Đề Tài Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh”

Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Mở đầu
***
Lý do chọn đề tài
Dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình ở chơng
trình đại số lớp 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh. Do
đặc trng của loại toán này thờng là loại toán có đề tài bằng lời văn và thờng đợc xen trộn nhiều
dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý ).
Hầu hết các bài toán có dữ kiện giàng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinh
phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình.
Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì toán lớp 8 học sinh
mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đã
có trong chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng đối tợng học sinh.
ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh bài toán còn cho dới dạng lời văn có các dữ
kiện kèm theo. Vì vậy, muốn giải đợc loại toán này học sinh cần phải suy nghĩ để thiết
lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình ( hệ phơng trình ).
Mối đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán là đều đợc gắn liền với nội
dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu có liên quan đến thực
tế đó. Do khi giải toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát li đợc thực tế, dẫn đến quên điều
kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giàng buộc của thực tế từ
những lý do đó mà học sinh rất ngại làm dạng toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá
trình giảng dạy do năng lực, trình độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụ
tinh thần của Sách Giáo Khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho
mỗi dạng toán. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số,
mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải toán này.
Vì thế, muốn giải toán bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình điều quan
trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán
học. Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập . Do
đó khi hớng yêu cầu về giải một bài toán này phải dựa trên một số nguyên tắc chung:
Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải toán về cách lập phơng trình, phân loại dạng

toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ
mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng.
Với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
về dạng toán Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. Vì vậy tôi đã chọn đề
tài Dạy học giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ phơng trình.
Trong thời gian giảng dạy ở trờng THCS tôi đã đợc học hỏi rất nhiều kinh nghiệm
của các thầy cô giáo lớp trớc và đợc đồng nghiệp trong nhóm giúp đỡ, đặc biệt là sự hớng
dân tận tình của Giáo s Lê Mậu Hải đã giúp tôi hoàn thành đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
1
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Nội dung
***
chơng i
Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán
I. Phơng pháp nghiên cứu.
Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành về chơng
trình toán THCS với nội dung: Phơng trình và hệ phơng trình.
Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc chung: Giải
bài toán bằng cách lập phơng trình.
Nội dung quy tắc gồm các bớc:
B ớc 1 : Lập phơng trình (gồm các công việc).
- Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn).
- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn và các số liệu đã biết.
- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phơng trình (hệ phơng trình).
B ớc 2 : Giải phơng trình và hệ phơng trình.
Tùy thuộc vào từng dạng phơng trình và hệ phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp.
B ớc 3: Nhận định kết quả và trả lời.
- So sánh nghiệm tìm đợc với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không rồi trả lời kết

quả (có kèm đơn vị).
- Mặc dù đã có quy tắc trên song ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải bài toán
này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu về giải bài toán nói chung.
ii. Yêu cầu về giải một bài toán.
1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm phải sai lầm, không có sai sót dù nhỏ. Muốn vậy giáo viên
phải làm cho học sinh hiểu đề bài, trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức cơ
bản, phơng pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách kí hiệu ẩn phải chính xác, phải phù
hợp với bài toán và trên thực tế.
* Ví dụ 1: Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ; sau 3 năm tỷ số tăng thêm 0,1. Hỏi tuổi
anh và tuổi em hiện nay?
- Phân tích đề bài:
Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ( = 1/2). Từ đó ta có tuổi anh gấp đôi tuổi em.
Sau 3 năm, tuổi anh và tuổi em đều tăng 3 đơn vị; khi đó, tỷ số tuổi của anh và của em là:
0,5 + 0,1 = 0,6.
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
2
0,6
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
- Giải:
Gọi tuổi em hiện nay là: x ( x > 0; x N).
Thì tuổi anh hiện nay là: 2x.
Sau 3 năm nữa tuổi em là: x + 3.
Sau 3 năm nữa tuổi anh sẽ là: 2x + 3.
Theo đầu bài ra ta có phơng trình :
x + 3
2x + 3
<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)
<=> x = 6 (T/m điều kiện).
Vậy tuổi em hiện nay là: 6 (tuổi).

Tuổi anh hiện nay là : 6 x 2 = 12 (tuổi).
2. Yêu cầu 2:
Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện từng
bớc phải có lôgíc chặt chẽ với nhau có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến
việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn phải khéo léo, mối quan hệ giữa
ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối tơng quan giữa các đại
lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc các giá trị
của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ ràng đâu là ẩn đâu là dữ
kiện, đâu là điều kiện. Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác đợc h-
ớng đi, xây dựng đợc lời giải.
* Ví dụ 2: Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhay 4m. Tính chu vi của
khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1020 m
2
.
- Giải: Gọi chiều rộng của khu đất hình chữ nhật đó là: x (m) (x > 0).
=> Chiều dài của khu đất là: x + 4 (m).
Ta có phơng trình: x (x + 4) = 1020.


x
2
+ 4x - 1020 = 0.
x
1
= 30 (t/m)
x
2
= -34 (loại).
Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m
Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m.

Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m).
Chú ý: ở đây giáo viên cần lu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34 chỉ lấy
nghiệm: x =30.
3. Yêu cầu 3:
Lời giải thích phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hớng dẫn học sinh không đợc bỏ
sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng không đợc thiếu. Rèn cho học sinh cách kiểm
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
3
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
tra lại lời giải xem đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi
cách chung? Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào trờng hợp đó thì kết quả vẫn
luôn đúng?
* Ví dụ 3: Một cạnh tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
3cm và cạnh đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng 9/10 diện tích ban đầu. Tính
chiều cao và cạnh đáy của tam giác lúc đầu?
- Phân tích: Dù chiều cao và cạnh đáy của hai tam giác có thay đổi thì diện tích(S)
của tam giác luôn đợc tính theo công thức: S = 1/2 x ( cạnh đáy x chiều cao)
- Giải:
Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5)

Chiều cao của tam giác là:
3
4
x
(cm).
Diện tích tam giác ban đầu là:
S
1
=
2 2

1 3 3
. ( )
2 4 8
x x x cm
=
.
Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là:
3
4
x + 3 (cm)
Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì cạnh đáy mới là: x - 5 (cm)
Diện tích tam giác khi đó là:
S
2
=
1 3
.( 3) .( 5)
2 4
x x
+
Theo bài ra ta có:

2
1 3 9 3
.( 3).( 5) .
2 4 10 8
x x x
+ =

x
2
10x 200 = 0
x
1
= 20 ( thỏa mãn điều kiện )
x
2
= - 10 ( loại )
Vậy cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 20cm
Chiều cao của tam giác là:
3
4
.20 = 15 (cm).
4. Yêu cầu 4:
Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại đa số
học sinh có thể hiểu và áp dụng đợc.
* Ví dụ 4: Một xởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để
hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xởng đã may đợc nhiều hơn 6 áo so với số áo phải
may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 5 ngày trớc khi hết thời hạn xởng đã may đợc
2650 áo. Hỏi theo kế hoạch xởng phải may trong thời gian bao lâu và mỗi ngày xởng
phải may xong bao nhiêu áo?
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
4
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
- Giải: Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x. (x N; x > 0)
Thời gian quy định may xong áo là
3000
x
(ngày).

Số áo thực tế may đợc trong 1 ngày là: x + 6 (áo).
Thời gian may xong 2650 áo là:
2650
6x
+
(ngày).
Vì xởng may xong 2650 áo trớc khi hết hạn 5 ngày nên ta có phơng trình:
3000 2650
5
6x x
=
+
x
2
- 64x 3600 = 0
x
1
= 100 (thỏa mãn điều kiện)
x
2
= -36 (loại).
Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xởng phải may xong 100 áo.
Thời gian quy định may xong 3000 áo là:
3000
100
= 30 (ngày).
5. Yêu cầu 5: Lời giải phải đợc trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bớc giải trong
bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy luận từ các bớc trớc nó đã đợc
kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trớc.
* Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2 đoạn

hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
- Phân tích: Xét tam giác vuông ABC. Giả sử AC > AB

CH > BH.
Cần chú ý rằng: AH
2
= BH . CH
Giải: Gọi độ dài BH là x (m) (x>0).

Độ dài CH là x+ 5,6 (m).
Theo công thức hệ thức lợng trong tam giác, ta có phơng trình:
x.(x + 5,6) = 9,6
2
x
2
+ 5,6 x - 92,16 = 0
x
1
= 7,2 (thỏa mãn điều kiện).
x
2
= - 12,8(loại).
Vậy: BH = 7,2 m
CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m.
Độ dài cạnh huyền là : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m)
6. Yêu cầu 6 : Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bớc cần lập luận không chồng chéo, phủ
định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại
kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm nhất là đối với phơng trình
bậc hai, hệ phơng trình.
* Ví dụ 6 : Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là

Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
5
A B
H
C
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
35. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
- Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0).
Ta có hệ phơng trình:
x + y = 35 x + y = 35
x
2
+y
2
= 25
2
= 625 x . y = 300


x, y là nghiệm của phơng trình: a
2
35 a + 300 = 0
a
1
= 20; a
2
= 15 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15.
Nhận xét: ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân vân: 1
hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15).

Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một. Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có
thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì các nghiệm dều hợp lí.
(Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả).
CHƯƠNG II : PHÂN LOạI BàI TOáN
GIảI BàI TOáN BằNG CáCH LậP PHƯƠNG TRìNH
Và CáC GIAI ĐOạN GIảI MộT BàI TOáN
I Phân loại bài toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ ph ơng trình .
Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình có
thể phân loại nh sau:
1. Loại toán về chuyển động.
2. Loại toán liên quan đến số học.
3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số của chúng).
6. Loại toán có liên quan đến hình học.
7. Loại toán có nội dung vật lí, hóa học.
8. Dạng toán về xác định các hệ số của một đa thức.
9. Dạng toán có chứa tham số.
ii. các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình và hệ ph ơng trình

1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng phơng trình, biến
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
6
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
đổi tơng đơng về dạng ax + b = 0 (a 0).
- Với bài toán: Giải bài toán bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng phơng
trình, biến đổi tơng đơng về dạng:
ax
2

+ bx + c = 0 (a,b 0)
- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau khi
biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng:
ax + by = c
a
,
x + b
,
y = c
,
( Trong đó a, b, a
,
, b
,
không đồng thời bằng 0 )
Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách
lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày thì giải bài toán này có thể chia
làm 7 giai đoạn cụ thể hơn 3 bớc quy tắc giải bài toán bằng lập phơng trình (hệ phơng
trình).
* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán giúp học sinh
hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú đợc có thể mô tả bằng hình vẽ).
* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phơng trình. Tức là chọn ẩn số
thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn.
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng đã biết, dựa
vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình
đã xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết, đã giải đợc.
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình , vận dụng các kí thuật giải phơng trình đã biết để tìm
nghiệm của phơng trình.
* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình, để xác định lời giải của bài toán tức
là xét nghiệm của phơng trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù

hợp không?
* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm, sau khi thử lại.
* Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần này thờng mở rộng cho học sinh t-
ơng đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đối bài toán thành bài
toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết).
- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển t
duy cho học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.
Chơng III: Những loại bài toán
và hớng dẫn học sinh giải. Phân loại bài toán
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
7
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
I. Dạng toán chuyển động:
Bài toán 1: Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và cách nhau 7 m. Nếu
Lan và Nam đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 25 phút họ gặp nhau. Tính vận
tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng
3
4
vận tốc của Nam.
+ Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi hai ngời gặp nhau thì tổng quãng
đờng mà hai ngời đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa hai ngời.
Có thể minh họa bằng bảng sau:
Vận tốc Thời gian Quãng đờng
Nam x
1
4
1
4

x
Lan
3
4
x
1
4
1 3
4 4
x
ì
- Giải: Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) (x>0).
thì vận tốc của Lan là
3
.
4
x
(km/h).
sau 25 phút =
1
4
h thì:
Quãng đờng nam đi đợc là:
1
.
4
x
(km/h).
Quãng đờng Lan đi đợc là:
1 3

.
4 4
x
(km).
Đến khi gặp nhau, tổng quãng đờng 2 ngời đã đi bằng khoảng cách giữa nhà Lan và nhà
Nam. Ta có phơng trình:

1 1 3
7
4 4 4
4 3 112
7 112
16( / )
x x
x x
x
x T m
+ ì =
+ =
=
=
Vậy vận tốc của Nam là 16 km/ h.
Vận tốc của Lan là:
3
16 12( / )
4
km hì =
Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong một thời
gian quy định. Sau khi đi đợc 1 giờ, ô tô bị chắn bởi xe hỏa mất 10 phút. Do đó để đến B
kịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.

Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
8
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn :
- Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định
- Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại.
- Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới.
+ Do ô tô đến B kịp giờ nên thời gian theo dự định = thời gian trên thực tế ô tô đã đi.
- Giải : Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là x ( km/h ) ( x> 0 )


Thời gian ô tô đi theo dự định là :
120
( )h
x
Sau 1 giờ đầu ô tô đi đợc x ( km )
Quãng đờng còn lại là : 120 x ( km )
Vận tốc của ô tô khi trên đoạn đờng còn lại đó là : x + 6 ( km/h )

Thời gian ô tô đi nốt đoạn còn lại là :
120
( )
6
x
h
x

+

thời gian ôtô đi nốt đoạn còn lại là :
1
( )
6
h


thời gian trên thực tế ô tô đã đi là :
1 120
1 ( )
6 6
x
h
x

+ +
+
ô tô đến B kịp thời nên ta có phơng trình :
120 1 120_
1
6 6
x
x x
= + +
+

x
2
+ 42x 4320 = 0

x
1
=48 ( t/m điều kiện )
x
2
= - 90 ( loại )
Vậy vận tốc theo dự định của ô tô là 48 km/h
Bài toán 3 : Trên một sông , một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km mất 7 h .
Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng mất 7 h . Tính vận tốc
dòng nớc chảy và vận tốc riêng của ca nô.
- Phân tích : Trong chuyển động trên dòng nớc cần lu ý :
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nớc
Vận tốc ngợc dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nớc
- Giải : Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h )
vận tốc dòng nớc là y ( km/h ) ( x > y > 0 )
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )
Vận tốc ca nô khi ngợc dòng là : x y ( km/h )
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
9
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km mất :
108
( )h
x y
+
Ca nô ngợc dòng 63 km mất :
63
( )h
x y

Ta có phơng trình :
108 63
7
x y x y
+ =
+
(1)
Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km mất :
81
( )h
x y
+
Ca nô ngợc dòng 84 km mất :
84
( )h
x y

Ta có phơng trình :
81 84
7
x y x y
+ =
+
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
108 63
7
x y x y
+ =
+

81 84
7
x y x y
+ =
+
Giải hệ phơng trình ta đợc: x = 24 (Thoả mãn điều kiện)
y = 3 (Thoả mãn điều kiện)
vậy vận tốc thực của ca nô là 24 km/h
Vận tốc dòng nớc là 3 km/h.
* Tóm lại: Với các bài toán minh họa trên giáo viên phần nào đã hình thành cho học
sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phơng trình. ở
đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất, phơng trình
bậc 2; hệ phơng trình.
Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các
đại lợng: vận tốc, quãng đờng, thời gian. Thông thờng một trong ba đại lợng đó sẽ đợc
chọn là ẩn số (với điều kiện tơng ứng); Một đại lợng đã đợc xác định; ta phải biểu thị đại
lợng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệ trong bài toán để lập phơng trình (hệ phơng
trình).
* Cần lu ý trong toán chuyển động cũng có thể chia làm nhiều dạng nhỏ.
+ Nếu 2 chuyển động ngợc chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng
nhau, ta có: S
1
+ S
2
= khoảng cách ban đầu.
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
10
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
+ Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng

nhau, ta có: S
1
- S
2
= khoảng cách ban đầu (S
1
> S
1
).
+ Nếu chuyển động cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian là hai đại lợng tỉ
lệ nghịch với nhau.
+ Nếu chuyển động trên đoạn đờng không đổi từ A đến B rồi từ B về A biết tổng
thời gian thực tế của chuyển động thì: Tổng thời gian = thời gian đi + thời gian về.
+ Nếu là chuyển động trên dòng nớc thì:
- Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
- Vận tốc ngợc dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
- Vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng = 2 vận tốc dòng.
- Vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng = 2 vận tốc dòng.
- Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm = Thời gian của chuyển
động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu + thời gian nghỉ (nếu có).
ii. Dạng toán liên quan đến số học.
Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phơng của hai số đó là 157.
- Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phơng trình hoặc lập hệ phơng trình theo
bảng sau:
Cách Quá trình Số thứ nhất Số thứ hai PT (hệ pt)
1 Cha bình phơng
Bình phơng
x
x
2

17 x
(17 x)
2
x
2
+ (17 x)
2
=
157
2 Cha bình phơng
Bình phơng
x
x
2
y
y
2
x + y = 17
x
2
+ y
2
= 157
- Giải: Gọi số thứ nhất là x.
=> số thứ 2 là 17 x.
Tổng bình phơng của hai số là 157. Ta có phơng trình:
x
2
+ (17 x)
2

= 157.
x
2
17x + 66 = 0
x
1
= 11 (Thoả mãn điều kiện)
x
2
= 6 (Thoả mãn điều kiện)
Số thứ nhất là 11 thì số thứ 2 là 17 11 = 6
Số thứ hai là 6 thì số thứ 2 là 17 6 = 11.
Vậy 2 số phải tìm là 6 và 11.
Bài toán 2 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và nếu viết
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
11
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị.
- Phân tích: Với số có hai chữ số:
10ab a b
= +
Với số có ba chữ số:
100 10abc a b c
= + +
Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số có hai chữ số thì số đó trở thành
số có ba chữ số, chữ số hàng chục của số ban đầu là chữ số hàng trăm của số mới, chữ số
hàng đơn vị của số ban đầu là chữ số hàng đơn vị của số mới.
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x N, 0<x

9).

=> Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 9 x.
Số ban đầu là 10x + (9 x) = 9x + 9.
Khi viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì số mới là:
100x + 90 + (9 x) = 99x + 9
Số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị. Ta có phơng trình:
(99x + 99) (9x + 9) = 360
90x = 270.
x = 3 (t/m đk).
Chữ số hàng chục là 3
Chữ số hàng đơn vị là 9 3 = 6
Vậy số cần tìm là 36.
Bài toán 3 : Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ
hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ đợc một chữ số viết theo thứ tự ngợc
lại với số đã cho.
- Phân tích: Chú ý sử dụng
10ab a b
= +
Ngoài ra cần chú ý khi viết số đó theo thứ tự ngợc lại thì vai trò của chữ số hàng
chục và hàng đơn vị sẽ đợc hoán đổi cho nhau:
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x N, 0<x

9).
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là y ( y N, 0<y

9).
Theo đầu bài ra ta có:
6( )
25
x y xy
xy yx

+ =
+ =

6 6 10 4 5 (1)
25 10 25 10 (2)
x y x y x y
xy y x xy y x
+ = + =
+ = + + = +
Từ (1) =>
5
4
x y=
. Thế vào (2).

yyy
4
5
1025
4
5
2
+=+


5y
2
+ 100 = 40y + 5y

y
2
9y + 20 = 0
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
12


Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin


y
1
= 4; y
2
= 5
+ Với y = 4 =>
5
.4 5( / )
4
x t m
= =
+ Với y = 5 =>
5 25
.5
4 4
x = =
(loại).
Vậy số cần tìm là 54.
Tóm lại : Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ
giữa các số đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn

dới dạng chính tắc của nó:

10ab a b
= +

100 10abc a b c
= + +
Khi đổi chỗ các vị trí các chữ số thay đổi thì giá trị của mỗi chữ số cũng có sự thay
đổi tơng ứng với vị trí mới. Ngoài ra cần chú ý điều kiện cho ẩn số phải phù hợp.
iii . dạng toán về năng suất lao động ( Tỷ số phần trăm )
Bài toán 1 : Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1
đạt vợt mức 10%, tổ 2 đạt vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy . Tính
xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
- Phân tích : + Đã biết năng suất chung cả 2 tổ trong tháng đầu đợc 400 chi tiết máy.
Nếu biết 1 trong 2 tổ ta sẽ tính đợc tổ kia ( chọn ẩn )
+ Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính đợc tổng chi tiết máy
sản xuất trong tháng sau.
+ Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phơng trình.
- Giải :
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x Z, 0 < x < 400 )
Nh vậy tổ 2 sản xuất đợc 400 x ( chi tiết máy )
Tháng sau tổ 1 đã làm vợt mức 10%x ( chi tiết máy )
tổ 2 đã làm vợt mức (400 x ).15% ( chi tiết máy )
Do đó cả 2 tổ đã vợt đợc : 448 400 = 48 ( chi tiết máy )
Theo bài ra ta có phơng trình : 10%.x + ( 400 x ).15% = 48
<=> x = 240 ( t/m điều kiện )
Vậy : Tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất đợc
400 240 = 160 chi tiết máy
Cách 2 : Gọi số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu là x
số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất đợc trong tháng đầu là y

(x Z , 0 < x < 400 , y Z , 0 < y < 400 )
Ta có : x + y = 400 (1)
Trong tháng sau tổ 1 làm vợt mức 10%.x chi tiết máy
tổ 2 làm vợt mức 15%.y chi tiết máy
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
13
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Ta có phơng trình : 10%.x + 15%.y = 48 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
x + y = 400 (1)
10%.x + 15%.y = 48 (2)
Giải hệ phơng trình ta có x = 240 ; y = 160 ( thoả mãn điều kiện )
Kết luận .
Bài toán 2 : Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trớc kia là 2% với số dân đầu năm 2002 là 2
triệu dân. Do tỷ lệ tăng dân số ở đây đã giảm đi chỉ còn 1,8% ở vùng thành thị và giảm đi
1000 ngời so với số đạt đợc với tỷ lệ 2% ở vùng nông thôn , nên số dân đầu năm 2003
của tỉnh đó là 2038400 ngời. Tính số dân ở vùng thành thị của tỉnh đó vào đầu năm 2003.
- Giải : Gọi số dân vùng thành thị ; vùng nông thôn của tỉnh đó đầu năm 2002 lần lợt là
x ; y ( triệu dân ) ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : x + y = 2 (1)
Số dân tăng ở vùng thành thị là : 1,8%.x ( triệu dân )
Số dân tăng ở vùng nông thôn là : 2%.y 0,001 ( triệu dân )
Số dân tăng của tỉnh là : 2,0384 2 = 0,0384 ( triệu dân )
Ta có phơng trình : 1,8%.x + 2%.y 0,001 = 0,0384 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình : x + y = 2 (1)
1,8%.x + 2%.y 0,001 = 0,0384 (2)
Giải hệ ta đợc x= 0,3 ; y = 1,7 ( t/m diều kiện )
Số dân đầu năm 2002 của tỉnh đó ở vùng thành thị là 300000 ngời
Số dân tăng là : 1,8%.300000 = 5400 ( ngời )
Vậy: số dân tỉnh đó ở vùng thành thị đầu năm 2003 là :

300000 + 5400 = 305400(ngời)
* Tóm lại : Với loại toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao động
( tăng dân số , )so với mốc ban đầu từ đó lập ph ơng trình.
iv . Dạng toán về công việc làm chung , làm riêng
( Toán quy về đơn vị )
Bài toán 1 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể không chứa nớc thì sau
4
4
5
h bể đầy. Mỗi
giờ lợng nớc vòi 1 chảy đợc bằng
3
2
lợng nớc vòi 2 chảy đợc . Hỏi mỗi vòi chảy một
mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
- Phân tích : Trong loại toán này cần lu ý thời gian để vòi chảy đầy bể và phần bể mà
vòi chảy trong 1 giờ là hai đại lợng nghịch đảo nhau.
- Giải :
Cách 1 : Gọi thời gian để vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h) ( x >
4
4
5
)
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
14
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Trong một giờ vòi 2 chảy đợc
1
x
( bể )

Trong 1 giờ vòi 2 chảy đợc
3 1 3
.
2 2x x
=
(bể )
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đợc
1 3
2x x
+
( bể ) .
Do cả hai vòi cùng chảy thì sau
4
4
5
h bể đầy ; ta có phơng trình :
4 1 3
4 .( ) 1
5 2x x
+ =
24 5
. 1
5 2x
=
<=> x = 12 (t/m điều kiện )
Vậy : Vòi 2 chảy một mình thì sau 12 h đầy bể.
Một giờ vòi 1 chảy đợc :
3 1
2.12 8
=

( bể )
Vòi 1 chảy 1 mình thì sau 8 h sẽ đầy bể.
Cách 2 : Gọi thời gian để vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h)
Gọi thời gian để vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) ( x;y >
4
4
5
)
Một giờ vòi 1 chảy đợc
1
x
( bể )
Một giờ vòi 2 chảy đợc
1
y
( bể )
Theo bài ra ta có hệ phơng trình :
1 3 1
.
2x y
=

4 1 1
4 .( ) 1
5 x y
+ =
Giải hệ trên ta đợc x = 8 ; y = 12 ( t/m điều kiện )
=> Kết luận.
B ài toán 2 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong. Nếu đội
thứ nhất làm 3 ngày và đội thứ 2 làm 6 ngày thì đợc 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm

một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
- Giải : Gọi thời gian để đội 1 làm một mình xong công việc là x ( ngày )
Gọi thời gian để đội 2 làm một mình xong công việc là y ( ngày ) ( x > 16 ; y > 16 )
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
15
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Một ngày đội 1 làm đợc
1
x
( công việc )
Một ngày đội 2 làm đợc
1
y
( công việc )
Do 2 đội cùng làm trong 16 ngày xong công việc nên ta có phơng trình: (
1
x
+
1
y
).16 = 1 (1)
Đội 1 làm 1 mình trong 3 ngày đợc :
3
x
( công việc )
Đội 2 làm 1 mình trong 6 ngày đợc :
6
y
( công việc )
Khi đó 2 đội làm đợc 25% ( =

1
4
) công việc ; ta có phơng trình :
3 6 1
4x y
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình : (
1
x
+
1
y
).16 = 1 (1)

3 6 1
4x y
+ =
(2)
Giải hệ phơng trình ta có x = 24 ; y = 48 ( t/m điều kiện )
Vậy đội 1 làm một mình thì sau 24 ngày sẽ hoàn thành công việc.
Vậy đội 2 làm một mình thì sau 48 ngày sẽ hoàn thành công việc.
* Tóm lại : Với loại toán này cần làm cho học sinh thấy rõ đợc quan hệ giữa thời
gian và năng suất làm việc : Nếu công việc làm mất x ngày ( giờ ) thì trong 1 ngày
( giờ ) làm đợc
1
x
công việc .
v . dạng toán về tỷ lệ chia phần
( Thêm , bớt , tăng , giảm , tổng , hiệu , tỷ số của chúng )

Bài toán : Một đội xe cần phải chuyển 12 tấn hàng. Khi làm việc do 2 xe cần điều đi nơi
khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
- Phân tích : Có thể minh họa bài toán bằng bảng sau :
Số xe Số hàng ( tấn ) Số hàng 1 xe chở ( tấn )
Dự định x 12
Thực tế x 2 12
12
2x

Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
16
12
x
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
- Giải : Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe ) ( x N ; x > 2 )
Theo dự định mỗi xe phải chở :
120
x
( tấn hàng )
Số xe trên thực tế là : x 2 ( xe )
Khi đó mỗi xe phải chở :
120
2x

( tấn hàng )
Theo bài ra ta có phơng trình :
120
2x

-

120
x
=16
<=> x
2
2x 15 = 0 <=> x
1
= - 3 ( loại )
x
2
= 5 ( t/m điều kiện )
Vậy đội xe lúc đầu có 5 xe.
vi . dạng toán có liên quan đến hình học
Bài toán 1 : Cho một tam giác vuông , nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm ; 3 cm ; thì
diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 50 cm
2
. Nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 2cm
thì diện tích tam giác giảm 32 cm
2
. Tính các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
- Phân tích : Cần lu ý rằng dù các cạnh thay đổi thì diện tích của tam giác vuông luôn
bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
- Giải : Gọi 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x ; y (cm) ( x > 2 ; y > 2 )
Diện tích của tam giác lúc đầu là
1
.
2
xy
( cm
2

)
Khi tăng các cạnh góc vuông của tam giác vuông lên 2 cm; 3cm thì diện tích tam giác là
1
( 2).( 3)
2
x y+ +
(cm
2
)
Ta có phơng trình :
1
( 2).( 3)
2
x y+ +
-
1
.
2
xy
=50 (1)
Khi giảm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đi 2 cm thì diện tích tam giác là
1
( 2).( 2)
2
x y

(cm
2
)
Ta có phơng trình :

1
.
2
xy
-
1
( 2).( 2)
2
x y

= 32 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :

)2(32)2)(2(
2
1
2
1
)1(50
2
1
)3)(2(
2
1
=
=++
yxxy
xyyx
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
17

A N C
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
<=> 3x + 2y = 94
x + y = 34
Giải hệ ta đợc x = 26 ; y = 8 ( t/m điều kiện )
Vậy : các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là 26 cm và 8 cm.
Bài toán 2 : Cho tam giác vuông ABC (

A = 90
0
)có các cạnh AB = 8 cm ; AC = 6 cm.
M là một điểm trên AB . Qua M kẻ các đờng thẳng song song với AC , BC chúng lần lợt
cắt BC , AC ở P và Q . Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích hình bình hành MNCD
bằng
3
8
diện tích tam giác ABC.
- Phân tích::
Chú ý : S
ABC
=
1
2
AB.AC
S
MNCP
= AM.NC
- Giải : Gọi độ dài AM là x (cm) ( 0 < x < 8 )
áp dụng định lý Ta lét trong tam giác ABC với MN // BC ta có :

3
( )
8 6 4
AM AN X AN x
AN cm
AB AC
= = =
NC = AC AN = 6 -
3
4
x
(cm)
S
MNCP
=AM.NC = x.(6 -
3
4
x
) (cm
2
)
S
ABC
=
1
2
AB.AC =
1
2
.6.8 = 24 (cm

2
)
Theo bài ra ta có phơng trình : x.(6 -
3
4
x
) =
3
8
.24 <=> x
2
8x + 12 = 0
x
1
= 2 ; x
2
= 6 ( t/m điều kiện )
Vậy : Điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.
* Tóm lại : ở loại toán liên quan đến hình học cần làm cho học sinh liên hệ đợc các
tính chất của các hình vào bài toán. Nếu có thể tốt nhất nên cho học sinh vẽ hình
minh họa rồi dựa trên hình vẽ để phân tích các dữ kiện mà đầu bài cho.
vii . dạng toán có nội dung vật lí ; hóa học
Bài toán 1 : Dùng 2 nhiệt lợng , mỗi nhiệt lợng bằng 168 KJ để đun nóng 2 khối nớc
kém nhau 1 kg , thì khối nớc nhỏ có nhiệt độ lớn hơn khối nớc lớn 2
0
C. Tính xem khối n-
ớc nhỏ đợc đun nóng thêm mấy độ.
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
18
M

B
P
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
- Phân tích : Cần cho học sinh hiểu kĩ về kiến thức vật lí đã học. ở đây cần sử dụng
công thức tính nhiệt lợng Q = C
m
.( t
2
t
1
) ; trong đó t
2
t
1
là

nhiệt độ đợc tăng thêm.
=> m =
2 1
( )
Q
C t t

Cần nhớ : nhiệt dung riêng của nớc là C = 4,2 KJ / kg.độ
- Giải : Gỉa sử khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm x độ ( x > 0 )
Nh vậy khối lợng của khối nớc nhỏ là : m =
2 1
( )
Q
C t t

=
168
4,2
kg
x
Vì khối nớc lớn đợc đun nóng kém hơn khối nớc nhỏ là 2
0
C nên khối lợng của khối nớc
lớn là :
168
4,2( 2)
kg
x

Vì hai khối nớc kém nhau 1 kg nên ta có phơng trình :
168
4,2x
+ 1 =
168
4,2( 2)x

Giải phơng trình ta đợc x
1
= 10 ( t/m điều kiện )
x
2
= - 8 ( loại )
Vậy :khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm 10
0

C.
Bài toán 2 :Có 2 loại dung dịch cùng chứa một loại a xít : loại 1 chứa 30% a xít,
loại 2 chứa 5% a xít . Muốn có 50 g dung dịch a xít 10% cần pha trộn lẫn bao nhiêu g
mỗi loại.
- Phân tích : Cần chú ý công thức C% =
tan
.100%
chat
dungdich
m
m
- Giải : Gọi lợng dung dịch axit 30% cần đổ là x (g)
lợng dung dịch axit 5% cần đổ là y(g) ( 0 < x < 50 ; 0 < y < 50 )
Ta có phơng trình : x + y = 50 (1)
Số g a xít nguyên chất có trong x g dung dịch a xít 30% là x.30% (g)
Số g a xít nguyên chất có trong y g dung dịch a xít 5% là y.5% (g)
Số g a xít nguyên chất có trong50 g dung dịch a xít 10% là 50.10% (g)
Ta có phơng trình : x.30% + y.5% = 50.10%
<=> 30x +5y = 500 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình : x + y = 50 (1)
30x +5y = 500 (2)
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
19
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Giải hệ phơng trình ta đợc x = 10 ; y = 40 ( t/m điều kiện )
Vậy : cần đổ 10 g dung dịch a xít 30% và 40 g dung dịch a xít 5%.
Tóm lại : Trong loại toán có nội dung liên quan đến vật lí ; hóa học học sinh cần
nắm vững các kiến thức vật lí ; hóa học có liên quan từ đó áp dụng để thiết lập các
phơng trình theo yêu cầu của bài.
VIII. Dạng toán về xác định các hệ số của một đa thức .

Bài toán 1 : Xác định giá trị của m để đa thức: f(x) = x
4
+ 2mx
3
4mx + 4 bằng bình
phơng của một đa thức khác.
- Phân tích: Nếu f(x) = g(x)
2
thì g(x) phải là đa thức bậc hai.
- Giải: Đa thức f(x) = x
4
+ 2mx
3
4mx + 4 nếu bằng bình phơng đa thức g(x) thì đa thức
g(x) có dạng: g(x) = x
2
+ ax + b.
Ta phải xác định m để có đồng nhất thức:
x
4
+ 2mx
3
4mx + 4 = (x
2
+ ax + b)
2
x
4
+ 2mx
3

4mx + 4 = x
4
+ 2ax
3
+ (a
2
+ 2b)x
2
+ 2abx +b
2
Ta có đồng nhất thức này khi và chỉ khi:
2a = 2m a= m
a
2
+ 2b = o a
2
= -2b
2ab = -4m ab = -2m
b
2
= 4 b = 2 hoặc b = -2
Giá trị b = 2 làm cho a
2
= -2b = - 4 < 0 nên loại, ta có
a = m a = m
a
2
= -2b a
2
= 4

ab = - 2m b = - 2
b = - 2
m = 2
a = 2
a = m b = -2
a = 2 hoặc a = -2 m = -2
b = -2 a = -2
b = -2
Nếu m = 2 (a = 2; b = -2) thì f(x) = x
4
+ 4x
3
8x + 4 =(x
2
+ 2x - 2)
2

Nếu m = -2 ( a = -2; b = -2) thì f(x) = x
4
- 4x
3
+ 8x + 4 =(x
2
- 2x - 2)
2
Bài toán 1: Xác định đa thức f(x) biết rằng:
+ f(x) chia cho x + 3 thì d 1
+ f(x) chia cho x 4 thì d 8
+ f(x) chia cho (x + 3)(x 4) thì dợc thơng là 3x và còn d.
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm

20
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
- Phân tích: Vì f(x) chia cho đa thức bậc hai có thơng là 3x nên f(x) có bậc 3 và đa thức
d có bậc 1.
- Giải:
Khi chia đa thức f(x) cho đa thức bậc hai (x + 3)(x 4) thì đa thức d phải là bậc nhất
nhất có dạng ax + b. Ta có:
f(x) = (x + 3)(x 4).3x + ax + b (*)
+ Vì f(x) chia cho x + 3 d 1 nên f(-3) = 1
+ Vì f(x) chia cho x 4 d 8 nên f(4) = 8
Lần lợt thay x = -3; x = 4 vào (*) ta có hệ phơng trình:
- 3a + b = 1 a = 1
4a + b = 8 b = 4
Đa thức phải xác định là :
f(x) = (x + 3)(x 4).3x + x + 4 = 3x
3
3x
2
-35x + 4
* Tóm lại : Đối với dạng bài tập xác định hệ số của đa thức học sinh cần phải nắm
vững kiến thức về đa thức và tính chất của đồng nhat thức, từ đó tìm mối quan hệ
giữa các hệ số để lập đợc hệ phơng trình.
Ix . dạng toán có chứa tham số
Bài toán 1 : Một hình tròn có diện tích S = 3,14 R
2
với R là bán kính.
a, Khi R tăng 2 lần thì S tăng hay giảm bao nhiêu lần.
Khi R giảm 3 lần thì S tăng hay giảm bao nhiêu lần.
b, Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm bao nhiêu lần.
Khi S giảm 16 lần thì R tăng hay giảm bao nhiêu lần.

- Phân tích : Trong bài toán học sinh phải xác định đợc mối tơng quan tỷ lệ giữa độ dài
bán kính và đờng kính. Độ tăng của diện tích bằng bình phơng độ tăng của bán kính và
ngợc lại.
- Giải : Gọi R = a thì S = 3,14. a
2
a, Nếu R tăng 2 lần thì R
1
= 2R = 2a
=> S
1
= 3,14. (2a)
2
= 4.3,14.a
2
= 4.S => Diện tích tăng 4 lần
Tơng tự : nếu R giảm 3 lần thì diện tích giảm 9 lần.
b, Nếu S giảm 16 lần thì S
1
=
1
16
S => 3,14.R
1
2
=
1
16
.3.14.R
2
=>R

1
2
=
1
16
.R
2
=> R
1
=
1
4
.R
Vậy bán kính giảm 4 lần.
Tơng tự : nếu S tăng 4 lần thì R tăng 2 lần.
Bài toán 2 : Một ô tô đi từ A đến B . Cùng lúc đó ô tô thứ 2 đi từ B đến A với vận tốc
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
21
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
bằng
2
3
vận tốc của ô tô thứ nhất. Sau 5 h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng
AB mất bao lâu.
- Phân tích : Khi 2 ô tô gặp nhau thì tổng quãng đờng mà chúng đi đợc = quãng đờng
AB.
Trong bài toán quãng đờng AB cha biết ;ta có thể coi AB là tham số và tìm cách biểu
diễn các đại lợng còn lại trong bài theo AB.
- Giải : Gọi thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là x (h) ( x > 5 )
Ta có : vận tốc ô tô thứ nhất là

( / )
AB
km h
x

vận tốc ô tô thứ hai là
2 2
.
3 3
AB AB
x x
=
(km/h)
Mỗi giờ ô tô đi đợc
2
( )
3
AB AB
km
x x
+
Sau 5 h hai ô tô gặp nhau , ta có phơng trình : 5.
2
3
AB AB
x x
+
= AB
<=> 5.
1 2

( )
3x x
+
= 1 <=> x =
1
8
3
(t/m điều kiện )
Vậy thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là
1
8
3
h
Vận tốc ô tô thứ 2 là
2 2
( / )
1
25
3.8
3
AB AB
km h
=
Thời gian ô tô thứ 2 đi hết quãng đờng AB là AB :
2 25 1
12 ( )
25 2 2
AB
h
= =

X. Một số bài toán khác
Bài toán 1: Ba ngời bạn là An, Bình, Châu và ba ngời vợ là Lan, Mai và Nga trong một
buổi nói chuyện vui họ có những nhận xét về tuổi tác của nhau nh sau:
- Châu nói: Tuổi của sáu chúng tôi là 151.
- An nói: Ngời chồng nào cũng hơn vợ mình 5 tuổi
-Bình nói: Tổng số tuổi của tôi và Nga là 52.
- Nga nói: Tổng số tuổi của tôi và Châu là 48.
Lan nói: Tôi là ngời vợ trẻ nhất ở đây.
Dựa vào những nhận xét trên, em hãy lập và giải phơng trình kết hợp với suy luận để xác
địnhtuổi của từng ngời và cho biết ai là vợ của ai?
- Phân tích: Trong bài toán này học sinh cần phải xác định số tuổi của từng ngời sau đó
mới xác định ai là vợ của ai.
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
22
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
- Giải: Tổng số tuổi của ba ngời vợ là: (151 15) : 2 = 68
Tổng số tuổi của ba ngời chồng là: 151 68 = 83
Dựa vào lời nói của Nga và Bình, ta chọn x là tuổi của Nga(x là số nguyên dơng, x < 48)
Suy ra: - Tuổi của Bình là: 52 x
- Tuổi của Châu là: 48 x
Vì mỗi ngời chồng đều hơn vợ mình 5 tuổi, nên tổng số tuổi của mỗi cặp vợ chồng là số
lẻ, do đó Nga không phải là vợ Bình hay Châu. Vậy Nga là vợ An.
- Tuổi của An là: x + 5
Vì tổng số tuổi của ba ngời chồng là 83 nên ta có phơng trình:
x + 5 + 52 x + 48 48 = 83
- x = -22 x = 22
+ Vậy tuổi của Nga là : 22 tuổi
+ Vậy tuổi của An là : 22 + 5 = 27 tuổi.
+ Vậy tuổi của Bình là : 52 - 22 = 30 tuổi.
+ Vậy tuổi của Châu là : 48 22 = 26 tuổi.

Vì Lan là ngời vợ trẻ nhất nên Lan là vợ của Châu, và:
+ Tuổi của Lan là: 26 -5 = 21 tuổi
Suy ra Mai là vợ của Bình, và:
+ Tuổi của Mai là: 26 5 = 21 tuổi
KL: Vậy Lan (21 tuổi) là vợ của Châu (26 tuổi), Mai (25 tuổi) là vợ của Bình (30 tuổi) và
Nga (22 tuổi) là vợ của An (27 tuổi).
Bài toán 2: Một cánh đồng cỏ dày nh nhau, mọc cao đều nh nhau trên toàn bộ cánh đồng
và trong suốt thời gian bò ăn cỏ trên cánh đồng ấy. Biết rằng 9 con bò ăn hết cỏ của cánh
đồng trong 2 tuần, 6 con bò ăn hết cỏ của cánh đồng trong 4 tuần. Hỏi bao nhiêu con bò
ăn hết cỏ của cánh đồng trong 6 tuần?( Giả thiết mỗi con bò ăn số cỏ nh nhau)
- Phân tích: + Bài toán khó ở chỗ trong suốt thời gian bò ăn cỏ, cỏ vẫn mọc đều trên cánh đồng.
+ Học sinh cần biết cách biểu diễn số cỏ ăn trong một tuần của một con bò
theo ẩn đã chọn. Đồng thời học sinh cần phải biết quy ớc khối lợng cỏ có sẵn ban đầu là
1 đơn vị.
- Giải: Gọi khối lợng cỏ có sẵn trên cánh đồng trớc khi bò ăn là 1(đơn vị khối lợng quy ớc).
Khối lợng cỏ mọc thêm trên cánh đồng trong một tuần là y(với đơn vị khối lợng nh trên).
Gọi số con bò phải tìm theo dầu bài là x (con)(x nguyên dơng).
Theo đề bài ta có:
9 con bò ăn trong 2 tuần hết 1+ 2y, mỗi con bò trong một tuần ăn hết
18
21 y
+
.
6 con bò ăn trong 4 tuần hết 1 + 4y, mỗi con bò trong một tuần ăn hết
24
41 y
+
.
x con bò ăn trong 6 tuần hết 1 + 6y, mỗi con bò trong một tuần ăn hết
x

y
6
61
+
.
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
23
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Ta có hệ phơng trình:







+
=
+
+
=
+
)2(
6
61
24
41
)1(
24
41

18
21
x
yy
yy
Phơng trình (1) cho ta y =
4
1
.
Thay vào phơng trình (2) ta đợc x = 5 (thoả mãn điều kiện)
Vậy 5 con bò ăn hết cỏ của cánh đồng trong 6 tuần.
* Tóm lại: Các bài toán trong phần này là những bài toán khó, đòi hỏi học sinh cần
phảI có t duy nhạy bén và khả năng sâu chuỗi các dữ kiện trong bài toán. Đồng thời
phải biết suy luận lôgíc mới giải quyết đợc.
kết luận chơng
Trên đây là 9 dạng toán thờng gặp ở chơng trình THCS lớp 9. Mỗi dạng toán có
những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia thành các dạng nhỏ cho mỗi dạng . Việc
chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại , nhng đều chung cơ sở là các b-
ớc giải cơ bản của Giải bài toán bằng cách lập phơng trình , hệ phơng trình .
Mỗi dạng , tôi đều chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu và hớng
dẫn các em việc xây dựng phơng trình theo 3 loại :
- Bài toán đa về phơng trình bậc nhất một ẩn.
- Bài toán đa về phơng trình bậc hai một ẩn.
- Bài toán đa về hệ phơng trình
Đó là các loại phơng trình ( hệ phơng trình ) đã đợc học và làm quen với cách giải
ở THCS.
Với những ví dụ ở trên tôi không có ý thiên về hớng dẫn các em cách giải các phơng
trình; hệ phơng trình mà chủ yếu gợi ý cho các em xây dựng đợc phơng trình ; hệ phơng
trình từ các bài toán thực tế để từ đó giúp các em dễ dàng hơn trong việc nhận dạng và
giải các bài toán thực tế bằng cách lập phơng trình ; hệ phơng trình .

Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
24
Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin
Chơng iv :
Phần dạy thực nghiệm
Bài soạn: Tiết 63: Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình.
I.Mục tiêu
Giúp học sinh nắm vững 6 yêu cầu về giải một bài toán bằng quy tắc: giải bài toán bằng
cách lập phơng trình dựa trên cơ sở của 3 bớc và 7 giai đoạn giải của loại toán trên.
Rèn luyện kỹ năng biểu diễn các số liệu đã biết từ dạng văn thành các biểu thức đại
số và xây dựng đợc phơng trình.
Rèn cho học sinh có thói quen và tìm thòi cách giải hay hơn và kỹ năng phân biệt đ-
ợc các dạng toán.
II. Chuẩn bị
- Giáo viên: Giáo án, máy chiếu, bút dạ, giấy trong.
- học sinh: + Học kỹ các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
+ Chuẩn bị các bài tập: 47, 49, 52 (trang 59, 60 SGK).
III. Tiến trình lên lớp
A. Tổ chức: ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B. Tổ chức các hoạt động dạy học
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Giáo viên Học sinh
? Quy tắc giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình.
Bớc 1: Chọn ẩn và xác định điều kiện của
ẩn.
Bớc 2: Lập phơng trình.
Đề tài nghiên cứu khoa học về thực nghiệm s phạm
25