Tài liệu Tu chon toan 8

GA tự chọn toán 8
phần hình học
Chủ đề 1
tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học
Soạn:
Giảng:
1. Mục tiêu:
Sau khi học xong chủ đề học sinh:
- Biết phân tích từ kết luận ngợc lên ( Từ gt ) để tìm tòi lời giải cho bài toán, theo
nhiều cách chứng minh khác nhau.
- Hiểu đợc khi nào cần vẽ thêm đờng phụ cho một số bài toán.
- Có kỹ năng trình bày lời giải cho bài toán chứng minh hình học.
2. Phân phối thời gian: 04 tiết
- 01 tiết lý thuyết
- 02 tiết bài tập.
- 01 tiết kiểm tra.
4. Các nội dung chính của chủ đề:
- Hệ thống hoá các phơng pháp chứng minh một số quan hệ hình học ( chứng minh
2 góc băng nhau, 2 đoạn thẳng bằng nhau, 2 đờng thẳng song song hoặc vuông góc với
nhau, 3 điểm thẳng hàng...)
- Giới thiệu phơng pháp phân tích đi lên để tìm lời giải của bài toán.
- Giới thiệu phơng pháp tổng hợp để trình bày lời giải bài toán.
+ Tiết 1: Phơng pháp chung
+ Tiết 2+3: Sử dụng chứng minh tam giác bằng nhau để chứng minh đoạn thẳng
bằng nhau, góc bằng nhau.
+ Tiết 4: Kiểm tra
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Tiết 1
HS nghe hiểu và ghi bài
* GV Đa ra phơng pháp
Thực hiện bốn bớc trong thực hành giải

toán:
Để chứng tỏ A

B, ta chứng minh
(I) Ph ơng pháp chung:
1. Tìm hiểu đề toán
- Đọc kỹ đề
- Phân tích bài toán, tách ra những yếu tố
chính của bài toán xem xét các yếu tố chính
nhiều lần, ở nhiều mặt.
2. Xây dựng chơng trình giải ( định hớng)
- Phân tích bài tóan thành những bài toán
đơn giản hơn.
- Sử dụng các bài toán đã giải.
- Biến đổi các bài toán.
- Mò mẫm dự đoán bằng cách thử một số tr-
ờng hợp có thể xảy ra.
GA tự chọn toán 8
rằng: A

A
1


A
2


...

B. Là các
quan hệ kéo theo nói trên thờng đợc trình
bày dới dạng: A
1


A
2
(lí do).
+ GV hỏi: Trong quá trình tìm tòi lời
giải của bài toán ngời ta thờng khai thác
bài toán bắt đầu từ đâu?
+ GV hỏi: ngợc lại với cách khai thác từ
giả thiết (gt) ta có thể khai thác bài toán
bằng cách nào?
+ GV chốt lại:
1. Cho tam giác ABC vuông tại A và góc
à
B
= 60
0
. Dựng phân giác BE. Gọi Q, I, K
lần lợt là trung điểm của BE, BC, EC.
a- Chứng minh AQIK là hình thang cân.
b- Tính các góc của hình thang AQIK.
+ GV: Cho HS lên vẽ hình và ghi (gt ),
(kl) bài toán
B
Q I
A C

E K
+ GV: Cho HS quan sát hình vẽ và dự
đoán phơng hớng
(theo hớng phân tích đi lên theo sơ đồ
3. Thực hiện chơng trình giải
- Trình bày rõ ràng, chi tiết lời giải phải gọn
gàng, mạch lạc, sáng sủa.
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
- Hoàn thiện cách giải, củng cố phát triển
năng lực giải toán.
(II) Ph ơng pháp tổng hợp
1. Khai thấc giả thiết của bài toán: Từ A


A
1
từ A
1


A
2
... cuối cùng suy ra A
m
.
2. Phân tích đi lên từ kết luận (kl) của bài
toán: để chứng minh B, ta có thể chứng minh
B
1
, để chứng minh B

1
ta có thể chứng minh
B
2
,..., cuối cùng ta có thể chứng minh B
n
.
Nếu ta chứng minh đợc A
m


B
n
thì bài
toán A

B đợc chứng minh với sơ đồ sau:
A

A
1


A
2


...

A

m


B
n


...

B
2


B
1


B.
(III) Ví dụ:
1. Ví dụ 1:
BQ = QE, BI = IC
GT EK = KC
Góc
ã
BAC
= 90
0
Góc
ã
ABC

= 60
0
BE là phân
giác của góc
à
B
KL a/ AQIK là hình
thang cân
b/ Tính các góc của
hình thang AQIK
GA tự chọn toán 8
bên) và chốt lại.
-HS trả lời theo hớng dẫn của GV bằng
pp phân tích đi lên:
AQIK là hình thang cân


QI // AK ;
à
A
=
à
K




QI là đờng TB ;
à
A

=
à
E


BEC




à
K
=
à
E


BI = IC IK // BE
QB = QE


GT
Tứ giác MNPQ là hình bình hành


MP

NQ tại trung điểm mỗi đờng.

* GV: cho HS làm ví dụ 2

2. Cho tứ giác ABCD; E là trung điểm
Bài giải
a- Có Q là trung điểm của BE (gt)
I là trung điểm của BC (gt)

QI là đờng trung bình của tam giác BEC

QI//BC hay QI//AK(Vì ..)

AQIK là hình thang (1)
Xét tam giác ABE có
ã
BAE
= 90
0
(gt)
BQ = QE =
2
BE
(gt)

AQ = QE =
2
BE


QAE là tam giác cân


ã

QAK
=
ã
QEK
(2)
Lại có i & k lần lợt là trung điểm của BC &
EC (gt)

IK là đờng trung bình của tam giác CBE

IK//BE

góc IKA = Góc QEA (3)
Từ (1) & (3) Ta có góc
ã
QAK
=
ã
IKA
(4)
Từ (1) & (4) ta có AQIK là hình thang cân
b- Theo (gt) góc ABC = 60
0
và BE là phân
giác của góc ABC nên góc ABE = 30
0
. Trong
tam giác vuông ABE có góc ABE = 30
0
suy

ra góc QEA = 60
0
(3) Từ (1) (2) (3) suy ra
QAK = AQI = 60
0
. Do AQIK là hình thang
nên:
ã
QAK
+
ã
AQI
= 180
0
(hai góc kề cạnh bên bù
nhau do đó
ã
QIK
=
ã
AQI
= 180
0
-
ã
QAK
= 180
0
- 60
0

=
120
0
.
2. Ví dụ 2:

GA tự chọn toán 8
của AB; F là trung điểm của CD. Gọi
M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của
AF, CE, BF, DE.
Chứng minh tứ giác MNPQ là Hình
bình hành.
+ GV: Cho HS lên vẽ hình và ghi (gt ),
(kl) bài toán


* Phần củng cố GV chốt lại cách chứng
minh bằng pp đi lên.
+ HS chép bài tập về nhà
( Tự luyện )
A

D

E
F
B C
H ớng dẫn giải :
QF là đờng trung bình của

CED nên QF //
EC và QF =
2
1
EC, Suy ra QF // EN và QF
= EN.
Tứ giác NEQF là hình bình hành, do đó NQ
và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng
(1).
Chứng minh tơng tự, tứ giác PEMF là hình
bình hành, do đó MF và EF cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đờng (2).
Từ (1) và (2) suy ra MP và NQ cắt nhau tại
trung điểm mỗi đờng. Vậy tứ giác MNPQ là
hình bình hành.
* Bài tập về nhà:
1. Cho hình bình hành ABCD và một đờng
thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó. Gọi
A', B', C', D' lần lợt là hình chiếu của các
điểm A,B,C,D lên đờng thẳng d.
Chng minh AA' + CC' = BB' + DD'.
2. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của
các tia CB và DA lấy tơng ứng hai điểm E và
F sao cho CE = DF = CD. Từ F kẻ đờng
thẳng vuông góc với AE cắt CD tại H.
Chứng minh tam giác CHB là tam giác
vuông cân.
Các cách th ờng dùng để chứng minh hai
GA tự chọn toán 8
Tiết 2

Giảng: 13-9-2006
- HS trả lời theo hớng dẫn của GV( HS
phát hiện và nêu các cách để chứng minh
hai đoạn thẳng bằng nhau)
- HS ghi nhanh bài (phần in nghiêng
nghe tham khảo)
Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm
của tam giác. Gọi M, N, P lần lợt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CA còn
đoạn thẳng bằng nhau.
a/ Sử dụng yếu tố độ dài đoạn thẳng:
- Hai đoạn thẳng có cùng số đo.
- Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ
ba
- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng hay hiệu
của hai đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
b/ Sử dụng đinh nghĩa các hình:
- Hai cạnh bên của tam giác cân, các cạnh
của tam giác đều.
- Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng,
trung tuyến của tam giác, đờng trung trực
của đoạn thẳng.
- Bán kính của đờng tròn.
c/ Sử dụng tính chất các hình:
- Tính chất tia phân giác của góc, tính chất
đờng trung trực của đoạn thẳng.
- Định lý thuận về đờng trung bình của tam
giác, của hình thang.
- Hai cạnh bên của hình thang cân, hai cạnh
đối của hình bình hành, các cạnh của hình

thoi, hình vuông.
- Hai đờng chéo của hình thang cân, hình
chữ nhật.
- Tính chất đờng chéo của hình bình hành,
hình chữ nhật.
- Các đoạn thẳng đối xứng nhau qua một
trục, qua một tâm.
- Tính chất đờng kính với một dây.
- Hai dây cách đều tâm của một đờng tròn.
- Hai khoảng cách từ tâm đến hai dây bằng
nhau trong một đờng tròn.
- Hai đoạn tiếp tuyến cùng xuất phát từ một
điểm đến một đờng tròn.
- Tính chất của đờng nối tâm của hai đờng
tròn cắt nhau.
- Hai dây trơng hai cung bằng nhau của
một đờng tròn.
*. Ví dụ:
GA tự chọn toán 8
R, S, T lần lợt là trung đểm của các đoạn
OA, OB, OC.
a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ
nhật.
b/ Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng RN,
MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đờng.
c/ Với điều kiện nào của tam giác ABC
thì MR=RD = MS.

-HS Đọc đề bài, suy nghĩ và vẽ hình, ghi

(gt) (kl)
- HS trả lời: Để chứng minh MPTS là
hình chữ nhật


MPTS là hbh và có 1 góc = 90
0




MP // = ST ; MP

MS




MP, ST là đờng MP // BC
trung bình ; MS // OA
OA

BC
(gt)
A


R
M P
o

S T

B N C
* H ớng dẫn giải
a/ Sử dụng tính chất đờng trung bình của tam
giác, ta có:
MP // ST và MP = ST, do đó tứ giác MPTS là
hình bình hành.
Do MP // BC và MS // OA mà OA

BC nên
MP

MS hay SMP = 90
0
. Hình bình hành
MPTS có một góc vuông nên là hình chữ
nhật.
b/ Chứng minh tơng tự tứ giác MRTN là
hình chữ nhật. Hai hình chữ nhật MPTS và
MRTN có chung đờng chéo MT nên ba đoạn
MT, SP, RN bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đờng.
c/ Dễ thấy MS =
2
1
OA, RM =
2
1
OB,

RP =
2
1
OC.
Để MS = MR = RP thì phải có OA = OB =
OC, khi đó O là giao điểm ba đờng cao, ba
đờng trung trực của tam giác ABC nên tam
giác ABC là tam giác đều.
Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì ta dễ
dàng chứng minh đợc MS = MR = RP.
GA tự chọn toán 8
Tiết 3
Giảng: 20-9-2006
HS trả lời câu hỏi của GV: các cách để
chứng minh hai góc bằng nhau
-HS trả lời: dựa vào tam giác băng nhau,
tam giác đông dạng. Sử dụng tính chất
các hình.
- HS ghi nhanh
- HS nghe hiểu để tham khảo (mở rộng)
Cho tam giác nhọn ABC, hai đờng cao
BD và CE.
a/ Chứng minh AE.AB = AD.AC
b/ Chứng minh ADE = ABC và ADE =
ACB
Các cách th ờng dùng để chứng minh hai
góc bằng nhau.
a/ Sử dụng các yếu tố số đo của góc.
- Hai góc có cùng số đo.
- Hai góc cùng bằng góc thứ ba.

- Hai góc cùng phụ hoặc cùng bù với một
góc thứ ba.
b/ Sử dụng tam giác bằng nhau hoặc tam
giác đồng dạng:
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng
nhau hoặc hai tam giác đồng dạng.
c/ Sử dụng định nghĩa các hình:
- Định nghĩa tia phân giác của góc.
- Hai góc kề một đáy của hình thang cân.
d/ Sử dụng tính chất các hình:
- Hai góc đối đỉnh.
- Hai góc so le trong, đồng vị tạo bởi hai đ-
ờng thẳng song song cắt một cát tuyến.
- Hai góc có cạnh tơng ứng song song hoặc
vuông góc (cùng nhọn hoặc cùng tù)
- Hai góc ở đáy của tam gíac cân, các góc
của tam giác đều.
Hai góc đối của hình bình hành, hình thoi.
- Tính chất đờng chéo của hình thoi, hình
vuông.
- Hai góc đối xứng nhau qua một trục, qua
một tâm.
- Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất
phát từ một điểm đến một đờng tròn.
- Hai góc nội tiếp hoặc góc tạo bởi tiếp
tuyến và một dây cùng chắn một cung hoặc
hai cung bằng nhau.
* Ví dụ:
GA tự chọn toán 8
c/ Biết góc A = 60

0
, S
ABC
= 120 cm
2
, tính
S
ADE
.
- HS lên bảng vẽ hình
- HS trả lời theo dẫn dắt của GV:
+ Muốn có đẳng thức ta suy từ đâu? (tỉ lệ
thức)
+ muốn có tỉ lệ thức cần có tam giác
đồng dạng hoặc đoạn thẳng tỉ lệ...
+ Ta đã có hai tam giác đồng dạng vì...
- HS từ hai tam giác đồng dạng ta có các
góc bằng nhau.
GT

ABC, O là trực tâm
MA = MB; BN = NC
PA = PC; RA = RO
SO = SB; TO = TC
KL a- MPTS là hcn.
b- RN= MT = SP
c- Tìm đk của

ABC
để MR = RD = MS

+ H ớng dẫn giải:
a/

ADB và

ADC có:

à
D
=
à
E
= 90
0
(gt)

à
A
chung
Do đó

ADB ~

AEC (gg)
Suy ra
AE
AD
=
AC
AB

Do đó AE.AB = AD.AC
b/ Do
AE
AD
=
AC
AB
nên
AB
AD
=
AC
AE


ADE và

ABC có: Góc A là góc chung

AB
AD
=
AC
AE
(chứng
minh trên)
Do đó

ADE ~

ABC (c.g.c ), suy ra
ADE = ABC và AED = ACE (hai góc tơng
ứng)
c/ Do

ADE ~

ABC (theo câu b), nên

)(
)(
ABCS
ADES
=






AB
AD
2
, suy ra S(ADE) =

AB
AD
2
. S (ABC) (*)
Do
à
A
= 60
0
(gt) , vì thế trong tam giác
vuông ADB, ta có
ã
ABD
= 30
0
suy ra AD =
2
1
AB hay
AB
AD
=
2
1
. Lại có
S(ABC) = 120 cm
2
, vì vậy từ (*) ta đợc:
S(ADE) =

2
1
2
. 120 = 30 (cm
2
)
Vậy diện tích của tam giác ADE là 30 cm
2
.
GA tự chọn toán 8
- HS chép bài tập tự luyện
* Bài tập: Cho hình chữ nhật ABCD. Hãy
xác định điểm E trên AB sao cho AED =
DEC.
GA tự chọn toán 8
Tiết 4 Kiểm tra
Ngày soạn: 20-9-2006
Ngày giảng: 27-9-2006
Đề bài
Bài 1:
a- Cho

ABC và một đờng thẳng d tuỳ ý. Vẽ

A' B' C' đối xứng với

ABC qua
đờng thẳng d.
b- Phát biểu định nghĩa hình thang cân. Nêu các dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
Bài 2:
Điền dấu " X " vào ô trống.
câu Nội dung Đún
g
sai
1 Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thang cân
2 Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật
3 Tam giác đều là hình có tâm đối xứng
Bài 3:
Cho

ABC các đờng trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi M là trung điểm của
GB, N là trung điểm của GC.
a- Chứng minh rằng tứ giác DEMN là hình bình hành.
b-

ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEMN là hình chữ nhật ?
c- Nêú các đờng trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEMN là hình
gì ?
Bài 4:
Cho

ABC và O ở trong tam giác. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, AC, BC.
Các điểm A
'

, B
'
, C
'
lần lợt là điểm đối xứng của O qua P, N, M. Chứng minh rằng các đ-
ờng thẳng AA
'
, BB
'
, CC
'
đồng quy.
Bài 5:
Cho

nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA còn R, S, T, lần lợt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC.
a) Chứng minh tứ giác MPTS là HCN.
b) Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
mỗi đờng.
c) Với điều kiện nào của

ABC thì MR = RD = MS.
GA tự chọn toán 8
Tiết 5+6+7+8+9
Chủ đề 2: phân tích đa thức thành nhân tử
Môn: Đại số 8
1, Mục tiêu:
- HS nắm đợc cấu trúc của các p
2

PTĐTNT
- Có kỹ năng đặt nhân tử chung, nhóm các hạng tử, dùng HĐT trong việc PTĐTTNT.
- Biết tách 1 hạng tử và thêm bớt 1 hạng tử, biến đổi trong các bài toán.
- Biết sử dụng 1 số p
2
khác nh: Đặt ẩn phụ, thêm bớt tìm nghiệm của đa thức, hệ số bất
định và giải bài tập.
2. Tài liệu hỗ trợ:
- Để học tốt đại số 8.
- Bồi dỡng HS toán 8.
- Kiến thức cơ bản và nâng cao.
- Sổ tay toán THCS cơ bản và nâng cao.
3. Nội dung:
* Thời lợng 5 tiết:
Tiết 5
Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản
- HS nhắc lại từng p
2
- Sử dụng các p
2
sao cho hợp lý làm
xuất hiện NTC, HĐT ..
- Kết hợp nhiều p
2
trong 1 bớc giải
- HS nhắc lại p
2
I. Các p
2
PTĐTTNT đã học.

- P
2
đặt nhân tử chung.
- P
2
nhóm các hạng tử
- P
2
dùng HĐT
- P
2
phối hợp nhiều p
2
.
II. Lý thuyết và bài tập áp dụng
1) Phối hợp nhiều p
2
+ Ví dụ: PTĐTTNT
(x + y + z) - x
3
- y
3
- z
3
= [(x + y + z)
3
- x
3
] - (y
3

+ z
3
)
= (x + y + z)[(x + y + z)
2
+ x(x + y + z) + x
2
]
-(x + z)(y
2
- yz + z
2
)
= (y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + x
2
+
xy + xz + x
2
- y
2
+ yz - z
2
)

= (y + z)(3x
2
+ 3xy + 3yz + 3xz)
= 3(y + z)[(x + y) + z(x + y)]
GA tự chọn toán 8
C2: áp dụng p
2
nhóm
- C3 dùng p
2
tách
+ áp dụng: PTĐTTNT
a) a
3
- 5a
2
- 4a + 20
- HS trình bày cách khác
b) x
3
+ 5x
2
+ x + 5
- Có thể tách 1 hạng tử ra 2 hay
nhiều hạng tử để làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc hằng đẳng
thức.
+ áp dụng
a) x
2

- 4x + 3
b) x
2

- 5x + 6
c) Cho biết trong các cách biến đổi sau
cách nào là PTĐTTNT:
1) 2x
2
+ 5x - 3 = x(2x + 5) - 3
2) = x(2x + 5 -
x
3
)
3) = (2x - 1)(x + 3)
4) = 2(x -
2
1
)(x + 3)
4. Củng cố:
= 3(y + z)(x + y)(x + z)
a) a
3
- 5a
2
- 4a + 20
C1 = (a
3
- 5a
2

) - (4a - 20)
= a
2
(a - 5) - 4(a - 5)=(a - 5)(a
2
-4)
=(a - 5)(a - 2)(a + 2)
C2 = (a
3
- 4a) -(5a
2
- 20) = (a(a
2
- 4) - 5(a
2
- 4)
= (a
2
- 4)(a - 5) = (a + 2)(a - 2) (a - 5)
C3 = (a
3
- 2a
2
) - (3a
2
- 6a) - (10a - 20)
= a
2
(a - 2) - 3a(a - 2) - 10(a - 2)
= (a - 2)(a

2
- 3a - 10)= (a - 2 )(a
2
+ 2a)-(5a
+ 10)
= (a - 2)[a(a + 2) - 5(a + 2)]
= (a - 2)(a + 2)(a - 5)
b) x
3
+ 5x
2
+ x + 5 = (x
3
+ 5x
2
) + (x + 5)
= x
2
(x + 5) + (x + 5) = (x + 5) (x
2
+ 1)
2. Ph ơng pháp tách và thêm bớt
+ Ví dụ:
a) x
2
- 6x + 8 = (x
2
- 2x) -(4x - 8)
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x- 2)(x - 4)
b) x

4
+ 64 = (x
4
+ 16x
2
+ 64) - 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
- (4x)
2

= (x
2
- 4x + 8)(x
2
+ 4x + 8)
a) x
2
- 4x + 3 = x
2
- x - 3x + 3 = (x
2
- x) - (3x -
3)
= x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1) (x -
3)
b) x

2

- 5x + 6 = x
2
- 2x - 3x + 6 = (x
2
- 2x) - (3x
- 6)
= x(x - 2) - 3(x - 2 ) = (x - 2)(x -
3)
c) Cho biết trong các cách biến đổi sau cách
nào là PTĐTTNT:
1) &2) không phải vì 1) cha phải tích 2)
x
3

không phải là đa thức
3) & 4) đúng

a) x(x + 1) (x + 2)(x + 3) + 1 = (x
2
+ 3x + 1)
2
GA tự chọn toán 8
Làm các bài tập sau: PTĐTTNT
a) x(x + 1) (x + 2)(x + 3) + 1
b) x(y
2
- z
2

) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
c) x
3
+ y
3
- 3xyz

5. HDVN:
- Xem lại bài giải
- Tìm hiểu thêm p
2
: Đặt ẩn phụ và tìm
nghiệm của đa thức
Tiết 6
- HS phát biểu cách tìm ẩn phụ
- GV: Em nào có thể nêu cách
làm theo p
2
đặt ẩn phụ
- HS nhận xét
3. Củng cố:
+ Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu

thức
A = n
3
- 4n
2
+ 4n - 1 là số nguyên tố
- HS lên bảng dới lớp cùng làm
b) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
= (x - y)(y - z)(z - x)
c) x
3
+ y
3
- 3xyz
= (x + y + z)(x
2
+ y
2

+ z
2
- xy - xz - yz)
3. Bài mới
3) P
2
đặt ẩn phụ
Ví dụ:
A = (x
2
+ 3x + 4)
2
+ 2x(x
2
+ 3x + 4) + x
2
đặt y = x
2
+ 3x + 4
Khi đó:
A = y
2
+ 2xy + x
2
= (x + y)
2
Thay vào ta có
A = (x + x
2
+ 3x + 4 )

2
= (x
2
+ 4x + 4)
2

= [(x + 2)
2
]
2
= (x + 2 )
4
4. Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức:
Ta đã chứng minh đợc:
Đa thức 1 biến f(x) có nghiệm x = a Thì khi
đó :
f(x) = (x - a)g(x)
g(x) có bậc thấp hơn f(x)
+ Ví dụ:
f(x) = x
3
+ 3x - 4
Vì f(1) = 1
3
+ 3.1 - 4 = 0
Nên ta có: f(x) = (x - 1) (x
2
+ 4x + 4)
= (x - 1) (x+ 2)
2

A = n
3
- 4n
2
+ 4n - 1 là số nguyên tố
GA tự chọn toán 8
4. HDVN:
Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu
thức
B = n
3
- 6n
2
+ 9n - 2 là 1 số nguyên tố
Tiết 7 (tiếp)
Bài mới
- GV: Dựa vào đâu ta có thể biết
đợc nghiệm của đa thức?
a) A = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3
- GV: Đa thức trên có bậc mấy?
Nếu viết dới dạng tích thì tích có bậc
mấy?
A = (n

- 1)- ( 4n
2

- 4n ) = (n - 1)(n
2
- 3n + 1)
Nếu n = 0 , 1 , 2 thì A lần lợt tơng ứng là -1, 0,
-1
Nếu n = 3

A = 2 là số nguyên tố
Nếu n

4 thì (n - 1)

3
và (n
2
- 3n + 1) = n(n - 3) + 1

5

A = (n - 1)(n
2
- 4n + 1) là hợp số
Vậy chỉ có duy nhất n = 3

A là số nguyên tố
5. P
2
hệ số bất định
Nếu trên 1 tập hợp số nào đó mà 2 đa thức f(x)
& g(x) đồng nhất với nhau tức là ứng với mọi

giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà
f(x) & g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ
số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau
f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
+ +a
1
x + a
0
g(x) = b
n
x
n
+ b
n-1
+ +b
1
x + b
0
f(x) = g(x)

a
n
= b
n
, a

n-1
= b
n-1
..
a
1
= b
1
,

a
0
= b
0
+ Ví dụ:
a) A = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3
- Đa thức có bậc 3 vậy khi PTĐTTNT thì đợc
viết dới dạng tích của đa thức có bậc 2 & bậc 1
:
(ax + b)(cx
2
+ dx + m)
Vậy: A = 2x
3
- 5x
2

+ 8x - 3 = (ax + b)(cx
2
+ dx
+ m)
= acx
3
+( ad + bc)x
2
+ (am + bd)x + bm
GA tự chọn toán 8
- HS nghe hiểu.
A = a
3
- a, B = a
3
+ 5a , C = a
3
+ 11a ,
D = a
3
- 19a
Chia hết cho 6 ( a

N)
3. Củng cố:
Chứng minh rằng các số sau đây:
A = a
3
- a
B = a

3
+ 5a
C = a
3
+ 11a
D = a
3
- 19 a
Chia hết cho 6
4. HDVN:
Chứng minh rằng các đa thức sau
không phân tích đợc thành nhân tử:
a) 4 x
2
+ 4x + 1
b) x
4
+ 3 x
2
y
2
y
4
ac = 2 a = 2
ad + bc = -5 b = -1


am + bd = 8

c = 1

bm = -3 d = -2; m = 3

2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 = ( 2x- 1 )(x
2
- 2x + 3)
b) x
2
+ 3x + 2 = (x + a)(x + b)

x
2
+ 3x + 2 = x
2
(a + b) x + ab

a + b =
3
ab = 2

a = 1, b = 2 hoặc a = 2 , b = 1
Vậy x
2
+ 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)
Bài tập
A = a
3

- a, B = a
3
+ 5a , C = a
3
+ 11a , D = a
3
-
19a
Chia hết cho 6 ( a

N)
a) Ta có: A = a
3
- a = a(a
2
- 1) = ( a - 1)(a + 1)a
a - 1, a + 1, a là 3 số tự nhiên liên tiếp nên
phải có 1 số chẵn chia hết cho 2 & 1 số chia hết
cho 3
Vậy a
3
- a chia hết cho 6
b) B = a
3
+ 5a = (a
3
+ 6a) - a = (a
3
- a) + 6a

a
3
- a

6 ( CMT) 6a

6

ĐPCM
c) C = a
3
+ 11a = ( a
3
+ 5a) + 6a
mà a
3
+ 5a

6 ( CMT)
6a

6

ĐPCM
d) B = a
3
- 19a = (a
3
- a) - 18a
Mà a

3
- a

6 ( CMT)
18a

6

a
3
- 19a

6
Chứng minh rằng các số sau đây:
A = a
3
- a
B = a
3
+ 5a
C = a
3
+ 11a
D = a
3
- 19 a
Chia hết cho 6
GA tự chọn toán 8
Tiết 8
3. Bài mới

- GV: Ta đã chứng minh đợc:
Nếu có đẳng thức A = B thì đẳng thức
luôn đúng với mọi giá trị gán cho các
biến tơng ứng
- HS trả lời
- HS nghe và ghi bài
- Xác định các hệ số a, b để phép chia
f(x) cho g(x) với
f(x) = 6x
4
- 7x
3
+ ax
2
+ 3x + 2
g(x) = x
2
- x+ b
Là phép chia hết
1) Tìm các giá trị của x, y thỏa mãn xy
+ 1 = x + y

6) Ph ơng pháp xét giá trị riêng
Nếu có đẳng thức A = B thì đẳng thức luôn
đúng với mọi giá trị gán cho các biến tơng ứng
VD:
A = (x + y + z)
3
- x
3

- y
3
- z
3

= [(x + y + z)
3
- x
3
] - (y
3
+ z
3
)
= (x + y + z - x)[(x+ y + z)
2
+ x(x+ y + z)
+ x
2
- (y + z)(y
2
- yz + z
2

= (y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2xy + 2xz + 2yz+ x
2
+
xy + xz + x
2
- y
2
+ yx - z
2
)

A/(y + z) Với ĐK y

-z
Vai trò của x, y ,z là nh nhau trong đa thức A
nên phân tích tơng tự ta cũng có
A/(x+ z) Với ĐK x

-z
Và A/(x+ y) Với ĐK x

-y

A = k(x+ y) (x+ z)(y + z) = (x + y + z)
3
(1 +
1)
= (1 + 1 + 1)
3
- 1

3
- 1
3
- 1
3

8k = 24

k = 3
Vậy (x + y + z)
3
- x
3
- y
3
- z
3
= 3(x+ y) (x+ z)
(y + z)
- Xác định các hệ số a, b để phép chia f(x) cho
g(x) với
f(x) = 6x
4
- 7x
3
+ ax
2
+ 3x + 2
g(x) = x
2

- x+ b
Là phép chia hết
+ HD : - Thực hiện phép chia
- Tìm số d R
- Gán số d = 0

Phép chia hết

Tìm hệ số
7) áp dụng
1) Tìm các giá trị của x, y thỏa mãn xy + 1 = x
+ y
xy + 1 = x + y

xy + 1 - x - y = 0

(x - 1) (y - 1) = 0

x - 1 = 0

x = 1; y
tùy ý
GA tự chọn toán 8
a) x
2
- 7x + 12
b) 4x
2
- 3x - 1
c) x

3
- 7x - 6
d) x(x - 1)(x + 2)(x - 3)
e) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- y
2
)
4. Củng cố:
Nhắc lại các p
2
PTĐTTNT
5. HDVN:
1) Tìm các giá trị nguyên của x, y thỏa
mãn
xy = x + y
y - 1 = 0
y = 1 ; x tùy ý
2. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a) x
2
- 7x + 12 = x
2
- 4x - 3x + 12
= x(x - 4) - 3(x - 4) = (x - 3)(x -
4)

b) 4x
2
- 3x - 1 = 4x
2
- 4x + x - 1
= 4x(x - 1) + (x - 1)= (x - 1)(4x +
1)
c) x
3
- 7x - 6 = (x + 1)(x + 2) ( x - 3)
d) x(x - 1)(x + 2)(x - 3) = (x
2
+ 3x + 1)
2
e) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- y
2
) = (x - y)(y - z)(z - x)
Bài tập tự luyện
1-Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a) x
2
- 7x + 12 = x
2
- 4x - 3x + 12

= x(x - 4) - 3(x - 4) = (x - 3)(x -
4)
b) 4x
2
- 3x - 1 = 4x
2
- 4x + x - 1
= 4x(x - 1) + (x - 1)= (x - 1)(4x +
1)
c) x
3
- 7x - 6 = (x + 1)(x + 2) ( x - 3)
d) x(x - 1)(x + 2)(x - 3) = (x
2
+ 3x + 1)
2
e) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- y
2
) = (x - y)(y - z)(z - x)
3. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức
B = n
3
- 6n
2

+ 9n - 2 là 1 số nguyên tố.
Hớng dẫn
BT1: KQ x = y = 2
GA tự chọn toán 8
Tiết 9 Kiểm tra
Ngày soạn: 24-10-2006
Giảng: 1-11-2006
I. Mục tiêu bài dạy
- Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS qua phần phân tích đa thức thành nhân tử.
- Rèn luyện kỹ năng trình bày .
- Giáo dục tính tự giác, trung thực
II. Ph ơng tiện thực hiện
- GV: Đề bài + đáp án
- HS: Giấy làm bài + Kiến thức
III. Tiến trình bài dạy
A) Tổ chức:
Lớp 8A:
Lớp 8B:
B) Kiểm tra
Kiểm tra tự chọn
Môn : Đại số
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a- x
2
+ xy + x + y
b- 3x
2
- 3xy + 5x
c- x
2

+ y
2
+ 2xy - x

Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a- x
2
+ xy + x + y
b- 3x
2
- 3xy + 5x - 5y
c- x
2
+ y
2
+ 2xy - x - y
Câu 3 Giá trị nhỏ nhất của đa thức P = x
2
- 4x + 5 là :
A. 1 B. 5
C. 0 D. một kết quả khác
Câu 4: Đa thức x
4
- y
4
đợc phân tích thành nhân tử là :
A. (x
2
- y
2

)
2
B. (x - y)(x + y)(x
2
- y
2
)
C. (x - y)(x+y)(x
2
+ y
2
) D. (x - y)(x + y)(x - y)
2


Câu 5: Đa thức x
4
- y
4
đợc phân tích thành nhân tử là :
GA tự chọn toán 8
A. (x
2
- y
2
)
2
B. (x - y)(x + y)(x
2
- y

2
)
C. (x - y)(x+y)(x
2
+ y
2
) D. (x - y)(x + y)(x - y)
2

Câu 2 : Giá trị lớn nhất của đa thức P = 4x - x
2
là :
A. 2 B. 4
C. 1 D. - 4
C) Củng cố:
- GV: Thu bài về chấm
D. HDVN:
- Ôn phần hình học
- P
2
chứng minh
GA tự chọn toán 8
Chủ đề 3: nhận dạng tứ giác
Tiết 10+11: Nhận dạng hình thang - Hình thang cân- Hình thang vuông
Ngày soạn: 1-11-2006
Giảng: 8-11-2006
I. Mục tiêu bài dạy
- Giúp HS củng cố vững chắc các định lý, định nghĩa từ đó nhận diện đợc các loại hình
tứ giác cơ bản nh: Hình thang cân, HBH, HCN, hình thoi, hình vuông
- Từ đó giúp HS có đợc các P

2
chứng minh tứ giác là các hình hoặc chứng minh các T/c
đặc trng: Góc, đờng thẳng //, đồng quy ..
- Phát triển t duy sáng tạo.
II. ph ơng tiện thực hiện
- GV: P
2
nhận diện các loại tứ giác.
- HS: Ôn lại chơng tứ giác.
III. tiến trình bài dạy
1. Tổ chức:
Lớp 8A:
Lớp 8B:
2. Kiểm tra
Lồng vào bài giảng
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản
- GV: Đa ra yêu cầu cần nhớ về
các hình ?
- Nêu các hình đã học
- Nêu các đ/n hình: Tứ giác lồi, &
t/c của nó
- Nhắc lại đ/n hình thang, hình
thang cân, hình thang vuông.
- GV: Cho HS nhắc lại t/c và dấu
hiệu của các hình.
Cho tứ giác ABCD biết
à
A
:

à
B
:
à
C
:
à
D
= 1 : 2 : 3 : 4.
a) Tính các góc của tứ giác .
b) chứng minh AB// CD .
c) Gọi giao điểm của AB và BC là
E
Tính các góc của

CDE

1. Kiến thức cần nhớ:
2. Bài tập :
Bài tập1 :
GA tự chọn toán 8
- HS nghiên cứu , vẽ hình và cho
biết (gt) (kl) của bài ?
- Theo dãy số = nhau ta có gì?
- Đã có số đo của tứ giác cách nào
nhanh nhất Cm đợc 2 đt AB & CD
song song?
C2:
+ Hoặc do: CD//AB (CMa)
Nên Góc CDE = A = 36

0
( 2 góc
đồng vị)
+ Tơng tự Góc
ã
CDE
= 72
0
+ Trong

CDE có:
Góc CDE = 180
0
- (
ã
CDE
+
ã
DCE
)
= 180
0
- ( 36
0
+ 72
0
) = 72
0
4. Củng cố
- GV chốt lại p

2
chứng minh
5. HDVN:
- Xem lại bài chữa.
E
D C

A B
Giải:
a) Theo bài ta có
à
A
:
à
B
:
à
C
:
à
D
= 1 : 2 : 3 : 4

à
1
A
+
à
2
B

+
à
3
C
+
à
4
D
=
à à
à
à
0
0
360
36
1 2 3 4 10
A B C D+ + +
= =
+ + +
Góc (
à à
à
à
A B C D+ + +
= 360
0
)
Do đó
Góc

à
A
= 36
0

à
B
= 36
0
. 2 = 72
0

à
C
= 36
0
. 3 = 108
0

à
D
= 36
0
. 4 = 144
0
b) Do góc
à
A
+
à

D
= 36
0
+ 144
0
= 180
0
Nên 2 đt AB & CD song song ( 2 góc trong
cùng phía bù nhau)
c) Do góc
à
A
+
à
B
= 36
0
+ 72
0
= 108
0
Nên AD & BC không // do đó chúng cắt nhau
tại E
- Góc CDE là góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác
ABCD nên góc
ã
CDE
+
à
D

= 180
0

Góc
ã
CDE
= 180
0
-
à
D
= 180
0
- 144
0
= 36
0
Chủ đề 3: nhận dạng tứ giác ( tiếp )
GA tự chọn toán 8
Tiết 10+11: Nhận dạng hình thang - Hình thang cân- Hình thang vuông (Tiết 2)
Ngày soạn: 6-11-2006
Giảng: 15-11-2006
I. Mục tiêu bài dạy
- Tiếp tục củng cố lý thuyết và áp dụng vào bài tập
- Rèn kỹ năng vẽ hình, suy đoán và lập phơng án chứng minh ( phân tích đi lên)
- Giáo dục tính sáng tạo t duy lô gic.
II. ph ơng tiện thực hiện.
- GV: Bài tập, bài soạn.
- HS: Các t/c toán học.
III. tiến trình bài dạy

1. Tổ chức
Lớp 8A:
Lớp 8B:
2. Kiểm tra:
- Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình thang, hình bình hành.
- Nêu các p
2
cơ bản để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản
Cho

ABC cân ( AB = AC) Phân
giác BD & CE . Gọi I là trung điểm
của BC; J là trung điểm của ED; O
là giao điểm của BD & CE.
Chứng minh
a) Tứ giác BEDC là hình thang cân
b) BE = ED = DC
c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng
- GV cho HS ghi gt & kl
-1 HS lên vẽ hình
- Để CM là hình thang ta CM gì?
- Để CM 2đt // ta CM góc nào bằng
nhau

liên quan đến

nào?
- Vậy ta phải CM

nào = nhau
- HS phát biểu

GV : Tóm tắt & chốt lại P
2
CM
- HS ghi bài
- GV: Chốt lại P
2
CM chung.
1) Bài tập 2:
A
E J D
O
1
2
B C
Giải:
A) BD & CE lần lợt là phân giác của
à
B
&
à
C

( gt) nên
à
1
B

=
ả
2
B
;
à
1
C
=
ả
2
C
;
à
B
=
à
C
( 2 góc ở đáy của

ABC cân)
GA tự chọn toán 8
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần l-
ợt là trung điểm của AB, CD Biết
MN =
2
BCAD
+
CMR tứ giác
ABCD là hình thang

- HS nghiên cứu , vẽ hình và
cho biết (gt) (kl) của bài ?

à
1
B
=
ả
2
C
(1) ;
à
A
chung (2)
AB = AC (gt) (3)
Từ (1) (2) (3)


ABD =

ACE
(g-c-g)

AD = AE


ADE cân tại A nên
ã
ADE
=

à
0
180
2
A
(1)

ABC cân tại A

ã
ABC
=
à
0
180
2
A
(2)
Từ (1) &(2)

ã
ADE
=
ã
ABC

ED//BC
Hay BEDC là hình thang cân
Bài tập 3:
B C

// _
M N
_ //
A D E
Giải:
Trên tia BN lấy điểm E sao cho N là trung
điểm của BE

NBC &

NED có :
NC = ND (gt)
Góc BNC = DNE (đ
2
)
NB = NE ( Cách lấy E)


NBC =

NED (c.g.g)

DE = BC
Theo (gt) MN =
2
BCAD
+


MN =

2
DEAD
+
(1)
Mặt khác trong

ABE có MN là đờng trung
bình của

đó nên MN =
2
AE
(2)
Từ (1) & (2)

AE = AD = ED
Đẳng thức chỉ xảy ra khi 3 điểm A, D, E thẳng
hàng
Do

NBC =

NED nên Góc BCD = EDC do
GA tự chọn toán 8
4. Củng cố
- GV chốt lại p
2
chứng minh
5. HDVN:
- Xem lại bài chữa.

đó DE//BC vị trí (SLT)

AD//BC
Vậy tứ giác ABCD là hình thang
GA tự chọn toán 8
Chủ đề 3: nhận dạng tứ giác ( tiếp )
Tiết 12+13: Nhận dạng hình bình hành - Hình chữ nhật- Hình thoi- Hình vuông
Ngày soạn: 16-11-2006
Giảng: 22-11-2006
I. Mục tiêu bài dạy
- Tiếp tục củng cố lý thuyết và áp dụng vào bài tập
- Rèn kỹ năng vẽ hình, suy đoán và lập phơng án chứng minh ( phân tích đi lên)
- Rèn kỹ năng trình bày.
- Giáo dục tính sáng tạo t duy lô gic.
II. ph ơng tiện thực hiện
- GV: Bài tập, bài soạn.
- HS: Các t/c toán học.
III. tiến trình bài dạy
1. Tổ chức
Lớp 8A:
Lớp 8B:
2. Kiểm tra:
- Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình thoi, hình chữ nhật?
- Nêu các p
2
cơ bản để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau?
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản
* HĐ1: Chữa bài về nhà
- HS trả lời theo hớng dẫn của

GV

OAR và

OCS có:
AR = CS
OA = OC


ã
OAR
=
ã
OCS
= 45
0



OAR =

OCS (cgc)

OR = OS ;
ã
AOR
=
ã
COS
1) Chữa bài về nhà

a) MS

BC ; MR

AC ( gt)
Nên:
ã
MSC
=
ã
MRC
= 90
0


ABC có:
à
C
= 90
0
(gt)
Do đó:
ã
MSC
=
ã
MRC
=
ã
SCR

= 90
0


MRCS là hình chữ nhật

MC = RS và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đờng.
b)

MAR vuông ở R lại có
à
A
= 45
0
(

ABC
vuông cân tại C)


MAR là vuông cân


RA = RM nhng RM = CS ( Cạnh đối của
hình chữ nhật)

AR = CS.
CO là trung tuyến của tam giác vuông cân ABC
nên CO là phân giác của

ã
ACB