ks hsg de toan 9lan 2 0607

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phòng giáo dục vĩnh tờng

<b> kho sỏt i tuyn hsg lp 9 ln ii</b>
<b>Nm hc: 2006-2007</b>

<b>Môn: Toán</b>
<b>Câu1:</b>

a.Tính giá trị biểu thức
B= 3

1620+1217457+

31620<i>12</i>17457
b.Chứng minh rằng số x sau là một số hữu tỷ:

x= 3

3+

9+125

27 <i></i>

3

<i></i>3+

9+125

27

<b>Câu 2: </b>Cho đa thức bậc bốn P(x) tho¶ m·n:
P(-1)=0

P(x) – P(x-1) = x(x+1)(2x+1)
a. Xác định P(x)

b. Suy ra giá trị của tổng:

S= 1.2.3 + 2.3.5 + + n(n+1)(2n+1) với n là số nguyên dơng.

<b>Câu 3:</b>

a. Hai số dơng x, y thoả mÃn 2
<i>x</i>+

3

<i>y</i>=6 .Tỡm giỏ trị lớn nhất của tổng x + y.
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x2_{+ xy + y}2_{.Trong đó x, y là các số thực}

tho¶ m·n 2 điều kiện |2<i>x y|</i>3 và |x 3<i>y|</i>1 .

<b>Câu 4:</b> Chứng minh rằng không thể chia 6 số tự nhiên liên tiếp thành 2 nhóm mà tích
các phần tử trong mỗi nhóm bằng nhau.

<b>Cõu 5:</b> Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. AA’, BB’, CC’ là các đờng cao tơng ứng với
các cạnh AB, BC, CA của <i>Δ</i> ABC. Gọi H là trực tâm của <i>Δ</i> ABC, O là tâm đờng
tròn ngoại tiếp <i>Δ</i> ABC. Các đờng cao AA’, BB’, CC’ cắt đờng tròn tâm O tại A”, B”,
C”. Chứng minh rằng:

a. H là tâm đờng tròn nội tiếp của <i>Δ</i> A’B’C’

b. S <i>Δ</i> A’B’C’ = (1 – cos2_{A – cos}2_{B cos}2_C).S <i></i> _ABC

c. Tìm tập hợp các điểm M cña <i>Δ</i> ABC sao cho S <i>Δ</i> MAB = S <i>Δ</i> MBC.

CÁC TÀI LIỆU KHÁC VUI LÒNG VO WEBSITE:

<b>Phòng giáo dục vĩnh tờng</b>

<b>ỏp ỏn chm kho sỏt i tuyn</b>
<b>Mụn:Toỏn 9</b>

<b>Câu 1:</b> (2 điểm)

a.Đặt b1=

31620₊1217457 ; b2 =

√

3 1620−12√17457

suy ra b1*b2 = 48

Khi đó: B = b1 + b2
<i>⇔</i> B3_{= (b}

1 + b2)3 = b13 + b23 + 3b1b2(b1 + b2)

= 3240 +144 B
<i>⇔</i> B3_{– 144B -3240 = 0}

<i>⇔</i> (B – 18)(B2_{+ 18B + 180) = 0}

<i>⇔</i> B – 18 = 0

<i>⇔</i> B = 18
VËy B = 18

0.25

0.25

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b. Đặt x1=

33₊

9₊125

27 ; x2=

3

<i>3</i>+

9+125

27
Suy ra: x1*x2=5/3

Khi đó x= x1- x2
<i>⇔</i> x3_=(x

1 – x2)3 = x13- x23 – 3x1x2(x1- x2)

<i>⇔</i> x3_{+ 5x – 6 = 0}

<i>⇔</i> (x – 1)(x2_{+ x + 6) = 0}

<i>⇔</i> x – 1= 0

<i>⇔</i> x=1

Vậy x = 1 là số hữu tỷ

0.25
0.5

0.5
Câu 2: (2 ®iĨm)

Đặt P (x) – P(x-1) = x( x+ 1)(2x+1) (1)
a.Thay x lần lợt bằng -1; 0; 1; 2 vào (1) ta đợc
P(-1) – P(-2) = 0 <i>⇔</i> P(-2)=0

P(0) – P(-1) = 0 <i>⇔</i> P(0) = 0
P(1)-P(0) = 1.2.3 <i>⇔</i> P(1)=6
P(2) – P(1) = 2.3.5 <i>⇔</i> P(2) = 36

Đặt P(x) = b0 +b1 (x+1) + b2(x+1)x + b3(x+1)x(x-1) +b4(x+1)x(x-1)(x-2)

(2)

Thay x lần lợt bằng-1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta đợc:
0= b0

0=b1 <i>⇔</i> b1=0

6= b2.2.1 <i>⇔</i> b2=3

36 = 3.3.2 + b3.3.2.1 <i>⇔</i> b3=3

0= 3.(-1).(-2)= 3 .(-1).(-2).(-3) + b4.(-1).(-2).(-3).(-4) <i>⇔</i> b4=1/2

VËy ®a thøc cần tìm có dạng:

P(x)=3(x+1)x + 3(x+1)x(x-1) + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)

<i></i> P(x) = 3(x+1)x2_{+ 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)}

<i>⇔</i> P(x) = (x+1)x.[3x + 1/2 (x-1)(x-2)]

<i>⇔</i> P(x) = 1/2 (x+1).x.[6x + (x-1)(x-2)]
<i>⇔</i> P(x)= 1/2(x+1).x.(x+1)(x+2)

<i>⇔</i> P(x) = 1/2x.(x+1)2_(x+2)

b.Từ (1) bằng cách thay lần lợt x=1; 2; …; n ta đợc
P(1) – P(0)=1.2.3

P(2)-P(1)=2.3.5

…

P(n)-P(n-1)=n.(n+1)(2n+1)

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta đợc:
P(n)-P(0)= 1.2.3 + 2.3.5+ … + n(n+1)(2n+1)

<i>⇔</i> S=p(n) = 1/2n(n+1)2_(n+2)

0.25
0.25

0.5
0.25

0.25

0.25
0.25
Câu 3: (2,25 điểm)

a. ta thấy: 2+3=

2

<i>x</i>.<i>x</i>+

3

<i>y</i>.<i>y</i>

Do vậy theo B®t Bunhiacopxki ta suy ra:
√2+√3¿2<i>≤</i>(2

<i>x</i>+
3

<i>y</i>)(<i>x</i>+<i>y</i>)=6(<i>x</i>+<i>y</i>)

¿

0.25

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

√2+_√3¿2=5+2√6

6
<i>⇒x</i>+<i>y ≥</i>1

6¿

DÊu “b»ng ’chØ x¶y ra khi
<i>x</i>

2+
<i>y</i>
3=6

¿

<i>x</i>
2=

<i>y</i>
3
<i>x , y</i>>0

<i>⇔x</i>=2+√6

6 <i>; y</i>=
3+√6

6

¿
¿{ {

¿

¿ ¿

¿

VËy Min(x+y)= 5+2√6

6 khi x=

2+√6
6 <i>; y</i>=

3+√6
6
b.Tõ |2<i>x y</i>|<i></i>3 và |<i>x </i>3<i>y</i>|<i></i>1

Nhân 2 vế bđt víi 3 vµ 2 ta cã:

|6<i>x −</i>3<i>y|≤</i>9 vµ |x −3<i>y|≤</i>1 (1)

|2<i>x − y</i>|<i>≤</i>3 vµ |2<i>x −</i>6<i>y</i>|<i>≤</i>2 (2)

áp dụng bđt |A+<i>B|≤|A|</i>+|B| (đẳng thức chỉ xảy ra khi A, B cùng dấu)

Từ (1) và (2) ta đợc

|5<i>x</i>|=|(6<i>x −</i>3<i>y</i>)+(3<i>y −</i>2)|≤|6<i>x −</i>3<i>y</i>|+|3<i>y −</i>2|<i>≤</i>10
<i>⇒|x|≤</i>2

|5<i>y</i>|=|(2<i>x − y</i>)+(6<i>y −</i>2<i>x</i>)|≤|2<i>x − y</i>|+|6<i>y −</i>2<i>x</i>|<i>≤</i>5<i>⇒</i>|<i>y</i>|<i>≤</i>1
VËy <i>x</i>2+xy+<i>y</i>2<i>≤ x</i>2+|xy|+<i>y</i>2<i>≤</i>4+2+1=7

Dấu đẳng thức xảy ra khi |x|=2 và |y|=1

Trong đó x và y cùng dấu hay (x,y) bng (2;1) hoc (-2;-1)
Khi ú x2_+xy+y2₌₇

0.25

0.25

0.25
0.25

0.25
0.25

0.25

Câu 4 (1 điểm)

Gi 6 số đó là: a+1; a+2; …; a+5; a+6

Giả sử có thể chia đợc 6 số đó thành 2 nhóm và tích các phần tử trong
mỗi nhóm đều bằng nhau

Gọi A là tích các số của nhóm 1; B là tích các số của nhóm 2. Suy ra
A=B

T đó tích 6 số đó bằng A2_{là số chính phơng.}

*Nếu cả 6 số a+1; a+2; …; a+6 đều không chia hết cho 7
Suy ra: (a+1).(a+2)…(a+6) 1.2.3.4.5.6 (mod 7)

<i>⇒</i> (a+1).(a+2)…(a+6) -1 (mod 7)
Nhng A2 _{-1 (mod 7) nªn lo¹i}

*Nếu có 1 trong 6 số đó chia hết cho 7

Do (a+1);…(a+6) là 6 số tự nhiên liên tiếp nên trong 6 số đó chỉ có 1 số
chia hết cho 7 suy ra tích của 1 nhóm chia hết cho 7 và một nhóm tích
khơng chia hết cho 7

Mặt khác: tích các số trong nhóm 1 và 2 bằng nhau
Điều này vô lý.

Vậy không thể chia 6 số tự nhiên liên tiếp thành 2 nhóm mà tích các
phần tử trong mỗi nhóm bằng nhau.

0.25

0.25

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Câu 5 (2,75 điểm)

a.Chng minh c <i>A</i>₁=<i>A</i>₂ suy ra A’H’ là phân giác góc C’A’B’.
Tơng tự: B’H; C’H là phân giác của các góc A’B’C’; A’C’B’.

Từ đó suy ra đợc H là trực tâm tam giá A’B’C’

b.Do H là trực tâm <i></i> ABC và <i></i> ABC nhän nªn H n»m trong <i>Δ</i>

ABC

S <i>Δ</i> A’B’C’ = S <i>Δ</i> ABC- S <i>Δ</i> AB’C’-S <i>Δ</i> BC’A’-S <i>Δ</i> CB’A’
<i>⇔SΔA'B'C'</i>

<i>SΔ</i>ABC =1<i>−</i>

<i>SΔ</i>AB<i>'C</i>
<i>SΔ</i>ABC <i>−</i>

<i>SΔ</i>BC<i>'A'</i>
<i>SΔ</i>ABC <i>−</i>

<i>SΔCB'A'</i>
<i>SΔ</i>ABC

Ta cã <i>Δ</i> AB’C’ <i>Δ</i> ABC ( gãc A chung; <i>∠</i> AB’C’= <i>∠</i> ABC
(cïng b»ng <i>∠</i> C’B’C)

AB<i>'</i>
AB ¿

2

=cos2<i>A</i>

<i>⇒SΔ</i>AB<i>'C'</i>
<i>SΔ</i>ABC =¿
T¬ng tù: <i>SΔA</i>

<i>'</i>

<i>C'B</i>
<i>SΔ</i>ABC=cos

2

<i>B</i> ; <i>SΔCB</i>

<i>'</i>

<i>A'</i>
<i>SΔ</i>ABC =cos

2

<i>C</i>
VËy ta cã

<i>SΔA'B'C'</i>

<i>SΔABC</i> =1−cos

2

<i>A −cos</i>2<i>B−</i>cos2<i>C</i>

hay <i>SΔA'B'C'</i>=(1<i>−cos</i>2<i>A −cos</i>2<i>B −cos</i>2<i>C</i>).SΔABC

c.

*ThuËn:

<i>Δ</i> MAB; <i>Δ</i> MBC có chung MB và S <i>Δ</i> MAB=S <i>Δ</i> MBC nên các
đờng cao vẽ từ A và C đễn MB bằng nhau.

Do đó M (d) qua B // AC hoặc M (d’) chứa trung tuyến kẻ từ B

0.75
0.25
0.25

0.25

0.25

0.25
0.25

A

B
B

C
C

O

B _A C

A

A

K
I
d

H
H

B C

M
d

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

cña <i>Δ</i> ABC

Giới hạn: M chuyển động trên (d) và (d’)
*Đảo: Lấy M bất kỳ (d) hoặc (d’)

+ NÕu M (d), vÏ AH (d); CK (d) suy ra AH //CK
Ta cã: AH // CK; (d) //AC suy ra AH = CK

Nªn S <i>Δ</i> MAB = S <i>Δ</i> MBC
+ NÕu M’ (d’)

VÏ AH’ (d’); CK’ (d’) suy ra AH’ // CK’
<i>⇒</i>AH

<i>'</i>

CK<i>'</i> =
AI

IC =1⇒AH

<i>'</i>

=CK<i>'</i>

Suy ra S <i>Δ</i> M’AB = S <i>Δ</i> M’BC

*Kết luận: Tập hợp các điểm M là đờng thẳng (d) ((d) đi qua B và // với
AC ) và đờng thẳng (d’) ((d’) chứa trung tuyến BI của <i>Δ</i> ABC)

0.25

</div>

<!--links-->
ĐỀ TOÁN 9 (2)

• 11
• 478
• 0