Bài soạn DE THI + DAP AN HSG TOAN 8

Trờng THCS Đức Thắng
đề khảo sát học sinh giỏi lần 2
năm học 2010-2011
Môn Toán lớp 8
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (2đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x
2
-2x)(x
2
-2x-1) - 6
b, Cho x

Z chứng minh rằng x
200
+ x
100
+1

x
4
+ x
2
+ 1
Câu 2: (1.5đ)
Cho x,y,z

0 thoả mãn x+ y +Z = xyz và
x
1

+
y
1
+
z
1
=
3

Tính giá trị của biểu thức P =
222
111
zyx
++
Câu 3: (2đ) Tìm x biết
a,
23
+
x
< 5x -4
b,
57
43
+
x
+
54
46
+
x

=
48
52
51
49 +
+
+ xx
Câu 4: (2đ)
a, Chứng minh rằng A = n
3
+ (n+1)
3
+( n+2)
3


9 với mọi n

N
*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
yx
z
xz
y
zy
x
+
+

+
+
+
Câu 5: (2.5đ)
Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b .
Vẽ các đờng phân giác BD, CE
a, Chứng minh rằng DE // BC
b, Tính DE từ đó suy ra
baDE
111
+=
Câu 6:
Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn x
2
= y
2
+ 2y +13
-------------------------------------------Hết----------------------------------------------------
Họ tên Thí sinh: -------------------------------------------------------------
Trờng THCS Đức Thắng
Hớng dẫn chấm hsg toán 8
Câu1(2đ)
a,đặt a = x
2
-2x thì x
2
-2x -1 = a-1

A = (x+1)(x-3)(x
2

-2x+2)
b, A = x
200
+x
100
+ 1= (x
200
-x
2
) + (x
100
-x
2
)+ (x
4
+x
2
+1)
=x
2
(x
198
-1)+x
4
(x
96
-1) + (x
4
+x
2

+1) = x
2
((x
6
)
33
-1)+x
4
((x
6
)
16
-1) +
(x
4
+x
2
=1)= x
2
(x
6
-1).B(x) +x
4
(x
6
-1).C(x) +(x
4
+x
2
+1)

dễ thấy x
6
-1 =( x
3
-1)(x
3
+1)= (x+1)(x-1)(x
4
+x
2
+1)

x
4
+ x
2
+ 1

A

x
4
+ x
2
+ 1
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Cau 2 :

(1.5đ)
Có (
2
)
111
zyx
++
=
222
111
zyx
++
+ 2(
)
111
yzxzxy
++
(
2
)3
= p + 2
xyz
xyz
++
; 3 = p+2 ( vì x +y+z=xyz)
suy ra P = 1
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 3:

(2đ) a, giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đúng đợc x> 3
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung
(x+100)(
48
1
51
1
54
1
57
1
+
) = 0

S =
{ }
100

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 4:
(1.5đ)
a, = n
3
+(n
3
+3n

2
+3n+1)+(n
3
+6n
2
+12n+8)
=3n
3
+9n
2
+15n+9 = 3(n
3
+3n
2
+5n+3)
Đặt B= n
3
+3n
2
+3n+1 = n
3
+n
2
+ 2n
2
+2n + 3n+3
=n
2
(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2)

3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )
3(n+1)

3

B

3

A =3B =3.3K =9K

9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c

x+y+z =
2
cba
++

x =
2
cba
++
; y =
2
cba
+
; z=
2

cba
+
P =
c
cba
b
cba
a
cba
222
+
+
+
+
++
=
)111(
2
1
c
b
c
a
b
c
b
a
a
c
a

b
++++++
=
))()()(3(
2
1
b
c
c
b
c
a
a
c
b
a
a
b
++++++

2
3
Min P =
2
3
( Khi và chỉ
khi a=b=c

x=y=z
0.5đ

0.25đ
0.25đ
0.5đ
Câu 5:
(2đ)
a,
à
à
1 2
B B=


a
b
BC
BA
DC
AD
==
(1)
à
à
1 2
C C=



AE CA b
EB CB a
= =

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
AD AE
DC EB
=


DE//BC
b,

DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có
DE AD
BC AC
=
hay
x b x
a b

=
; ax +bx =ab ; x =
ab
a b+
= DE
Suy ra
1 1 1a b
DE ab a b
+
= = +

x
2
1
2
1
x
A
B
C
D
E
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
Câu 6: 1đ -HS biến đổi đợc
x
2
= y
2
+ 2y +13

x
2
= (y + 1)
2
+ 12

(x + y + 1)(x - y - 1) = 12
Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y

N
*
nên
(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai số
nguyên dơng chẵn.
Mà 12 = 2.6

Chỉ xảy ra một trờng hợp
(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2

x = 4 và y = 1
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Trên đây chỉ là gợi ý chấm .Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa