kế hoạch dạy phụ đạo lớp 12 tăng tiết học kì i i thời gian 3 tháng 12 tuần a lớp 12a4 12 tuần x 2 tiết 24 tiết b lớp 12a7 12 tuần x 2 tiết 24 tiết ii nội dung 1 giải tích 16 tiết chủ đ

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>KẾ HOẠCH DẠY PHỤ ĐẠO LỚP 12 (TĂNG TIẾT)</b>



<b>HỌC KÌ I:</b>

<b>I. THỜI GIAN: (3 tháng = 12 tuần)</b>

a) Lớp 12A/4: 12 tuần x 2 tiết = 24 tiết
b) Lớp 12A/7: 12 tuần x 2 tiết = 24 tiết

<b>II. NỘI DUNG: </b>

<i><b>1. Giải tích: (16 tiết)</b></i>
 <b>Chủ đề 1 : (8 tiết)</b>

<b>Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số</b>
<i>Bài 1: Đơn điệu (sự đồng biến và nghịch biến) của hàm số (1 tiết)</i>

<i>Bài 2: Cực trị (cực đại, cực tiểu) (1 tiết)</i>

<i>Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (2 tiết)</i>
<i>Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết)</i>

<i>Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (3 tiết)</i>
 <b>Chủ đề 2: (8 tiết)</b>

<b>Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit</b>
<i>Bài 1: Lũy thừa (1 tiết)</i>

<i>Bài 2: Hàm số lũy thừa (1 tiết)</i>
<i>Bài 3: Lôgarit (1 tiết)</i>

<i>Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lơgarit (1 tiết)</i>

<i>Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lơgarit (2 tiết)</i>

<i>Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lơgarit (2 tiết)</i>
<i><b>2. Hình học: (8 tiết)</b></i>

 <b>Chủ đề 1: (5 tiết)</b>

<b>Khối đa diện</b>
<i>Bài 1: Khái niệm về khối đa diện (1 tiết)</i>

<i>Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều (1 tiết)</i>
<i>Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện (3 tiết)</i>

 <b>Chủ đề 2: (3 tiết)</b>

<b>Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu</b>
<i>Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (2 tiết)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>NỘI DUNG CHI TIẾT</b>

<i><b>1. Giải tích: (16 tiết)</b></i>
 <b>Chủ đề 1 : (8 tiết)</b>

<b>Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số</b>
<i>Bài 1: Đơn điệu (sự đồng biến và nghịch biến) của hàm số (1 tiết)</i>

<i><b>Ghi nhớ: Xét dấu y</b></i>’_{vận dụng các quy tắc sau:}

* Nếu y’_{là nhị thức bậc nhất (y}’<i><b>_{= ax + b), Quy tắc: Phải cùng Trái trái dấu với hệ số a}</b></i>
* Nếu y’_{là tam thức bậc hai (y}’_{= ax}2_{+ bx + c) có hai nghiệm phân biệt}

<i><b> Quy tắc: Trong trái Ngoài cùng dấu với hệ số a</b></i>

* Nếu y’_{là tam thức bậc hai (y}’_{= ax}2_{+ bx + c) có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm}
<i><b> Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a</b></i>

<i><b>Đặc biệt: * Nếu y</b></i>’_{là hàm bậc ba (y}’_{= ax}3_{+ bx}2_{+ cx + d) có 3 nghiệm phân biệt}
<i><b> Quy tắc: Đổi dấu từ Phải sang Trái theo dấu hệ số a</b></i>

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a/ y = x3_{– 6x}2_{+ 9x (ĐB:}( ;1),(3;)_{; NB: (1; 3))}
b/ y = x4_{– 2x}2_{(ĐB: (-1; 0),}(1;)_{; NB:}(  ; 1),(0;1)₎

c/ y =

3 2x
x 7



 _(NB:(  ; 7),( 7; )_{) d/ y =}

2

x 5x 3

x 2

 

 _(ĐB:( ;2),(2;)₎

e/ y = x + 2cosx, x

5
;
6 6

 

_ _

 _(NB:
5
;
6 6

 

 

 

 _{) f/ y =} 2x x 2 _{(ĐB: (0; 1); NB: (1; 2))}
<i>Bài 2: Cực trị (cực đại, cực tiểu) (1 tiết)</i>

Tìm cực trị các hàm số sau:

a/ y = x3_{– 3x}2_{– 24 + 7 (y}

CĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73)

b/ y = x4_{– 5x}2_{+ 4 (y}

CĐ = y(0) = 4; yCT = y(
5
2


) =
9
4


)

c/ y =

2

x 3x 3

x 2

 

 _(y_CĐ_{= y(1) = -1; y}_CT_{= y(3) = 3)}

d/ y = sin2x (yCĐ = y(4


+ k_{) = 1; y}_CT_{= y(}
3

4


+ k_{) = -1, k}Z_{vì hàm số có chu kì T =}₎

e/ y = x2  x 1 _(y_CT_{= y(}
1
2_{) =}

3
2 ₎

<i>Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (2 tiết)</i>

<i><b>Ghi nhớ: * GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]</b></i>

<i><b>Bước 1: Tính </b></i>f(x). Giải PT f(x) = 0  _{nghiệm x}_i<i><b>_{; Bước 2: Tính f(a), f(b)}</b></i>
<i><b>Bước 3: Tính f(x</b></i>i) với xi <i><b>[a; b] ; Bước 4: So sánh f(a), f(b) và f(x</b></i>i) GTLN –
GTNN

Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a/ y = x +
4

x_{(x > 0)(}(0;min y) y(2) = 4) b/ y = 2
x

4 x ₍(max y y(0) 4  ; )   )

c/ y =
1

sin x_{trên (}0; ) ₍min y(0; ) y(2


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

e/ y = x4_{– 3x}2_{+ 2 trên}[2;5]₍max y y(5) 552_[2;5]   _;min y [2;5] y(2) = 6)

f/ y =
2 x
1 x



 _{trên [-3; -2](}[ 3; 2]

4
max y y( 2)

3

     _;_{[ 3; 2]}min y_ _ _{y(-3) =}
5
4 ₎

g/ y = 25 x 2 _{trên [-4; 4] (}max y y(0) 5[ 4;4]   ; min y[ 4;4] y(4) = 3)

h/ y = 2sin2_{x – cosx + 1}

(Biến đổi về dạng: f(t) = -2t2_{– t + 3 trên [-1; 1]) (} [ 1;1]

1 25
max y y( )

4 8

    _;min y_{[ 1;1]}_ _{y(1) = 0)}

i/ y = 2sinx –
4

3 _sin3_{x trên [0;}__]

(Biến đổi về dạng: f(t) = 2t –
4

3_t3_{trên [0; 1]) (} [0;1]

2 2 2
max y y( )

2 3

 

; min y [0;1] y(0) = 0)
<i>Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết)</i>

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau:

a/ y =

2x 1
x 2



 _{b/ y =}

5

2 3x _{c/ y =}
2

2

x 12x 27
x 4x 5

 

 
d/ y =

2

2
x 3x

x 4


 _{e/ y =} 2

2 x
x 4x 3


 

<i>Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (3 tiết)</i>

<i><b>Ghi nhớ: a) PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M</b><b>0</b><b>(x</b><b>0</b><b>; y</b><b>0</b><b>)</b></i>

<i><b>Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y</b></i>0 = f(x0)(x – x0<i><b>) Bước 2: Tính </b></i>f(x)
<i><b>Bước 3: Tính </b></i>f(x0<i><b>) Bước 4: Thay x</b></i>0, y0 và f(x0) vào bước 1
<i><b> b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước</b></i>

<i><b>Bước 1: Tính </b></i>f<i><b>(x) Bước 2: Giải phương trình </b></i>f(x0) = k  nghiệm x0

<i><b>Bước 3: Tính y</b></i>0 = f(x0<i><b>) Bước 4: Thay x</b></i>0, y0 và k = f(x0) vào PT: y – y0 = f(x0)(x – x0)
<i><b>Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:</b></i>

a/ y = x3_{– 3x}2 _{b/ y = - x}3_{+ 3x – 1} _{c/ y = 3x – 4x}3 _{d/ y = x}3_{– 3x}2_{+ 3x – 2}
<i><b>Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:</b></i>

a/ y = x4_{– 2x}2_{– 1 b/ y =}
4

2

x 3

x

2 2

  

c/ y = - x4_{+ 2x}2_{d/ y = x}4_{+ x}2_{– 2}
<i><b>Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:</b></i>

a/ y =

2x 4
x 1



 _{b/ y =}

1 2x
x 2



 _{c/ y =}
6

x 3 _{d/ y =}

2x 8
x


<i><b>Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x</b></i>3_{+ 3x + 2}

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3_{– 3x – 2 + m = 0}
ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:

A A

B A B A

x x y y

x x y y

 



  _{. ĐS: y = 2x + 2}
<i><b>Bài 5: Cho hàm số (C): y = x</b></i>3_{+ 3x}2_{+ 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3_{+ 3x}2_{– k = 0}
ĐS: * k > 4: 1 n0; * k = 4: 2 n0; * 0 < k < 4: 3 n0; * k = 0: 2 n0; * k < 0: 1 n0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng -1
HD: Thế x = -1 vào (C)  _{y = 3: M(-1; 3). ĐS: y = -3x}

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
ĐS: y = -2x + 1

<i><b>Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x</b></i>4_{+ 2x}2_{+ 1}

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4_{+ 2x}2_{+ 1 – m = 0}

ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2

HD: Thế y = 2 vào (C)  _{x =}_{1: M(-1; 2), N(1; 2). ĐS: y = 2}
<i><b>Bài 7: Cho hàm số (C): y = x</b></i>4_{– 2x}2_{– 3}

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. ĐS: y = 24 – 43
<i><b>Bài 8: Cho hàm số (C): y = x</b></i>3_{– 3x}2_{+ 4}

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y =
5

x 1
3

 

.

ĐS: y =

5_x 83

3 27

 

; y =

5_x 115

3 27

 

<i><b>Bài 9: Cho hàm số (C): y = </b></i>
x 1
x 3



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. ĐS: y = -x và y = -x + 8

<i><b>Bài 10: Cho hàm số (C</b></i>m): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y =
9

x 1
8
 
<i><b>Bài 11: Cho hàm số (C</b></i>m): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1

c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4_{– 8x}2_{– k = 0 có 4 nghiệm}
phân biệt. ĐS: -14 < k < 0

<i><b>Bài 12: Cho hàm số (C</b></i>m): y =

mx 1
2x m




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng
xác định của nó

<i><b>HD: Chứng minh tử thức của y</b><b>’</b><b>_{> 0 suy ra y}</b><b>’</b><b>_{> 0(đpcm)}</b></i>

c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2). ĐS: m = 2

d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1;
1

4_{). ĐS: y =}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Bài 13: Cho hàm số (C</b></i>m): y =

(m 1)x 2m 1
x 1

  



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung

HD: Giao điểm với trục tung  _{x = 0, thay x = 0 vào (C)} _{y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1}
<i><b>Bài 14: Cho hàm số (C</b></i>m): y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m

a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1. ĐS: m =
3
2

HD: * Tìm y’_{, tìm y}”_{và vận dụng công thức sau}

<i><b> * Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x = </b></i> 

a 0
y ( ) 0
y ( ) 0





  


   


a 0
hay y ( ) 0

y ( ) 0


  



 

  


 



 _{  } 


 

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2

HD: (Cm) cắt trục hoành tại x = -2  y = 0, thay vào (Cm). ĐS: m =

5
3

<i><b>Bài 15: Cho hàm số (C</b></i>m): y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
HD: * Tìm y’_{và vận dụng công thức sau}

<i><b> * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định </b></i> <i><b>_y</b><b>’</b></i> _<i><b>_{0 (hay y}</b><b>’</b></i> _<i><b>₀₎</b></i>



a 0

0( 0)






   


a 0
hay

0( 0)


  



 


   


 

* m2_{– 2m + 1}_0_ _{m = 1}

(vì m2_{– 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1}
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu

HD: * Tìm y’_{và vận dụng công thức sau}

<i><b> * Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu) </b></i>
 <i><b>_y</b><b>’</b><b>_{= 0 có 2 nghiệm phân biệt}</b></i>_  0(hay  0)

* m2_{– 2m + 1 > 0}_ _m_₁

(vì m2_{– 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0). ĐS: m}_₁
c) Xác định m để y”_{(x) > 6x. ĐS: m < 0}

<i><b>Bài 16: Cho hàm số (C</b></i>m): y =

mx 3

x m 2


 

a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
HD: * Tìm y’_{và vận dụng cơng thức sau}

<i><b>* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó </b></i>
 <i><b>_y</b><b>’</b><b>_{> 0 (hay y}</b><b>’</b><b>_{< 0)}</b></i>_ <i><b>_{tử thức > 0 (hay tử thức < 0). ĐS: - 3 < m < 1}</b></i>

* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu
b) Tìm trên (C-1) những điểm có tọa độ nguyên

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Bài 17: Xác định m để h/số y = x</b></i>3_{– 3mx}2_{+ (m + 2)x – m đồng biến trên R. ĐS:}
2

m 1
3

  
<i><b>Bài 18: Định m để hàm số y = x</b></i>3_{– 6x}2_{+ 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị. ĐS: m < 2}

<i><b>Bài 19: Định m để hàm số y = x</b></i>3_{+ mx}2_{– 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3. ĐS: m =}
27

4

<i><b>Bài 20: Định m để hàm số y = x</b></i>3_{+ mx}2_{– (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1}

HD: * Tìm y’_{và vận dụng công thức sau}

<i><b> * Để hàm số đạt cực trị tại x = </b></i>  <i><b>_y</b><b>’</b><b>₍</b></i>_<i><b>_{) = 0 (giải Pt suy ra giá trị m). ĐS: m = -4}</b></i>

<i><b>Bài 21: Định m để hàm số y = </b></i>
1
3


x3_{+ (m – 2)x}2_{– mx + 3m giảm trên R. ĐS:}1 m 4_ _
 <b>Chủ đề 2: (8 tiết)</b>

<b>Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit</b>

A. LÝ THUYẾT:

<i><b>L</b></i>

<i><b>Ũ</b></i>

<i><b>Y</b></i>

<i><b> T</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>Ừ</b></i>

<i><b>A</b></i>

1.

n

n
n thừa số
a a.a...a

  

2. a0_{= 1 (}a 0_{) 3.}

1 n 1
n

n
a

a a

  

_{ } 

  _4.

n n

b a

a b



   

   
   
5. xn b_{(1): * Nếu: n lẻ và}b_{: (1)} _{x =}n b

* Nếu: n chẵn và b < 0: (1) Không tồn tại n b
* Nếu: n chẵn và b = 0: (1) _{x =}n b₌n 0 _{= 0}
* Nếu: n chẵn bà b > 0: (1) _{x =}n b

6. n a. bn n ab_7.

n
n
n

a a

b

b  _8.

 

m

m
n

n a a



9. n k a nka
10.

n

n _a a khi n lẻ
a khi n chẵn




 _11.n1 1 _(n_{N, n}_{2) 12.}n 1_{= - 1 ( n lẻ)}
13.

m

m
n
n

a  a _14.

1
n
n

a  a_15.a .am n am n

 _16.

 

n

m m.n

a a
17.





m _m _m

ab a .b _18.

m

m n
n

a _a
a




19.

m _m

m

a a

b b

 

 
 

20. * Nếu

1 _m _n

a

a a
m n




 




 _{* Nếu}

0 a 1 _m _n
a a
m n

 


 





<i><b>H</b></i>

<i><b>À</b></i>

<i><b>M</b></i>

<i><b> S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b> L</b></i>

<i><b>Ũ</b></i>

<i><b>Y</b></i>

<i><b> T</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>Ừ</b></i>

<i><b>A</b></i> 1. y = x: * Nếu  nguyên dương: TXĐ: D = R tức là  x R

* Nếu _{nguyên âm hoặc bằng 0: TXĐ: D = R}\

 

0 _{tức là} x 0
* Nếu _{không nguyên: TXĐ: D = (}0; _{) tức là}x 0

2.

 

x  x1(x > 0) 3.

 

u u .u1 (u > 0)
4. * Nếu 0

m m

a b

a b
m




 




 _{* Nếu} 0

m m

a b

a b
m




 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<i><b> L</b></i>
<i><b>Ô</b></i>
<i><b>G</b></i>
<i><b>A</b></i>
<i><b>R</b></i>
<i><b>IT</b></i>

1. a b log ba



    _{(a, b > 0;}a ₁<i>_{); log}</i>

<i>ab đọc là: lôgarit cơ số a của b</i>

2. loga1 = 0 3. logaa = 1 4.
a

log b

a b_5.log aa




6. loga(b1.b2) = logab1 + logab2 7.

1

1 2

2

a a a

b

log log b log b

b  

8.

1

a a

log log b

b  _9.log ba log ba


 _10.

1
n

a a

log b log b
n

11.
c
a
c
log b
log b
log a



12. logac.logcb = logab 13.

1
a
b
log b
log a

14.
1
a
a

log b  log b

 _14.log ba log ba

 



 _{15. lg1 = 0}
16. lg10 = 1 17. ln1 = 0 18. lne = 1 19.

a

ln b
log b

lna


20. * Nếu

1

a a

a

log m log n
m n


 



 _{* Nếu}

0 1

a a

a

log m log n
m n

 

 




21. * Nếu

a

a c

c

log b m

log b log d
log d m



 



<i><b>H</b></i>
<i><b>S</b></i>
<i><b> M</b></i>
<i><b>Ũ</b></i>

<i><b> V</b></i>
<i><b>À</b></i>
<i><b> H</b></i>
<i><b>S</b></i>
<i><b>L</b></i>
<i><b>Ô</b></i>
<i><b>G</b></i>
<i><b>A</b></i>
<i><b>R</b></i>
<i><b>IT</b></i>

1.

 

x x

e  e _2.

_{ }

_eu  _{u .e}u



 _3.

 

ax  a lnax _4.

 

au u .a lna u
5.





1
a

log x

xlna
 

6.



a



u
log u

ulna

 

7.





1
lnx

x
 

8.





u
ln u

u

 

9.





1
10

lgx

xln
 

10.





10
u
lgu

uln

 
<i> lnx đọc là: lôgarit nêpe của x hay lốc nêpe của x</i>

 <i>logx hay lgx đọc là: lốc của x</i>

<i><b>P</b></i>
<i><b>T</b></i>
<i><b> M</b></i>
<i><b>Ũ</b></i>
<i><b> V</b></i>
<i><b>À</b></i>
<i><b> P</b></i>
<i><b>T</b></i>
<i><b>L</b></i>
<i><b>Ơ</b></i>
<i><b>G</b></i>
<i><b>A</b></i>
<i><b>R</b></i>
<i><b>IT</b></i>

<i><b> Phương trình mũ:</b></i>

1. ax_{= b (1): * Nếu b > 0: PT (1) có nghiệm x = log}
ab
* Nếu b 0: PT (1) vô nghiệm

2. ax_{= a}y _ _{x = y}

<i><b> Phương trình lơgarit:</b></i>

1. logax = b  x = ab (x > 0; a 1 và b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i><b>B</b></i>
<i><b>Ấ</b></i>
<i><b>T</b></i>
<i><b> P</b></i>
<i><b>T</b></i>
<i><b> M</b></i>
<i><b>Ũ</b></i>
<i><b> V</b></i>
<i><b>À</b></i>
<i><b> B</b></i>
<i><b>Ấ</b></i>
<i><b>T</b></i>
<i><b> P</b></i>
<i><b>T</b></i>
<i><b> L</b></i>
<i><b>Ơ</b></i>
<i><b>G</b></i>

<i><b>A</b></i>
<i><b>R</b></i>
<i><b>IT</b></i>

 <i><b>Bất phương trình mũ:</b></i>
1. ax_{> b (1): * Nếu b > 0:}

 Với a > 1: PT (1)  x > logab
 Với 0 < a < 1: PT (1)  x < logab
* Nếu b_{0: PT (1)} _R

2. ax_{> a}y_{(1) : * Nếu a > 1: (1)}_ _{x > y}
* Nếu 0 < a < 1: (1)  _{x < y}

 <i><b>Bất phương trình lơgarit:</b></i>

1. logax > b (1): * Nếu a > 1: PT(1)  x > ab

* Nếu 0 < a < 1: PT(1)  0

b
x a
x






2. logax > logay (1): * Nếu a > 1: PT(1) 

0
0
x
y
x y





 


* Nếu 0 < a < 1: PT(1) 

0
0
x
y
x y





 

<i>Bài 1: Lũy thừa (1 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Tính: a) </b></i>

4
0 75
3
1 1
16 8
,
 
   

   

    ₍₂₄₎ _b)

3 3
4 4

144 9: ₍₈₎ _c)₄3 2.₂1 2.₂ 4 2

(8)

d)

3 5
2 5 1 5

6
2 .3



 

(18) e) 48 3:(2 48.3 3 2 )(9) f) 2( 3 1 )2.4 3 (16)
<i><b>Bài 2: Rút gọn: </b></i>

a)
3 1
3 1
a .
a

 
 

  _(a) _b)

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a (a a )
a (a a )






 _{(a) c)}

1 1

3 3

6 6

a b b a
a b



 ₍3 ab₎
d)

1
6 a a a . a a a a33 2



 

 

 

 _{ } _

 _{ } _ _{(a > 0) (}a1772

) e)

4 2 3 23
3 2 3 ₍

5
24
2
3
 
 
  ₎

<i><b>Bài 3: So sánh các cặp số sau: a) </b></i>4 3

và 4 2

b)
1
9

 
 
  _và

3 14
1
9
,
 
 
  
c) 310 và 5 20 d) 2300_{và 3}200

<i><b>Bài 4: Chứng minh rằng: a) </b></i>

2 5 3 2

1 1

3 3

   

   

    _b)76 3 73 6
<i><b>Bài 5: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:</b></i>

a)

 

1
2 1 9

2

; ( , ) ; ;


   

 

  _b)

2 2 2 2

3 3 3 3

0 5 1 3 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Bài 2: Hàm số lũy thừa (1 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:</b></i>
a)

3
5
6 4

y (  x) _b)

1
2 ₄
3

y ( x )

  _c)y (x 2  4)3
d) y (x 3  2x2 3x5)2 e) y (x 2  x 2)0 f) y512 x x2
<i><b>Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:</b></i>

a)

1

2 ₃

2 1

y ( x  x ) _b)

1
2 4
4

y (  x x ) _c)y ( x )3 1 2


 

d) y (5 x) 3 e) y5 x2  x 4 f) y3 (x2  3x2)2
<i><b>Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) </b></i>

3
5

y x _b)

1
3
y x


<i>Bài 3: Lôgarit (1 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính:</b></i>
a) 2

1
8
log

(-3) b) 14

2
log

(
1
2


) c) log3 4 3 (
1

4₎ _d)log0 5, 0 125,

(3)

e) log264 (6) f)
1

3
81
log

(-8) g) 4

2
5
a

log a ₍₁₀1 _{) h)} 3

4
a

log (a a)₍₁₂5 ₎
<i><b>Bài 2: Tính các giá trị sau:</b></i>

a) 4log23

(9) b) 27log92

(2 2) c) 9log32

(16) d) 4log827

(9) e) log3log28 (1)

f) 2

1
10
2

8 log ₍₁₀ 10₎ _g)53 2 log54
(

125

16 ₎ _h)71 2 log74

(112) i) a3loga2
(64)

j)

1
10

lg ln e ln
e

 

(2) k) eln ln3 2 e2ln 5 3 ln32 5lne1

  ₍₉₎

l)

3

1 1 1

3 3 3

1

2 6 400 3 45

2

log  log  log

(-4) m)

3

7 7 7

1

36 14 3 21

2log  log  log _(-2)
<i><b>Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:</b></i>

a) log36.log89.log62 (
2

3₎ _b)log 62.log236 (4) c)

3

2 25

1

2
5

log .log

(
1
12


)
<i><b>Bài 4: a) Cho log</b></i>23 =  và log25 = . Tính log2600 và log2 270 theo  và 

ĐS: * log2600 = 3 +  + 2 * log2 270 =
1

2_{(1 + 3}₊₎

b) Cho log52 = . Tính log2050 theo  (

2
2 1

 
  ₎

c) Cho log103 =  và log105 = . Tính log6016 theo  và  (
4 1
2

(  )
   ₎
<i><b>Bài 5: So sánh các cặp số sau:</b></i>

a) log35 và log74 b) log0,32 và log53 c) log210 và log530

d) 3
6
5
log

và 3
5
6
log

e) 13

9
log

và 13

17
log

f) 12

log e

và 12

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lơgarit (1 tiết)</i>
<i><b>Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:</b></i>

a) y = 2xex_{+ 3sin2x (2e}x_{(x + 1) + 6cos2x)}
b) y = 5x2_{– 2e}x_{cosx (10x + 2}x_{(sinx – ln2cox))}

c) y =
1
3x
x 

(

1 1 3

3x
(x )ln
 

) d) y = 3x2_{– lnx + 4sinx (6x –}
1

x + 4cosx)
e) y = log(x2_{+ x + 1) (} 2

2 1
1 10
x

(x x )ln


  ₎ _{f) y =}
3
log x

x ₍ 2
1

3
lnx
x ln


)

g) y = log8(x2 – 3x – 4) (
2

2 3
3 4 8

x

(x x )ln


  _{) h)} 3 3 1 9
x

y log (  )

  ₍

1
1
3
3 9

x
x




 ₎

i)

2

2 5

5x x
y  

 ₍( x )4 1 52x x2 5ln5

 _{) j)}y 7lnx ₍

7ln x_ln7
x )

k) y ln(sinx) (cot x) l) y ln (cos x) 2 3 (6sin xln(cos x)3 3 )
m) y (x 2  x )e1 x (ex_(x2_{+ x)) n)}y (sinx cosx)e  3x_(e3x_{(4cosx + 2sinx))}
o) y ex  2008x (

2008 2008
2

x

x

x

e _ln

e  _{) p)}y ln x2 ₂₀₀₈

  ₍ 2 ₂₀₀₈

x
x  ₎
<i><b>Bài 2: Chứng minh rằng:</b></i>

a) Với hàm số y = e-sinx_{, ta có: y}’_{cosx – ysinx + y}”_{= 0}
b) Với hàm số y = ecosx_{, ta có: y}’_{sinx + ycosx + y}”_{= 0}
c) Với hàm số y = ex_{cosx, ta có: 2y}’_{– 2y – y}”_{= 0}
d) Với hàm số y = (x + 1)ex_{, ta có: y}’_{– y = e}x
<i><b>Bài 3: Tìm tập xác định của các hàm số:</b></i>
a) y log ( 2 5 2 x) b)

2

3 2

y log (x  x) _c)

2
1
5

4 3

y log (x  x )
d) 0 4

3 2
1
,

x
y log

x



 _e)

2

3 5 6

y log ( x   x ) _f)_{y log (}2x 2₎



 

<i><b>Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:</b></i>
a) y = 5x_b)

1

4

x
y  _{ }

  _{c) y = logx} _{d) y = 2lnx}
<i>Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lơgarit (2 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Giải các phương trình sau:</b></i>
a) (3,7)5x – 2 _{= 1 (}

2

5 _{) b)}
1

25
5

x
 


 

  _(-2) _c)₂x23x2 ₄

 _{(0; 3)}

d) 5x25x6 1_{(-1; 6) e)}

2 3 3 7

11 7

7 11

x x

   

   

    ₍₂₎
<i><b>Bài 2: Giải các phương trình sau:</b></i>

a) 32x – 1 _{+ 3}2x _{= 108 (2)} _{b) 3}x + 1_{+ 3}x – 2 _{- 3}x – 3 _{+ 3}x – 4 _{= 750 (5)}

c)

2 7

1
1
6

6
1

4 8

2

x

x
x
.

 


 

  _(-1;

9

2_{) d)}₅x25x6 ₂x3

 _{(3; 2 + log}₅₂₎
<i><b>Bài 3: Giải các phương trình sau: </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

d) 2.16x_{– 17.4}x_{+ 8 = 0 (}

3 1

2;  2_{) e) 4.9}x_{+ 12}x_{– 3.16}x_{= 0 (1)}
f)



2 3

 

2 3



4

x x

   

(2) g) 52x_{– 7}x_{– 5}2x_{.17 + 7}x_{.17 = 0 (0)}
<i><b>Bài 4: Giải các phương trình sau:</b></i>

a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5) (VN) b) log(x – 1) – log(2x – 11) = log2 (7)
c) log2(x – 5) + log2(x + 2) = 3 (6) d) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) (5)
e) log4(x + 2) = logx (2) f) log4x + log24x = 5(4)

g) log7(x – 1)log7x = log7x (8) h)

8
1
x

log logx
x




 ₍₄₎

<i><b>Bài 5: Giải các phương trình sau:</b></i>
a)

2

1 1

5 5

2log(x  x ) log x log  5x_{(2) b)}

2
1

4 1 8 4

2log(x  x ) log x log x   ₍₅₎
c) log x₂ 4log x log x4  8 13_{(8) d)}log_x216log₂_x64 3 (4; 3

1
2 ₎
<i>Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lơgarit (2 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Giải các bất phương trình sau:</b></i>
a) 2x23x 4

 _{(x < 1 hoặc x > 2)} _b)

2

2 3

7 9

9 7

x  x
 


 

  ₍

1

1
2 x ₎
c) 3x + 2_{+ 3}x – 1 __{28 (x}_₁₎ _{d) 2}2x – 1_{+ 2}2x – 2 _{+ 2}2x – 3 __{448 (x}

9
2


)

e) 3x x2 6 1_{(-2 < x < 3)} _f)

2

4 15 13

3 4
1

2

2

x x

x
 


 


 

  ₍

3
2
x 

)
<i><b>Bài 2: Giải các bất phương trình sau:</b></i>

a) 4x_{– 3.2}x_{+ 2 > 0 (x < 0 hoặc x > 1) b) (0,4)}x_{– (2,5)}x + 1 _{> 1,5 (x < -1)}
c) 9x_{– 5.3}x_{+ 6 < 0 (log}

32 < x < 1) d) 16x – 4x – 6  0 (x  log43)
<i><b>Bài 3: Giải các bất phương trình sau:</b></i>

a) 12 12

2 3 3 1

log ( x ) log ( x ) 

(x > 2) b) log8(4 – 2x)  2 (x  - 30)

c) 15 15

3 5 1

log ( x ) log (x ) 
(

5

3

3x )_{d) log}_0,2_{x – log}₅_{(x – 2) < log}_0,2_{3 (x > 3)}
e) log x23  5log x3  6 0 (9  x  27) f) log₃(x + 2) > log₉(x + 2) (x > -1)

<i><b>2. Hình học: (8 tiết)</b></i>
 <b>Chủ đề 1: (5 tiết)</b>

<b>Khối đa diện</b>

<b>CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN 12</b>

<b>I. TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG </b>

1. sin₌

AB

BC<i>_{(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos}</i>₌
AC

BC<i>_{(KỀ chia HUYỀN)}</i>

3. tan₌
AB

AC<i>_{(ĐỐI chia KỀ) 4. cot}</i>₌
AC

AB<i>_{(KỀ chia ĐỐI)}</i>

<b>II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG</b> 

H C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

1. BC2_{= AB}2_{+ AC}2_{(Định lí Pitago)}
2. AB2_{= BH.BC 3. AC}2_{= CH.BC}

4. AH2_{= BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.} 2 2 2

1 1 1

AH AB AC

<b>III. ĐỊNH LÍ CƠSIN</b>

1. a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bccosA 2. b}2_{= a}2_{+ c}2_{– 2accosB 3. c}2_{= a}2_{+ b}2_{– 2abcosC}

<b>IV. ĐỊNH LÍ SIN</b>

a b c

2R
sin A sin B sin C  

<b>V. ĐỊNH LÍ TALET</b>

<b> MN // BC</b>

a)

AM AN MN

AB AC BC _{; b)}

AM AN
MB NC

<b>VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG</b>

<i><b>1. Tam giác thường:</b></i>
a) S =

1
ah

2 _{b) S =} p(p a)(p b)(p c)   _{(Công thức Hê-rông)}
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

<i><b>2. Tam giác đều cạnh a:</b></i>
a) Đường cao: h =

a 3

2 _{; b) S =}
2
a 3

4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
<i><b>3. Tam giác vuông:</b></i>

a) S =
1

2_{ab (a, b là 2 cạnh góc vng)}

<i><b>b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền</b></i>
<i><b>4. Tam giác vng cân (nửa hình vng):</b></i>

a) S =

1

2_a2_{(2 cạnh góc vng bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a} 2
<i><b>5. Nửa tam giác đều:</b></i>

a) Là tam giác vng có một góc bằng 30o_{hoặc 60}o

b) BC = 2AB c) AC =
a 3

2 _{d) S =}
2
a 3

8
<i><b>6. Tam giác cân: a) S = </b></i>

1
ah

2 _{(h: đường cao; a: cạnh đáy)}

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
<i><b>7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)</b></i>

<i><b>8. Hình thoi: S = </b></i>
1

2_d₁_.d₂_(d₁_{, d}₂_{là 2 đường chéo)}
<i><b>9. Hình vng: a) S = a</b></i>2_{b) Đường chéo bằng a} 2

<i><b>10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)</b></i>
<i><b>11. Đường tròn: a) C = 2</b></i>_{R (R: bán kính đường trịn)}
b) S = _R2_{(R: bán kính đường trịn)}

<b>VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC</b>

N
M

C
B

A

60o ₃₀o

C
B

A

G
P

N
M

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i><b>1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác</b></i>

<i><b>a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm</b></i>

b) * BG =
2

3 _{BN; * BG = 2GN; * GN =}
1
3_BN
<i><b>2. Đường cao:</b></i>

<i><b> Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm </b></i>
<i><b>3. Đường trung trực:</b></i>

<i><b> Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác</b></i>

<i><b>4. Đường phân giác:</b></i>

<i><b> Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường trịn nội tiếp tam giác</b></i>

<b>VIII. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN</b>

<i><b>1. Hình tứ diện đều:</b></i>

a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

<i><b>b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)</b></i>
c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

<i><b>2. Hình chóp đều: </b></i>

<i><b>a) Có đáy là đa giác đều </b></i>
b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

<i><b>c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy </b></i>
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
<i><b>3. Đường thẳng d vng góc với mp(</b></i><i><b>_):</b></i>

a) Đt d vng góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(_{) Tức là:}

d a; d b
a b

a,b

 







 _{ }

  _d₍₎

b)

( ) ( )
( ) ( ) a
a d ( )

  




   


   

  _d₍₎

c) Đt d vng góc với mp(_{) thì d vng góc với mọi đt nằm trong mp(}₎
<i><b>4. Góc </b></i><i><b> giữa đt d và mp(</b></i><i><b>_{): d cắt (}</b></i>_{) tại O và A}_d

Nếu

AH ( )
H ( )

 




 

 _{thì góc giữa d và (}_{) là}_hayAOHˆ ₌
<i><b>5. Góc giữa 2 mp(</b></i><i><b>_{) và mp(}</b></i><i><b>_):</b></i>

Nếu

( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )

   




 



 _{ } _{ }



thì góc giữa (_{) và (}_{) là}_hayEMFˆ ₌
<i><b>6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(</b></i><i><b>_):</b></i>
(hình ở mục 4)

Nếu AH ₍_{) thì d(A, (}_{)) = AH}
(với H (₎₎

<b>IX. KHỐI ĐA DIỆN:</b>

<i><b>1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)</b></i>





F

E

M
B

A

 O

H
A

d'
d

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a H _M

D

C

B

A
<i><b>2. Thể tích khối chóp: V = </b></i>

1
Bh

3 _{(diện tích đáy là đa giác)}

<i><b>3. Tỉ số thể tích của khối chóp: </b></i>

S.A B C
S.ABC

V SA SB SC
. .
V SA SB SC

     



<i><b>4. Diện tích xq của hình nón trịn xoay: S</b></i>xq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

<i><b>5. Thể tích của khối nón trịn xoay: V = </b></i>
1

Bh

3 _{(diện tích đáy là đường trịn)}

<i><b>6. Diện tích xq của hình trụ trịn xoay: S</b></i>xq = 2Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
<i><b>7. Thể tích của khối trụ trịn xoay: V = Bh = </b></i>R2_{h ( h: chiều cao khối trụ)}

<i><b>8. Diện tích của mặt cầu: S = 4</b></i>R2_{(R: bk mặt cầu )}

<i><b>9. Thể tích của khối nón trịn xoay: V = </b></i>

3
4

R

3 _{(R: bán kính mặt cầu)}
<i>Bài 1: Khái niệm về khối đa diện (1 tiết)</i>

<i>Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều (1 tiết)</i>
<i>Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện (3 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a</b></i>

<b>HD: * Đáy là </b>BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

* Tính: V =

1
3_{Bh =}

1

3_{SBCD . AH * Tính: SBCD =}
2 ₃

4
a

(_BCD

đều cạnh a)

* Tính AH: Trong V_{ABH tại H :}

AH2_{= AB}2_{– BH}2_{(biết AB = a; BH =}

2

3 _{BM với BM =}

3
2
a

)
ĐS: V =

3 ₂
12
a

<i><b>Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a </b></i>

<b>HD: * Đáy ABCD là hình vng cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo</b>

* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =

1
3_{Bh =}

1

3_{SABCD . SH * Tính: SABCD = a}2
* Tính AH: Trong V_{SAH tại H:}

SH2_{= SA}2_{– AH}2_{(biết SA = a; AH =}

2
2
a

)
ĐS: V =

3 ₂
6
a

. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V =

3 ₂
3
a

<i><b>Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{có tất cả các cạnh đều bằng a}</b>

<b> a) Tính thể tích của khối lăng trụ</b>
<b> b) Tính thể tích khối tứ diện A’_BB’_C</b>

<b>HD: a) * Đáy A</b>’_B’_C’_là_<b>_{đều cạnh a . AA}</b>’_{là đường cao}

<b> * Tất cả các cạnh đều bằng a</b>

* VABC.A B C   = Bh = SA B C  .AA’

a _H

S

D

C
B

A

B'
A'

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

* Tính: SA B C   =
2 ₃

4
a

(A’_B’_C’_là__{đều cạnh a) và AA}’_{= a}
ĐS: VABC.A B C   =

3 ₃
4
a

b) VA BB C  =
1

3 VABC.A B C   ĐS:
3 ₃
12
a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

<i><b>Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,}</b>C



<b>= 600_{, đường chéo}</b>

<b>BC’</b>

<b> của mặt bên (BCC’_B’_{) hợp với mặt bên (ACC}’_A’_{) một góc 30}0_.</b>

<b> a) Tính độ dài cạnh AC’_{b) Tính thể tích lăng trụ}</b>

<b>HD: a) * Xác định</b> là góc giữa cạnh BC’_{và mp(ACC}’_A’₎
+ CM: BA ( ACC’_A’₎

 BA AC (vì ABC vng tại A)
 BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng)
+  = BC A



 _{= 30}0_{* Tính AC}’_{: Trong}_V_BAC’_{tại A (vì BA}__AC’₎

tan300₌

AB

AC  _AC’₌ 300

AB

tan _{= AB} 3

* Tính AB: Trong V_{ABC tại A, ta có: tan60}0₌

AB

AC

 AB = AC. tan600_{= a} 3_{(vì AC = a). ĐS: AC}’_{= 3a}
b) VABC.A B C   = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC =

1

2_{AB.AC =}

1

2_.a 3_{.a =}
2 ₃

2
a

* Tính CC’_{: Trong}_V_ACC’_{tại C, ta có: CC}’2_{= AC}’2_{– AC}2_{= 8a}2  _CC’₌2a 2
ĐS: VABC.A B C   = a3 6

<i><b>Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A}’_{cách đều}</b>

<b>các</b>

<b> điểm A, B, C. Cạnh bên AA’_{tạo với mp đáy một góc 60}0_{. Tính thể tích của lăng trụ.}</b>

<b>HD: * Kẻ A</b>’_H__(ABC)

* A’_{cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của}__{ABC đều cạnh a}
* Góc giữa cạnh AA’_{và mp(ABC) là}₌A A H



 _{= 60}0

* Tính: VABC.A B C   = Bh = SABC.A’H

* Tính: SABC₌
2 ₃

4
a

(Vì ABC đều cạnh a)
* Tính A’_{H: Trong}_V_AA’_{H tại H, ta có:}

tan600₌

A H
AH


 _A’_{H = AH. tan60}0₌

2

3_AN. 3_{= a}

ĐS: VABC.A B C   =
3 ₃

4
a

<i><b> Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA}’_{= 3a.}</b>

<b> Tính thể tích của lăng trụ</b>
<b>HD: * Đường cao lăng trụ là AA</b>’_{= 3a}
* Tính: VABC.A B C   = Bh = SABC.AA’

C'

60
30

C'
B'

A'

C
B

A

a
60

N
H

C'

B'
A'

C

B
A

2a
3a

C'
B'

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

* Tính: SABC₌
1

2 _{AB.AC (biết AC = a)}

* Tính AB: Trong V_{ABC tại A, ta có:}

AB2_{= BC}2_{– AC}2_{= 4a}2_{– a}2_{= 3a}2
ĐS: VABC.A B C   =

3
3 3

2
a

<i><b>Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A</b></i><b>’_B’_C’_D’_{có đáy là hình thoi cạnh a, góc}</b>A



<b>= 600_{. Chân đường vng góc}</b>

<b>hạ từ </b>

<b> B’_{xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB}’_{= a.}</b>

<b> a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy</b>
<b> b) Tính thể tích hình hộp</b>

<b>HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD</b>

* B’_O__{(ABCD) (gt)}

* Góc giữa cạnh bên BB’_{và đáy (ABCD) là}₌B BO





* Tính  = B BO



 _{: Trong}V_BB’_{O tại O, ta có:}
cos =

OB
BB =

OB
a

+ _{ABD đều cạnh a (vì}A



= 600_{và AB = a)} _{DB = a}
 OB =

1

2 _{DB =}2
a

. Suy ra: cos =

1

2  _{= 60}0

b) * Đáy ABCD là tổng của 2 đều ABD và BDC  SABCD_{= 2.}
2 ₃

4
a

=

2 ₃
2
a

* VABCD.A B C D    = Bh = SABCD.B’O =
2 ₃

2
a

.B’_O
* Tính B’_{O: B}’_{O =}

3
2
a

(vì B’_{BO là nửa tam giác đều) ĐS:}

3
3

4
a

<i><b>Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH</b></i>

<b> a) Chứng minh: SA</b><b>_BC</b>

<b> b) Tính thể tích của hình chóp</b>
<b>HD: a) Gọi M là trung điểm của BC</b>

* CM: BC_{SH (SH}_{mp( ABC))}

BC _AM

 BCmp(SAM). Suy ra: SABC (đpcm)
b) * Tất cả các cạnh đều bằng a

* Tính: VS.ABC =

1
3_{Bh =}

1

3_{SABC .SH * Tính: SABC =}
2
a 3

4

* Tính SH: Trong V_{SAH tại H, ta có: SH}2_{= SA}2_{– AH}2
(biết SA = a; AH =

2

3 _{AM mà AM =}

a 3

2 _vì_{ABC đều cạnh a). ĐS: VS.ABC =}

3
a 2

12

<i><b>Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy </b></i>

<b>một </b>

<b> góc 600_{. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vng góc với SA.}</b>

<b> a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC</b>

a
A


a

60
a

O

D' _C'

B'
A'

D C

B
A

a

M H

C

B A

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b> b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC</b>

<b>HD: a) Hạ SH </b>(ABC)  H là trọng tâm của ABC đều cạnh a
Gọi E là trung điểm của BC

* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là  =



SA E_{= 60}0

* Tính:

S.DBC
S.ABC

V SD SB SC SD
. .

V SA SB SC SA

* Tính SD: SD = SA – AD

* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là nửa tam giác đều)
và AH =

2

3_{AE mà AE =}
a 3

2 _vìABC đều cạnh a.
Suy ra: SA =

2a 3
3 

* Tính AD: AD =

AE

2 _{( vì}ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD =

a 3
4

* Suy ra: SD =

5a 3

12 _{. ĐS:}

S.DBC
S.ABC

V SD 5

V SA 8

b) Cách 1: * Tính VS.ABC =

1
3_{Bh =}

1

3_{SABC.SH * Tính: SABC =}
2
a 3

4 _(vì_{ABC đều cạnh a)}

* Tính SH: Trong V_{SAH tại H, ta có: sin60}0₌

SH

SA  _{SH = SA.sin60}0_{= a. Suy ra: VS.ABC =}

3
a 3

12

* Từ

S.DBC
S.ABC

V 5

V 8_{. Suy ra: VS.DBC =}
3
5a 3

96

Cách 2: * Tính: VS.DBC =

1
3_{Bh =}

1

3_{SDBC.SD * Tính: SDBC}₌
1

2_DE.BC

* Tính DE: Trong V_{ADE tại D, ta có: sin60}0₌

DE

AE  _{DE = AE.sin60}0₌

3a

4 _{. Suy ra: SDBC =}
2
3a

8

<i><b>Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và</b></i>

<b> vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB </b>
<b> a) Chứng minh rằng: SH </b><b>_(ABCD)</b>

<b> b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD</b>
<b>HD: a) * Ta có: mp(SAB) </b>(ABCD)

* (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB)

* SH _{AB ( là đường cao của}_{SAB đều)}

Suy ra: SH _{(ABCD) (đpcm)}

b) * Tính: VS.ABCD =

1
3_{Bh =}

1

3_SABCD.SH

* Tính: SABCD = a2_{* Tính: SH =}

a 3

2 _(vì_{SAB đều cạnh a)}

ĐS: VS.ABCD =

3
a 3

6

60

E
D

a
H

C

B
A

S

S

D _a

H
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<i><b>Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo </b></i>

<b>với đáy </b>

<b> một góc 600_{. Tính thể tích của khối chóp đó.}</b>

<b>HD: * Hạ SH </b>_{(ABC) và kẻ HM}_{AB, HN}_{BC, HP}_AC

* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là  = SMH



= 600<b></b>
* Ta có: Các _{vng SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh}

góc vng và 1 góc nhọn bằng 600₎

* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC
* Tính: VS.ABC =

1
3_{Bh =}

1

3_{SABC .SH}

* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)  

= p(p AB)(p BC)(p CA)   (công thức Hê-rơng)
* Tính: p =

5 6 7
9
2

a a a _a


Suy ra: SABC = 6 6a2
* Tính SH: Trong V_{SMH tại H, ta có: tan60}0₌

SH

MH  _{SH = MH. tan60}0

* Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH  MH =

ABC
S

p ₌2 3 6
a

Suy ra: SH = 2a 2
ĐS: VS.ABC = 8a3 3

<i><b>Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng </b></i>

3 ₃
6
a

<b>. </b>

<b> Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA = </b>

5
2
a

<i><b>Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng </b></i>

3
2

a

<b> và thể tích bằng a3_.</b>

<b>Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB = </b>a 2

<i><b>Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a</b></i><b>3_{/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một}</b>

<b>góc 600_{. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB =}</b>a 3

 <b>Chủ đề 2: (3 tiết)</b>

<b>Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu</b>
<i>Bài 1: Khái niệm về mặt trịn xoay (2 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác</b></i>

<b>vuông OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón trịn</b>
<b>xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>

<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15

Tính: AB = 5 ( AOB tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OB .OA₌
2
1

3 4

3. . _{= 12}

<i><b>Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>

7a

6a
5a

N

M H

P

C

B
A

60
S

S

3
4

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2

* Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OB .SO₌

3
2

1 3

3

3 3

a
.a .a 

 

Tính: SO =

2 3

3
2

a _a



(vì SO là đường cao của _{SAB đều cạnh 2a)}

<i><b>Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A



= B



= 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = a2 2

Tính: SA = a 2; OA = a ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = a2 2 + a2 = (1 + 2) a2

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌

3
2

1

3 3

a
.a .a 

 

<i><b>Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vng.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A



= B



= 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = . 2

l

.l =

2
2
l


Tính: OA = 2

l

( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2
2
l


+

2
2

l


=

2
1 1

2

2 l

 

 

 

  

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌

2 3

1

3 2 2 6 2

l l l

. . 

 

Tính: SO = 2

l

( SOA tại O)

<i><b>Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120</b></i><b>0_.</b>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A



= B



= 300

hay ASO



= BSO



= 600

* Sxq = Rl = .OA.SA = .a 3.2a =

2

2a 3

Tính: OA = a 3; SA = 2a ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

2a 3_{+ 3}_a2₌





2
2 3 3 a

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌

2 3

1
3

3. a .aa

2a

A B

O

45
S

B
A

O

l

45
S

B
A

O

120

a
S

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i><b>Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng </b></i><b>_.</b>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A



= B



= 

* Sxq = Rl = .OA.SA = . lcos.l =

2

l cos

 

Tính: OA = lcos₍ SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

l cos

 ₊_l2_cos2_₌



1cos 



l cos2 

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO

=

2
1
3

2

.l cos .lsin

  

=

3
3
2
l cos sin

  

Tính: SO = lsin₍ SOA tại O)

<i><b>Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2</b></i><b>_a2_.</b>

<b> Tính thể tích của hình nón</b>

HD: * Sxq = Rl  Rl = 2a2  R =

2 2

2 2

2

a a _a

l a



 



* Tính: SO = a 3 ( SOA tại O)

* V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌

3
2

1 3

3

3 3

a
.a .a 

 

<i><b>Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60</b></i><b>0_{và diện tích đáy bằng 9}</b>_<b>_{. Tính thể tích của hình}</b>

<b>nón</b>

HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều
* Sđáy = R2  9 = R2  R2 = 9  R = 3

* SO =

3 2 3

3 3

2 2

AB R

 

* V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌
2

1

3 3 3 9 3
3. .  

<i><b>Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nó</b>

<b>c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600_{. Tính diện tích của thiết diện này}</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A



= B



= 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = . 2

a

.a =

2
2

a


Tính: OA = 2

a

( SOA tại O)


l

S

B
A

O

2a

S

B
A

O

45
a

S
60

S

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

* Stp = Sxq + Sđáy =

2
2
a


+

2
2

a


=

2
1 1

2

2 a

 

 

 

  

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌

2 3

1

3 2 2 6 2

a a a

. . 

 

Tính: SO = 2

a

( SOA tại O)

c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600_:SMO



= 600

* SSAC =

1

2_{SM.AC =}
1
2 _.

6
3
a

.

2 3
3
a

=

2 ₂
3
a

* Tính: SM =

6
3
a

( SMO tại O). * Tính: AC = 2AM =
2 3

3
a

* Tính: AM = OA2  OM2 =

3
3
a

* Tính: OM =

6
6
a

( SMO tại O)

<i><b>Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

<b>c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng </b>
<b>chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó</b>

HD: a) * Sxq = Rl = .OA.SA = .25.SA = 25 1025(cm2)

Tính: SA = 1025 ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 25 1025 + 625

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌

2 2
1

25 20
3. . _(cm3₎

c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH _SI _{OH = 12cm}

* SSAB =

1

2_{.AB.SI =}
1

2 _{.40.25 = 500(cm}2₎

* Tính: SI =

OS.OI
OH ₌

20
12

.OI

= 25(cm) ( SOI tại O)

* Tính: 2

1

OI ₌ 2
1

OH _- 2
1

OS  _{OI = 15(cm) (} SOI tại O)

* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)

* Tính: AI = OA2  OI2 20(cm) ( AOI tại I)

<i><b>Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vng cân có </b></i>

<b>cạnh huyền bằng </b>a 2

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

<b>c) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt </b>
<b>phẳng chứa đáy hình nón một góc 600_{. Tính diện tích tam giác SBC}</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A



= B



= 450

l

h
O
I

H

B
A

S

C

M B

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

* Sxq = Rl = .OA.SA = .

2
2
a

.a =

2 ₂
2
a


Tính: OA = 2

AB

=

2
2
a

; Tính: SA = a ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2 ₂
2
a


+

2

2

a


=

2
2 1

2
(  ) a

b) V =

2
1

3R h₌

2
1

3.OA .SO₌

2 3

1 2 2

3 2 2 12

a a a

. . 

 

Tính: SO =

2
2
a

( SOA tại O)

c) * Kẻ OM _BC SMO



= 600_{; * S}
SBC =

1

2SM.BC₌

1 2 2
2 3 3

a a

. .

=

2 ₂
3
a

* Tính: SM =

2
3
a

( SOM tại O) * Tính: BM = 3
a

( SMB tại M)

<i><b>Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ</b>

HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2

* OA =R; AA’_{= 2R}

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌.R . R2 2  2 R3

<i><b>Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.</b></i>

<i><b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b></i>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ</b>

<b>c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích </b>
<b>của thiết diện được tạo nên</b>

HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)

* OA = 5cm; AA’_{= 7cm}

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2)

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌_.52_{.7 = 175}__(cm3₎

c) * Gọi I là trung điểm của AB  _{OI = 3cm}

* SABB A  = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)

* AA’_{= 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8}

* Tính: AI = 4(cm) ( OAI tại I)

<i><b>Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r</b></i> 3

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho </b>

c) <b>Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường </b>
<b>thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300_{. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và}</b>

<b>trục của hình trụ</b>

HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r. r 3 = 2 3 r2

C

M
a 2

S

B

A O

A

B
O

O'
A'

B'

l h

h
r

l

B'
A'
O'

I

O B

A

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 3 + 2r2 = 2 ( 3 1 )r2

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌.r .r2 3 r3 3

c) * OO’_//AA’ _ BAA



_{= 30}0

* Kẻ O’_H__A’_B_ _O’_{H là khoảng cách giữa đường thẳng AB}

và trục OO’_{của hình trụ}

* Tính: O’_{H =}

3
2
r

(vì _BA’_O’_{đều cạnh r)}

* C/m: _BA’_O’_{đều cạnh r * Tính: A}’_{B = A}’_O’_{= BO}’_{= r}

* Tính: A’_{B = r (}_ _AA’_{B tại A}’₎

<i><b> Cách khác: * Tính O</b></i>’_{H =} O A 2  A H 2 ₌

2

2 3

4 2

r r
r  

( A’O’H tại H)

* Tính: A’_{H =} 2

A B

= 2

r

* Tính: A’_{B = r (}_ _AA’_{B tại A}’₎

<i><b>Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường trịn tâm O và O</b></i><b>’_{, bán kính R, chiều cao hình}</b>

<b>trụ là R</b> 2<b>.</b>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ</b>

HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R. R 2 = 2 2 R2

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 R2 + 2R2 = 2 ( 2 1 )R2

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌.R .R2 2 R3 2

<i><b>Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho </b>

<b>c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. </b>
<b>Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ</b>

<i>( Cách giải và hình vẽ như bài 14)</i>

ĐS: a) * Sxq = 2Rl = 5000(cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 + 5000 = 10000(cm2)

b) * V = R h2 _{= 125000}_(cm3₎

c) * O’_{H = 25(cm)}

<i>Bài 2: Mặt cầu (1 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), </b></i><b>_{ABC vng tại B và}</b>

<b>AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D</b>

<b> b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu</b>

HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;

* Chứng minh: _{DAC vuông tại A} _{OA = OC = OD =}
1
2_CD

(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

* Chứng minh: _{DBC vuông tại B} _{OB =}
1
2 _CD

r 3

H
B

O'
A'

R 2
R

A' O'

O
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

* OA = OB = OC = OD =

1

2_CD _{A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O;} 2
CD

)

b) * Bán kính R = 2

CD

=

1

2 AD2 AC2 ₌
1

2 AD2 AB BC2  2

=

1
2

2 2 2 5 2

25 9 16

2
a
a  a  a 

* S =

2

2
5 2

4 50

2

a _a

 

_ _  

  _{; * V =}
4

3 _R3₌

3

3
4 5 2 125 2

3 2 3

a a

  

_ _ 

 

<i><b>Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.</b></i>

<b>a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S</b>

<b>b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu</b>

HD: a) Gọi O là tâm hình vng (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS

b) R = OA =

2
2
a

; S = 2a2__{; V =}

3 ₂

3
a 

<i><b>Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng </b></i>

<b>góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S</b>

<b> b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu</b>

HD: a) * Gọi O là trung điểm SC

* Chứng minh: Các _SAC,_SCD,_SBC

lần lượt vuông tại A, D, B

* OA = OB = OC = OD = OS = 2

SC

 _S(O; 2
SC

)

b) * R = 2

SC

=

1

2 SA2 AB BC2  2 ₌
6
2
a

* S =

2

2
6

4 6

2

a _a

 

_ _  

  _{; * V =}

3
3

4 6

6

3 2

a _a

 

_ _ 

 

<i><b>Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và </b></i>

<b>ba cạnh SA, SB, SC đôi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo </b>
<b>nên bởi mặt cầu đó.</b>

HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ _{vng góc với mp(SAB) tại I}

* Dựng mp trung trực của SC cắt _{tại O} _{OC = OS (1)}

* I là tâm đường trịn ngoại tiếp _{SAB (vì}_{SAB vng tại S)}

 _{OA = OB = OS (2)}

* Từ (1) và (2)  _{OA = OB = OC = OS}

Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)

* R = OA =

2 2

2 2

2 2

SC AB

OI AI  _ _ _ _
    ₌

2 2 2

4
a b c

* S =

2

2 2 2

2 2 2

4

4

a b c _(a _b _{c )}

 _ _ 

_ _   

 

C

B
A

2a

a
S

O

D

C
B

A

c

b

a _I

O
S

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

* V =

3

2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 1

3 4 6

a b c _(a _b _{c ) a} _b _c

 _ _ 

_ _      

</div>

<!--links-->