Tài liệu Mot so phuong phap giai phuong trinh bac cao

Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
Phần I :
Đặt vấn đề

I-Lời nói đầu
Muốn giỏi toán thi ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản phải biết vận dụng
thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khs . Chúng ta thấy bài tập thì
rất nhiều rât đa dạng
Trong quá trình giảng dậy ở chơng trinh trình toán THCS nói đén vấn đề giải
Phơng trình Tôi thấy giải phơng trình là một báI toán cơ bản liên quan đến nhiều
bài toán khác nh : Tìm TXĐ ,giải bài toán có lời văn bằng cách lập phơng trình .Ơ
lớp 8 chỉ nói về :Phơng trình bậc nhât một ẩn và phơng trình bậc hai một ẩn số .
Ngoài ra còn các hơng trình bậc cao hơn và các dạng phơng trình khác lạ .
Đứng trớc một bài toán giải phơng trình có thể xem xét nó thuộc dạng nào .Từ
đó mà biết cách vận dụng những kiến thức gì ? và giải nó theo trình tự nào. Chính
vì lẽ đó để giúp các em HS có cách giải các phơng trình và một số phơng trình loại
khác ,tôi chọn đề tài này .
Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải phơng trình bậc cao đa về phơng
trình quen thuộc và phơng trình đã biết cách giải .Đề tài này có thể cho giáo viên
toán và những HS yêu thích môn toán tham khảo .Cách giải và cách trình bày .Tuy
vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân . Vì vậy tôi rất
mong sự giúp đỡ cũng nh những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo II/ Nhiệm
vụ nghiên cứu :
-Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao bằng cách đa về các dạng phơng trình đã
biêt cách giải hoặc các dạng quen thuộc .
-Các ví dụ minh hoạ
III/ đ ối tợng nghiên cứu
- HS lớp 9: Trờng THCS Yên Bình Vĩnh Tờng Vĩnh Phúc
-Giúp các HS có cách giải các phơng trình bậc cao và một số phơng trình loại
khác .
IV./ Phơng pháp nghiên cứu

_tham khảo tài liệu ,thu nhập tài liệu .
-Phân tích ,tổng kết kinh nghiệm .
-kiểm tra kết quả :Dự giờ ,kiểm tra chất lợng HS,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy ,điều
tra trực tiếp thông qua các giờ học
V / Phạm vi nghiên cứu
Giới hạn ở vấn đề giải các phơng trình cơ bản ,phơng trình bậc cao (một số thờng
gặp ở lớp 9). Trong chơng trình toán 9 ở THCS .

Phần 2:
Trang 1
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
Nội dung đề tài
A/ Cơ sở lí luận :
I .Mục đích , ý nghĩa của việc dạy giảI bài tập toán :
-Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách có
hệ thống (về toán học nói chung cũng nh về phần phơng trình bậc cao quy về phơng
trình bậc hai trong chơng trình dạy toán lớp 9)theo phơng pháp tinh giảm dễ hiểu .
-Bài tập về phơng pháp quy về phơng trình bậc hai nhằm rèn luyện cho HS
những kĩ năng thực hành giải toán về phơng trình bậc hai . Rèn luyện cho HS các
thao tác t duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu tợng hoá ,tơng tự ..
-Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng
các môn học khác ở trờng THCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế .
-Bài tập Phơng trình bậc cao quy về phơng trình bậc hai còn góp phần rèn luyện
cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo ...
II/ Các kĩ năng ,kiến thức khi học về giảI phơng trình :
1 . Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số :
2 .Các hằng đẳng thức đáng nhớ .
3 . Phép phân tích đa thức thành nhân tử
B / Những vấn đề liên quan :
I / Phơng trình bậc nhất một ẩn :

1 . Định nghĩa ph ơng trình bậc nhất một ẩ n :
- Định nghĩa phơng trình bậc nhât một ẩn :Cho A(x)và B(x) Là hai biểu thức chứa
biến xđể các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau .
-Biến x đợc gọi là ẩn
-Giá trị tìm đợc cuả ẩn gọi là nghiệm
-Mỗi biểu thức là một vế của phơng trình .
-việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình .
2 . Cách giải :
-Phơng trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1)
-dùng phép bién đổi tơng đơng , Phơng trình (1) trở thành :
a x=-b x=-b/a
Phơng trình này có nghiệm duy nhất : x=
a
b

(a

0)
II / Phơng trình bậc hai một ẩn :
1 .Định nghĩa :
-Phơng trình bậc hai có một ẩn số là phơng trình có dạng :
a x
2
+b x +c = 0 (trong đó x là ẩn số ; a, b ,c là các
hệ số , a

0 )
Trang 2
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
-Nghiệm của phơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái

của phơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0
2 . Cách giải một ph ơng trình bậc hai :
-Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng ,biến đổi phơng trình đã cho về các dạng
Phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất ,phơng trình dạng tích ) để tìm
nghiệm của phơng trình
-Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai :
a x
2
+b x +c=o (a

0)
Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số

của phơng trình:


=b
2
- 4ac


gọi là biệt số của phơng trình bậc hai.Vì biểu thức

= b
2
- 4ac quyết định
nghiệm số của phơng trình bậc hai .
-Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :
a ,

<0 phơng trình bậc hai vô nghiệm b ,

=0 phơng trình bậc hai có hai
nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau) x
1
=x
2
=
a
b
2

c ,

>0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2
+

III / Phơng trình bậc ba
1 . Dạng tổng quát
Phơng trình bậc ba ( một ẩn số )là phơng trình có dạng tổng quát :
a x
3

+ bx
2
+ cx + d=0
(trong đó x là ẩn số , a, b, c, d là các hệ số , a

0 )
2 . Cách giải :
Để giải một phơng trình bậc ba ta thờng phải biến đổi về phơng trình tích Vế trái
là tích của các nhị thức bậc nhất với tam thức bậc hai.Vế phải bằng 0 Muốn làm tốt
việc này đòi hỏi HS phải có kĩ năng ,phân tích một đa thức thành nhân tử một cách
thành thạo
IV / Phơng trình bậc bốn
1 . Dạng tổng quát :
Phơng trình bậc bốn ( một ẩn số ) là phơng trình có dạng tổng quát :
Trang 3
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
a x
4
+ b x
3
+cx
2
+dx +e =0 (trong đó xlà ẩn số , a, b, c, d, e, là các

hệ số ; a

0 )
2 . Cách giải
Đây là mọt dạng phơng trình khó ,nó không có cách giải tổng quát .Trong phạm vi
của đề tài ., tôI xin trình bày một số dạng đặc biệt của phơng trình bậc 4 , nhằn giúp
HS có thể giải đợc những bài tập thờng gặp trong SGK cũng nh trong các loại sách
tham khảo khác .
-Về phơng pháp chung để giải bài toán này là dựa vào dạng cấu tạo đặc biệt của
phơng trình ,bằng phơng pháp đổi biến để đa về phơng trình có bậc thấp hơn hoặc
phân tích vế trái thành nhân tử đa về dạng phơng trình tích bằng việc giải các ph-
ơng trình có bậc thấp hơn ta có thể kết luận đợc nghiệm của phơng trình đã cho
V / Phơng trình bậc cao
1 . Dạng tổng quát :
f(x)=a
n
n
x
+a
1
1

+
n
n
x
+ ...+ a
0
( Trong đó x là ẩn số , a
1

nn
a
, ... , a
0
là các hệ số )
2 . Ước lợng nghiệm của phơng trình :
Đối với phơng trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm
nghiệm của nó , ngay cả trong trờng hợp là phơng trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có
công thức song cũng hết sức phức tạp . Trong nhiều trờng hợp ngời ta chỉ yêu cầu
cho một đánh giá nào đó về độ lớn của nghiệm dới dạng một bất đẳng thức
Ta có định lí dới đây (đ/l Maclỏanh Thừa nhận không chứng ninh )
a -Định lí Maclỏcanh : Xét phơng trình
f(x) =a
0
1
1
... axax
n
n
n
n
+++


(1)
Giả sử k là chỉ số lớn nhẩttong tất cả các chỉ số I mà a
i
<0 và b là giá trị tuyệt đối
lớn nhất của các hệ số âm . Khi đó nếu

là nghiệm dơng của phơng trình thì :


+=
n1




.n
Bây giờ ta đi tìm cận dới của nghiệm nguyên dơng tức là xác định một số dơng b
sao cho

>0 với mọi nghiệm dơng

Đặt




11
==
Khi đó ta có

a
0...
0
1
1

1
10
=++++


aaa
n
n

(2)
Nếu A là cận trên của các nghiệm của (2) thì ta có

A


do đó
A
1


vậy
A
1
là cận dới của các nghiệm của (1)
b-Định lí (Ước l ợng Niu tơn ) :
xét phơng trình f(x) = a
0
1
1
.... axax

n
n
n
n
+++


Trang 4
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
Nếu a là một số thoả mãn điều kiện f(a)>0; f

(a)>0 , f

(a) >0..f
n
(a).>0
Thì a là cận trên cho tất cả các nghiệm của phơng trình
3- Xác đinh số nghiệm của ph ơng trình :
Xét phơng trình f(x) = a
0
1
1
... axax
n
n
n
n
+++

( 1 )
Vì f(x) là một hàm liên tục do đó :
Nếu f(x) không có nghiệm trong đoan
[ ]
ba,
thì f(x) giữ nguyên dấu trong đoạn đó
-Với xkhá bé thì dấu của f(x) là dấu của hệ số khác không đầu tiên
- Với x khá lớn thì dấu của f (x) là dấu của hệ số a
0
Ta nói rằng x=

là một nghiệm bội k của (1) nếu : f(x) =(x-
)() xg
k

( k

1)
Ơ đó g(x) là một đa thức không nhận

làm nghiệm
Định lí 1 : Nếu phơng trình f(x) =0 có

làm bội k (k>1) thì phơng trình
f

(x) =0 có nghiệm

bội k-1
Định lí 2 : Giả sử a<c và f(a ) . f(c) <0 khi đó phơng trình (1) có một số chẵn

(có thể bằng không ), các nghiệm (kể cả nghiệm bội ) trong khoảng (a, c)
Chứng minh:
Giả sử
n

......
2..1
là các nghiệm của (1) với các bội tơng ứng là k
n
kk ,.....,
21
khi đó
F(x) = (x-

)
K
1
(x-

2
)
2
K
.(x-

)
n
K
. g(x)
Trong đó g(x) không có nghiệm trong (a,c)

Vì f(a) trái dấu với f(c) và g(a) cùng dấu với g(c) do đó f(a) trái dấu với g(a)
Suy ra k
n
kk
+++
.......
21
là một số lẻ . Khẳng định sau đợc c/m tơng tự .
Định lí (Role) :Giữa 2 nghiệm của phơng tình f(x)=0 phải có ít nhất một nghiệm
của phơng trình f

(x) =0
Định lí này đợc áp dụng cho hàm khả vì(x) bất kỳ
Định lí (Đề các): Xét phơng trình bậc n
f(x) =a
ax
n
n
++
.......
0
1
1
ax
+

=0
Gọ P là số các nghiệm dơng của phơng trình trên ( mỗi nghiệm kể một số lần bằng
số bội của nó )
Gọi C là số lần thay đổi dấu trong dãy hệ số

n

......
2..1

(không xét các hệ số a
1
=0)
Khi đó C

P là một số chẵn
d. Định lí Vi ét và ứng dụng ;
Định lí Vi ét cho phơng trình bậc n đợc phát biểu nh sau :
Định lí 1: Cho phơng trình bậc n : a
ax
n
n
++
.......
0
1
1
ax
+
=0
Giả sử phơng trình có n nghiệm x
n
xx ,.......,
21
trong mỗi nghiệm đợc kể ra

một số lần bằng bội của nó khi đó ta có hệ thức Vi ét sau :
x
n
xx
+++
.......
21
=
n
n
a
a
1


:
x
nn
xxxxx
13221
...........

+++
=
n
n
a
a
2

Trang 5
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS

x
n
xx
+++
.......
21
=
n
n
a
a
1


(-1)
n

(Với 1
k
iii
<<<
...........
21
)
x
n
n

n
a
a
xxx
0
321
.)1(..........
=
Đảo lại , cho trớc n số bất kỳ
n

......
2..1
Đặt S
++=
211

.+
n

S
nn

132212
.....

+++=
S

=

K
n

......
2..1
(Với 1
k
iii
<<<
...........
21
<

n)
S
=
n
n

......
2..1
Khi đó
n

......
2..1
là các nghiệm của phơng trình sau :
x
n
S

1
x
n-1
+S
0)1.......(
2
=+
n
Sx
Ví dụ :Định lí Vi ét cho phơng trình bậc ba nh sau :
Cho phơng trình : a x
3
+ b x
2
+ cx + d =0 có ba nghiệm x
32,1
,, xx
Khi đó x
a
b
xx

=++
321
x
a
c
xxxxx
=++
133221

x
a
d
xx

=
321

Định lí Vi ét cho phơng trình bậc bốn nh sau :
Cho phơng trình : a x
4
+bx
3
+cx
2
+ dx +e =0 có 4 nghiệm thì
x
4
+ x
a
b
xx

=++
321

x
=+++++
433242413121
xxxxxxxxxxx

a
c
x
321
xx
x
4
=
a
c

VI / MộT số vấn đề khác
1. Tập xác định của phơng trình :

Là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phơng trình đều có nghĩa
2. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng
-Hai phơng trình gọi là tơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm .
3. Định nghĩa hai phơng trình hệ quả :
Nếu mỗi nghiệm của phơng trình thứ nhất đều là nghiệm của phơng trình thứ hai
thì phơng trình thứ hai gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình thứ nhất .
Trang 6
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
4. Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng các phơng trình :
Biến đổi các phơng trình đã cho thành một phơng trình khác tơng đơng với nó , nh-
ng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tơng đơng .
5. Các định lý về biến đổi tơng đơng phơng trình
a/Định lý 1: Nừu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của phơng trình thì
đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho :
Ví dụ : 3x=27 3x +2x =27 +2x
Hệ quả1: Nừu chuển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình đồng

thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng
trình đã cho .
Ví dụ : 3x -5 =7x+9 3x- 7x =9+5
Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì ta
đợc một phơng trình mới tơng đơng với một phơng trình đã cho .
Ví dụ : 2x+4x
2
-8=4x
2
-6 <=>2x-8=6

b, / Định lý 2 : Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc
một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho
c -Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phơng trình với một đa thức chứa ẩn nhng
không cùng tập xác định thì có thể chỉ đợc phơng trình hệ quả mà thôi
.C /Phơng pháp giảI một phơng trình bậc cao:
I / Phơng trình bậc hai có một ẩn số
1/ Định nghĩa : Phơng trình bậc hai có một ẩn số có dạng :

a x
2
+ bx +c = 0 trong đó x là ẩn số ; a, b ,c, là các hệ số ; a
0



- Nghiệm của phơng trình là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế tri của ph-
ơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0
2 / Cách giải ph ơng trình bậc hai :
Trang 7

Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
_ Khi nghiên cứu về nghệm số của phơng trình bậc hai ta cần đặc biệt quan tâm đến
biệt số

của phơng trình


= b
2
-4ac


gọi là biệt số của phơng trình bậc hai.Vì biẻu thức

= b
2
- 4ac quyết định
nghiệm số của phơng trình bậc hai .
-Ta thấy có các khả năng sau xảy ra
a ,

<0 phơng trình bậc hai vô nghiệm
b ,

=0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)
x
1
=x
2
=

a
b
2

c ,

>0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2



- Đặc biệt khi b chẵn: b= 2b ( b



Z ) Ta có thể tìm nghiệm số của phơng trình
bậc hai qua biệt số thu gọn

=b
2
ac
- Về số nghiệm số của phơng trình bậc hai xét theo biệt số


cũng

nh ở phần
trên
a ,


<0 phơng trình bậc hai vô nghiệm
b ,


=0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)
x
1
=x
2
=
a
b

c ,

>0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

x
1
=
a
b
+
'
; x
2
=
a
b
''


3-Chú ý :
-nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.c<0 thì phơng trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt
(vì ac<0 =>b
2
-4ac >0 hay

>0 )
-Đối với một số phơng trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trong trờng hợp có
nghiệm (


0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm

Định lí Vi ét cho phơng trình bậc hai đợc phát biểu nh sau :
Định lí Vi ét : Nếu phơng trình bậc hai a x
2
+ bx +c = 0 (1) ( a
0

) có hai
nghiệm là : x
21
, x
thì tổng và tích hai nghiệm là
S=x
21
x
+
=
a
b


P=x
21
x
=
a
c

Cách nhẩm nghiệm :
+ Nếu a+b+c =0 thì phơng trình (1) có các nghiệm là x
==

21
;1 x
a
c

Trang 8
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
+ Nếu a-b+c=0 thì phơng trình (1) có các nghiệm là x
a
c
x

==
21
;1

- Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm đợc nghiệm của các phơng trình có
dạng đặc biệt . Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm đợc một số bài toán biện
luận về số nghệm của phơng trình bậc hai
- Sau khi dạy về định lí Vi ét tôi cho HS giải các phơng trình bậc hai qua lợc
đồ sau :

a x
2
+ bx +c = 0 ( a
0

)

=0
-

0



a #0
=0

0




<0 =0 >0

Trang 9
Tính a+b+c
Phơng trình có 2 nghiệm
x
==
21
;1 x
a
c

Tính a-b+c
phơng trình (1) có hai
nghiệm là x
a
c
x

==
21
;1

Tính

phơng trình bậc hai có hai nghiệm
phân biệt là:

x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2

phơng trình (1) có hai
nghiệm là
x
a
c
x

==
21
;1

phơng trình (1)
vô nghiệm


a =
Xác định b=
c =
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
Ví dụ : Giải các phơng trình sau
a , 3x
2
+5x +7 = 0



= 25 4. 3 . 7 =25 - 84 =- 61 <0
Vậy phơng trình vô nghiệm
b , 5 x

2
+2
10
x +2 = 0



= (2
10
)
2
-4.5.2 =0 nên phơng trình có nghiệm kép

x
1
=x
2
=
a
b
2

=
5
10

c ,: 3x
2
+5x - 1 = 0

= 5
2
- 4 . 3 .(-1) =25+12 =37 >0
Vậy PT có hai nghiệm là : x
1
=
6
375
+
; x
2
=
6
375



d/ Giải phơng trình x
2
-3x +6
=

3
1

x
(1)
x

2
-9
-Phân tích các mẫu thành nhân tử phơng trình trở thành
x
2
-3x +6
=

3
1

x

(x-3)(x+3)
x +3

0
TXĐ : hay x

3và x

-3
x-3

0
MTC : (x-3)(x+3)
-Khử mẫu ta đợc phơng trình x
2
-3x +6 =x+3
- Chuyển vế : x

2
-3x +6 -x-3=0
x
2
-4x +3 =0 (2)
Vì a+b+c= 1+(-4) +3 =0
Nên x
1
=1 ; x
2
=c/a =3 là hai nghiệm của
phơng trình trung gian
- Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2)
có thuộc TXĐ của (1) hay không ?
ở đây ta nhận thấy x
1
=1 thoả mãn điều kiện
x
2
=3 không thoả mãn điều kiện
-Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1
4/ Nhận xét :
-Những phơng trình đợc trình bày ở trên là dạng phơng trình gặp nhiều ở THCS
- Khi giảI các phơng trình này ta cần chú ý những vấn đề sau :
+ Tìm TXĐ của phơng trình
Trang 10
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
+Sau khi giải đợc kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại bỏ
những nghiệm của phơng trình trung gian không nằm trong miền xác định )
II/ Phơng trình bậc ba

1/ Phơng trình bậc ba dạng tổng quát :
a x
3
+bx
2
+cx +d =0
( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a

0 )
2- Cánh giải :
-Để giải một phơng trình bậc ba ta thờng biến đổi về phơng trình tích .Vế trái là
tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 . Muốn làm tốt
việc này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách
thành thạo
3- Ví dụ : giải phơng trình 2x
3
+7x
2
+7x + 2=0
Giải
Phân tích vế trái thành nhân tử ta có
VT= (2x
3
+ 2) + (7x
2
+7 )
=2(x
3
+1) + 7x (x+1)
=2(x+1)(x

2
x +1) +7x(x+1)
=(x+1)[2(x
2
-x +1) +7x ]
=(x+1) (2x
2
+5x +2)

Vậy phơng trình đã cho (x+1) (2x
2
+5x +2) =0
x +1 =0 (2)

(2x
2
+5x +2) =0 (3)
Giải ra ta đợc x
1
=-1

x
2
=-2 ; x
3
= -
2
1
Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là x
1

=-1 ; x
2
=-2 ; x
3
= -
2
1
4- nhận xét :
Khi giải một phơng trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ
yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng
trình tích
-Chú ý : tính chất của phơng trình bậc ba : a x
3
+bx
2
+cx =d =0 ( a

0 )
+Nếu a+b+c +d =0 thì phơng trình có một nghiệm x=1
+Nếu a-b+c-d =0 thì phơng trình có một nghiệm x= -1
Khi đã nhận biết đợc một nghiệmcủa phơng trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành
nhân tử
- Phơng trình : a x
3
+bx
2
+cx =d =0 ( a

0 ) với các hệ số nguyên . Nếu có nghiệm
nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do (đ/l sự tồn tại nghiệm

nguyên của phơng trình nghiệm nguyên )
Trang 11
Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS
- Nếu phơng trình : a x
3
+bx
2
+cx =d =0 ( a

0 ) có 3 nghiệm x
1
; x
2
; x
3

Thi 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau
x
1
+x
2
+x
3
= -
a
b
x
1
x
2

+ x
2
x
3
+x
1
x
3
=
a
c
x
1
x
2
x
3
= -
a
d
II / Phơng trình bậc 4 :
Phơng trình bậc 4 dạng : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a

0 )
Một phơng trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai
3.1/ Phơng trình tamthức bậc 4 (Phơng trình trùng phơng )
a. Dạng tổng quát :
Phơng trình trùng phơng có dạng tổng quát : a x
4
+bx
2
+c=0 (1)
Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a

0 )
b- Cách giải :
Khi giải phơng trình này ta dùng phơng pháp đổi biến
x
2

=t (t

0) (2)
Khi đó phơng trình (1) da đợc về dạng phơng trình bậc hai trung gian
a t
2
+b t +c =0 (3)
Trang 12