bµi tëp tæ hîp bµi tëp tæ hîp t¸c gi¶ hoµng quý phçn i bµi tëp giai thõa bµi 1 rót gän am ca b b d c embed equation 3 bµi 2 gi¶i ph­¬ng tr×nh a 72 b 16 d 32 cx2 x1x bµi 3

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

BàI tập tổ hợp

Tác giả:hoàng quý
Phần I BµI tËp giai thõa

bµI 1 Rót gän a,M= <i>5 !</i>

<i>x (x +1)</i> *

(<i>x +1)!</i>

(<i>x − 1)!</i> c,A=

∑

<i>_k=1</i>

<i>n</i>

1

<i>k (k +1)</i>

b, B=

_∑

<i>k=2</i>
<i>n</i>

<i>k −1</i>

<i>k !</i> d; C=

<i>5 !</i>

<i>m(m+1)</i>

(<i>m+1)!</i>
(<i>m− 1)!∗3 !</i>

bàI 2 giảI phơng trình a, (<i>x +1)!</i>

(<i>x − 1)!</i> =72 b,

<i>x ! −(x −1)!</i>

(<i>x +1)!</i> =1/6

d, (<i>x+2)!</i>

<i>x !</i> +

(<i>x +1)!</i>

(<i>x − 1)!</i> =32 c,(x+2)!-(x+1)!=x!
bµI 3 CMR: a, n! > 2 _❑<i>n− 1</i> _(n _{3) b, (n!)}

❑2 > n ❑<i>n</i> ( n > 2 ) n - tự

nhiên

phần 2 sử dụng công thức tổ hợp

bàI 1 giảI phơng trình ; bất phơng trình 1; A 2 ❑<i>x</i> _{=2 2; 3P}<i>x</i>_=A ❑3 _❑<i>x</i> _3;
1

<i>C</i>₄<i>x</i>

- 1

<i>Cx</i>5 =

1

<i>C</i>₆<i>x</i>

4; 2 <i>A_x</i>2 +50= <i>A</i>2<i>2 x</i> 5;

<i>P_{n +5}</i>
<i>Pn− k</i>

= 240 A ❑<i>_n+3k+ 3</i> 6;

<i>A_{n +4}</i>4

(<i>n+2)!≤</i>
15
(<i>n −1)!</i>

7; <i>C_x</i>1 + <i>C_x</i>2 + <i>C_x</i>3 =7x/2 8; <i>P_n+3</i> =720 <i>A_n</i>5<i>∗ P_{n −5}</i> 9;

¿
<i>A_x+1∗</i>_❑<i>y+ 1</i>

<i>P</i>❑<i>x − y</i>

<i>P_{x− 1}</i>

¿

=72

10; <i>Cxx− 1</i>

+ <i>Cxx− 2</i>

+…………..+ <i>Cxx− 9</i>

+

10


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>C</i>

_{=1023 11;} <i>An+2</i>1

<i>P_n+2</i> -

143

4<i>∗ Pn− 1</i> < 0
12; <i>Cn −1n −3</i>

<i>A_{n +1}</i>4

<i>≤</i> 1

<i>14 P</i>₃ 13; <i>Cx+1y:C_xy+ 1:C_xy−1</i> = 6 : 5 : 2 14; <i>C</i>

<i>n − 1</i>4<i>− C</i>

<i>n − 1</i>3<i>−</i>

5

4 <i>An− 1</i>2<i>≤ 0</i>

15; (<i>A_{x− 1}y</i>+yA<i>_{x − 1}y− 1</i>)<i>: A_xy −1:C_xy −1</i> = 10 : 2 : 1 16; <i>A_x</i>2<i>C_xx− 1=48</i>

17; <i>Ax</i>4

<i>A_x+1</i>3<i>−C</i>

<i>xx −4</i>
=24

23 18;

<i>P_x+2</i>
<i>A_{x −1}·x −4∗ P</i>₃

=210 19 <i>C_x+8x+3</i>=5 A<i>_x+6</i>3

Đáp số 1 ; (x=2 ) 2; (x=1;2 ) 3; (x=2). 4; (x=5 ) 5; (n=11 k=0……….11) 6; (n=2..3… …4 5..6)
7;(x=4) 8;(n=7) 9;(x=8;y=0……… 10; (x=10)11;(n=27) ………..36) 12;(n>5) 13;(x=8;y=3)14;(n=5….10)
15;(x=7;y=3) 16;(x=4) 17;(x=5) 18;(x=5) 19 ;(x=17)

20 Tìm k để 3 số sau là cấp số cộng : a; <i>C</i>₇<i>k; C</i>₇<i>k+1;C</i>₇<i>k+2</i> b; <i>C</i>₁₄<i>k;C</i>₁₄<i>k+1;C</i>₁₄<i>k +2</i> (k=4; k=8)
bàI 2 chứng minh rằng :

1 ; m <i>C_nm</i> =n <i>C_{n − 1}m− 1</i> 2; <i>C</i>

<i>nm</i>=<i>C</i>❑

<i>m− 1</i>

+<i>C_{n − 2}m − 2</i>+<i>.. .. . .. .. .. . .. ..+C</i>

<i>mm −1</i>+<i>C</i>

<i>m −1m −1</i> (0<m<n)

3; <i>C_nk</i>+<i>4 C_nk− 1+6C_nk −2+4 C_nk −3+C_nk− 4=C_{n+ 4}k</i> ( 4 < k < n )

4; <i>C_nk+3 C_nk− 1+3C_nk −2+C_nk− 3=C_n+3k</i> (3 < k < n )

5; k(k-1) <i>C_nk</i>=<i>n(n − 1)C_{n − 2}k− 2</i>

6; 2 <i>C_nk</i>+5 C

<i>nk+ 1</i>+<i>4 C</i>

<i>nk+ 2</i>+<i>C</i>❑

<i>k+ 3</i>

=<i>C_n+2k+ 2</i>+<i>C</i>

<i>n +3k+ 3</i> 7; <i>C</i>

<i>nk=</i>

<i>n− k +1</i>
<i>k</i> <i>Cnk− 1</i>

bµI 4 to¸n suy ln

1- Có bao sốtự nhiên gồm 3 ch số # nhau và #0 biết tổng =8
2- Có bao cách săp sếp chỗ ngồi cho 5 khách vào 5 ghế thành 1 dãy
3- Có bao đờng chéo của thập giac lồi

4- Có bao cách chia 5 đồ vật cho # nhau cho 3ngời sao cho

a, một ngời nhận 1 đồ vật 2 ngời kia mỗi ngời nhận 2 đồ vật
b, mỗi ngời nhận ít nhất 1 đồ vật

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a, ba con vÒ 1-2-3

b, chän ba con vÒ đầu tiên
7- CMR <i>C_{n +k}</i>2+<i>C_{n+k+ 1}</i>2 lµ 1 sè chÝnh ph¬ng

8- Cho tam giác ABC trên AB lấy n- điểm trên BC lấy m- điểm trên AC lấy k- điểm .
Hỏi có bao tam giác có đỉnh là điểm đó

9- Một đa giác lồi n-cạnh .Hỏi có bao đờng chéo (n>3)
10- Tìm số giao điểm của

a, 10 đờng thẳng phân biệt
b, 10 đờng tròn phân biệt

c- 10 đờng thẳng và 10 đờng tròn
11- Bệnh viện có 40 bác sỹ Hỏi có bao cách chọn ra
a- một trởng và 1 phó

b- mét trëng vµ 4 phã 2 th ký

12- Xí nghiệp có 11 ngời gồm 7-nam và 4-nữ . Hỏi có bao cách chọn 3 lãnh đạo phảI có ít nhất 1-nữ
13 – Có bao số tự nhiên nhỏ hơn 10 _❑<i>p</i> _{mà tổng các chữ số =3}

14- Cho c¸c sè 1;2;3;4;5cã thĨ lËp bao sè tho¶ m·n :
a, số chẵn có 3 chữ số # nhau

b, sè cã 3 chữ số # nhau và không lớn hơn 345
c, sè ch½n có 3 chữ số # nhau và không lớn hơn 345
15 Trên giá s¸ch cã 30 qun cã 27 qun kh¸c t¸c giả và 3 quyển cùng tác giả .
Hỏi có bao cách sắp sách cùng tác giả cạnh nhau

16 Cã 12 ngêi gåm 10 nam vµ 2 n÷

a, cã bao c¸ch chän ra 8 ngêi

b, cã bao c¸ch chän ra 8 ngêi cã Ýt nhÊt 1 n÷
c, cã bao c¸ch chän ra 8 ngêi lµ nam

17- Có năm số 1;2;3;4;5 có thể lập bao số gồm n- chữ số # nhau (2 n 5)
18- Từ các số 0;1;2;3;’4;5;6lập đợc

a- bao số có 5 chữ số # nhau
b- bao số chẵn có 5 chữ số # nhau
19- Có bao số có 3 chữ số # nhau đợc lập từ 0;2;4;6;8

20- Có 20 nam và 6 nữ chọn ra 3 nam và 3 nữ ghép thành cặp để khiêu vũ
21 – Có 10 nam và 6 nữ có bao cách chọn nhiều nhất 5 nữ ? Đ/s: 12825
22- Một lớp có 25nam và 15 nữ có bao cách chọn 4 học sinh

a, nam ; n÷ tuú ý

b, phảI có 2 nam và 2 nữ

c, cã Ýt nhÊt 1 n÷ §/s:91390; 31500; 78740
23- Cho c¸c sè 1.7 Tìm số có 5 chữ số lấy từ 7 sè trªn

a- chữ số đầu là 3

b- không tận cùng bằng chữ số 4

c- các số đều # nhau Đ/s: 2401; 14406 ; 2520
24 – Cho đa giác n-cạnh Tìm số đờng chéo

25- Cã 40 häc sinh cã bao c¸ch chän ra 1 líp trëng ;1 bí th ;và 3 uỷ viên
26 Tõ c¸c sè 0;1;2;3;4;5 cã bao sè ch·n gåm 5 ch÷ sè # nhau

27- Tõ c¸c sè 0;1;2;3;4;5 ;6 cã bao sè gåm 5 ch÷ sè # nhau phải có mặt số 5?

28- Từ các số 0;1;2;3;4;5 lập bao số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần các số # có mặt 1 lần ?
29- Từ các số 1;2;3;4;5 có bao số gồm 5 chữ số # nhau trong đó 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau ?

30- Có 7 học sinh có bao cách sắp biết rằng 3 học sinh chỉ định thì đứng cạnh nhau?

31- Cho c¸c sè 1;2;5;7;8 cã bao cách lập ra số gồm 3 chữ số sao cho
a, sè tạo thành là số chẵn

b, số tạo thành là số không chứa sè 7

c, số tạo thành nhỏ hơn 278 Đ/s : 24 ; 24; 18
32- Từ các số 1…………9 Ta lập đợc số có 9 chữ số # nhau

a, cã bao sè lËp thµnh ?
b, cã bao sè chia hÕt cho 5

c, có bao số chẵn ? Đ/s : 9! ; 8! ; 4*8!
33- Một hộp 4 bi đỏ 5 bi trắng 6 bi vàng Lấy ra 4 viên từ hộp đó

Hỏi có bao cách chọn để trong số bi lấy ra khơng có đủ 3 mầu
34- Có12 quyển sách trong đó có 2 tốn ; 4 văn và 6 anh

.Hỏi có bao cách xếp tất cả lên giá sách sao cho sách cùng loại đặt gần nhau Đ/s ;3!*2!*4!*6!
35- Cho tập X =

{

<i>1;2 ;3 ;4 ;5;6 ;7 ;8 }</i>

a, cã bao tËp con cña X chøa 2- phÇn tư

b, cã bao tập con của X chứa 1 và không chứa 2

c, có bao số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một # nhau lấy từ X không bắt đầu bằng123
36- Có bao cách xếp 5 nam ;5 nữ vào 10 ghế sắp theo hàng ngang sao cho

a, nam ,n÷ xen kÏ nhau

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

37- Bốn ngời đàn ông ; 2 ngời đàn bà ; 1 đứa trẻ xếp vào 7 chỗ quanh bàn trịn Hỏi có bao cách xếp
a, đứa trẻ ngồi giữa 2 ngời đàn bà

b, đứa trẻ ngồi giữa 2 ngời đàn ông

38- Trên giá sách có 10 sách VN ; 8 ANH ; 6 PH¸P . Hái cã bao c¸ch chän
a, mét s¸ch bÊt kú

b, ba s¸ch tiÕng # nhau
c, hai s¸ch tiÕng # nhau

39- Cho các số 1;2;3;4;5 có bao số gồm 5 chữ số # nhau trong đó số 1 và số 2 không đứng cạnh nhau?
40- Một bàn dàI có 2 dãy ghế ngời ta xếp 4 học sinh nam và 4 nữ vào bàn trên .Hỏi có bao cách xếp
a, bất cứ 2 học sinh ngồi cạnh nhau or đối diện thì # giới

b, bÊt cø 2 häc sinh ngồi cạnh nhau thì # giới Đ/s : 1152 ; 9216
bàI 5 nhị thức new tơn

1-Tìm hệ số chứa x _❑8 _{trong khai triÓn :}

<i>x +1</i>¿17
<i>x+1</i>¿16+¿
<i>x+1</i>¿15+¿
<i>x+1</i>¿14+¿
<i>x+1</i>¿13+¿
<i>x +1</i>¿12+¿

¿

2- T×m hƯ sè chøa x4 trong khai triĨn :

<i>x</i>

3<i>−</i>
3

<i>x</i>¿
12
¿

3- T×m hƯ sè không chứa xtrong nhị thức; u(n) = <i>x</i>

3
+ 1

<i>x</i>3¿
18

¿

vµ u(n) = <i>x+</i>

1

<i>x</i>¿
12
¿

4-Cho hƯ sè cđa sè h¹ng thø 3 trong khai triĨn b»ng 36 .Tìm số hạng thứ 7 của : <i>x</i>2

<i>x+</i>

3

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>n</i>

(n- tự nhiên)
5- Tìm 2 số hạng chính giữa cđa : v(n) = ( x _❑3 _-xy)

❑15

6-Tìm số hạng đứng giữa của : u(n)= <i>x</i>3+xy¿31

¿ v(n)= <i>x</i>
3

+xy¿30
¿

7-T×m hƯ sè chøa x _❑<i>n</i> _{trong khai triÓn:} <i>1+x+2 x</i>2+<i>3 x</i>3+. .. .. . .+nx<i>n</i>¿2

¿

8- Xác định hệ số thứ 1; 2; 3 của khai triển ( <i>x</i>

3
+ 1

<i>x</i>2¿

<i>n</i>

¿

. Cho tỉng 3 hƯ sè b»ng 11 t×m hƯ sè cđa x _❑2

9- Cho hƯ sè thø 3 trong khai triÓn : <i>x −</i>1₃¿
<i>n</i>
¿

bằng 5 . Tìm số hạng đứng giữa
10-Tìm số n-bé nhất sao cho trong khai triển <i>1+ x</i>¿<i>n</i>

¿ cã 2 hƯ sè liªn tiÕp cã tû sè lµ 7/15 Đ/s n=21

11- Tìm n trong khai triển <i>x+2</i><i>n</i>

số hạng thứ 11 là sè h¹ng cã hƯ sè lín nhÊt Đ/s n=15

12- Tìm n trong khai triÓn 2

<i>n −1</i>
<i>n</i> ₊₂

<i>2(3 −n)</i>
<i>4 − n</i>

¿6
¿

cã sè hạng thứ 5 là 240 §/s n=2

13- Cho tổng các hệ số trong nhị thức 2 nx+

1
2 nx2¿

<i>3 n</i>
¿

lµ 64 .Tìm hệ số không chứa x Đ/s n=2 và 240
14- Cho ba hệ số của 3 số hạng đầu là 1 cấp số cộng . Tìm tất cả các số hạng hữu tû cđa khai triĨn

√

<i>x+</i>

2
24

√

<i>x</i>¿

<i>n</i>
¿

§/s n=8;n=1
15- T×m hƯ sè lín nhÊt trong khai triĨn <i>a+b</i><i>n</i>

biết tổng các hệ số là 4096 §/s n=12

16- Cho khai triÓn <i>a</i>

√

<i>a+</i>

1
<i>a</i>4¿

<i>n</i>
¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

17- T×m n=? trong 3

√

2+

1
3

√

3¿

<i>n</i>

¿

biÕt tû sè cđa sè h¹ng thø 7 kể từ đầu và số hạng thứ 7 kể từ cuồi là 1/6

18- Tìm x=? trong khai triển

√

2
<i>x</i>

+ 1

√

2<i>x− 1</i>¿

<i>n</i>

¿

biết tổngcác số hạng thứ 3 vµ thø 5 lµ 135 vµ

tổng hệ số 3 số hạng cuối là 22 Đ/s : n=6; x=-1;x=2

19- Tìm tất cả giá trị của n=? trong khai triÓn <i>x+a</i>¿<i>n</i>

¿ có 3 số hạng liên tiếp lËp thµnh cÊp sè céng

20- a, Tìm 3 hệ số đầu trong khai triÓn :
<i>x</i>

1
2

+1
2<i>x</i>

<i>−1</i>

4

¿<i>n</i>
¿

</div>

<!--links-->