Cac bai toan hay vong 3 den vong 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

y
x

108 cm_108cm22

D C

B
A

<b>CÁC BÀI TỐN KHĨ TỪ VỊNG 3 ĐẾN VỊNG 5 </b>

<b>VIOLYMPIC.VN</b>
<b>A. PHẦN HÌNH HỌC:</b>

<b>Bài 1: Tính giá trị của biểu thức :</b>

A = cos2₁0_{+ cos}2₂0_{+ cos}2₃0_{+ . . . . + cos}2₈₇0_{+ cos}2₈₈0_{+ cos}2₈₉0_–
1
2
Hướng dẫn: ₊_{= 90}0 _ _sin_ _{= cos}__{; cos}_ _{= sin}__{; ... và cos45}0₌

2

2 _{ta được:}

A = cos2₁0_{+ cos}2₂0_{+ cos}2₃0_{+ . . . . + cos}2₈₇0_{+ cos}2₈₈0_{+ cos}2₈₉0_–
1
2

= (cos2₁0_{+ cos}2₈₉0_{) + (cos}2₂0_{+ cos}2₈₈0_{) + ....+(cos}2₄₄0_{+ cos}2₄₆0_)+cos2₄₅0_–
1
2

= (cos2₁0_{+ sin}2₁0_{) + (cos}2₂0_{+ sin}2₂0_{) + .... + (cos}2₄₄0_{+ sin}2₄₄0_{) +}

2
2
2

 

 

 

  _–

1
2
= 1.44 = 44

<b>Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau: </b>

a) B = sin2₁0_{+ sin}2₂0_{+ sin}2₃0_{+ . . . . + sin}2₈₇0_{+ sin}2₈₈0_{+ sin}2₈₉0_–
1
2_.
b) C = tg2₁0_{. tg}2₂0_{. tg}2₃0_{. . . . tg}2₈₇0_{. tg}2₈₈0_{. tg}2₈₉0_.

c) D = (tg2₁0_{: cotg}2₈₉0_{) + (tg}2₂0_{: cotg}2₈₈0_{) + . . . . + (tg}2₄₄0_{: cotg}2₄₆0_{) + tg}2₄₅0_.

<b>Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm</b>2_{. Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi}

của hình chữ nhật ABCD ?

Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy
ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y)

Cách 1: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108

Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)2_{= 9 hay (x + y)}2_{– 4xy = 9 (1)}

Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2_{= 441}_ _{x + y = 21}

Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm

Cách 2: Từ x – y = 3  _{y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình:}

x (x – 3) = 108  _x2_{– 3x – 108 = 0 (1)}

 _x2_{– 12x + 9x – 108 = 0}

 _{( x – 12)(x + 9) = 0}

Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả.
Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn.

<b>Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vng tại A có diện tích 504 dm</b>2_{.Biết AB – AC = 47dm.}

Tính độ dài AB và AC.

Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trình:

x2_{– 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63}

Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

= =
//
//
F E
D
C
B
A
b
c
a
//
//
2
1
1
M
D
I
C
B
A

D  AB , E  BC , F  AC. Biết AB > AC và

4
9
<i>ADEF</i> <i>ABC</i>

<i>S</i>  <i>S</i>

. Tính AB ; AC.
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x2_{+ y}2₌





2
3 5

= 45. (1)

Hình vng ADEF có cạnh bằng 2 nên <i>SADEF</i> 4

Mà

4
9
<i>ADEF</i> <i>ABC</i>

<i>S</i>  <i>S</i>

nên SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2)

Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2_{= 81 và (x – y)}2_{= 9}

Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3

Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)

<b>Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác ,</b>

M là trung điểm BC. Cho biết <i>BIM</i> 900_.

Tính BC : AC : AB ?

<b>Hướng dẫn: Chú ý </b><i>BIM</i> 900_{; I là giao điểm các đường phân giác}

ta tính được <i>DIC</i> 900_{, từ đó chứng minh được BC = 2CD}

và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD

kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa 1
ba cạnh tam giác.

Lời giải:

Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI _{AC .}

<i>I</i>2 <i>B</i>1<i>C</i>1 (góc ngồi tam giác BIC)

=

 





1

2 <i>ABC ACB</i> ₌

0 0

1

.90 45

2  _{(do BI và CI là phân giác của các góc B và C và}ABC

vuông ở A); kết hợp với giả thiết <i>BIM</i> 900_{ta được}<i>I</i>1450. Vậy CIM = CID (g.c.g)

Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1)
BD là phân giác của tam giác ABC nên

<i>AB</i> <i>AD</i>

<i>BC</i> <i>DC</i> _hay

<i>AB</i> <i>BC</i>

<i>AD</i> <i>CD</i>_{= 2.}

Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2)

Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)
Mà a2_{– c}2_{= b}2_{hay (a – c)(a + c) = b}2_{kết hợp với a + c = 2b ta được a}_{– c =}₂

<i>b</i>

(4)
Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a =

5
2

<i>b</i>

. Vậy a =
5

4

<i>b</i>

. Do đó c =
3

4

<i>b</i>

.
Vậy a : b : c =

5 3
: :
4 4
<i>b</i> <i>b</i>

<i>b</i>
=
5 3
:1:

4 4_{= (}

5
.4

4 _{): (1.4) : (}
3

4_{.4) = 5 : 4 : 3}
Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3

Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Tốn 9- Vũ Hữu Bình” có sửa
đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm. Đa số các bài thi từ vịng 3 đến vịng 5 hình học
đều có , nên giải trước các bài dạng tính tốn ở chương I có trong sách thì sẽ vượt qua
được ở các vòng thi này.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

A

/
/

//
//

6

9

N

M C

B

//
//

10
13

K

H C

B

A
BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.

Hướng dẫn:

Đặt AB = x ; AN = y  _{AC = 2y.}

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
BC = 2AM = 2.6 = 12 cm

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A
Ta được: x2_{+ 4y}2_{= 144 (1) và x}2_{+ y}2_{= 81}_ _y2_{= 81 – x}2₍₂₎

Thay (2) vào (1) ta được phương trình :

x2_{+ 4( 81 – x}2_{) = 144}

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2_{= 180}

Nghiệm dương của phương trình : x = 2 5

Trả lời: AB = 2 5 cm

<b>Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A .</b>
Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân

và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm
Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được

CK =
50

13  _{AK =}

119
13
Vậy cos A =

<i>AK</i>

<i>AB</i> ₌

119

13 _{: 13 =}

119
169
Trả lời: cos A =

119
169
B. PHẦN ĐẠI SỐ:

<b>Bài 1: Tìm hai số nguyên a và b thỏa mãn : </b>

5. 7 2 10 <i>a</i> 10<i>b</i>

Gợi ý: 7 2 10 

 

 

2 2

5  2 5. 2 2

=





2

5 2

Vậy:





2

5. 7 2 10  5 7 2 10  5. 5 2

= 5



5 2



= 5 – 10<i>a</i> 10<i>b</i>

Suy ra: a = – 1 ; b = 5

<b>Bài 2: Cho hai số nguyên a và b thỏa mãn : </b> 10 2 21  <i>a</i> <i>b</i>_{. Tính a – b.}

Gợi ý:





2

10 2 21  7 3

. Từ đó tìm được a = 7 ; b = 3. Vậy a – b = 4 .
<b>Các bài tập cùng một dạng: Cho hai số nguyên a và b thỏa mãn:</b>

a) 16 2 55  <i>a</i> <i>b</i>_{. Tính a – b}

b) 11 2 18  <i>a b</i> 2_{. Tính a. b}

<b>Bài 3: Rút gọn biểu thức: </b>

5 2 5 2

3 2 2

5 1

  

 



<b>Lưu ý: Bài toán này có thể tính trên máy tính rồi đưa ra kết quả nhanh hơn</b>
**************

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

những em làm một vòng vượt qua được thì khơng gặp được. Lời giải chỉ mang tính gợi
ý tham khảo , đơi chỗ có thể đánh nhầm dẫn đến đáp số sai cần sửa lại.

Chúc các em mau chóng để kịp thời gian vì hiện nay chương trình đang ở vòng 8 để
tiến đến vòng 19 nhà trường sẽ tổ chức thi trực tiếp tại trường – Chào thân ái

</div>

<!--links-->