xet tinh huu ti va tinh vo ti de giai cac bai toan co lien quan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

XÉT TÍNH HỮU TỈ VÀ TÍNH VƠ TỈ CỦA MỘT SỐ ĐỂ

GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN

<i>Khi học tập hơp số hữu tỉ ta có nhận xét rằng:</i>
<i>1/ Tổng ,hiệu,tích ,các số hữu tỉ là số hữu tỉ</i>

Khi học đến tập hợp R ta thấy đươc <i>tập hợp số thực R gồm hai tập hợp số .Tập hợp số</i>
<i>hữu tỉ và tập hợp số vô tỉ</i> và ta đã biết được rằng :<i>Nếu x là số hữu tỉ thì x khơng phải là số</i>
<i>vơ tỉ </i>và <i>ngược lại, nếu x là số vơ tỉ thì x khơng phải là số hữu tỉ.</i>Từ đây ta cũng có các
nhận xét sau

<i>2.tổng của số hữu tỉ và số vơ tỉ là số vơ tỉ</i>
<i>3.tích của số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ.</i>

Thật vậy, nếu x Q và y R\Q mà x+y Q thì x+y+(-x) =y Q Vơ lí.

Cũng vậy, nếu x Q và y R\Q mà xy Q thì xy(x -1_{) =y} _{Q Vơ lí . Áp dụng các}

nhận xét trên ta sẽ giải được một số bài tốn có liên quan, sau đây là các ví dụ minh họa
<i><b>Bài 1:</b></i><b> Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng</b>

√

3<i>−</i>

√

5

√

3+

√

5 <b> </b>

<b> Giải</b>

Gỉả sử x2_{+px+q (p,q là các số hữu tỉ )là phương trình phải tìm .}

Do số

√

3<i>−</i>

√

5

√

3+

√

5 =

√

3<i>−</i>

√

5¿2
¿

√

5¿2

√

3¿2<i>−</i>¿
¿
¿
¿

= -4+

√

15 là nghiệm của phương trình nên

(-4+

√

15¿2 +p(-4+

√

15 ) +q = 0, tức là (31-4p+q)+(p-8)

√

15 =0. Ta thấy:vì p,q là

số hữu tỉ và

√

15 là số vô tỉ nên với nhận xét trên phương trình cuối chỉ tồn tại khi và
chỉ khi đồng thời có

31-4p+q=0 và p-8=0. Suy ra p=8,q=1.Vậy phương trình bậc hai phải tìm là: x2_{+8x -1 = 0}
<b>Bài 2: tìm nghiệm hữu tỉ của phương trỉnh: </b>

_√

<i>y</i>

√

3 <b> - </b>

_√

<i>z</i>

√

3 <b> = </b>

_√

2

√

3<i>−</i>3 <b>.</b>

<b>Giải</b>

Giả sử y và z là hai nghiệm hữu tỉ của phương trình trên.Sau khi bình phương hai vế ta
được: y

_√

3 +z

_√

3 -2

_√

3 yz =2

_√

3 -3 hay (y+z-2)

_√

3 =2

_√

3 yz -3 (1)
Từ (1) ta thấy (x+z-2)2_{.3 = 9+12yz -12}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

thưc: y+z=2 và yz= 3₄ hay chúng là nghịêm của phương trình x2 _{-2x +} 3

4 =0. Do y>z

nên phương trình trên chỉ có một nghiệm là

(

<i>y=</i>3

2:<i>z</i>=
1

2

)

.Đó là nghiệm hữu tỉ của nó.

<b>Bài 3 Tìm tất cả các số ngun dương x,y,z thỏa mãn phương trình:</b>

√

<i>x+</i>2

√

3 <b>=</b>

√

<i>y</i> <b>+</b>

√

<i>z</i>

Gỉải

Giả sử x,y,z là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho:

√

<i>x+</i>2

√

3 =

_√

<i>y</i> +

_√

<i>z</i> . Bình phương hai vế ta được
x+2 ❑

√

3 = y+z+2

√

yz <i>⇔</i> x-(y+z) +2 ❑

√

3 = 2

√

yz tiếp tục bình phương hai
vế ta được

[x-(y+z) ]2_{+ 4}

√

3 [x-(y+z)] +12=4yz (1)

từ (1) suy ra x=y+z vì nếu x ≠ y+z thì

_√

3 = <i>−</i>

[

<i>x −</i>(<i>y+z</i>)

]

2

<i>−</i>12+4 yz

4

_[

<i>x −</i>(<i>y</i>+<i>z</i>)

]

là số hữu tỉ,vơ
lí.

Vậy x=y+z thì <i>⇒</i> yz=3 <i>⇒</i> y=3,z=1 hoặc y=1 ,z=3
*Với y = 3, z = 1 ta được x = 4

*Với y=1, z = 3 ta được x=4

Thử lại ta được (4,3,1) và (4,1,3) là nghiệm

<b>Bài 4 Chứng minh rằng nếu u,v</b> <b> Q mà s = u</b> 3

√

3 <b> + v</b> 3 ¿

√

9<i>∈</i>

¿

<b>Q thì u = v = 0</b>
<b>Giải</b>

Nếu v = 0 ta suy ra ngay u =s =0 (vì 3

√

3 là số vơ tỉ)
Nếu v ≠ 0 ta có 3

√

9 = p + q 3

√

3 (1) ( p,q là các số hữu tỉ). Nhân hai vế của (1)
cho 3

√

3 ta được: 3 = p 3

√

3 + q 3

√

9 (2) thay 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3 = p

_√

3 + q(p + q

_√

3 ) = p

_√

3 + pq + q

_√

3 = pq +( p+q )

3

√

3

Từ đây suy ra :3= pq +( p+q2₎ 3

√

3 . Để đ

ẳng thức này sảy ra ta phải có

Pq = 3 và

P+q

2

=0 do đó p = -q

2

nên 3 = -q

3

<i>⇔</i>

q

3

_{= -3 hay}

q = -

3

√

3 . Điều này khơng xảy ra (vì 3

√

3 là số vô tỉ mà q là số hữu tỉ) tức
giả xử v ≠ 0 không xảy ra đươc . V

ậy v = u = 0.

<b>Bài 5: Tìm đa thức f(x) với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ nhất mà </b>

<b> f(</b>

3

√

3+

√

39

<b>) = 3 + </b>

3

√

3 <b> </b>
<b>giải</b>

<b>Xét f(x) = ax +b với a,b là các số hữu tỉ.Ta có </b>

<b>f(</b>

3

√

3+

√

39

<b>) = 3 + </b>

3

√

3 <i>⇔</i> <b>a(</b> 3

√

3+

√

39

<b>) +b =3 + </b>

3

√

3 <i>⇔</i> <b>(a-1)</b> 3

√

3 +a

3

√

9 = 3-b <b>Q.</b>

Theo <b>bài 4</b> ta có : a-1=0 vô nghiệm. Vậy khơng có đa thức bậc nhất nào thỏa
a=0 mãn

Xét f(x) = ax2_{+bx +c. ta có}<b>_f(</b> 3

√

3+

√

3 9

<b>) = 3+</b>

√

33

<i>⇔</i> <b>a(</b> 3

√

3+

_√

39

<b>)</b>

<b>2</b>

<b>+b(</b>

_√

33+

_√

39

<b>)+c=3+</b>

_√

33

<i>⇔</i> <b>(a+b)</b> 3

√

9 + (3a+b-1) 3

√

3 <b>= 3-6a-c . Đến đây áp dụng kết quả bài 4 ta có:</b>

<b> </b> <b>a+b=0 </b> <b>a=</b> 1

2

<b> </b> <b>3a+b-1=0 </b> <b>b= -</b> 1₂ <b> Vậy f(x)= </b> 1₂ <b>x2_-</b> 1

2 <b>x là đa thức </b>

<b>phải tìm</b>

<b> </b> <b>3-6a-c=0 </b> <b>c=0</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Giải

Giả sử f(x) = (x2_{-3).h(x) + r(x). Vì x}2_{-3 bậc hai nên r(x) = ax + b .Ta ph}_{ải ch}

_{ứng minh}

r(x)=0.

Th

ật vậy ,

ta có f(

√

3 ) =

(

(

_√

3

)

2<i>−</i>3

)

.h(

√

3 <b>) + a</b>

√

3 <b> + b </b> <i>⇒</i> <b> 0 = a</b>

√

3 <b> + b </b>
<b>(a,b </b> <b>Q)</b>

<b>Do </b>

√

3 <b> là s</b>

ố vô tỉ vậy từ

<b> a</b>

√

3 <b> + b = 0 ta có a=b=0 </b> <i>⇒</i> r(x) =0 vây f(x) chia

h

ết cho

<b>x2_-3</b>

<b>Bài 7 Hãy biểu thị </b> 3

√

2+

√

5 <b> dưới dạng a+b</b>

_√

5 <b> với a,b là số hữu tỉ</b>
<b> Giải</b>

<b>Giả sử </b> 3

√

2+

√

5 <b>= a+b</b>

√

5 <b> v</b>

ới a,b

Q ,b≠0

Lập phương hai vế ta được:

2+

√

5 <b>=a3_{+ 3a}2_b</b>

_√

₅ <b>_+15ab2_+5b3</b>

_√

₅ <i>_⇔</i> <b>_(1-3a2_b-5b3₎</b>

_√

₅ <b>_{= a}3_+15ab2_-2</b>
<b>Biểu thức c=(1-3a2_b-5b3_{) là số hữu tỉ, nếu c≠0 thì c}</b>

√

5 <b> là số vơ tỉ, mâu thuẫn với </b>
<b>vế phải là số hữu tỉ </b>

<b> Vậy : </b> <b>3a2_b+5b3₌₁</b>
<b> </b> <b>a3+15ab2 =2 </b>

<b>Suy ra 6a2_b+10b3_{= a}3_{+ 15ab}2</b> <i>_⇔</i> <b>_a3_{- 6a}2_{b + 15ab}2_-10b3₌₀</b>
<b>Do b</b> <b>0 nên chia hai vế cho b3_{ta được:}</b>

(

<i>ab</i>

)

3

<b>- 6</b>

(

<i>a</i>

<i>b</i>

)

2

<b>+ 15</b>

(

<i>a</i>

<i>b</i>

)

<b> -10 =0</b>

<i>⇔</i> <i>a</i>

<i>b</i> <b>=1 </b> <i>⇔</i> <b>a=b . Thay vào hệ trên ta được a = b = </b>

1
2

<b>Vậy </b> 3

√

2+

√

5 <b>= </b> 1+

√

5

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1.Cho a,b,c là các số hữu tỉ sao cho a + b

√

2

+ c

√

3

= 0 .

Chứng minh a = b = c = 0

2. Cho a,b,c là các số hữu tỉ sao cho a + b

3

√

2

+ c

√

34

= 0

chứng minh a = b = c = 0.

3. Chứng minh rằng nếu a,b,c và

√

<i>a+</i>

√

<i>b+</i>

√

<i>c</i>

là những số hữu tỉ thì

√

<i>a ,</i>

√

<i>b ,</i>

√

<i>c</i>

cũng là những số hữu tỉ

4. Cho a,b là hai số hữu tỉ .Xác định đa thức f(x) = x

3

_{+ ax}

2

_{+ bx + 1 . Biết}

rằng đa thức này có nghiệm là 2 +

√

3

<b> 5.Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng</b>

2<i>−</i>

√

3
2+

√

3 <b> </b>

<b>6. Chứng minh rằng mọi đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận </b>

√

5 <b> làm nghiệm đều </b>
<b>chia hết cho x2_-5</b>

<b>7. Chứng minh rằng không thể biểu diễn </b> 3

√

2

được ở dạng p+q

√

<i>r</i>

trong đó

p , q ,r

Q, r >0

8.Cho a và b là các số hữu tỉ, c và d là các số hữu tỉ dương,khơng phải là

bình phương của các số hữu tỉ nào khác.chứng minh rằng nếu :

a +

√

<i>c</i>

= b +

√

<i>d</i>

thì a=b và c=d

TRẦN THANH HƯNG

</div>

<!--links-->