nguyễn vũ minh điện thoại 0613916072 y m minhnguyen249 hay 0914449230 tóm tắt công thức tính đạo hàm 1định nghĩa 2các quy tắc tính đạo hàm với k là hằng số 3bảng tóm tắt công thức công thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (186.57 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tóm tắt cơng thức tính đạo hàm

1/Định nghĩa:

0 0

( ) ( )

' '( ) lim lim

x x

f x x f x
y

y f x

x x
   
  

  
 

2/Các quy tắc tính đạo hàm:

2
2

(

) '

'

(

) '

'

( . )

.

'

( . ) '

'.

'. '

'.

( ) '

1 '

( ) '

u

v

u

v

u

v

w

u

v

w

k U

u v

v u

u

u v

v u

v







 















( với k là hằng số )

3/Bảng tóm tắt cơng thức:

Công thức hàm cơ bản Công thức hàm mở rộng ( u)

( ) '

0 ( ) '

1 (

) '

2 (

) '

.

1 ( ) '

1 (

) '

2

n n

C

x

n x

x









2
1
2

(

) '

2 . '

(

) '

.

. '

1 '

( ) '

1 (

) '

. '

2

n n

u

u u

u

n u

u

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
2

(sin ) ' cos

(cos ) '

sin

1 (tan ) ' 1 tan

cos

1 (cot ) '

(1 cot

)

sin

x





 









2
2
2

(sin ) '

'.cos

(cos ) '

'.sin

1 (tan ) '

'.(1 tan )

. '

cos

1 (cot ) '

'.(1 cot )

. '

sin

u

















(

) '

(

) '

.ln

x x

e

a



(

) '

'.

(

) '

'

.ln

u u

e

u e

a

u a

a



1 (ln ) '

1 (log

) '

ln

a

x

a



1 (ln ) '

. '

1 (log

) '

. '

ln

a

u

a



4/Đạo hàm hàm đặc biệt:

?
( ) '

( )

ax b

cx d cx d




  “? “ được tính theo a b
c d

2
2
?
( ) '
( )

ax bx c

dx e dx e

 


  “ ? “được cho bởi a b c

0 d e

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ứng Dụng Đạo Hàm – Bài Toán Khảo Sát Hàm Số

         

Vấn đề 1:

Điểm Cố Định

Định nghĩa : khi 1 hàm số y=f(x,m), ứng với mỗi m ta sẽ vẽ được 1 đồ thị khác nhau ,
nhưng tất cả các đồ thị này đều đi qua 1 điểm (hay 2 điểm trở lên) khi m thay đổi => điểm
cố định

Phương pháp tìm:

Cho hàm số y=f(x,m) ,ta chuyển về dạng sau:
 f(x,m) – y = 0 sau đó đưa về : A.m2+B.m+C = 0

với A,B,C là các biểu thức theo x và y. Tọa độ điểm cố định là nghiệm hệ phương
trình sau:

0
0 ( )
0

A
B
C





 



 

 m ( ko ghi ý này ko cho điểm)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

VD: tìm tọa độ điểm cố định mà họ đường cong (Cm)

3 ( 3) 2 2 2

y x  m x  mx luôn

đi qua:

Giải : hàm số <=>

3 2 3 2 2

2 3 2

3 2

( 3) 2 2 0 3 2 2 0

( 2 ) ( 3 2 ) 0

0 2

2 0 0 2

2 18

3 2

3 2 0

x m x mx y x mx x mx y

m x x x x y

x x

x x x x

m

y y

y x x

x x y

            

      

  

       



        

 

  

   

   



Vậy : ta tìm được 2 điểm cố định là (0;2) và (-2;-18)

Nhận xét : nếu (*) vô ngihệm thì ta kết luận (Cm) ko có điểm cố định

Vấn đề 2 :

Tính Đơn Điệu của Hàm Số

1/ Định nghĩa: cho hàm số y=f(x) xđ trên (a,b)

a. Hàm số f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên (a,b) nếu với mọi x1,x2 thuộc khỏang

(a,b) : x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

b. Hàm số f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên (a,b) nếu với mọi x1,x2 thuộc khỏang

(a,b) : x1 < x2 => f(x1) > f(x2)

c. Hàm hằng số nếu với mọi x1,x2 thuộc khỏang (a,b) và x1x 2 => f(x1 = f(x2)
2/ Định lý ( quan trọng ) : Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a,b):

a. Nếu f’(x) > 0  x ( , )a b thì f(x) đồng biến trên (a,b)
b. Nếu f’(x) < 0  x ( , )a b thì f(x) nghịch biến trên (a,b)
c. Nếu f’(x) = 0  x ( , )a b thì f(x) khơng đổi trên (a,b)

3/ Cách tìm khỏang đồng biến , nghịch biến ( đơn điệu ) của hàm số :
B1: tìm tập xác định D , tìm y’ (đạo hàm cấp 1)

B2: cho y’ = 0 suy ra các điểm tới hạn (đ/n : là điểm x0 nào đó làm cho đạo càm

cấp 1 ( y’) bằng 0 hay không xác định)

B3: vẽ bảng biến thiên, suy ra các khỏang đơn điệu
4/ Chứng minh hàm số luôn đồng biến hay nghịch biến :

Khi ta lấy đạo hàm của hàm số :

y

'



ax



bx c



, lúc đó ta có

a. Để chứng minh hàm số luôn đồng biến trên TXĐ ( tức là y ' 0) ta chứng minh:

0
, ' 0

a 




  


b. Để chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên TXĐ ( tức là y ' 0) ta chứng minh:

0
, ' 0

a 




</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vấn đề 3:

Cực Trị của Hàm Số ( Cực Đại & Cực Tiểu)

1/ Điều kiện cần để có cực trị:
 Định lý Fermat :

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0

ứng dụng của định lý trên : ( ^ . ^ ) trong các bài tóan tìm m để hs đạt cựa trị tại một

điểm nào đó ( hay lắm )

2/ Dấu hiệu 1 ( định lý 1 ): dùng trong vẽ đồ thị và tìm cực trị 
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a,b)

a.nếu khi x đi qua x0 mà đạo hàm đổi dấu từ + sang  thì hàm số đạt cực đại tại x0
b. nếu khi x đi qua x0 mà đạo hàm đổi dấu từ  sang + thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

bảng biến thiên

3/ Dấu hiệu 2 ( định lý 2) : dùng trong biện luận tham số m

Giả sửa hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 ,liên tục tại x0 , x0 là điểm tới hạn

a. Nếu

0
'( ) 0
''( ) 0

f x
f x








 thì hàm số đạt cực đại tại x0

b. Nếu

0
'( ) 0
''( ) 0

f x
f x








 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

Vấn đề 4 :

Gía Trị Lớn Nhất & Giá Trị Nhỏ Nhất

1/Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) ,TXĐ: D

a. Nếu f x( )M, x D và

f x

( )



M x

,



D

thì M là GTLN của hs trên D

Kí hiệu Max y = M tại x = x0

b. Nếu f x( )M, x D và

f x

( )



M x

,



D

thì M là GTNN của hs trên D

Kí hiệu Min y = M tại x = x0

2/ Tìm GTLN & GTNN:

Dạng 1: nếu D là đọan [a,b] ( dễ làm nhất )

- tính y’ ,cho y’ = 0  các điểm tới hạn x x x0, 1, 2...[ , ]a b ,khơng thuộc [a,b]

ta khơng lấy , nếu khơng có giá trị nào cần tìm thì thơi…
x a x0

x a x0
b

y’ + - y’ - +

CĐ

CT

y y

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- tính các giá trị f x( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )0 f x1 f x2 f a f b

- nhìn , so sánh tìm ra giá trị lớn và nhỏ nhất và kết luận Min và Max

Dạng 2 : nếu D là khỏang (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên mới ra )

- tính đạo hàm

- lập BBT , suy ra GTLN , GTNN ( cũng khơng q khó )

-chú ý : đơi khi ta cịn xài bất đẳng thức CơSi, Bunhiacopski…..

VD:tìm GTLN & GTNN của hàm số y x 3 3x22 trên đọan [1,3]

Giải: TXĐ : D= R ,

2 2 0

' 3 6 , ' 0 3 6 0

x

y x x y x x

x




       



 , nhìn vào đọan [1,3] ta

chỉ nhận x =2 khơng nhận x = 0

Tính các giá trị

3 2

(2) (2) 2 3.2 2 2
(1) (1) 0

(3) (3) 2

f y

    

 

  ,ta kết luận ;

Max y =2 khi x = 3 và Min y = -2 khi x = 2
[1,3] [1,3]

Vấn đề 5 :

Lồi , Lõm , Điểm Uốn

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Hình vẽ này cũng minh họa cho cực đại , cực tiểu

2/ Định lý 1: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên (a,b)
a. Nếu

f x

"( ) 0,



 

x

( , )

a b

thì đồ thị lồi trên (a,b)

b. Nếu

f x

"( ) 0,



 

x

( , )

a b

thì đồ thị lõm trên (a,b)

c. Nếu

f x

"( )

đổi dấu khi đi qua

x

I thì

I

là điểm uốn của (C)
3/ Cách tìm điểm uốn:

- tìm TXĐ :D , tính đạo hàm cấp 1 , sau đó tính đạo hàm cấp 2 ( y”)

- cho y” = 0 suy ra

x

I sau đó vẽ bảng “ xét tính lồi ,lõm ,điểm uốn “

- suy ra các khỏang lồi , lõm , và điểm uốn

chú ý 1: một điểm

M x

(

M

;

y

M

)

là điểm uốn của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi

()(),()

"()0

MM

M

yxfx

yx







(*) có nghĩa là ta đem thế tọa độ M vào hàm số là xong, chú ý này giúp giải 
được nhiều bài tóan

chú ý 2: tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có “ hệ số góc “ nhỏ hoặc lớn nhất ( tùy 
bài ).

Điểm uốn I ( 1,0 )

Cực tiểu (2,-2)
Cực đại (0,2)

Phần lồi

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

VD : tìm các khỏang lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số sau :

3

1

y x





x



Giải: D=R,

' 3 6 " 6 6,

" 0 6 6 0 1 3

y x x y x

y x x y

    

       

Bảng xét tính lồi , lõm , điểm uốn:

Vấn đề 6 :

Tiệm Cận

Cách xác định tiệm cận :

A.Tiệm cận đứng : Nếu 0

lim

xx y thì x x 0 là TCĐ

B. Tiệm cận ngang : Nếu limx yy0 thì yy0 là TCN

C. Tiệm cận xiên : Nếu lim[x  y (ax b )] 0 thì y a x b .  là TCX

D. Cách tìm hệ số a & b của TCX :

lim

lim( )
x

x

y
a

x

b y ax

 

 


 

từ đó suy ra TCX :y a x b . 
E. Các chú ý khi tìm tiệm cận :

a.Hàm đa thức y P x ( )khơng có đường tiệm cận
b.Hàm phân thức

( )

; ( ) 0
( )

P x

y Q x

Q x

 

có các nghiệm x x x 0, ...1 khơng fải là

nghiệm của P(x) thì các đường x x x x 0,  1...là TCĐ

c.Nếu Q(x) = 0 vơ nghiệm thì hàm số khơng có TCĐ

d.Bậc tử



bậc mẫu thì có TCN , khơng có TCX

e. Bậc tử



bậc mẫu 1 đơn vị thì có TCX

VD1:Tìm tiệm cận của hàm số

2 2
3

x
y

x






Giải : ta thấy x=3 là cho mẫu = 0 nên ta chứng minh như sau :

3 3 3 3

2 2 2.3 2 4

lim lim ( lim lim )

3 3 3 0

x x x x

x

y do

x

   

 

   

  nên x=3 là TCĐ

 





1

Đồ thị

"

y

-

+

lõm

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Nhận xét : bậc tử = mẫu nên sẽ có TCĐ , khơng có TCX :

2
2

2 2 2

lim lim lim 2

3 1 1

x x x

x x
y
x
x
     


   
 

nên x=2 là TCĐ

VD2: Tìm tiệm cận của hàm số

2 4 5

2
x x
y
x
 



Giải: x=2 là nghiệm của mẫu nên

2
2 2
4 5
lim lim
2
x x
x x
y
x
 
 
 

 nên x=2 là TCĐ

Nhận xét : bậc tử > mẫu 1 đơn vị nên sẽ có TCX , khơng có TCĐ :

Tìm a :

2 2 2

4 5
1

4 5 4 5 1

lim lim lim lim 1

( 2) 2 1 1

x x x x

y x x x x x x

a

x x x x x

x
       
 
   
     
 


Tìm b :

2 4 5 2 4 5 ( 2) 2 4 5 2 2

lim( ) lim( 1. ) lim( ) lim( )

2 2 2

x x x x

x x x x x x x x x x

b y ax x

x x x

       
         
     
  
7
6
6 7

lim( ) lim( ) 6
2
2 1
x x
x x
x
x
   


  



vậy TCX có dạng y=1.x+6
Ta có cách làm khác thơng dụng để tìm TCN như sau :

2 4 5 17

6
2 2
x x
y x
x x
 
   

  ,sau đó la làm như sau :

17
( 6)
2
y x
x
  

 lấy lim 2 vế ta

được:

17 17

lim[ ( 6)] lim , ( 0)

2 2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>

nguyễn vũ minh điện thoại 0613916072 y m minhnguyen249 hay 0914449230 tóm tắt công thức tính đạo hàm 1định nghĩa 2các quy tắc tính đạo hàm với k là hằng số 3bảng tóm tắt công thức công thức

<b>Tóm tắt cơng thức tính đạo hàm </b>

(

) '

'

'

(

) '

'

'

'

( . )

.

'

( . ) '

'.

'.

'. '

'.

( ) '

1

'

( ) '

<i>u</i>

<i>v</i>

<i>u</i>

<i>v</i>

<i>u</i>

<i>v</i>

<i>w</i>

<i>u</i>

<i>v</i>

<i>w</i>

<i>k U</i>

<i>k U</i>

<i>u v</i>

<i>u v</i>

<i>v u</i>

<i>u</i>

<i>u v</i>

<i>v u</i>

<i>v</i>

<i>v</i>

<i>v</i>

<i>v</i>

<i>v</i>







 



















( ) '

0

( ) '

1

(

) '

2

(

) '

.

1

1

( ) '

1

(

) '

2

<i>C</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>