

ε
>

Kí hiệu ₀

( )

min

p
V

p

_ε _

 _

= _ __

  , ta có V>V0. Như vậy khi V>V0 thì trong chất lỏng

Hêli II có xuất hiện những kích thích nhiệt và khi V<V0 thì chất lỏng Hêli II

khơng có chứa các kích thích nhiệt. Sự chảy của chất lỏng Hêli II khơng

mang theo kích thích nhiệt gọi là siêu chảy. Ta biết ε

( )

p =vp, trong đó v là

vận tốc âm trong chất lỏng Hêli II. Vậy V0 là vận tốc âm nhỏ nhất trong chất

lỏng Hêli II. Sự chảy của chất lỏng với V>V0 là chảy thường và V<V0 là

siêu chảy.

<b>§4.Hiệu ứng cơ nhiệt </b>

Một tính chất nhiệt rất đặc biệt của chất lỏng Hêli II gọi là hiệu ứng cơ nhiệt.

Nội dung của hiệu ứng này như sau. Có một bình đựng chất lỏng Hêli II. Khi

cho chất lỏng Hêli II chảy qua ống mao dẫn và ra ngồi một phần thì nhiệt
độ của chất lỏng Hêli II cịn lại trong bình tăng. Ngược lại, khi cho chất lỏng

Hêli II từ ngoài theo ống mao dẫn chảy thêm vào trong bình thì nhiệt độ của

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

chất lỏng Hêli II chảy từ bình ra ngồi theo ống mao dẫn thì chỉ có lượng

chất lỏng siêu chảy chảy qua cịn chất lỏng thường khơng chảy qua do có

tính nhớt. Chất lỏng siêu chảy khơng mang theo kích thích nhiệt ra ngoài

nên năng lượng chuyển động nhiệt trong bình vẫn như cũ nhưng khối lượng

chất lỏng trong bình giảm đi. Sự phân bố lại năng lượng chuyển động nhiệt

trong bình làm nhiệt độ trong bình tăng lên. Ngược lại, khi cho chất lỏng

Hêli II từ ngồi vào thêm trong bình theo ống mao dẫn thì chỉ có chất lỏng

siêu chảy mới chảy vào bình cịn chất lỏng thường thì khơng chảy vào bình

do tính nhớt. Năng lượng chuyển động nhiệt toàn bộ của chất lỏng trong

bình khơng thay đổi nhưng khối lượng của chất lỏng Hêli II trong bình tăng

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

<b>IV. Khí lí tưởng lượng tử </b>
<b>§1. Khí Boltzmann </b>

1. Khí Boltzmann

Phân bố Gibbs đúng cho hệ bất kì ở trạng thái cân bằng nhiệt với tesmosta

(máy điều nhiệt), đặc biệt đúng cho hệ là khí lí tưởng. Gọi nk là số hạt khí ở

trạng thái với mức năng lượng ε_k. Ta khảo sát trường hợp khi trị trung bình

của số hạt ở mức năng lượng ε_k rất bé so với đơn vị, nghĩa là khi n_k 1.

Khí lí tưởng thoả mãn điều kiện n_k 1 gọi là khí lí tưởng Boltzmann.

Điều kiện n_k 1 về mặt vật lí có nghĩa là khí Boltzmann là khó đủ lỗng

sao cho tương tác giữa các phân tử khí là một hệ con giả kín (gần độc lập).

Xác suất tìm hạt khí ở mức năng lượng ε_k theo phân bố Gibbs bằng:

k

e
k

k

n

W Ae

N

−
θ

= =

Ở đây N là số hạt toàn phần của hệ, và hệ số A được xác định từ điều kiện

chuẩn hoá của xác suất _k

k

W =1

∑

k

e

k

1

A , Z e

Z

−
θ

= =

∑

Hàm phân bố Boltzmann có dạng:
k

e
k

n ₌Ce− θ , C NA₌

2. Năng lượng và nhiệt dung của khí lí tưởng Boltzmann lưỡng nguyên tử

Phân tử khí lí tưởng lưỡng nguyên tử A-B nằm trên trục AB có 6 bậc tự do,

hai bậc tự do của chuyển động tịnh tiến của khối tâm 0, hai bậc tự do của

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

phân tử khí gồm ba phần: năng lượng chuyển động tịnh tiến ε_t, năng lượng

chuyển động quay ε_q và năng lượng của chuyển động dao động ε_d.

Gọi ε là năng lượng của phân tử khí, ta có:

t q d

ε = ε + ε + ε

Năng lượng trung bình của hệ N phân tử khí lí tưởng bằng:

(

t q d

)

E N= ε = N ε + ε + ε

Để tính ε ε ε_t, ,_q _d ta dùng định lí nhân xác suất:

( )

t q d

e

W W W W

Z

ε
−

θ

ε = =

trong đó W ,W ,W_t _q _d là xác suất để phân tử khí có năng lượng tịnh tiến bằng

t

ε , có năng lượng chuyển động quay bằng ε_q và có năng lượng chuyển động

dao động bằng ε_d. Biểu thức các xác suất W ,W ,W_t _q _d có dạng:
q

q

t

t

d

d

t t

q

q q

t

d d

d

e

W ; Z e

Z
e

W ; Z e

Z
e

W ; Z e

Z

ε

− _ε

θ ₋

θ

ε
−

ε

θ ₋

θ

ε
−

ε

θ ₋

θ

= =

= =

= =

∑

∑

∑

Với Z Z Z Z= _t _q _d

Đặt β = − 1

θ, ta có:

(

)

t
t

-t

t t t t

-e

W ln Z

e

ε
θ
ε

θ

ε ∂
ε = ε = =

∂β

∑

∑

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

(

)

q
q

-q

q q q q

-e

W ln Z

e

ε
θ
ε

θ

ε _∂
ε = ε = =

∂β

∑

∑

∑

(

)

d
d

-d

d d d d

-e

W ln Z

e

ε
θ
ε

θ

ε ∂
ε = ε = =

∂β

∑

∑

∑

Để tính ε ε ε_t, ,_q _d ta cần tính Z ,Z ,Z_t _q _d.

Chuyển động tịnh tiến của phân tử khí trong hình hộp chữ nhật có các cạnh

L1, L2, L3 được khảo sát như hạt chuyển động tự do trong giếng thế 3 chiều.

Từ cơ học lượng tử ta biết rằng năng lượng tự do của hạt trong giếng thế ba

chiều có dạng:
1 2 3

2 2 2 2 2
1 2 3
t n n n 2 2 2
1 2 3

n n n

E

2m L L L

 

π

ε = = _ + + _

 

Ở đây m là khối lượng của phân tử khí, n ,n ,n₁ ₂ ₃ =1,2,3... Biểu thức của Zt

có dạng:

2
2 2

3 3
1 1 2 2

1 2 3

n

n n

t

n 1 n 1 n 1

Z ∞ e− α ∞ e−α ∞ e−α

= = =

=

∑

∑

∑

trong đó:

2 2
i

i

, i 1,2,3
2mL

π

α = =
θ

Ở nhiệt độ phịng và Li lớn thì αi 1 và khi đó

2 2 2
1 1n , n , n2 2 3 3

α α α sẽ thay đổi

rất ít khi ta thay đổi các số n1, n2, n3 một đơn vị. Vì lí do này nên ta có thể

thay các tổng trong biểu thức của Zt bằng các tích phân tương ứng:

2
2 2

3 3
1 1n 2 2n n

t 1 2 3

0 0 0

Z ∞e−α dn e∞ −α dn e∞ − α dn

=

∫

∫

∫

Chú ý rằng h ,L L L₁ ₂ ₃ V

2

= =

π

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

2 2

n n

0

1 1

e dn e dn

2 2

∞ ∞

− α − α
−∞

π

= =

α

∫

∫

ta nhận được:

(

)

(

)

(

)

3 / 2

t 3

2

k t t

2 m

Z V

h

3 3

ln Z ln Z kT

2 2

π θ
=

∂ ∂

ε = = θ = θ =
∂β ∂θ

Năng lượng và nhiệt dung của chuyển động tịnh tiến bằng :

t t

t
t

V

3

E N NkT

2

E 3

C NT

T 2

= ε =
∂

 

=_ _ =
∂

 

Bây giờ ta tính Z_q và ε_q. Nếu bỏ qua sự thay đổi của mơmen qn tính của

phân tử do chuyển động dao động thì phân tử khí có hai nguyên tử được

khảo sát như một hệ hai chất điểm có khối lượng m1 và m2 gắn chặt với nhau

và ở cách nhau một khoảng có độ dài là r. Hệ hai chất điểm như vậy có thể

quay xung quanh hai trục 0x và 0y vng góc với nhau và đi qua khối tâm 0

của chúng. Từ cơ học, ta biết rằng phân tử đồng thời quay xung quanh trục

0x, 0y vng góc với nhau đi qua khối tâm có thể khảo sát như phân tử quay

xung quanh một trục tức thời ∆ đi qua khối tâm và cũng vng góc với trục

AB. Mơmen qn tính của phân tửđi qua khối tâm bằng :

2 2
1 1 2 2

I m r= +m r

Vì m r_{1 1} +m r_{2 2}=0 và r=r₂ −r₁ nên biểu thức của I được viết dưới dạng:

2

I= µr

Ở đây 1 2

1 2

m m

m m

µ =

+ là khối lượng thu gọn của phân tử khí. Từ cơ học lượng

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

(

)

2

2
q l

l l 1
L

, l 0,1,2,...

2I 2I

+

ε = ε = = =

trong đó L2 là giá trị riêng của tốn tử bình phương mơmen xung lượng và l

là số lượng tử quĩ đạo. Ứng với một giá trị l cho trước có (2l+1) hàm sóng

tương ứng với (2l+1) giá trị có thể có của hình chiếu mômen xung lượng

trên trục z ( m 0, 1, 2,..., l= ± ± ± ). Vì vậy bội số suy biến trong chuyển động

quay là gl = 2l+1. Tổng trạng thái Zq trong chuyển động quay là :

( ) ( )

(

)

2_{l l 1} 2_{l l 1}

2I 2I

q l

l 0 l 0

Z e g e 2l 1

+ +

− −

θ θ

= =

=

∑

=

∑

+

Tính Zq trong trường hợp tổng quát rất khó. Ta chỉ khảo sát hai trường hợp

giới hạn sau: khi

2

q

kT kT

2I

θ = = và khi

2

q

kT kT

2I

θ = = . Tq là nhiệt độ

đặc trưng cho phân tử có hai nguyên tử trong chuyển động quay. Đối với

phân tử H2 thì Tq =85,4 K0 và đối với 02 thì

0
q

T =2,1 K.

Khi TT_q thì hàm dưới dấu tổng của thay đổi rất ít khi l thay đổi một đơn

vị. Vì vậy khi TT_q ta có thể thay tổng bằng tích phân trong biểu thức của

Zq.

(

)

( )

2_{l l 1}

2IkT
q

0

Z 2l 1 e dl

+
∞

−

=

∫

+

Đặt x=l(l+1), ta có :

dx = (2l+1)dl

(

)

2

x
2IkT

q 2

0

2I
Z =∞

∫

2l 1 e+ − dx= θ

Năng lượng trung bình của chuyển động quay bằng :

(

)

2

(

)

q ln Zq ln Zq

∂ ∂

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Kết quả này trùng với kết quả nhận được trong thống kê cổ điển. Năng

lượng tương ứng với hai bậc tự do của chuyển động quay bằng θ =kT.

Năng lượng và nhiệt dung của khí lí tưởng khi TT_q bằng :

q q

q
q

V

E N NkT

E

C Nk

T

= ε =
∂

 

=_ _ =
∂

 

Khi TT_q thì những số hạng với giá trị l bé đóng vai trị chủ yếu trong tổng

của Zq (các số hạng với l lớn có giá trị rất bé có thể bỏ qua). Khi đó ta có:

(

)

2

2 2

2

I
q

I I

q

2

2 _I

q q

Z 1 3e

ln Z ln 1 3e 3e

ln Z 3 e

I

−
θ

− −

θ θ

−
θ

≈ +

 

≈ _ + _≈

 

∂

ε = θ ≈
∂θ

Năng lượng và nhiệt dung của khí lí tưởng khi TT_q bằng:
2

2

2
I
q q

2
2

q _I

q

V

E N 3N e

I
E

C 3Nk e

T I

−
θ

−
θ

= ε =
∂

   

=_ _ = _ _
∂  θ
 

Khi T→0 thì C_q →0.

Bây giờ ta tính Zd và εd. Dao động của hai nguyên tử của phân tử có thể

khảo sát như dao động của một chất điểm có khối lượng thu gọn µ. Năng

lượng của dao động điều hoà theo cơ học lượng tử bằng :

d

1

n , n 0,1,2,..

2

 

ε = ω_ + _ =

 

trong đó 2 2

T

π

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Tổng thống kê Zd bằng
1
n

n
2
2
d

n 0 n 0

Z e e e

 
ω_ + _ _ω _ω
∞ ₋ ₋ ∞ ₋
θ θ θ
= =
=

∑

=

∑

Đặt q e

ω
−

θ

=

và chú ý rằng: n

n 0
1
q
1 q
∞
=
=
−

∑

Năng lượng tương ứng với một bậc tự do của chuyển động dao động bằng :

(

)

2

d n ln Zq

2 2 _e ω ₁

θ
ω ∂ ω ω
ε = + ω = θ = +
∂θ
−



1

n
e 1
ω
θ
=
−

Đặt ω =kT_d đối với phân tử H2 ta có Td =6100 K0 và đối với O2
0

d

T =2240 K.
Khi TT_d, ta có :

d d d

d
d

V

kT, E N NkT

E
C Nk
T
ε = = ε =
∂

 
=_ _ =
∂
 

Kết quả này trùng với lí thuyết cổđiển.

Khi , ta có :

kT
d
kT
d d
2
d kT
d
V
e
2

E N N N e

2
E

C Nk e

T kT
ω

−
ω
−
ω
−
ω
ε = + ω
ω
= ε = + ω
∂ ω
   
=_ _ = _ _
∂  
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

Năng lượng và nhiệt dung của chuyển động dao động trong trường hợp tổng

quát có dạng :

d d

kT

2

kT
d

d 2

V _kT

N N

E N

2 _e ₁

E e

C Nk

T kT

e 1

ω

ω

ω

ω ω
= ε = +

−

∂ ω

   

=_ _ = _ _
∂  

   

−

 

 

Năng lượng trung bình và nhiệt dung đẳng tích của khí lí tưởng lưỡng

nguyên tử có dạng :

k q d

v k q d

E E E E

C C C C

= + +
= + +

Dạng đường cong biểu diễn C_v phụ thuộc vào T như hình bên.

Ta biết:

V

F

S , E F TS

T

∂

 

= −_ _ = +
∂

  suy ra

( )

2

V V

2

F F

E F T T

T T

E T

F T dT

T

∂ ∂

   

= − _ _ = − _ _

∂ ∂

   

= −

∫

Biết được E là hàm của T, ta tìm được

F và S.

Năng lượng tự do của hệ cũng được tính từ tổng thống kê Z.
F= −θln Z

Ởđây :

( ) ( ) ( )

n 1 2 n
1 2 n

E ...

n , ,..,

Z e e

ε +ε + +ε

− −

θ θ

ε ε ε

=

∑

=

∑

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

Vì các hạt là giống nhau nhưng phân biệt được nên biểu thức của Z có dạng :

(

)

N

N
t q d

Z e Z Z Z

ε
−

θ

 

=_ _ =



∑



Năng lượng tự do của khí lí tưởng Boltzmann bây giờ được tính theo cơng

thức :

(

t q d

)

F= −θln Z= − θN ln Z +ln Z +ln Z

Biết được F, ta tính được áp suất của khí lí tưởng :

t

T T

ln Z

F N

P N

V V V

∂

∂   θ

 

= −_ _ = θ_ _ =

∂ ∂

   

Phương trình này khơng phụ thuộc vào Zq và Zd nên :

PV N= θ =NkT

là phương trình trạng thái của khí lí tưởng N phân tử nói chung.
<b>§2. Khí lí tưởng Fermion và Bozon </b>

Hạt Fermion có spin bán nguyên và hạt Bozon có spin nguyên. Số hạt

Fermion hay Bozon trung bình trong một trạng thái lượng tử được xác định

bằng cơng thức:
1

n

e 1

ε−µ
θ

=

±

Ở đây ε là năng lượng của hạt, µ là thế hố học, dấu nằm trên tương ứng

với thống kê Fermi-Dirac và dấu nằm dưới tương ứng với thống kê

Bose-Einstein.

Xét một hệ khí lí tưởng gồm N hạt cơ bản Fermion hay Bozon. Năng lượng

của hạt chỉ là năng lượng của chuyển động tịnh tiến :

( )

2 2 2 ₂
x y z

p p p _p

p

2m 2m

+ +

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

trong đó m là khối lượng của hạt và p là xung lượng của hạt. Số hạt có xung

lượng và toạ độ nằm trong thể tích khơng gian pha dp dp dp_x _y _z bằng dN :

x y z
3

dp dp dp

dN ng

h

=

Trong đó g là bội suy biến của năng lượng ε

( )

p . Thí dụứng với một giá trị

của ε

( )

p có g trạng thái ứng với g cách định hướng của spin. Hạt có spin s

thì g=2s+1. Trường hợp s=1/2 thì g=2.

Tích phân theo thể tích V và chuyển từ dp dp dp_x _y _z → π4 p dp2 , ta nhận được

biểu thức số hạt cơ bản trong thể tích V có xung lượng nằm giữa p và p+dp

bằng dNp:

( )

2

p 3

1 4 V

dN g p dp ndG p

h

e 1

ε−µ
θ

π

= =

±

Vì

2

p
2m

ε = nên số hạt ở trong thể tích V có năng lượng từ ε đến ε + εd bằng

( )

3 / 2 1/ 2

3

4 Vgm 2

dN d ndG

h

e 1

ε ε−µ
θ

π ε

= ε = ε

±

Số hạt tồn phần của khí lí tưởng:

3 / 2
3

0

4 Vgm 2

N dN d

h _e ₁

∞

ε ε−µ

θ

π ε

= = ε

±

∫

∫

Đặt x= ε

θ, ta được:

(

)

3 / 2

3 _x

0

N 4 g 2 xdx

m

V h _e ₁

∞
µ
−

θ

π

= θ

±

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

Cơng thức này xác định thế hố học µ phụ thuộc vào nhiệt độ θ và mật độ

hạt N
V .

Năng lượng của khí lí tưởng:

3 / 2
3 / 2 5 / 2

3 _x

0

4 Vg 2 x

E dN m dx

h _e ₁

∞

ε µ

−
θ

π

= ε = θ

±

∫

∫

Thế nhiệt động _k

k

Ω =

∑

Ω có dạng:
k

k ln 1 e

µ−ε
θ

 

Ω = −θ _ + _

  đối với khí Fermi-Dirac

k

k ln 1 e

µ−ε
θ

 

Ω = θ _ − _

  đối với khí Bose-Einstein.

Chuyển từ tổng theo năng lượng đến tích phân theo năng lượng, ta có:

( )

3 / 2

3

0

ln 1 e dG
4 gV 2m

ln 1 e d
h

µ−ε
θ

µ−ε
∞

θ

 

Ω = θ _ ± _ ε

 

π  

Ω = θ ε _ ± _ ε

 

∫

∫

∓

∓

Ở đây lấy dấu nằm trên ứng với khí Fermion và lấy dấu nằm dưới ứng với

khí Bozon.

Thực hiện phép tính tích phân phân đoạn, ta được:

3 / 2 3 / 2
3

0

2 4 gV 2m d

3 h _e ₁

∞
ε−µ

θ

π ε ε

Ω = −

±

∫

hay

3 / 2
3 / 2 5 / 2

3 _x

0

2 4 g 2 x dx

Vm pV

3 h _e ₁

∞
µ
−

θ

π

Ω = − θ = −
±

∫

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

2
E
3

Ω = − hay pV 2E

3

=

Phương trình pV 2E
3

= là phương trình trạng thái của khí lí tưởng hạt cơ

bản.

Những kết quả tính ở trên đối với hạt chuyển động với vận tốc bé so với vận

tốc ánh sáng trong chân không c. Bây giờ ta khảo sát trường hợp hạt cơ bản

chuyển động với vận tốc so sánh được với vận tốc của ánh sáng c. Trong

trường hợp này, ta có :

2
2

3 3 3

2
3 3

3
4
3 3 _x

0

2
3 3

0

4 gV 4 gV

p , dG p dp d

c h h c

1 4 gV

dN d

h c

e 1

4 gV x dx
E dN

h c _e ₁

4 gV

ln 1 e d
h c

ε ε−µ

θ

∞

ε µ

−
θ
µ−ε
∞

θ

ε π π ε

= = = ε

π

= ε ε

±
π
= ε = θ

±

π  

Ω = θ ε _ ± _ ε

 

∫

∫

∫

∓

Tích phân phân đoạn, ta được :

3
3 3

0

4 gV d
3h c _e ₁

∞
ε−µ

θ

π ε ε
Ω = −

±

∫

hay

3
4
3 3 _x

0

4 gV x dx
3h c _e ₁

∞
µ
−

θ

π
Ω = − θ

±

∫

So sánh biểu thức của E và Ω, dễ dàng thấy rằng:
E

3

Ω = − hay pV E

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Phương trình pV E
3

= là phương trình trạng thái cơ bản của khí lí tưởng của

hạt cơ bản chuyển động với vận tốc bằng c.
<b>§3. Photon. Những bức xạ cân bằng. </b>

Photon có spin bằng đơn vị và do đó khí photon tuân theo thống kê

Bose-Einstein.

Ta khảo sát một hệ hạt photon ở trạng thái cân bằng nhiệt với vật bức xạ và

hấp thụ photon (vật hấp thụ và bức xạ photon đóng vai trị tesmosta). Các

hạt photon khơng tương tác với nhau nên khí photon giống như khí lí tưởng.

Tuy nhiên khí photon có những điểm khác với khí lí tưởng như sau. Trong

chân không, mọi photon đều chuyển động với vận tốc c và số hạt photon

trong hệ không phải khơng đổi vì tesmosta ln bức xạ và hấp thụ photon.

Khi khí photon ở trạng thái cân bằng thì năng lượng tự do của hệ đạt giá trị

cực tiểu, nghĩa là:

V,T

F

0
N

∂

 

= µ =

 

∂

 

Số hạt photon trung bình có năng lượng bằng ε theo thống kê Bose-Einstein

bằng:
1
n

e 1

ε
θ

=

−

Mỗi hạt photon có năng lượng ε = ω = ν h , có khối lượng m ₂
c

ε

= và có

xung lượng p mc h

c c

ε ν

= = = . Số photon ở trong thể tích V có xung lượng

nằm giữa p và p+dp hay có tần số nằm giữa ν và ν + νd bằng dN_ν:

( )

2 2

3 3

4 Vgp dp 4 Vg d

dN n n ndG

h c

ν

π π ν ν

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Ở đây g=2 là bội suy biến của ε

( )

p . Vì ứng một giá trị của p hay ε

( )

p xác

định có hai photon ứng với hai sóng phân cực cùng tần số ν (phân cực phải

và phân cực trái).

Năng lượng của những photon có tần số nằm giữa ν và ν + νd trong thể

tích V bằng dE_ν:

3
h
3

8 V h d
dE dN h dN

c e 1

ν ν ν ν

θ

π ν ν
= ε = ν =

−

Mật độ hàm phân bố năng lượng của khí photon theo tần số được xác định

bằng hệ thức:

( )

3
h
3

dE 8 Vh
f

d c _e ₁

ν

ν
θ

π ν
ν = =

ν

−

Hình bên biểu diễn hàm

( )

3
x

x
f x

e 1

=

− ứng với hàm phân bố năng lượng theo

tần số ν. Hàm f

( )

ν có cực đại tại

0

ν = ν . Ở đây ν₀ được xác định từ điều

kiện ∂f =0

∂ν . Từđiều kiện này suy ra:

0

h

2,822

ν
=
θ

Dễ thấy rằng khi θ tăng thì vị trí cực

đại của f

( )

ν dịch chuyển về phía tần số lớn. Đó là định luật dịch chuyển tần

số.

Bây giờ ta hãy tính các đại lượng nhiệt động của khí photon. Ta biết năng

lượng tự do F liên hệ với thế nhiệt động học Ω bằng hệ thức :
F= Φ + Ω = µ + ΩN

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

Sử dụng các biểu thức của Ω và E của khí lí tưởng các hạt cơ bản chuyển
động với vận tốc bằng c với sự chú ý µ =0 ta được :

3 4 4

4

3 3 x 3 3

0

3 4 4

4

3 3 x 3 3

0

4 gV x dx 4 gV
F

3c h e 1 3c h 15
4 gV x dx 4 gV

E

c h e 1 c h 15

∞

∞

π π θ π

= Ω = − θ = −
−

π π θ π

= − θ = −
−

∫

∫

Trong đó g=2. Đặt

5 4

5
2 3

4 k

5,67.10
15c h

−

π

σ = = ta viết được:

4 3

V

4 3

V

V

4 F 16

F VT , S VT

3c T 3c

4 E 16

E VT , C VT

c T c

σ ∂  σ
= − = −_ _ =

∂

 

σ ∂  σ
= =_ _ =

∂

 

Áp suất của khí photon cân bằng :

4
T

F 4

p T

V 3c

∂ σ

 

= −_ _ =
∂

 

<b>§4. Khí electron tự do trong kim loại </b>

Electron là hạt Fermion có spin s=1/2. Mỗi mức năng lượng ε của electron

có bội suy biến g=2s+1=2. Đó là hai trạng thái lượng tử có hình chiếu spin

ngược chiều của electron. Số electron trung bình trong một trạng thái lượng

tử theo thống kê Fermi-Dirac có dạng :

( )

( )

1

n f

e 1

ε−µ
θ

ε = ε =

+

(1)

Ở đây θ =kT và µ là thế hoá học. Thế

hoá học µ phụ thuộc vào nhiệt độ. Khi
T→0 thì µ →0. Mức năng lượng

F 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

của n

( )

ε vào ở những nhiệt độ T khác nhau được biểu diễn như hình bên.<b> </b>

Ta hãy tính thế hố học µ, năng lượng E và nhiệt dung đẳng tích C_V của khí

lí tưởng electron trong kim loại.

Số hạt toàn phần N và năng lượng E của khí electron được tính theo các

công thức :

1/ 2
3 / 2
3

0 0

4 Vg 2 d

N dN m

h _e ₁

∞ ∞

ε ε−µ

θ

π ε ε

= =

+

∫

∫

(2)

3 / 2
3 / 2
3

0 0

4 Vg 2 d

E dN m

h _e ₁

∞ ∞

ε ε−µ

θ

π ε ε

= ε =

+

∫

∫

(3)

Công thức (2) cho ta xác định được là µ hàm của nhiệt độ T và nồng độ

electron n=N/V. Biết được µ là hàm của T ta thay vào (3) xác định được E

là hàm của nhiệt độ. Đặt 4 g 2₃ m3 / 2
h

π

α = ta có :

1/ 2

0
3 / 2

0

N d

n

V _e ₁

d

E V

e 1

∞
ε−µ

θ
∞

ε−µ
θ

ε ε
= = α

+
ε ε
= α

+

∫

∫

Để tính µ và E ta cần tính tích phân IP có dạng sau :

( )

P

0

F d
I

e 1

∞
ε−µ

θ

ε ε
=

+

∫

Trong đó F

( )

p p 1,p 3

2 2

 

ε = ε _ = = _

 

Đưa vào biến số mới z= µ − ε

θ , ta có :

z, d dz

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

(

)

(

)

(

)

P z

0

P z z

0

F z

I dz

e 1

F z F z

I dz dz

e 1 e 1

∞

µ
−

θ

∞

µ
−

θ

µ + θ
= θ

+

µ + θ µ + θ
= θ + θ

+ +

∫

∫

∫

Trong tích phân đầu thay biến số z bằng –z, ta được:

(

)

(

)

0

P z z

0

F z F z

I dz dz

e 1 e 1

∞

µ
θ

µ − θ µ + θ
= −θ + θ

+ +

∫

∫

Dùng hệ thức:

z z

1 1

1

e− 1= −e 1

+ +

Ta viết lại biểu thức của IP như sau:

(

)

(

)

(

)

0 0

p z z

0

F z F z

I F z dz dz dz

e 1 e 1

∞

µ µ

θ θ

µ − θ µ + θ
= −θ µ − θ + θ + θ

+ +

∫

∫

∫

hay

( )

(

)

(

)

p z z

0 0 0

F z F z

I F d dz dz

e 1 e 1

µ

µ θ µ − θ ∞ µ + θ

= ε ε − θ + θ

+ +

∫

∫

∫

Ta hãy tính µ và E ở vùng nhiệt độ rất thấp. Khi đó zθ bé và µ → ∞

θ . Biểu

thức của IPở vùng nhiệt độ rất thấp có dạng:

( )

(

)

(

)

p z

0 0

F z F z

I F d dz

e 1

µ ∞ _{µ + θ −} _{µ − θ}

= ε ε + θ

+

∫

∫

Đặt x z= θ ta khai triển các hàm F

(

µ + θz

)

và F

(

µ − θz

)

theo x và chỉ giữ
đến số hạng bậc nhất của x:

(

) (

)

(

)

(

)

( )

p

0
p 1

p

F

F x x F ,0 x

x

F z p − z

∂

 

µ + = µ + = µ +_ _
∂

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

(

) (

)

(

)

(

)

( )

p

0
p 1

p

F

F x x F ,0 x

x

F z p − z

∂

 

µ − = µ − = µ +_ _
∂

 

µ − θ = µ − µ θ

Đặt các biểu thức F

( )

ε = εp và F

(

µ + θ −z

)

F

(

µ − θ =z

)

2p

( )

µ p 1− zθ vào (4)

và chú ý:

2
z

0

zdz

e 1 12

∞

π
=
+

∫

Ta tìm được:

( )

p 1 2

p 1 ₂
p

I p

p 1 6

+

−

µ π

= + µ θ

+ (5)

Dễ thấy rằng:

2
2
3 / 2

1/ 2

2

I 1

3 8

 _π _{ }_θ 

= µ _ + _{ } _
µ

 

 

(6)

2
2
5 / 2

1/ 2

2 5

I 1

5 8

 _π _{ }_θ 

= µ _ + _{ } _

µ

 

 

(7)

Khi T→0 thì µ → µ₀ và E→E₀. Khi đó ta có:

3 / 2
0

5 / 2

0 0

N 2

n

V 3

2
E V

5

= = α µ
= α µ

(8)

Hay

2 / 3 ₂ 2 / 3
2 / 3
0

0 0

3 n h 3

n

2 2m 8

3

E N

5

   

µ =_ _ = _ _

α π

   

= µ

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

Chú ý rằng khi T→0 thì n f=

( )

ε ≈1 khi ε < µ₀ và n 0≈ khi ε > µ₀ nên

các hệ thức (8) hay (9) được nhận từ các hệ thức đơn giản sau:
0

0

1/ 2 3 / 2
0
0

3 / 2 5 / 2

0 0
0
2
n d
3
2

E V d V

5
µ

µ
= α ε ε = αµ
= α ε ε = α µ

∫

∫

Để tính µ và E phụ thuộc vào T ở vùng nhiệt độ thấp, gần đúng ta thay θ µ/

bằng θ µ/ ₀ trong các công thức của I_{1/ 2} và I_{3 / 2}:

2
2

3 / 2
1/ 2

0
2
2

5 / 2
3 / 2

0
2
I 1
3 8
2 5
I 1
5 8

 _π _ _θ _ 
 
≈ µ + _ _
 __µ _ 
 
 _π _ _θ _ 
 
≈ µ + _ _
 __µ _ 
 
(10)

Từ các công thức (2) và (8) suy ra:

2
2

3 / 2 3 / 2
0 1/ 2

0

n 2 2

I 1

3 3 8

 _π _ _θ _ 

 

= µ = = µ + _ _

 

α _ _µ _ _

Dễ thấy rằng:

2 / 3

2 2
2 2
0 0
0 0
1 1
8 12
−
 _π _ _θ _   _π _ _θ _ 
   
µ = µ + _ _ ≈ µ − _ _
 __µ _   __µ _ 
   
(11)
Năng lượng khí electron trong kim loại bằng:

2
2

5 / 2
3 / 2

0
5 / 2

2 2

2

5 / 2 2

0

0 0

2 5

E VI V 1

5 8

2 5

V 1 1

5 12 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

2 2
2

5 / 2 2

0

0 0

2 4

2 4

0

0 0

2 5

E V 1 1

5 24 8

5 25

E 1

12 192

 _π _ _θ _  _ _θ _ 

  

= α µ − _ _ + π _ _

 __µ _  __µ _ 

  

 _ _θ _ _ _θ _ 

 

= + π _ _ − π _ _

 __µ _ __µ _ 

 

Bỏ qua số hạng bé chứa

4

0

 _θ 

 

µ

  và chú ý:

5 / 2

0 0 0

2 3

E V N, kT

5 5

= α µ = µ θ =

ta được:

2
2

0 0

0

3 5 kT

E N 1

5 12

 _ _ 

 

= µ + π _ _

 _ _µ _ 

 

(12)

Nhiệt dung đẳng tích của khí electron bằng:

e 2

V

V 0

E Nk kT

C

T 2

 

∂

 

=_ _ = π _ _

∂ µ

  _ _ (khi T thấp) (13)

Như vậy ở vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung của khí electron trong kim loại tỉ lệ

bậc nhất với nhiệt độ.

Entropi của khí electron được tính từ phương trình:

( )

2

T
V

0 ₀

C T Nk kT

S dT

T 2

 

π

= = _ _

µ

 

∫

(14)

Năng lượng tự do của khí electron trong kim loại được tính từ hệ thức:

2 / 3 2 / 3
2

0

h 3 N

2m 8 V

   

µ = _ _{ } _

π

    (15)

Trong đó phụ thuộc vào V theo cơng thức:

Phương trình trạng thái của khí electron được tính theo cơng thức:

T

F
p

V
∂

 

= −_ _
∂

  hay

2

pV E

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

2
2

0

0

2 5 kT

pV N 1

5 12

 _ _ 

 

= µ + π _ _

 __µ _ 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

<b>V. Dao động tử điều hồ một chiều </b>

§1.Năng lượng của dao động tửđiều hồ một chiều.

Tốn tử Hamilton của dao động tửđiều hồ một chiều có dạng:

2 2 2

ˆ ˆ

p m x

ˆH

2m 2

ω

= + (1)

Trong đó ˆx là tốn tử toạ độ và ˆp i d

dx

= − là toán tử xung lượng.

Phương trình Schrodinger của dao động tửđiều hồ ở trạng thái dừng:

( )

( )

n n n

ˆHΨ x =E Ψ x (2)

Ta tìm năng lượng En và hàm sóng Ψn

( )

x của dao động tử điều hoà.

Đáng lẽ biểu diễn ˆH qua ˆp và ˆx ta biểu diễn qua các toán tử ˆa và ˆa+ được

xác định như sau:

0

0

ˆp

ˆ ˆ

a a [i + x]

m
ˆp

ˆ ˆ

a a [-i + x]

m

+

= ω

= ω

(3)

Trong đó x x ,p pˆ = ˆ+ ˆ = ˆ+ là những toán tử ecmit, ˆa+_{là toán t}

ử liên hợp với

toán tử ˆa và

1/ 2
0

m
a

2

 

=_ _

ω

  .

Từ (3) ta có:

(

)

(

)

0

0

ˆ ˆ

ˆx x a a

ˆ ˆ ˆ

p ix m a a

+
+

= +

= − ω − (4)

trong đó

1/ 2
0

x

2m

 

=_ _

ω

 

. Từ hệ thức :

ˆ ˆ

ˆ ˆ

xp px i− =

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

ˆˆ ˆ ˆ
aa+ a a 1+

− = hay ˆˆaa+ a a 1ˆ ˆ+

= + (5)

Đặt (4) vào (1), ta được:

(

)

1

ˆ _ˆˆ _{ˆ ˆ} _{ˆ ˆ}

H aa a a a a

2 2

1

ˆ _ˆ _ˆ _{ˆ ˆ}

H n , n a a

2

+ + +

+

ω  

= + = ω_ + _

 

 

= ω_ + _ =

 

(6)

Phương trình (2) được viết lại như sau:

( )

( )

( )

n n n n

1

ˆ _ˆ

H x n x E x

2

 

Ψ = ω_ + _Ψ = Ψ

 

Gọi n là trị riêng của toán tử ˆn tương ứng với hàm riêng Ψ_n

( )

x , ta có:

( )

n n

n n n n n

n

ˆn n

1 1

ˆ _ˆ

H n n E x

2 2

1

E n

2
Ψ = Ψ

   

Ψ = ω_ + _Ψ = ω_ + _Ψ = Ψ

   

 

= ω_ + _

 

(7)

Ta hãy nghiên cứu tính chất của số n. Chú ý rằng:

[ ]

+ +

+ + + + + + + +

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ

n,a na - an= a aa - aa a=-a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

n,a na - a n= a aa - a a a=a

=
=

 

 

(8)

Ta có:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

n n

n n n

n n n

ˆn n

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

na an a n 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

na+ a n a+ + n 1

Ψ = Ψ

Ψ = − Ψ = − Ψ

Ψ = + Ψ = + Ψ

Từ các hệ thức này ta thấy rằng Ψ_n là hàm riêng của ˆn tương ứng với trị

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

riêng bé nhất của toán tử tương ứng với hàm riêng Ψ_{n 0} thì khơng tồn tại

trạng thái ˆaΨ_{n 0} ứng với trị riêng n0-1.

Điều đó có nghĩa là:

n 0

ˆaΨ =0 (9)

Ta hãy tìm giá trị riêng bé nhất n0 của toán tử ˆn . Ta biết rằng:

0 0 0

n n 0 n

ˆ ˆ ˆ

n a a+ n

Ψ = Ψ = ψ

Vì

0

n

ˆaΨ nên ta có:

0 0 0

n 0 n n

ˆ ˆ ˆ

n n a a+ 0

Ψ = Ψ = ψ =

Do hàm

0

n 0

Ψ ≠ ta có n₀ =0. Các giá trị riêng của toán tử lien tiếp khác

nhau một đơn vị (n-1, n, n+1) và giá trị riêng bé nhất bằng không. Như vậy

những giá trị riêng có thể có của tốn tử là những số nguyên không âm,

nghĩa là n=0,1,2,3..

Năng lượng của dao động tửđiều hoà:

n

1

E n , n 0,1,2,3...

2

 

= ω_ + _ =

 

(10)

Ta hãy xét ý nghĩa của toán tử ˆa và ˆa+

.

Từ hệ thức (8) suy ra :

ˆ_ˆ _ˆˆ _ˆ

Ha aH a

ˆ_ˆ _ˆ ˆ _ˆ

Ha+ a H a+ +

= − ω

= + ω

(11)

Dễ thấy rằng:

(

)

(

)

(

)

(

)

n n n

n n n n

n n n n

ˆH E

ˆ_ˆ _ˆˆ _ˆ _ˆ

Ha aH a E a

ˆ_ˆ _ˆ ˆ _ˆ _ˆ

Ha+ a H a+ + E a+

Ψ = Ψ

Ψ = − ω Ψ = − ω Ψ

Ψ = + ω Ψ = + ω Ψ

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

Ở trạng thái Ψ_n năng lượng dao động điều hoà bằng En ở trạng thái ˆaΨn

năng lượng dao động điều hoà bằng

(

E_n − ω

)

và ở trạng thái ˆa+Ψ_nnăng

lượng dao động điều hoà bằng

(

E_n + ω

)

. Toán tử ˆa+ là toán tử sinh một hạt

và toán tử ˆa là tốn tử huỷ một hạt có năng lượng bằng ω. Toán tử ˆ ˆa a+ là

toán tử số hạt. Hạt có năng lượng bằng ω được gọi là phonon. Phonon

không phải là hạt thực, phonon là chuẩn hạt có spin bằng khơng thuộc loại

bozon.

Bây giờ ta thiết lập qui tắc tác dụng của các toán tử ˆa và ˆa+_{lên hàm}

n

Ψ .
Gọi Ψ_{n 1}₊ là hàm riêng của toán tử ˆn tương ứng với trị riêng n+1, ta có:

(

)

n 1 n 1

ˆnΨ ₊ = n 1+ Ψ ₊
Hai hàm Ψ_{n 1}₊ và ˆa+ _n

Ψ là hai trị riêng của toán tử ˆn có cùng một trị riêng

n+1 nên hai hàm này chỉ khác nhau một thừa số nhân α nào đó:

n n 1

ˆa+

+

Ψ = αΨ

Ở đây α là một số thực hay phức. Ta hãy xác định α. Vì tốn tử ˆa+_{là toán}

tử liên hiệp ecmit với tốn tử ˆa nên ta có:

(

)(

)

(

)

(

)

* *

n n n n

2

* *

n n n 1 n 1

2

* *

n n n 1 n 1

ˆˆ ˆ ˆ

aa dx a a dx

ˆn 1 dx dx

n 1 dx dx

+ + +

+ +

+ +

Ψ Ψ = Ψ Ψ

Ψ + Ψ = α Ψ Ψ

+ Ψ Ψ = α Ψ Ψ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Từđiều kiện chuẩn hoá của hàm sóng:

* *

n ndx 1, n 1+ n 1+dx 1

Ψ Ψ = Ψ Ψ =

∫

∫

ta có:

i

n 1eβ

α = +

Với β là một số thực bất kì. Hai hàm sóng khác nhau một thừa số eiβ cùng

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

n n 1

ˆa+ n 1

+

Ψ = + Ψ (13)

Tác dụng toán tử ˆa lên hai vế của (13) và chú ý ˆˆaa+ = +1 nˆ, ta được:

(

)

(

)

n n n n 1

ˆˆ ˆ ˆ

aa+ 1 n 1 n 1 na

+

Ψ = + Ψ = + Ψ = + Ψ

Từ hệ thức này suy ra:

n 1 n

ˆaΨ ₊ = n 1+ Ψ
hay

n n 1

ˆaΨ = nΨ ₋ (14)

Các hệ thức (13) và (14) cho ta qui tắc tác dụng của toán tử ˆa và ˆa+ lên hàm

n

Ψ .

§2. Hàm sóng của dao động tửđiều hồ

Ta tìm hàm riêng Ψ_n

_{( )}

x của ˆH tương ứng với giá trị riêng

n

1

E n

2

 

= ω_ + _

 

.

Trong hệ thức (13) nếu thay n bằng n-1 thì ta có:

n 1 n

ˆa+ n

−

Ψ = Ψ

hay

n 1
n

ˆa
n

+
−

Ψ
Ψ =

Tiếp tục thay các hàm

n 2
n 1

n 3
n 2

ˆa
n 1
ˆa

n 2

+

−
−

+
−
−

Ψ

Ψ =

−
Ψ

Ψ =

−

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

( )

( )

n

n 0

ˆa

x
n!

+

Ψ = Ψ (15)

Ởđây:

1/ 2

0 0

d m

ˆa a x , a

m dx 2

+    

= _ω − _ =_ _

ω

   

Hàm Ψ₀

_{( )}

x được xác định từ phương trình:

( )

( )

0 0 0

d

ˆa x a x x 0

m dx

 

Ψ = _ω + _Ψ =

 

hay

( )

( )

0

0

d x m x

x 0

dx

Ψ ω

+ Ψ =

(16)

Nghiệm của phương trình này có dạng:

( )

m2 x2
0 x A e0

ω
−

Ψ = (17)

Từđiều kiện chuẩn hoá của hàm sóng:

( )

( )

*

0 x 0 x dx 1

Ψ Ψ =

∫

Ta tìm được:

1/ 4
0

m
A =_ ω_

π

 

Biết được Ψ₀

( )

x ta xác định được hàm sóng Ψ_n

( )

x theo (15).
§3. Các đại lượng nhiệt động của dao động tửđiều hoà

Xác suất tìm dao động tử điều hồ ở trạng thái có năng lượng En là:

n

E
kT
n

W =Ae− (18)

Từđiều kiện chuẩn hoá của xác suất

∑

W_n =1, ta có:

( )

n

E

n 1/ 2
kT kT
n n 0

1

A , Z e e

Z

ω
∞

− − +

= =

∑

=

∑

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

Đại lượng Z được gọi là tổng thống kê của dao động tử điều hồ. Ta tính Z.

n
2kT kT

n 0

Z e e

ω _∞ ω
− −

=

=

∑

Đặt d e kT

ω
−

=

và tính tổng của cấp số nhân:

n
n 1

n
n 0

d 1

d

d 1

−
=

−
=

−

∑

Khi n→ ∞ thì dn →0. Khi đó ta có :

n
kT

n 0 _kT

2kT

kT

1
e

1 e
e

Z

1 e

ω
∞ ₋

ω
−
=

ω
−

ω
−

=
−

=
−

∑

(20)

Năng lượng tự do của dao động tử điều hoà :

kT

F kTln Z kTln 1 e

2

ω
−

ω  

= − = + _ − _

 

(21)

Năng lượng trung bình của dao động tửđiều hồ được tính theo cơng thức :

(

)

2
n n

n

kT

ln Z

E n E W kT

2 T

E

2 _e ω ₁

∂
ω

= + ω = =

∂

ω ω

= +

−

∑

(22)

Từ hệ thức này suy ra :

kT

1
n

e 1

ω

=
−

(23)

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

<b>VI. Lý thuyết lượng tử dao động mạng </b>

§1. Lí thuyết cổđiển dao động mạng

Ta xét một tinh thể cấu tạo từ N ô cơ sở mỗi ô cơ sở có r nguyên tử. Số

nguyên tử của tinh thể là Nr. Gọi m_lk là khối lượng của nguyên tử ở nút lk

(l=1,2,...,N, k=1,2,...r). Vị trí của nguyên tử ở nút lk được xác định bởi véctơ

( )

0

( )

( )

R lk =R lk +u lk (1)

Trong đó u lk

( )

là véctơ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng R lk₀

( )

của

nguyên tử ở nút lk.

Động năng T của tinh thể bằng tổng động năng của các nguyên tử:

( )

( )

( )

2

lk
lk _lk

p lk

T , p lk m u lk

2m

α

α α

α

=

∑

= (2)

Trong đó u lk_α

( )

là thành phần dịch chuyển của nguyên tử k ở ô l theo trục

vuông góc α (α =1,2,3 hay x,y,z), u lk

( )

d u lk

( )

dt

α = α

là đạo hàm của

( )

u lk_α theo thời gian t và là thành phần xung lượng của nguyên tử lk có

khối lượng.

Thế năng Φ của tinh thể được khai triển theo dịch chuyển u lk

( )

.

( )

( )

( )

(

)

( ) (

)

0

lk lk l ' k '

0 0

1

u lk u lk u l'k '

u lk α 2 u lk u l'k ' α β

α _α α β _α _β

 

 _∂Φ  _∂Φ

Φ = Φ +   + _ _

∂ ∂ ∂

   

∑

∑ ∑

Từđiều kiện cực tiểu của thế năng tại vị trí cân bằng, ta có :

( )

(

)

( )

(

)

0

0

0
u lk

lk,l'k ' 0

u lk u l'k '

α

αβ

α β

 _∂Φ 

=

 

∂

 

 _∂Φ 

Φ =_ _ >

∂ ∂

 

(3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

Chọn gốc tính thế năng để Φ =₀ 0. Trong gần đúng bậc hai, thế năng có

dạng :

(

) ( ) (

)

lk l ' k '

1

lk,l'k ' u lk u l'k '

2 αβ α β

α β

Φ =

∑ ∑

Φ (4)

Hàm Hamilton H và hàm Lagrange L của tinh thể :

H T
L T

= + Φ

= − Φ (5)

Hệ các phương trình Lagrange L :

( )

( )

d L L

0

dt u lk_α u lk_α

∂ ∂

+ =

∂ ∂ (6)

Hay

( )

(

) (

)

lk

l ' k '

m u lk••α _αβ lk,l'k ' u l'k '_β

β

= −

∑

Φ (7)

Tìm u lk, t_α

₍

₎

dưới dạng :

(

)

( )

i t

u lk, t u lk e− ω

α = α (8)

( )

2

(

)

(

) (

)

lk lk

l ' k '

m u lk••α m u lk,t_α _αβ lk,l'k ' u l'k '_β

β

= −ω = −

∑

Φ

Đặt

( )

( )

1
2
lk

u lk_α =B lk m_α − , ta có:

( )

(

)

(

)

(

)

2

1/ 2
l ' k '

lk l ' k '

lk,l'k '

B lk B l'k '

m m

αβ

β
β

Φ

−ω = −

∑

hay:

(

)

(

)

2
ll ' kk '
l ' k '

D lk,l'k ' B l'k ' 0

αβ αβ β

β

ω δ δ δ −  =

 

∑

(9)

Ởđây:

(

)

(

)

lk l ' k '

lk,l'k '
D lk,l'k '

m m

αβ

αβ

Φ

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

Điều kiện để phương trình có nghiệm B l'k '_β

(

)

khác không là:

(

)

2
ll ' kk '

det_ω δ δ δ −_αβ D_αβ lk,l'k ' _=0 (11)

Vì Φ_αβ là thực và Φ_αβ

(

lk,l'k '

)

= Φ_βα

(

l'k ',lk

)

nên yếu tố ma trận

(

)

D_αβ lk,l'k ' là thực. Ma trận D với các yếu tố D_αβ

(

lk,l'k '

)

thoả mãn điều

kiện :

(

)

*

(

)

(

)

D_αβ lk,l'k ' =D_βα l'k ',lk =D_βα l'k ',lk (12)

là ma trận ecmit. Ma trận D có các trị riêng ω ω₁2, 2₂,...ω_3Nr2 là những số thực

và các vectơ riêng B l'k '_β

(

)

là trực giao với nhau.
Ứng với một tần số ω_s nào đó, ta có :

( )

( )

s

s

i t
lk

B lk

u lk e

m

α − ω

α = (13)

Ta hãy chỉ ra rằng các véctơ riêng B lk_αs

( )

là trực giao với nhau. Thật vậy, từ

(9) ta có :

( )

(

) (

)

2 s s

s

l ' k '

B lk_α D_αβ lk,l'k ' B l'k '_β

β

ω =

∑

(14)

( )

(

)

(

)

2 s ' s '

s '

l ' k '

B lk_α D_αβ lk,l'k ' B l'k '_β

β

ω =

∑

(15)

Nhân hai vế của (14) với B lks '_α

( )

và nhân hai vế của (15) với B lks_α

( )

rồi lấy

tổng theo lkα, ta được :

( )

( )

(

)

( ) (

)

2 s ' s s ' s

s

lk lk l ' k '

B lk B lk_α _α D_αβ lk,l'k ' B lk B l'k '_α _β

α α β

ω

∑

=

∑ ∑

(16)

( )

( )

(

)

( )

(

)

2 s s ' s s '

s '

lk lk l ' k '

B lk B lk_α _α D_αβ lk,l'k ' B lk B l'k '_α _β

α α β

ω

∑

=

∑ ∑

(17)

Khi thay đổi chỉ số lấy tổng thì kết quả tổng khơng thay đổi. Ta thay các chỉ

số tổng l↔l',k ↔k ',α ↔ β ở vế phải của (17), ta được :

( )

( )

(

) (

)

( )

2 s s ' s s

s ' B lk B lkα α Dβα l'k ',lk B l'k ' B lkβ α

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

Chú ý rằng D_βα

(

l'k ',lk

)

=D_αβ

(

lk,l'k '

)

, ta có :

( )

( )

(

) (

)

( )

2 s s ' s s '

s '

lk lk l ' k '

B lk B lk_α _α D_αβ lk,l'k ' B l'k ' B lk_β _α

α α β

ω

∑

=

∑ ∑

(19)

Từ các hệ thức (16) và (19) ta viết được :

Khi s s'≠ thì ω ≠ ω2_s 2_{s '}. Khi đó ta có :

( )

( )

s s '
lk

B lk B lk_α _α 0

α

=

∑

khi s s'≠ (20)

Đó là điều kiện trực giao của các véctơ riêng của ma trận D.

Ta chọn các điều kiện trực giao và chuẩn hoá của các véctơ riêng B lks_α

( )

như sau:

( )

( )

s s '

ss '
lk

B lk B lk_α _α

α

= δ

∑

(21)

( ) ( )

s s

ll ' kk '
lk

B lk B lk_α _β _αβ

α

= δ δ δ

∑

(22)

Dùng các điều kiện trực giao và chuẩn hố (21) và (22) ta tính được giá trị

trung bình của ω2 . Thật vậy, khi s’=s thì từ (16) và (21), ta có:

(

)

( ) (

)

2 s s

s

lk l ' k '

D_αβ lk,l'k ' B lk B l'k '_α _β

α β

ω =

∑ ∑

Dùng hệ thức (22), ta tìm được:

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

2 s s

s

lk l ' k '

ll ' kk '
lk l ' k '

lk lk _lk

D lk,l'k ' B lk B l'k '
D lk,l'k '

lk,lk
D lk,lk

m

αβ α β

α β

αβ αβ

α β

αα
αα

α α

ω =

= δ δ δ
Φ

= =

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

(

)

3Nr

2 2

s

s 1 lk _lk

lk,lk

1 1

3Nr 3Nr m

αα

= α

Φ

ω =

∑

ω =

∑

(23)

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Ta tính năng lượng H T= + Φ của dao động mạng tinh thể trong toạ độ suy

rộng.

Đưa vào toạ độ suy rộng a t_s

( )

liên hệ với thành phần dịch chuyển u lk, t_α

(

)

bằng hệ thức:

(

)

( )

( )

( )

1/ 2 _s

*

s s

s

lk s

B lk

u lk, t a t a t

2m
α
α
 
=_ _ _ + _
ω
 

∑

(24)
trong đó:

( )

( )

i ts *

( )

*

( )

i ts 2

s s s s

a t a 0 e− ω , a t a 0 e , iω 1

= = = −

Thành phần xung lượng p lk,t_α

(

)

có dạng:

(

)

( )

( )

( )

( )

1/ 2

s *

lk

lk s s s

s

m

p lk, t m u lk i B lk a t a t
2
•
α
α α
 
= = − _ _ ω _ − _
 

∑

Ta biểu diễn năng lượng dao động mạng H T= + Φ qua a_s và a*_s. Thế năng

Φ của dao động mạng trong gần đúng bậc hai đối với phép khai triển theo

dịch chuyển u lk_α

( )

có dạng:

(

) ( ) (

)

(

) ( ) (

)

lk l ' k '

lk l ' k '
lk l ' k '

1

lk,l'k ' u lk u l'k '
2

1

m m D lk,l'k ' u lk u l'k '
2
αβ α β
α β
αβ α β
α β
Φ = Φ
=

∑ ∑

∑ ∑

Đặt:

( )

( )

(

)

(

)

1/ 2 _s

*
s s

s

lk s

1/ 2 _{s '}

*
s ' s '
s

lk s '

B lk

u lk a a

2m

B l'k '

u l'k ' a a

2m
α
α
β
β
 
=_ _ _ + _
ω

 
 
=_ _ _ + _
ω
 

∑

∑

vào biểu thức của với sự chú ý các hệ thức (15), (21) và (22) ta được:

(

)(

)

3Nr

* *

s s s s s
s 1

a a a a
4

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

Động năng của dao động mạng được tính theo cơng thức:

( ) ( )

lk _lk

p lk p lk
1
T
2 2m
α α
α
=

∑

Đặt các biểu thức:

( )

( )

( )

( )

1/ 2

s *

lk

s s s

s
1/ 2

s ' *

lk

s ' s ' s '

s '

m

p lk i B lk a a

2
m

p lk i B lk a a

2
α α
α α
 
= − _ _ ω _ − _
 
 
= − _ _ ω _ − _
 

∑

∑

vào biểu thức của T và sử dụng điều kiện (21) ta được:

(

*

)(

*

)

s s s s s

s

T a a a a

4

=

∑

ω − − (27)

Biểu thức H T= + Φ của có dạng:

(

* *

)

s s s s s
s

H a a a a

2

=

∑

ω + (28)

§2. Lí thuyết lượng tử dao động mạng

Chuyển từ cơ học cổ điển sang cơ học lượng tử ta thay toạ độ suy rộng a_s

bằng toán tử ˆa_s, thay a*_s bằng toán tử ˆa_s+. Khi đó:

( )

ˆ

( )

u lk_α →u lk_α và

( )

( )

( )

ˆ

p lk p lk i

u lk
α α
α
∂
→ = −
∂

( )

( )

( )

( )

1/ 2 _s

s s
s

lk s

B lk

ˆ ˆ

ˆu lk a t a t

2m

α +
α
 
=_ _ _ + _
ω
 

∑

(1)

( )

( )

( )

( )

1/ 2
s
lk

s s s

s

m

ˆ ˆ ˆ

p lk i B lk a t a t

2
+
α α
 
= − _ _ ω _ − _
 

∑

(2)

( )

( )

i ts

( )

( )

i ts

s s s s

ˆ ˆ ˆ ˆ

a t a 0 e− ω , a t+ a 0 e+ ω

= = (3)

Các toán tử u lkˆ_α

( )

=u lkˆ_α+

( )

và p lkˆ

( )

p lkˆ+

( )

α = α là những toán tử ecmit nên

s

ˆa+_{là toán t}

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

Các tốn tử ˆa_s và ˆa_s+ có các hệ thứ giao hoán thế nào để thoả mãn các hệ

thức sau:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ

u lk u lk u lk u lk 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

p lk p lk p lk p lk 0

ˆ ˆ

ˆ ˆ

u lk p lk p lk u lk i

α β β α

α β β α

α β β α αβ

− =

− =

− = δ

(4)

Dễ nghiệm lại rằng nếu có :

s s ' s ' s
s s ' s ' s

s s ' s ' s ss '

ˆ ˆ ˆ ˆ
a a a a 0

ˆ ˆ ˆ ˆ
a a a a 0

ˆ ˆ ˆ ˆ
a a a a

+ + + +
+ +

− =
− =
− = δ

(5)

thì các hệ thức (4) được thoả mãn.

Toán tử ˆa_s là tốn tử huỷ một hạt phonơn và tốn tử ˆa_s+ là tốn tử sinh một

hạt phonơn có năng lượng bằng ω_s.

Toán tử Hamilton ˆH của dao động mạng có dạng :

(

)

s

s s s s
s

s s s s s

s s

ˆ _{ˆ ˆ} _{ˆ ˆ}

H a a a a

2

1 1

ˆ _{ˆ ˆ} _ˆ

H a a n

2 2

+ +

+

ω

= +

   

= ω _ + _= ω _ + _

   

∑

∑

∑

(6)

Ởđây ˆn_s là tốn tử số hạt phonơn.

Toán tử Hamilton ˆH của dao động mạng được viết dưới dạng :

3Nr
s
s 1

ˆ ˆ

H H

=

=

∑

(7)

Ở đây Hˆ_s _s nˆ_s 1
2

 

= ω _ + _

 

là tốn tử Hamilton của dao động điều hồ với tần

số ω_s. Năng lượng
s

n

E và hàm sóng

s

n

Ψ của dao động điều hoà với

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

s s s
s

s n n n

n s s s

ˆH E

1

E n , n 0,1,2...
2

Ψ = Ψ

 

= ω _ + _ =

 

Năng lượng

1 1 3 Nr

n n ...n

E và hàm sóng

1 1 3 Nr

n n ...n

Ψ của dao động mạng được xác
định từ phương trình Schrodinger:

1 1 3 Nr 1 1 3 Nr 1 1 3 Nr

n n ...n n n ...n n n ...n

ˆHΨ =E Ψ

Dễ thấy rằng :
1 1 3 Nr s

3Nr 3Nr

n n ...n n s s s
s 1 s 1

1

E E n , n 0,1,2...

2

= =

 

= = ω _ + _ =

 

∑

∑

(8)

1 1 3 Nr s

3Nr
n n ...n _{s 1}₌ n

Ψ = Π Ψ (9)

Biết được

1 1 3 Nr

n n ...n

E ta tính được tổng thống kê và các đại lượng nhiệt động
đặc trưng cho dao động mạng.

§3. Các đại lượng nhiệt động của dao động mạng

1. Năng lượng tự do của dao động mạng

Ta hãy tính năng lượng tự do của dao động mạng trong gần đúng điều hoà.

Tổng trạng thái của dao động mạng :

n n ..n ..n1 2 s 3 Nr

1 2 s 3 Nr

n n
n1 n2 s 3 Nr
1 2 s 3 Nr

E
kT
n 0 n 0 n 0 n 0

E E

E E

kT kT kT kT

n 0 n 0 n 0 n 0
3Nr

s
s 1

Z ... ... e

e e ... e ... e

Z Z

∞ ∞ ∞ ∞ ₋
= = = =

∞ ₋ ∞ ₋ ∞ ₋ ∞ ₋

= = = =

=

=
=

= Π

∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

∑

(1)

Ởđây:

( ) s

ns s s

s
s s

E n 1/ 2 _2kT

kT kT

s

n 0 n 0 _kT

e

Z e e

1 e

ω
−
ω +

∞ ₋ ∞ ₋

ω
−

= =

= = =

−

∑

∑

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

s s

s s
n 1 n 1

F kTln Z kT ∞ ln Z ∞ F

= =

= − = −

∑

=

∑

(2)

Ởđây :

s

s kT

s c

F kT ln Z kT ln 1 e
2
ω
−
ω  
= − = + _ − _
 

(3)

là năng lượng tự do của dao động điều hoà tần số ω_s.

Biết F a tính được các đại lượng nhiệt động khác đặc trưng cho dao động

mạng. Thí dụ : entropy

V
F
S
T
∂
 
= −_ _
∂

  , năng lượng trung bình E F TS= + ,

nhiệt dung đẳng tích _V

V
E
C
T
∂
 
=_ _
∂

  ,vv.

§4. Năng lượng và nhiệt dung của vật rắn

Ta tính năng lượng trung bình của dao động mạng tinh thể và nhiệt dung của

vật rắn do dao động mạng.

Năng lượng trung bình (trung bình theo tập hợp thống kê) của dao động tử
điều hoà với tần số ω_s bằng Es :

(

)

s

s s s

s

s s s

kT

F

E n 1/ 2 F T

T 2 _e ω ₁

∂ ω ω
= ω + = − = +

∂
−

Năng lượng trung bình của dao động mạng :
s

3Nr 3Nr
s
s 0

s 1 s 1 _kT

E E E

e 1
ω
= =
ω
= = +
−

∑

∑

(4)

Ởđây

3Nr

s
0
s 1
E
2
=
ω

=

∑

là năng lượng dao động khi T→0.

Nhiệt dung đẳng tích của vật rắn do dao động được xác định bằng công thức:

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

Ở vùng nhiệt độ cao s 1
kT

ω

thì gần đúng, ta có:
s

s
kT

0
V

e 1

kT
E E 3NrkT
C 3Nrk

ω

ω
≈ +
= +

=

(6)

§4. Mơ hình Einstein và mơ hình Debye
a. Mơ hình Einstein

Einstein coi rằng 3Nr dao động điều hồ trong tinh thể có cùng tần số, nghĩa

là ω = ω_s _E. Năng lượng dao động mạng theo mơ hình Einstein có dạng :
E

E
0

kT

0 E

E E 3Nr

e 1

3Nr
E

2

ω

ω
= +

−
= ω

(7)

Nhiệt dung đẳng tích của vật rắn do dao động theo mơ hình Einstein bằng :
E

E

2

kT
E

V 2

V _kT

E e

C 3Nrk

T kT

e 1

ω

ω

ω

∂  

 

=_ _ = _ _
∂

     

−

 

 

(8)

Ở vùng nhiệt độ cao khi E 1
kT

ω

ta có :

0

V

V

E E 3NrkT
E

C 3Nrk

T

= +
∂

 

=_ _ =
∂

 

(9)

Kết quả vùng này phù hợp với thực nghiệm.

Khi E ₁

kT

ω

nghĩa là khi nhiệt độ thấp thì

E E

kT kT

e 1 e

ω ω

− ≈

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

E

2
E kT
V

C 3Nrk e

kT

ω
−

ω

 

= _ _

 

(10)

Như vậy khi T→0 thì CV giảm theo định luật hàm mũ. Thực nghiệm chỉ

rằng khi T thấp C_V ∼T3.

b. Mơ hình Debye

Lí thuyết phù hợp hơn cả với thực nghiệm cho nhiệt dung ở nhiệt độ thấp là

lí thuyết Debye. Debye coi vật rắn là môi trường liên tục, sự truyền dao động

trong vật rắn là sự truyền sóng âm. Thành phần dịch chuyển α của ngun

tửở vị trí r trong mơi trường liên tục có dạng :

(

)

( ( ))

(

)

( x y z ( ))

i qr q t

i q x q y q z q t

u x, y,z,t A e
u x, y,z,t A e

−ω

α α

+ + −ω

α α

=
=

(11)

Trong đó q= 2πn
λ

là véctơ sóng, ω

( )

q là tần số dao động. Đối với dao

động âm thì ω

( )

q phụ thuộc bậc nhất với q và khi q→0 thì ω

(

q→0

)

=0:

( )

q v , .q

(

)

ω = θ ϕ (12)

Ở đây θ và ϕ là những góc xác định phương của véctơ q. Các giá trị của q

thay đổi liên tục từ q=0 đến qmax và do đó các tần số ω (tần số góc) cũng

thay đổi liên tục từ ω =0 đến ω_max. Để chuyển từ việc tính tổng theo các ω

bằng tích phân theo ω ta tính số dao động có tần số nằm trong khoảng từ ω

đến ω + ωd .

Mỗi giá trị của q tương ứng với một giá trị của ω (ω =vq). Gọi dZ_q là số

giá trị của q nằm trong yếu tố thể tích khơng gian dV_q =dq dq dq_x _y _z. Ta tính

q

dZ . Giả sử tinh thể có dạng hình hộp chữ nhật có các cạnh L ,L ,L_x _y _z. Từ

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

(

)

(

)

(

)

(

)

x

y

z

u x, y,z,t u x L , y,z,t
u x, y L ,z,t
u x, y,z L , t

α α

α
α

= +
= +

= +

(13)

suy ra:

y y

x x iq L z z

iq L iq L

e =1, e =1, e =1 (14)

hay

x 1 y 2 z 3

x y z

2 2 2

q n , q n , q n

L L L

π π π

= = = (15)

Một tập hợp ba số n ,n ,n₁ ₂ ₃ cho một giá trị của q và do đó cho một giá trị

của ω. Khi L ,L ,L_x _y _z đủ lớn thì sự thay đổi của q coi như liên tục. Số giá trị

của q nằm trong dV_q =dq dq dq_x _y _z bằng

q

dZ :

( )

x y z

q 1 2 3 3 x y z

L L L

dZ dn dn dn dq dq dq
2

= =

π

hay

( )

q 3 x y z

V

dZ dq dq dq
2

=

π (16)

Ởđây V là thể tích của tinh thể.
Đại lượng

( )

q
3

q

dZ
V

dV

2π = là số giá trị của q trong một đơn vị thể tích khơng

gian q. Như vậy trong khơng gian q một giá trị của q tương ứng với thể tích

( )

2 3
V

π

.

Biết dZ_q ta có qui tắc chuyển tổng theo q thành tích phân theo q như sau :

( )

( )

( )

3

x y z
q

2

f q f q dq dq dq
V

π
→

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

Trong toạđộ cầu, ta có :

( )

3 2
q

2

dZ q dqd

V

π

= Ω (18)

Ở đây d =sin d dΩ θ θ ϕ là yếu tố góc khối. Trong mơi trường liên tục, ứng với

một véctơ q có ba ngành âm. Chẳng hạn, trong mơi trường đẳng hướng có

một ngành dọc và hai ngành ngang.

Thay

(

)

1

q

v ,

ω
=

θ ϕ vào (18) rồi tích phân theo θ và ϕ ta nhận được số dao

động có tần số nằm giữa ω và ω + ωd của ngành dao động âm (1).

( )

(

)

3

2

1 3

1

2 d

dZ d

V v ,

π Ω

= ω ω

θ ϕ

∫

(19)

Số dao động có tần số nằm giữa giữa ω và ω + ωd cho cả ba ngành dao
động âm bằng dZ dZ= ₁ +dZ₂ +dZ₃.

( )

3 2

3 3 3
1 2 3

2 1 1 1

dZ d d

V v v v

π  

= ω ω _ + + _ Ω

 

∫

(20)

Đưa vào vận tốc âm trung bình v xác định như sau :

3 3 3 3

1 2 3

3 1 1 1 1

d

v 4 v v v

 

= _ + + _ Ω

π

∫

_ _ (21)

Khi đó biểu thức của dZ có dạng :

( )

2 32

3V

dZ Z d d

2 v

ω
= ω ω = ω

π (22)

Đối với mơi trường đẳng hướng thì tồn tại một sóng âm dọc và hai sóng âm

ngang. Sóng dọc truyền với vận tốc vd và sóng ngang truyền với vận tốc vn.

Vận tốc âm trung bình v bây giờ có dạng đơn giản :

3 3 3
d n

3 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

Số dao động có tần số nằm trong khoảng từ ω đến ω + ωd phải bằng số bậc

tự do của tinh thể, nghĩa là bằng 3Nr. Ta có :

( )

D D

3
D
2 3
0 0

V

dZ Z d 3Nr

2 v

ω ω

= ω ω = ω =
π

∫

∫

(24)

Dễ thấy rằng:

3 2 3
D

Nr
6 v

V

ω = π (25)

( )

2 3

2 3 3

D

3V 9Nr
Z

2 v

ω ω
ω = =

π ω (26)

Tần số ω_D được gọi là tần số Debye.

Trong gần đúng Debye, hàm Z

( )

ω có dạng :

( )

2

D
3

D

D

9Nr
0
Z

0

ω



≤ ω ≤ ω



ω
ω =

 _{ω > ω}


(27)

Đường biểu diễn Z

( )

ω phụ thuộc vào ω như hình vẽ.

Trong lí thuyết Debye, quy tắc chuyển

tổng theo ω_s thành tích phân theo ω như

sau:

( )

D

( ) ( )

3Nr

s
s 1 0

f f Z d

ω

=

ω → ω ω ω

∑

_∫

(28)

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>

( )

D
D
0 kT
3
0 3
0 kT
D

E Z d

2 _e ₁

9Nr d
E E

e 1
ω
ω
ω
ω
 _ω _ω 
 
= + ω ω
 
−
 
ω ω
= +
ω
−

∫

∫

(29)

Nhiệt dung đẳng tích của vật rắn do dao động mạng trong gần đúng Debye

bằng:

D 4 kT

V 3 2 2

0

V D _kT

E 9Nr e d

C
T kT
e 1
ω
ω
ω
∂ ω ω
 
=_ _ =
∂ ω
   
−
 
 

∫

(30)

Đại lượng D
k

ω

θ = gọi là nhiệt độ Debye.

Đặt D

D

x , x

kT kT T

ω

ω θ

= = = , ta có :

D

3 x 3

0 x

0

T x dx
E E 9NrkT

e 1

 

= + _{ }

θ −

 

∫

(31)

(

)

D

3 x 4 x

V _x 2

0

T x e

C 9Nrk dx

e 1

 

= _{ }
θ

 

∫

₋ (32)

Sự phụ thuộc của vào được biểu diễn như trên hình.

Ta xét trường hợp nhiệt độ thấp.

Khi T rất bé thì x_D → ∞. Khi đó ta

có:

D

x 3 4

3 sx

x 4

s 1 s 1

0 0

x dx 1

x e 6

e 1 s 15

∞ ∞ ∞
−

= =
π
= = =
−

∑

∑

∫

∫

Năng lượng và nhiệt dung của vật

rắn do dao động mạng khi T thấp có

</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

4 4

C 3

3Nr kT
E E

5

π
= +

θ (33)

3
4

V

V

E 12 T

C Nrk

T 5

∂

   

=_ _ = π _{ }

∂ θ

    (34)

Như vậy, theo lí thuyết Debye khi nhiệt độ thấp thì C_V ∼T3. Ở vùng nhiệt
độ rất thấp định luật C_V ∼T3 của Debye phù hợp tốt với thực nghiệm.

Đối với kim loại, khi T thấp ta có:

3
V

C =AT BT+ (35)

với A, B là những hằng số.

Số hạng đầu tỉ lệ với T do đóng góp của electron.

Trường hợp nhiệt độ cao khi x1. Khi đó gần đúng ta có:

D D

x

3
x 3 x

2
x

0 0

e 1 x

x dx 1

x dx

e 1 3 T

≈ +

θ

 

≈ = _{ }

−  

∫

∫

Năng lượng và nhiệt dung của vật rắn do dao động mạng trong vùng nhiệt
độ cao được xác định bằng các hệ thức :

0

E E= +3NrkT (36)

V

C =3Nrk (37)

Mơ hình Debye trong vùng nhiệt độ cao và vùng nhiệt độ rất thấp phù hợp

khá tốt với thực nghiêm. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, nhiệt độ Debye

phụ thuộc vào T và mật độ lệch khỏi định luật ω2 nên mơ hình Debye cũng

chỉ là mơ hình gần đúng.

Nhiệt độ Debye nhận được theo vận tốc âm và theo nhiệt dung.

Nguyên tố θ0K (vận tốc âm) θ0K (nhiệt dung)

Al 399 394

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>

Cu 329 315

Ag 212 215

Cd 168 120

Pt 226 230

Pb 72 88

§5. Tính độ lệch tồn phương trung bình u2

Ta đã biết:

( )

( )

1/ 2 _s

s s
s

lk s

B lk

ˆ ˆ

ˆu lk a a

2m

α +
α
 
=_ _ _ + _
ω
 

∑

Dễ thấy rằng:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

s s '
2

s s s ' s '
s,s '

lk s s '

s s s ' s '

2 s s '

lk

lk s,s ' lk

s s '

B lk B lk

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆu lk a a a a

2m

ˆ ˆ ˆ ˆ

a a a a

ˆ

m u lk B lk B lk

2
α α + +
α
+ +
α α α
α α
= _ +  _{ } + _
ω ω
+ +
   
   
=

ω ω

∑

∑

∑

∑∑

Sử dụng các hệ thức:

( )

( )

( )

( )

2 2

s s '

ss '
lk

ˆ ˆ

u lk u lk
B lk B lk

α
α
α α
α
=
= δ

∑

∑

ta có:

( )

( )

s s s s
2

lk

lk s _s

2

lk s s s s s s

lk s _s

ˆ ˆ ˆ ˆ
a a a a
ˆ

m u lk
2

1 _{ˆ ˆ} _{ˆ ˆ} _{ˆ ˆ}
ˆ

m u lk 1 2a a a a a a

2
+ +
+ + +
+ +
   
   
=
ω
= _ + + + _
ω

∑

∑

∑

∑

(1)

Kí hiệu ˆu lk2

( )

là trung bình cơ học lượng tử của ˆu lk2

( )

trong trạng thái

1 2 3 Nr

n n ..n

Ψ . Vì hàm

1 2

n n ..

Ψ trực giao với hàm

1 2

s s n n ..

ˆ ˆ

a a Ψ và hàm

1 2

n n ..

Ψ

</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

1 2 1 2
1 2 1 2

n n .. s s n n ..

n n .. s s n n ..

ˆ ˆ

a a 0

ˆ ˆ

a a+ + 0

Ψ Ψ =

Ψ Ψ = (2)

Chú ý rằng:

1 2 1 2 1 2 1 2

n n .. a aˆ ˆs s n n .. ns n n .. n n .. ns

+

Ψ Ψ = Ψ Ψ = (3)

ta có:

( )

3Nr

(

)

2

lk s

lk s 1 _s

1
ˆ

m u lk 1 2n

2 =

= +

ω

∑

∑

(4)

Trung bình hai vế của đẳng thức này theo tập hợp thống kê, ta được:

( )

3Nr

(

)

2

lk s

lk s 1 _s

1
ˆ

m u lk 1 2n

2 =

= +

ω

∑

∑

(5)

Ởđây:
s

s

s s

kT

1

n , 2n 1 cth
2kT
e 1
ω
ω
 
= + = _ _
 
−


(6)
Kí hiệu l,k p 1,2...Nr= = ta viết lại (5) như sau:

( )

s

Nr 3Nr

2

p

p 1 s 1 _s

cth
2kT
ˆ

m u lk
2
= =
ω
 
 
 
=
ω

∑

∑

(7)
Trường hợp m₁ =m₂ =... m= _Nr =m ta có:

s
3Nr

2

s 1 _s

cth
2kT
u
2Nrm =
ω
 
 
 
=
ω

∑

(8)

Trong đó:

( )

Nr

2 2

p 1

1 _ˆ

u u lk

Nr =

=

∑

</div>

<!--links-->