Bài soạn Chuyen de BD HSG - Phuong trinh

Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Lời Mở đầu
Trong môn toán ở trờng THCS các bài toán về phơng trình ngày càng đợc quan
tâm và có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ đặc tính độc đáo của các phơng pháp giải chúng.
Phơng trình là một trong những mảng kiến thức cơ bản nhất của toán học bậc THCS vì
thông qua các bài tập về phơng trình học sinh có thể hiểu sâu sắc hơn về:
- Các phép biến đổi toán học cũng nh một số các tính chất về dấu giá trị tuyệt
đối, căn thức bậc hai, tính chất luỹ thừa, tính chia hết
Thông qua quá trình giải các dạng bài tập và các phơng pháp giải phơng trình
đặc chng, năng lực suy nghĩ độc lập, sáng tạo của học sinh đợc phát triển đa dạng,
mạnh mẽ. Đòi hỏi học sinh phải có lối suy nghĩ logic, liền mạch kết hợp giữa các kiến
thức cũ và mới một cách linh hoạt và sáng tạo.
Với sự nghiên cứu chọn lọc tôi đã phân loại phơng trình và đa ra một số phơng
pháp giải phơng trình phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng t duy của học sinh
THCS mong muốn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán giải phơng trình.

/>
1
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
A. Mục tiêu:
* Giúp học sinh:
- Nắm chắc các khái niệm phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai, phơng
trình bậc cao, phơng trình vô tỷ, phơng trình nghiệm nguyên, các kiến thức cơ bản
cũng nh nâng cao mà ta thờng bắt gặp trong bài toán giải phơng trình.
- Nắm đợc các phơng pháp giải phơng trình, đặc biệt là một số phơng trình đặc
biệt.
- Rèn kỹ năng vận dụng giải bài tập có sử dụng bất đẳng thức (dùng bồi dỡng
học sinh giỏi)
/>
2
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải

B. mục lục
Nội dung Trang
Lời nói đầu 1
Phần I: Phơng trình bậc nhất
4
Khái niệm về phơng trình bậc nhất. Phơng trình bậc nhất một ẩn. 4
Phơng trình chứa ẩn ở mẫu 5
Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 6
Phơng trình bậc cao giải bắng cách đa về phơng trình bậc nhât một ẩn 8
Phần II: Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao
10
Phơng trình bậc hai một ẩn 10
Phơng trình tam thức 12
Phơng trình đối xứng 13
Một số cách giải các phơng trình bậc cao 15
Phơng trình phân thức hữu tỉ 17
Phần III: Phơng trình vô tỉ
20
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa 20
Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 21
Phơng pháp đặt ẩn phụ 23
Phơng pháp bất đẳng thức 24
Phần IV: Phơng trình nghiệm nguyên
27
Phơng pháp đa về dạng tích 27
Phơng pháp sắp thứ tụ các ẩn (Các ẩn có vai trò nh nhau) 29
Phơng pháp sử dung dấu hiệu chia hết và chia còn d 32
Phơng pháp sử dụng tính chẵn lẻ 33
Phơng pháp loại trừ hay chặn dần các nghiệm 34
Phơng pháp đa về dạng A

2
+ B
2
+ C
2
+ + = 0 35
Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức 36
Phân phối số tiết cho từng phần
Đề mục Số tiết
Phần I: Phơng trình bậc nhất 2
Phần II: Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao 5
Phần III: Phơng trình vô tỉ 4
Phần IV: Phơng trình nghiệm nguyên 4
/>
3
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Phần I
Phơng trình bậc nhất một ẩn
I. Khái niệm về phơng trình. Phơng trình bậc nhất một ẩn.
1. Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phơng trình: a
2
x + b = a(x + b)
Giải:
a
2
x + b = a(x + b)
a
2
x + b = ax + ab

a
2
x ax = ab -b
ax(a 1) = b(a -1) (1)
Nếu
1,0

aa
thì phơng trình có một nghiệm duy nhất
Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x.
Nếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x khi b = 0, phơng
trình vô nghiệm khi
0

b
.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
Giải:
Phơng trình trên có hệ số bằng chữ ở mẫu thức. Điều kiện để phơng trình có
nghĩa là
1

a
. Với điều kiện này, phơng trình đã cho tơng với
(a+x)(a+1) (a-x)(a 1) = 3a
Sau khi biến đổi ta đợc: 2ax = a (1)
Nếu a

0, phơng trrình có nghiệm duy nhất
Nếu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x.

Kết luận: Nếu
1,0

aa
, phơng trình có nghiệm duy nhất
Nếu a = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi x
Nếu a =
1

, phơng trình vô nghiệm.
Bài tập vân dụng
Bài 1: Tìm giá trị của m sao cho phơng trình:
a) 5(m + 3x)(x + 1) 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2.
b) 3(2x + m)(3x + 2) 2(3x + 1)
2
= 43 có nghiệm x = 1.
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a)
04
107
309
105
311
103
313
101
315
=+

+

+

+

xxxx
/>
4
1
3
11
2

=
+



+
a
a
a
xa
a
xa
a
b
x
=
2

1
=
x
2
1
=
x
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
b)
0
16
4
1
4
2
=


+
+
+
+


a
ax
a
ax
a
ax

c)
3
=

+

+

c
bax
b
acx
a
cbx
d)
1
)1(2
1
12
1
1
1
1
4
2
4


=

+

+


a
xa
a
x
a
x
a
x
II. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức.
1. Ví dụ
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
116
68
14
2
41
3
2

+

+
=

x
x
xx
Giải: Nghiệm của phơng trình nếu có, phải thoả mãn điều kiện
4
1

x
Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:
3(4x + 1) = 2(1 - 4x) + (8 + 6x)
14x = 7
x =
2
1

Giá trị này thoả mãn điều kiện trên. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x =
2
1
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
)35)(51(
4
53
2
15
3

=

+

xxxx
Giải: Điều kiện của nghiệm số, nếu có, là
5
3
;
5
1

xx
.
Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:
3(3 5x) + 2(5x 1) = 4
Giải phơng trình này, ta đợc x =
5
3
. Giái trị này không thảo mãn điều kiện. Vậy phơng
trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập vận dụng
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a)
)1(
3
1
1
1
1
2422
++
=

+


++
+
xxxxx
x
xx
x
b)
168
1
)2(2
1
8
7
84
5
2

+


=+


xxx
x
x
xx

x
c)
bxax
b
b
ba
bx
ba
ba
a
+

+
=

+
+
4222
d)
)10)((
10
10
111
++
=
+
+

+
++

xaxx
x
ax
ax
e)
2
4
3
3
=

+


+
x
x
x
ax
Bài 4: Với giá trị nào của a thì phơng trình sau có một nghiệm duy nhất?
/>
5
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải

11
1
2
2
2
2

=+


x
x
a
x
xax
.
III. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Khi giải các phơng trình mà ẩn nằm trong dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị
tuyệt đối ta xét từng khoảng giá trị của biến. Cần nhớ và năm vững lý thuyết sau:
1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối:

{
A
A
A

=
2. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b
)0(

a
:
Nhị thức cùng dấu với a khi x >
a
b

, nhị thức trá dấu với a khi x <
a
b

.
Chứng minh:
Xét
a
bax
+
= x +
a
b
.
Nếu x >
a
b

thì x +
a
b
> 0, do đó
a
bax
+
> 0, tức là ax + b cùng dấu với a.
Nếu x <
a
b

thì x +
a
b
< 0, do đó
a
bax
+
< 0, tức là ax + b trái dấu với a.
=> ĐPCM
Chú ý rằng
a
b

là nghiệm của nhị thức. Do vậy định lý trên đợc phát biểu nh sau:
Nhị thức ax + b
)0(

a
cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của
nhị thức, trái dấu với a với các trí trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức .
3. Ví dụ
Ví dụ 5: Giải phơng trình:

723
=++
xx
Giải: Lập bảng xét dấu ta đợc
x

-2 3

+
x 3 - - 0 +
x + 2 - 0 + +
Nhìn trên bảng xét dấu ta có:
+ Nếu x < -2, thì x 3 < 0 =>
3

x
= 3 x và x + 2 < 0 =>
2
+
x
= -(x + 2), khi
đó phơng trình có dạng 3 x x 2 =7 <=> x = -3, thuộc khoảng đang xét.
+ Nếu
32

x
, thì x 3 < 0 =>
3

x
= 3 x và x + 2 > 0 =>
2
+
x
= x + 2,
khi đó phơng trình có dạng 3 x + x + 2 = 7 <=> 0x = 2, phơng trình vô nghiệm
+ Nếu x > 3, thì x 3 > 0 =>
3

x
= x 3 và x + 2 > 0 =>
2
+
x
= x + 2, khi đó
phơng trình có dạng x 3 + x + 2 = 7 <=> x = 4, thuộc khoảng đang xét.
Vậy phơng trình có nghiệm x
1
= -3; x
2
= 4.
Ví dụ 6: Giải phơng trình:

594
=+
xx
Giải:
Cách 1: Lập bảng xét dấu
/>
6
Với A

0
Với A < 0
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
x

4 9

+
x 4 - 0 + +
x 9 - - 0 +
Nhì trên bang xét dấu ta có:
+ Nếu x < 4, thì x 4 < 0 =>
4

x
= 4 x và x - 9 < 0 =>
9

x
= 9 x, khi đó
phơng trình có dạng 4 x + 9 x = 5 <=> x = 4, không thuộc khoảng đang xét.
+ Nếu
94

x
, thì x 4 > 0 =>
4

x
= x 4 và x - 9 < 0 =>
9

x
= 9 - x, khi
đó phơng trình có dạng x 4 + 9 - x = 5 <=> 0x = 0, nghiệm đúng với mọi x thuộc
khoảng đang xét, tức là
94

x
.
+ Nếu x > 9, thì x 4 > 0 =>
4

x
= x 4 và x - 9 > 0 =>
9

x
= x - 9, khi đó
phơng trình có dạng x 4 + x - 9 = 5 <=> x = 9, không thuộc khoảng đang xét.
Vậy phơng trình có nghiệm là
94

x
.
Cách 2: Viết phơng trình có dạng
594
=+
xx
.
Chu ý rằng 5 chính là tổng của x 4 và 9 x. Nh vậy tổng các giá trị tuyệt đối của
hai biểu thức bằng giá trị tuyệt đối của tổng hai biểu thức ấy, điều này chỉ xẩy ra khi (x
4)(9 x)

0.
Giải bất phơng trình này ta đợc
94

x
.
Bài tập vận dụng
Bài 5: Giải các phơng trình sau:
a)
73
=
xx
b)
xx
=+
53
c)
132
=+
xxx
d)
0121
=++
xxx
e)
31
+=+
xxxx
f)
433221
=+
xxx
IV. Phơng trình bậc cao giải bằng cách đa về phơng trình bậc nhất một ẩn

Để giải các phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành
nhân tử để đa về giải các phơng trình bậc nhất một ẩn.
1. Ví dụ
Ví dụ 7: Giải phơng trình:
(x 1)
3
+ x
3
+ (x + 1)
3
= (x + 2)
3
Giải:
Sau khi biến đổi phơng trình ta đợc.
x
3
3x
2
3x 4 = 0
<=> x
3
1 3x
2
-3x 3 = 0
<=> (x 1)(x
2
+ x + 1) -3(x
2
+ x + 1) = 0
<=> (x

2
+ x + 1)(x 4) = 0
Vì x
2
+ x + 1

0, nên phơng trình có một nghiệm x = 4.
Ví dụ 8: Giải phơng trình:
(x + 2)(x 2)(x
2
10) = 72
/>
7
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Giải: (x
2
4) (x
2
10) = 72
Đặt x
2
7 = y, phơng trình trở thành
(y + 3)(y - 3) = 72
<=> y
2
= 81
<=> y =
9

+ Với y = 9 ta có x

2
7 = 9 <=> x =
4

+ Với y = -9 ta có x
2
7 = - 9 <=> x
2
= -2, vô nghiệm.
Vậy phơng trình có nghiệm là x =
4

* Chú ý:
Trong cách giải trên ta đã đặt ẩn phụ. Khi giải phơng trình bậc bốn dạng:
(x + a)
4
+ (x + b)
4
= c ta thờng đặt ẩn phụ y = x +
2
ba
+
. Khi giải phơng trình đối
xứng bậc chẵn, chẳng hạn ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0 ta thờng đặt ẩn phụ y = x +

x
1
.
Ví dụ 9: Giải phơng trình: (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2.
Giải:
Đặt x + 4 = y, phơng trình trở thành: (y - 1)
4
+ (y + 1)
4
= 2.
Sau khi biến đổi ta đợc y
2
(y
2
+ 6) = 0, do đó y = 0. Vậy x = -4.
Ví dụ 10: Giải các phơng trình sau:
a) 2x
3
+ 7x
2
+ 7x + 2 = 0
b) x
4
3x
3
+ 4x

2
3x + 1 = 0.
* Nhận xét:
Hai phơng trình trên đều là những phơng trình đối xứng(Chú ý các hệ số có tính
đối xứng). Trong phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì
a
1
cũng là nghiệm.
Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1. Ph-
ơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt ẩn
phụ y = x +
x
1
.
Giải:
a) Biến đổi phơng trình thành
(x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0
Phơng trình có ba nghiệm: x
1
= -1; x
2
= -2; x
3
=
2
1

b) Cách 1: Đa phơng trinh về dạng (x 1)
2
(x

2
x + 1) = 0. Phơng trình có một
nghiệm x = 1.
Cách2: Chia hai vế của phơng trình cho x
2
(Vì x

0)ta đợc:
(x
2
+
2
1
x
) 3(x +
x
1
) + 4 = 0.
Đặt y = x +
x
1
thì x
2
+
2
1
x
= y
2
2, ta đợc: y

2
3y + 2 = 0 nên y
1
= 1; y
2
= 2.
Với y = 1, ta có x
2
x + 1 = 0, vô nghiệm
/>
8
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Với y = 2 ta có x
2
2x + 1 = 0, nên x = 1.
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 11: Giải phơng trình:
x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1 = 0
Giải: Ta thấy x 1

0 vì x = 1 không nghiệm đúng phơng trình.
Nhân hai về của phơng trình với x 1

0 ta đợc x

5
1 = 0 hay x = 1, không thoả
mãn điều kiện trên.
Vậy phơng trình vô nghiệm
Bài tập vận dụng
Bài 6:Giải các phơng trình sau:
a) x
3
5x
2
+ 8x 4 = 0
b) 9ax
3
-18x
2
4ax + 8 = 0 (a là tham số)
c) x
3
+ x
2
+ 4 = 0
d) (x 1)
3
+ (x +2)
3
= (2x + 1)
3
Bài 7: Giải các phơng trình bậc bốn:
a) (x
2

+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) = 12
b) x(x 1)(x + 1)(x + 2) = 24
c) (x 7)(x 5)(x 4)(x 2) = 72
d) (x 1)(x 3)(x + 5)(x + 7) = 297
e) (6x + 7)
2
(3x + 4)(x + 1) = 6
Bài 8: Giải các phơng trình sau:
a) (x
2
4)
2
= 8x + 1
b) (x
2
4x)
2
+ 2(x 2)
2
= 43
c) (x 2)
4
+ (x 6)
4
= 82
d) x

6
+ x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1 = 0
e) 2x
4
+ x
3
6x
2
+ x + 2= 0
Bài 9: Cho phơng trình x
3
(m
2
m + 7)x 3(m
2
m 2) = 0
a) Tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phơng trình bằng 1
b) Giải phơng trình ứng với các giá trị đó của m.
Phần II
Phơng trình bậc hai và phơng trình bậc cao
I/ Phơng trình bậc hai một ẩn.
ở phần này tôi xin chỉ đa ra một số bài tập cơ bản và đơn giản mà không nói

sâu, tôi xin tập chung sâu ở các phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng
trình bậc cao) cùng với một số phơng pháp giải.
A/ Lý thuyết:
1/ Công thức nghiệm:
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
0

) (1)
Ta có

= b
2
4ac (
'

= b
2
ac)
(1) vô nghiệm <=>

< 0 (
'

< 0)
/>
9
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
(1) có nghiệm kép <=>

= 0 (
'

= 0) x
1
= x
2
=
a
b
2

(x
1
= x
2
=
a
b'

)
(1) có hai nghiệm phân biệt <=>

> 0 (
'

> 0)
x
1

=
a
b
2
+
( x
1
=
a
b '
+
) ; x
2
=
a
b
2

( x
2
=
a
b '

)
(1) có nghiệm <=>


0 (
'

0)
2/ Hệ thức Vi ét:
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
S = x
1
+ x
2
=
a
b

và P = x
1
.x
2
=
a
c
3/ Hệ quả (nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai):
Phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0

).
- Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x
1
= 1; x
2
=
a
c
- Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x
1
= -1; x
2
=
a
c

4/ Hệ thức Vi ét đảo:
Nếu hai số x, y thoả mãn x + y = S và x.y = P thì hai số x, y là nghiệm của phơng trình:
X
2
SX + P = 0.
( áp dụng: để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng và dùng để lập phơng trình
bậc hai khi khi biết trớc hai nghiệm )
5/ Chú ý (Điều kiện cần và đủ ):
Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0
Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu <=>
{
0

0

>
P
Để PT (1) có hai nghiệm cùng dơng <=>



>

>
0
0
0
P
S
Để PT (1) có hai nghiệm cùng âm <=>



>

<
0
0
0
P
S
B/ Bài tập
Bài 1: Cho phơng trình: 2x

2
+ mx 5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm còn lại.
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m - 1)x 2m +5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn:
-
1
2
2
1
x
x
x
x
+
= 2.
/>
10
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
- x
1
+ x
2
+ 2x
1
x

2


6.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
2x + m + 2.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thảo mãn:
- x
1
+ x
2
+ 2x
1
x
2


6.
- x
1
+ x
2
+ 4x
1

x
2
= 10.
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
8x + m + 5 = 0.
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng.
c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. Tìm các
nghiệm trong trờng hợp này.
Bài 5: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m = 0.
a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. CTR: A = x
1
+ x
2
x
1
x
2
không phụ
thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1

, x
2
thoả mãn:
x
1
2
+ x
2
2
- 3x
1
x
2
= 6
Bài 6: Cho phơng trình: x
2
(2m 1)x + m
2
m 2 = 0.
a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2x
1
x
2
+ x
1

+ x
2


3
Bài 7: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + 2m + 5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tính A = x
1
2
+ x
2
2
theo m.
c) Tìm m để A = 10.
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y
1
=
2
1
x
, y
2
=

1
1
x
Bài 8: Cho phơng trình: x
2

+ (m + 1)x + m = 0.
a) Giải phơng trình với m = 3.
b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
= 10.
Bài 9: Cho phơng trình: x
2
2x + m 2 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1

, x
2
thoả mãn:
3
10
1
2
2
1
=+
x
x
x
x

Bài 10: Cho phơng trình: 3x
2
4x + m 1 = 0.
a) Giải phơng trình với m = 6.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x
1
= 3x
2
.
Bài 1 1 :
Cho phơng trình: x
2
4x + m = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

/>
11
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
=
12.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
1
2
+ x
2
2
Bài 12 : Cho phơng trình: x
2
3x - m + 2 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x
1
2
+ x

2
2
= 8.
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình
(1).
Bài 13 :
Cho phơng trình: x
2
2(a 1)x + 2a - 5 = 0.
a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x
2
< 1 < x
1
Bài 1 4:
Cho phơng trình: x
2
+ (m +1)x + m - 1 = 0.
a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để A = x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
4x

1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 1 5: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (1).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2121
22 xxxxA
=
.
II/ Phơng trình tam thức.
1) Định nghĩa:
Phơng trình tam thức là phơng trình có dạng: ax
2n
+ bx
n
+ c = 0 (a

0) (1)
trong đó a, b, c là các số thực, n nguyên dơng, n

2.
2) Ph ơng pháp giải:
- Nếu a, b, c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (1) là phơng trình trùng
phơng ma ta đã biết cách giải.
- Nếu trờng hợp n > 2. Đặt x
n
= y, phơng trình (1) đa đợc về dạng

{
yx
cbyay
n
=
=++
0
2
3) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phơng trrình x
6
+ 9x
3
8 = 0.
Giải:
Cách 1: Đặt x
3
= y, ta có phơng trình y
2
9y + 8 = 0. Phơng trình này có nghiệm y
1
=

1; y
2
= 8, từ đó ta tìm đợc x
3
= 1 và x
3
= 8, suy ra x = 1; x = 2.
Cách 2: Phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử, vế phải bằng 0:
- x
6
+ 9x
3
8 = 0
/>
12
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
<=> ( x
6
+ x
3
) + (8x
3
8) = 0
<=> -x
3
(x
3
- 1) + 8(x
3
1) = 0

<=> (x
3
- 1) (8 - x
3
) = 0
Từ đó ta cũng tìm đợc x = 1 hoặc x = 2
Bài tập vận dụng
Bài 16: Giải các phơng trình sau:
a) x
6
7x
3
+ 6 = 0
b) x
8
+ x
4
+ 2 = 0
c) x
8
17x
4
+ 16 = 0
d) x
12
10x
6
+ 24 = 0
e) x
10

+ x
5
- 6 = 0
f) x
6
+ x
4
+ x
2
= 0
III/ Phơng trình đối xứng
1) Định Nghĩa:
Một phơng trình đa thức: a
0
x
n
+ a
1
x
n 1
+ + a
n -1
x + a
n
= 0. Gọi là đối xứng
nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, nghĩa là:
a
n
= a
0

; a
n 1
= a
1
, , a
n 2
= a
2
Tuỳ theo n là số chẵn hay số lẻ mà ta có ph ơng
trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ.
2)Ví dụ
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 2x
4
+ 3x
3
16x
2
+ 3x + 2 = 0. (1)
Nhận xét:
Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn dạng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0
Phơng trình này không có nghiêm x = 0, chia cảc hai về của phơng trình cho
x
2

0 rồi nhóm lại ta đợc: a(x
2
+
2
1
x
) + b(x +
x
1
) + c = 0.
Đặt t = x +
x
1
thì x
2
+
2
1
x
= t
2
2.
Sẽ dẫn đến phơng trình bậc hai at
2
+ bt + c 2a = 0. Từ đó tính đợc t rồi tính đợc x
theo phơng trình: x
2
tx + 1 = 0 để tìm đợc các giá trị của x.

Trở lại ví dụ 2 tacó cách giải sau:
Chia hai vế của phơng trình cho x
2
, rồi nhóm lại ta có:
2(x
2
+
2
1
x
) + 3(x +
x
1
) -16 = 0. Đặt t = x +
x
1
=> x
2
+
2
1
x
= t
2
2, ta đợc phơng
trình: 2t
2
+ 3t 20 = 0. Phơng trình này có nghiệm t = -4 và t =
2
5

. Để tìm x ta giải
hai phơng trình x +
x
1
= -4 và x +
x
1
=
2
5
, từ đó phơng trình có 4 nghiệm x
1,2
= -2
3

; x
3
=
2
1
; x
4
= 2.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
2x
5
+ 3x
4
5x
3

5x
2
+ 3x + 2 = 0 (2)
/>
13
Chuyên đề bồi dỡng HSG Phơng trình và Phơng pháp giải
Nhận xét:
Đây là phơng trình đối xứng bậc lẻ(bậc 5), có dạng:
ax
5
+ bx
4
+ cx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0.
Phơng trình này có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình
có nghiệm x = -1.
Hạ bậc của phơng trình theo lợc đồ Hoóc ne
a b c c b a
-1 a b - a a b
c
b - a a 0
Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax
4
+ (b a)x
3
+ (a b c)x
2

+ (b a)x + a] = 0
Giải tiếp phơng trình đối xứng bậc chẵn:
ax
4
+ (b a)x
3
+ (a b c)x
2
+ (b a)x + a = 0, ta tìm đợc nghiệm của phơng
trình.
Giải:
áp dụng nhận xét trên vào ví dụ 3 thì phơng trình (2) có thể viết nh sau:
(x + 1)(2x
4
+ x
3
6x
2
+ x + 2) = 0.
(Các bạn cũng có thể thực hiện phép chia hai vế của phơng trình (2) cho x + 1 để đợc
phơng trình này).
Ngoài nghiệm x = -1 ra để tìm tiếp các nghiệm của phơng trình (2), ta giải phơng trình
2x
4
+ x
3
6x
2
+ x + 2 = 0. Đây là phơng trình đối xứng bậc chẵn. Tiếp tục cách giải
nh ví dụ 2, ta đợc x

1
= x
3
= 1, x
2
= - 0,5 và x
4
= - 2.
Qua hai ví dụ trên ta thấy rằng:
- Nếu hạ bậc của một phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc một phơng trình đối xứng.
- Các nghiệm của một phơng trình đối xứng đôi một nghịch đảo của nhau. Nh vậy nếu
a là một nghiệm của phơng trình đối xứng thì
a
1
cũng là nghiệm của phơng trình. Vì
lẽ đó các phơng trình đối xứng (bậc chẵn hay bậc lẻ) còn đợc gọi là phơng trình thuận
nghịch (bậc chẵn hoặc bậc lẻ).
Bài tập vận dụng
Bài 17: Giải các phơng trình sau:
a) x
4
+ 5x
3
12x
2
+ 5x + 1 = 0.
b) 6x
4
+ 5x
3

38x
2
+ 5x + 6 = 0.
c) 6x
4
+ 7x
3
36x
2
- 7x + 6 = 0.
d) 6x
5
- 29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
- 29x + 6 = 0.
e) x
7
2x
6
+ 3x
5
- x
4
- x
3
+ 3x

2
- 2x + 1 = 0.
VI/ Một số cách giải các phơng trình bậc cao
ở chơng trình toán sau này chúng ta sẽ có dịp là quen với phép giải tổng quát
phơng trình bậc cao. ở đây chúng ta nghiên cứu một số cách giải khác để giải phơng
trình bậc cao.
1. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
/>
14