de thi hoc sinh gioi toan 8

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn toán 8 năm học 2008 - 2009
(Thời gian 150 phút)
Bài 1.(3 đ) Rút gọn biểu thức.

2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20
A
a a a a a a a a a a
= + + + +
+ + + + + + + + +
Bài 2. (4đ) Giải các phơng trình.
a) (x 2008 )
4
+ (x -2010)
4
= 2

b)
1 2 2 3 3 4x x x + =
Bài 3.(3đ)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.


2
2
3 6 10
2 3
x x
B
x x

+ +
=
+ +
Bài 4 (3đ) Giải bất phơng trình.


( )
1 1
1 ( 0)
ax
a x a
a a

+ + >
B i 5. (7 đ)
Cho tam giác ABC ( cân tại A ) vẽ đờng cao AH , đờng cao BK
a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?
b) Cho AH = 10 cm , BK = 12 cm . Hãy tính độ dài các cạnh của tam
giác ABC .
c) Gọi I là giao điểm của AH và BK hãy tìm điểu kiện của tam giác
ABC để tam giác BCI là tam giác đều ?
đáp án + biểu điểm
Bài Đáp án Biểu điểm
1
(3đ)
Rút gọn biểu thức.
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20
A

a a a a a a a a a a
= + + + +
+ + + + + + + + +
Điều kiện (
0, 1, 2, 3, 4, 5a a a a a a
)
1 1 1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5)a a a a a a a a a a
= + + + +
+ + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 3
1 1 1
4 4 5
1 1 4
5 ( 5)
a a a a a a a
a a a
a
a a a a
+ + +
+ + + + + +
+
+ + +
+
= =
+ +
1đ
1đ
0,5đ

0,5đ
2
(4đ)
Giải phơng trình.
a) (x 2008 )
4
+ (x -2010)
4
= 2 (I)
Đặt y =x 2009 Ta có:
(I)

(y +1)
4
+(y 1)
4
= 2


2y
4
+12y
2
= 0


2y
2
(y
2

+6 ) = 0


y = 0

x -2009 = 0

x = 2009
b)
1 2 2 3 3 4x x x + =
(II)
+ Nếu x <1 ta có (II)

- 2x + 6 = 4

x =1 (loại)
+ nều 1

x<2 ta có (II)

0.x +4 = 4 Phơng trình nghiệm
đúng với 1

x<2
+Nếu 2

x<3 ta có (II)

- 4x = - 8

x = 2 ( thỏa mãn)
+ Nếu 3

x ta có (II)

2x = 10

x = 5 ( thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phơng trình (II) là x =5 hoặc 1

x

2
1 đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3
(3đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

2
2
3 6 10
2 3
x x
B
x x

+ +
=
+ +
Ta có
2
2
3 6 10
2 3
x x
B
x x
+ +
=
+ +
= 3 +
2
1
2 3x x+ +
= 3 +
2
1
( 1) 2x+ +
1 đ
Mà 3 +
2
1
( 1) 2x+ +


3 +

1
2
=
7
2
Vậy giá trị lớn nhất của B là
7
2
đạt đợc khi x = - 1
1đ
1 đ
4
(3đ)
Giải bất phơng trình.

( )
1 1
1 ( 0)
ax
a x a
a a

+ + >
(III)
Với
0a
ta có (III)

( a+ 2)x >
2

a
(*)
(*)

x >
2
( 2)a a+
nếu a > - 2 và a

0
(*)

0.x >
2
2
Đúng với mọi x nếu a = -2
(*)

x <
2
( 2)a a+
nếu a < - 2
1 đ
1 đ
1 đ
5
(7đ)
a) Các cặp tam giác vuông
đồng dang là:

ABH
:


ACH
( vì có
ã ã
BAH CAH=
)

ABH
:


BCK
( vì có
ã
ã
ABH BCK=
)

ACH
:


BCK
( vì cùng đ/d với

ABH )
I

K
HB C
A
b)Từ

ABH
:


BCK

10 5
12 6
AB AH
BC BK
= = =
5 3
2 6 5
AB
BH AB
BH
= =
( H là chân đờng cao , trung tuyến)
Ta lại có AB
2
BH
2
= AH
2

2
2 2
3
10 12,5
5
AB AB AB

= =
ữ

cm


AC= AB = 12,5 cm
BC = 15 cm
1 đ
1đ
1đ
1đ
1đ
c) Chỉ ra đợc

BIC cân tại I


BIC cân tại I chở thành tam giác đều khi
ã
0

60IBC =
mà
ã
ã ã
0
60IBC HAB HAB= =
ã
0
120BAC =
vậy để

BIC là
tam giác đều thì

ABC phải cân tại A và
à
0
120A =
0,5đ
0,5 đ
1 đ