de thi hoc sinh gioi toan 8 0506

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>đề thi Ơ-lim -pic huyện</b>
Mơn Tốn Lớp 8
Năm học 2005-2006

<i>(Thêi gian lµm bµi 120 phót)</i>
<i><b>Bµi 1. Phân tích thành nhân tử: x</b></i>4 _{- 6x}2_{- 7x - 6}

<i><b>Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:</b></i>
x4_{+ y}4_{+ z}4 _{BiÕt x + y + z = 2}

<i><b>Bµi 3. Cho x, y, a, b là những số thực thoả mÃn: </b></i>
<i>x</i>4

<i>a</i> +
<i>y</i>4

<i>b</i> =
<i>x</i>2

+<i>y</i>2
<i>a+b</i> và<i>x</i>

2

+<i>y</i>2=1

Chøng minh: <i>x</i>
2006

<i>a</i>1003+

<i>y</i>2006

<i>b</i>1003=

2

(a+<i>b</i>)1003

<i><b>Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh bất đẳng thức:</b></i>
<i>a+b</i>

bc+a2+

<i>b+c</i>

ac+b2+

<i>c</i>+<i>a</i>

ab+<i>c</i>2 <i>≤</i>

1

<i>a</i>+

1

<i>b</i>+

1

<i>c</i>

<i><b>Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M</b></i>
sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng
thẳng Bx vng góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = 1

2 AB.

Đ-ờng thẳng MC cắt NA tại E, đĐ-ờng thẳng BE cắt đĐ-ờng thẳng AC tại F
a) Chứng minh AF = AM.

b) Gọi H là trung điểm của FC, Chøng minh EH = BM

<b>Híng dÉn chÊm «lim pic</b>
Môn toán lớp 8

năm học 2005-2006

<i><b>Bài 1 . </b></i><b>(4 điểm)</b>

Phân tích thành nhân tử: x<i>4 _{- 6x}2_{- 7x - 6}</i>

Ta thÊy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nªn f(x) cã 2 thõa sè lµ (x + 2)(x - 3)
(2®)
chia f(x) cho (x + 2)(x - 3)

V× x2_{+ x + 1 = x}2₊ ₂1

2 x +

1
4+

3

4 > 0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Bài 2. </b></i><b>(4 điểm)</b>

Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
<i> x4_{+ y}4_{+ z}4 _{BiÕt x + y + x = 2}</i>
¸p dơng c«ng thøc Buhiacopski ta cã:

<i>x+y+z</i>¿4

¿

[(

<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>)

2

_]

2

_[

₃

(<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z)</i>2

]

2

<i>x</i>2+<i>y</i>2+<i>z</i>2¿2

9¿ 27(<i>x</i>

4

+<i>y</i>4+<i>z</i>4) (2®)

=> 16<i>≤</i>27(x4+<i>y</i>4+<i>z</i>4) => <i>x</i>4+<i>y</i>4+<i>z</i>4<i>≥</i>16

27 (1®)

VËy giá trị nhỏ nhất của <i>x</i>4

+<i>y</i>4+<i>z</i>4l16

27

Dấu bằng xÈy ra khi vµ chØ khi x = y = z = 2

3 (1đ)

<i><b>Bài 3. </b></i><b>(4 điểm)</b>

Cho x, y, a, b là những số thực thoả mÃn:
<i> </i> <i>x</i>4

<i>a</i> +
<i>y</i>4

<i>b</i> =
<i>x</i>2

+<i>y</i>2
<i>a+b</i> và<i>x</i>

2

+<i>y</i>2=1

<i>Chøng minh: </i> <i>x</i>
2006

<i>a</i>1003+

<i>y</i>2006
<i>b</i>1003=

2

(<i>a+b</i>)1003

Tõ gi¶ thiÕt =>

<i>x</i>2+<i>y</i>2¿2
¿
¿
<i>x</i>4

<i>a</i> +
<i>y</i>4
<i>b</i> =¿

<=> (bx4_{+ ay}4_{)(a + b) =ab(x}2_{+ y}2₎2_(1®)

<=> b2_x4_+a2_y4_{- 2abx}2_y2 _{= 0 <=> (bx}2_{- ay}2₎2_{= 0 (1®)}

<=> bx2_{- ay}2_{= 0 <=>} <i>x</i>2

<i>a</i> =
<i>y</i>2

<i>b</i> =
<i>x</i>2

+<i>y</i>2
<i>a+b</i> =

1

<i>a</i>+<i>b</i> (1®)

<=>

<i>a+b</i>1003

<i>x</i>2006
<i>a</i>1003=

<i>y</i>2006
<i>b</i>1003=

1

<=>

<i>a+b</i>1003

<i>x</i>2006
<i>a</i>1003+

<i>y</i>2006
<i>b</i>1003=

2

(Điều phải cm)
<i> (1đ)</i>
<i><b>Bài 4. </b></i><b>(4 ®iÓm)</b>

Chứng minh bất đẳng thức:
<i> </i> <i>a+b</i>

bc+a2+

<i>b+c</i>

ac+b2+

<i>c</i>+<i>a</i>

ab+<i>c</i>2 <i>≤</i>

1

<i>a</i>+

1

<i>b</i>+

1

<i>c</i>

KÝ hiÖu vÕ trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B
<i>a+b</i>

bc+a2 <i>−</i>

1

<i>a</i>+
<i>b+c</i>

ac+b2 <i>−</i>

1

<i>b</i>+
<i>c+a</i>

ab+<i>c</i>2 <i>−</i>

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

= <i>a</i>
2

+ab<i>−</i>bc<i>− a</i>2
<i>a</i>(bc+a2) +

<i>b</i>2+bc<i>−</i>ac<i>−b</i>2
<i>b(</i>ac+b2) +

<i>c</i>2+ac<i>−</i>ab<i>− c</i>2

<i>c</i>(ab+<i>c</i>2) (0.5®)

= <i>b(a − c)</i>

<i>a(</i>bc+<i>a</i>2)+

<i>c</i>(b −a)
<i>b</i>(ac+<i>b</i>2)+

<i>a(c − b)</i>

<i>c</i>(ab+c2) . (0.5®)

Do a, b, c bình đẳng nên giả sử <i>a ≥ b ≥ c</i> , khi đó b(a - c) 0, c(b - a)
0, a(c - b) 0

<i>(0.5đ)</i>

a3 _b3 _c3_{=>abc + a}3 _{abc + b}3 _{abc + c}3_=> <i>b</i>(a − c)

<i>a(</i>bc+<i>a</i>2)<i>≤</i>

<i>b(a −c</i>)
<i>b</i>(ac+<i>b</i>2)

<i>(0.5®)</i>

=>A - B <i>b(a− c)</i>

<i>b(</i>ac+b2

)+

<i>c</i>(b − a)
<i>b(</i>ac+b2

)+

<i>a(c −b)</i>
<i>c</i>(ab+c2) =

ab<i>−</i>ac

<i>b(</i>ac+<i>b</i>2)+

ac<i>−</i>ab

<i>c</i>(ab+<i>c</i>2) (0.5®)
= <i>a(b − c)</i>

<i>b(</i>ac+b2

)<i>−</i>

<i>a(b −c</i>)

<i>c</i>(ab+<i>c</i>2) (0.5®)

Mà 1
<i>b(</i>ac+b2

)<i></i>

1

<i>c</i>(ab+<i>c</i>2) nên A - B 0 (§PCM) (0.5đ)
<i><b>Bài 5. </b></i><b>(4 ®iĨm)</b>

<i> Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao</i>
<i>cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng</i>
<i>thẳng Bx vng góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = </i> 1

2 <i>AB. </i>

<i>§-êng thẳng MC cắt NA tại E, đĐ-ờng thẳng BE cắt đĐ-ờng thẳng AC tại F</i>
<i>c) Chứng minh AF = AM.</i>

<i>d) Gọi H là trung điểm của EC, Chứng minh EH = BM</i>
<i>a)</i> Đờng thẳng EC cắt đờng thẳng BN tại K. (2đ)
Ta có: AC AB (gt), KB AB (gt) =>FC//KB

AF
NB=
AE
EN
AC
NK=
AE
EN
}
<i>⇒</i>AF
NB=
AC
NK <i>⇒</i>
AF
AB
2
=AC

NK <i>⇒</i>AF=

AB2

2 NK(1)

AC
BK=
AM
MB=
1
2<i>⇒</i>
AC

KN+NB=

1
2<i>⇒</i>

AB

KN+AB

2

=1

2
<i>⇒</i> 2 AB

2 KN+AB=

1

2<i>⇒</i>4 AB=2 KN+AB<i>⇒</i>KN=
3

2AB(2)

Tõ (1) vµ (2) => AF=AB

2

3 AB=
AB

3 <i>⇒</i>AF=AM (§PCM)

b)Tõ chøng minh trªn suy ra: <i>Δ</i> AFB = <i>Δ</i> AMC =>  ABF = ACM

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

mµ ABF + AFB = 1v => ACM + AFB = 1v => FEC = 1v =>EH =

FC

2 =FH mµ FH=FA+AH=

AC

3 +

AC

3 =

2 AC

</div>

<!--links-->