phòng giáo dục huyện cưmgar p giáo dục huyện cưmgar đề thi hsg huyện năm học 2007 2008 trường thcs ngô quyền môn toán lớp 9 thời gian làm bài 150 phút câu 1 2đ a chứng minh công thức với a b tính gi

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>P. GIÁO DỤC HUYỆN CƯMGAR</b> ĐỀ THI HSG HUYỆN- NĂM HỌC 2007-2008
TRƯỜNG THCS NGÔ QUYỀN Mơn: Tốn - Lớp 9

Thời gian làm bài: 150 phút

<b>Câu 1: (2đ)</b>

a. Chứng minh công thức:

√

<i>a</i>+2

√

<i>a+</i>1<i>−</i> <i>a</i>

√

<i>a−</i>1=0 với a 0
b. Tính giá trị của:

(

_√

12+2

√

14+2

_√

13<i>−</i>

√

12+2

_√

11

)

(

√

11+

_√

13

)

<b>Câu 2: ( 3điểm) Giải các hệ phương trình:</b>

a.

¿
<i>x</i>+ay+a2<i>z=</i>0
<i>x+</i>by+b2<i>z</i>+c2<i>z=</i>0

<i>x</i>+cy+c2<i>z=</i>0
¿{ {

¿

b.
¿

xy

<i>x</i>+<i>y</i>=2

xz

<i>x</i>+<i>z</i>=3

yz

<i>y</i>+<i>z</i>=4
¿{ {

¿
Với a, b, c là 3 số phân biệt

<b>Câu 3: (3điểm) </b> a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2

b. Trên trục oy lấy điểm A (0;1) và trên (P) lấy điểm B (2;K)
Hãy xác định K và phương trình đường thẳng AB.

c. Đường thẳng AB cắt P tại điểm thứ hai C ngoài B. Gọi M,N theo thứ tự là hình
chiếu của B,C trên trục hồnh. Chứng minh tam giác AMN vuông.

<b>Câu 4: (2điểm) </b>

Cho công thức: <i>Q=x</i>

√

<i>x −</i>1
<i>x −</i>

√

<i>x</i> <i>−</i>

<i>x</i>

√

<i>x</i>

<i>x+</i>

√

<i>x</i>+

(

√

<i>x −</i>

1

√

<i>x</i>

)

(

√

<i>x</i>+1

√

<i>x −</i>1+

√

<i>x −</i>1

√

<i>x+</i>1

)

a. Rút gọn biểu thức Q

b. Với giá trị nào của x thì Q = 6

<b>Câu 5: (3điểm) Hai vịi nước cùng chảy vào một bồn khơng có nước trong 2 giờ 55 phút thì đầy nước.</b>
Nếu để chảy riêng từng vịi thì vịi thứ nhất làm đầy bồn nước nhanh hơn vòi thứ hai 2 giơ. Hỏi để chảy
riêng rẽ thì mỗi vịi làm đầy bồn nước trong bao nhiêu lâu?

<b>Câu 6: (3điểm) Cho hai đường trịn (O) và (O’) ở ngồi nhau. Đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn</b>
(O) và (O’) tại các điểm A,B,C, D theo thứ tự nằm trên đường thẳng. Gọi M là giao điểm của AE và DF,
N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:

a. MENF là hình chữ nhật.
b. MN AD

c. ME. MA = MF.MD

<b>Bài 7: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a. Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB với <i>A_{O B=}</i>^ ₁₂₀0 _{hai tiếp tuyến tại A và B của đường}
tròn cắt nhau ở điểm C. Trên các đoạn thẳng BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm I,J,K sao cho K
không trùng với A, không trùng với B và I \{Ị <i>_{J K}</i>^ ₌₆₀<i>o</i> _{. Chứng minh} _{AJ . BI}<i>_≤</i>AB2

4 .

b. Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D, AB và CD theo thứ tự là tiếp tuyến với đường
tròn thứ nhất và thứ hai (B và C là các điểm nằm trên đường tròn). Chứng minh rằng

AC
BD=

CD2
AB2

<b>Bài 8: (1điểm)</b>

Cho phương trình x2_{-(m-1)x+1=0. Hãy xác định giá trị của m sao cho phương trình có 2 nghiệm x}

1,x2 để

biểu thức A=3x12 + 5x1x2 + 3x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy xác định các nguồn trong trường hợp A đạt giá

trị nhỏ nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 1: (2điểm)</b>

a. Với a>0 ta có:

√

<i>a</i>+2

_√

<i>a+</i>1<i>−</i> <i>a</i>

√

<i>a−</i>1=

√

(

√

<i>a+</i>1

)

2

<i>−</i>

√

<i>a−</i>1

=

|

√

<i>a+</i>1

|

<i>−</i>

(

_√

<i>a</i>+1

)

=0 (0,5điểm)
=

(

_√

<i>a+</i>1

)

<i>−</i>

(

_√

<i>a+</i>1

)

=0

Vậy

√

<i>a+</i>2

√

<i>a+</i>1<i>−</i> <i>a</i>

√

<i>a−</i>1=0 (a>0) (0,5điểm)

b. ta có

_√

14+2

√

13=

√

(

√

13+1

)

2=

|

√

13+1

|

=

√

13+1
=>

_√

₁₂+2

√

14+2

_√

13=

√

14+2

_√

13=

_√

13+1

Ta lại có:

_√

12+2

√

11=

√

(

√

11+1

)

2=

√

11+1 (0,5điểm)
Do đó ta có:

(

_√

12+2

√

14+2

√

13<i>−</i>

_√

12+2

√

11

)

(

√

11+

√

13

)

=

(

_√

13<i>−</i>

√

11

) (

_√

13+

√

11

)

=13<i>−</i>11=2

Vậy

(

12+2

√

14+2

√

13<i>−</i>

_√

12+2

√

11

)

(

√

11+

√

13

)

=2 (0,5điểm)
<b>Bài 2: (3điểm)</b>

a. Từ hai phương trình đầu của hệ ta có:
(a – b) y + (a2_{– b}2_{)z =0}

 y + (a + b)z = 0 (1) (vì a b) (0,5điểm)
Từ hai phương trình đầu và cuối của hệ, ta có:

(a - c)y + (a2_{– c}2_{)z = 0}__{y + ( a + c )z = 0 (2)} _{(vì a} _c) _(0,5điểm)

Từ (1) và (2) ta có: (b - c)z = 0 _z = 0 (vì b c)
Do đó ta có: x = y = z = 0

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = y = z = 0 (0,5điểm)

b.
¿

xy

<i>x</i>+<i>y</i>=2

xz

<i>x</i>+<i>z</i>=3

yz

<i>y</i>+<i>z</i>=4
¿{ {

¿



¿
<i>x</i>+<i>y</i>

xy =
1
2

<i>x</i>+<i>z</i>

xz =
1
3

<i>y</i>+<i>z</i>

yz =
1
4
¿{ {
¿

1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>=
1
2
1
<i>x</i>+
1

<i>z</i>=
1
3
1
<i>y</i>+
1
<i>z</i>=
1
4
(0,5điểm)

1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>=
1
2

(

1
2+
1
3+
1
4

)

1
<i>x</i>+
1
<i>z</i>=
1
3
1

<i>y</i>+
1
<i>z</i>=
1
4

1
<i>x</i>=
1
2

(

1
2+
1
3<i>−</i>
1
4

)

1
<i>y</i>=
1
2

(

1
2<i>−</i>
1
3+
1
4

)

1
<i>z</i>=
1
2

(

1
3+
1
4<i>−</i>
1
2

)



<i>x</i>=24

7

<i>y=</i>24

5

<i>z</i>=24

(0,5điểm)

<b>Bài 3: (3điểm)</b>

a. Vẽ đồ thị (1điểm)

b. Do B (2;K) (<i>P</i>) nên K = 22_{= 4}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>K</i>=yB<i>−</i>yA

xB<i>−</i>xA=
4<i>−</i>1

2<i>−</i>0=

3
2

Phương trình đường thẳng AB là:
<i>y=</i>3

2<i>x</i>+1 (1điểm)

c Hoành độ các giao điểm của AB và (P) là nghiệm của phương trình
<i>x</i>2=3

2<i>x+</i>1<i>⇔x</i>1=2<i>; x</i>2=−

1
2

Vậy ta có M(2;0); N( <i>−</i>1

2<i>;</i>0 ). Tam giác AMN có đường cao ứng với đỉnh A là AO thoả mãn hệ

thức AN2_{= 1 = /OM/ . /ON/ =2 .} 1

2

 AMN là tam giác vuông

<b>Bài 4: (2điểm)</b>

a. ĐK: x > 0 ; x 1 (0,25điểm)

<i>Q=</i>2

(

<i>x+</i>

√

<i>x</i>+1

)

√

<i>x</i> (1,25điểm)

b. 2(<i>x</i>+

√

<i>x</i>+1)

√

<i>x</i> =6<i>⇒</i>

√

<i>x</i>=1 (loại) (0,25điểm)

Vậy khơng có giá trị nào của x để Q = 6 (0,25điểm)
<b>Bài 5 (3điểm)</b>

Ta có 2h 55’ = 35

12<i>h</i>

Gọi x(h) là thời gian làm đầy bồn nước của vịi thứ nhất

Ta có:

1

<i>x</i>+

1

<i>x</i>+2=

1

35
12

=12

35

=> x1 = 5 (nhận) , x2 = <i>−</i>7

6 (loại)

Vậy vịi 1 trong 5h thì đầy nước
Vòi 2 trong 7h thì đầy nước

<b>Bài 6: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận </b> (0,5điểm)

a. Ta có: <i>F</i>^<i>_{E N=}</i>1

2<i>EO B</i>^

<i>E</i>^<i>_{F N=}</i>1

2<i>FO C</i>^

<i>F</i>^<i>_{E N}</i>₊<i>_E</i>^<i>_{F N=}</i>1

2

(

<i>EO B+</i>^ <i>FOC</i>^

)

OE EF ; O,_F _EF

 OEFO’ là hình thang vng

Đo đó <i>E</i>^<i>_{N F=}</i>₉₀0 _{. Tứ giác MENF có 3 góc vng :} _^

<i>E= ^N</i>=^<i>F</i>=900

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

b. Ta có <i>M</i> ^<i>_{A B=}_F_{E B , E}</i>^ <i>_{B A=}</i>^ <i>_F</i>^<i>_{E M , F}_{E M=}</i>^ <i>_A_{M N}</i>^ _{(T/C hcn)}
do đó: <i>M</i> ^<i>_{A B+}_A</i>^<i>_{M N}</i>₌<i>_F_{E B}</i>^ ₊<i>_F</i>^<i>_{E M=B}_{E M}</i>^ ₌₉₀0

=> MN AD (1điểm)

c. Ta có <i>Δ</i>MEF đồng dạng <i>Δ</i>MDA (vì <i>M</i> <i>_{A D=}</i>^ <i>_F</i>^<i>_{E N}</i>₌<i>_M_{F E}</i>^ ₎
Do đó: ME

MD=
MF

MA => MA . ME=MD. MF (0,5điểm)

Bài 7: (3điểm)
a. (1,5điểm)

Ta có: sđ AB = <i>A_{O B}</i>^ ₌₁₂₀0

=> <i>C</i>^<i>_{A B}</i>_=C<i>_{B A=}</i>^ _¿ 1

2sđ \{^<i>A B=</i>60

0

<i>A</i>^<i>_{K I}</i>₌<i>_A_{K J}</i>^ ₊<i>_J</i>^<i>_{K I}</i>₌<i>_A_{K J}</i>^ ₊₆₀0

<i>A</i>^<i>_{K I}</i>₌<i>_A_{B I}</i>^ ₊<i>_B</i>^<i>_{I K}</i>₌<i>_B</i>^<i>_{I K}</i>₊₆₀0

=> <i>A</i>^<i>_{K J}</i>₌<i>_B_{I K}</i>^ <i>_⇒_Δ</i>_AKJ _{đồng dạng} <i>_ΔB_{I K}</i>^ ₍ <i>_A</i>^<i>_{K J=}_B_{I K ; J}</i>^ ^<i>_{A K=}_K_{B I}</i>^ ₌₆₀0 ₎

AK
BI =

AJ

BK <i>⇒</i>AK . BK=BI . AJ (1)

Vế trái (1) được biến đổi như sau:

AK . BK = AK (AB – AK) = AK . AB – AK2

= 1

4AB

2
<i>−</i>

(

1

4AB

2

<i>−</i>2AB

2 . AK+AK

2

)

= 1

4AB

2
<i>−</i>

(

AB

2 <i>−</i>. AK

)

2
<i>≤</i>AB

2

4

Từ 1 ta được AJ . BI<i>≤</i>AB
2

4

b. (1,5điểm)

trong đường trịn tâm (O) ta có:
<i>D</i>^<i>_{A B=}_A_{C B}</i>^

trong đường trịn tâm (O’) ta có:

<i>C</i>^<i>_{D A=}_D</i>^<i>_{B A}</i>

<i>⇒</i>AD

DB=
AC
DA=

DC
BA

<i>⇒</i>AD

DB .
AC
DA=

(

DC
BA

)

2

<i>⇒</i>AC

BD=
CD2
AB2

Bài 8: (1điểm)

A= 25- 4m 0 _ m 25₄

Gọi x1, x2 là các nghiệm thì x1 + x2 = 5 , x1x2 = m . ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

m= x1 x2 = 3

5.
22

5 =
66

5 thoả mãn điều kiện m
25

</div>

<!--links-->