to hop va cac bai toan hay

Với là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau:
000
Ta có:
Cho , ta có:

111
Chứng minh:
000
Đặt:
Ta có: .
.
Đề bài
Chứng minh rằng: .
Bài giải chi tiết | n
Ta có: .
Lấy đạo hàm 2 vế ta có :
.
Cho ta có :
Đề bài
Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của
Bài giải chi tiết |

Bậc của trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của trong 4 sô hạng cuối lớn hơn 8.
Vậy chỉ có trong các số hạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là:
Đề bài
Gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm để
Bài giải chi tiết |
Cách 1:
Ta có ,
.
Dễ dàng kiểm tra không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với thì .
Do đó hệ số của trong khai triển đa thức của là
Vậy
Vậy là giá trị cần tìm (vì nguyên dương).
Đề bài
Tính tổng
Bài giải chi tiết |
Ta có
.
Đề bài
Giải hệ phương trình :
Bài giải chi tiết |
Điều kiện : .
Từ phương trình thứ hai suy ra
Thay vào phương trình thứ nhất và sử dụng công thức tổ hợp
Đưa về phương trình .
Giải phương trình này và loại , nhận
Đề bài
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của
, biết rằng
Bài giải chi tiết |
Từ giả thiết suy ra:
(1)
Vì , , nên :
(2)
Từ triển khai nhị thức Niutơn của suy ra :
(3)
Ta có :

Hệ số của là với thỏa mãn :

Vậy hệ số của là :
Đề bài
Cho . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng ?
Bài giải chi tiết |
Xét trường hợp
Vì và phải là bội số của 3.
hay hay
Vậy có 3 số hạng trong khai triển trên có lũy thừa của x giống nhau.
Mặt khác: biểu thức chứa 21 số hạng
và biểu thức chứa 11 số hạng
Nên sau khi khai triển và rút gọn biểu thức A sẽ gồm : 21 + 11 - 3 = 29 số hạng .
Đề bài
Khai triển biểu thức ta được đa thức có dạng . Tìm hệ số của , biết
.
Bài giải chi tiết |
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là :
Từ đó ta có :
Với , ta có hệ số của trong khai triển là
Đề bài
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết:
Bài giải chi tiết |
Do đó hệ số của số hạng chứa là:
Đề bài
Chứng minh rằng:
Bài giải chi tiết |
Dùng khai triển nhị thức Niutơn :
(1)
(2)
Cộng hai vế (1) và (2) ta được :
Cho :