De thi+Dap an HSG Toan 9 Tinh Vinh Phuc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————
Câu 1. (2.5 điểm)
Giải hệ phương trình:

( )
( )
2 2
2 2
8 2
16 8 16 5 4
y x x
x y x xy y

= + +


− + = + −


Câu 2. (2.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương
n
thoả mãn với mỗi số nguyên lẻ
a
mà

2
a n≤
thì n chia hết cho a.
Câu 3. (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn
ABC
nội tiếp đường tròn (
O
).
, ,AD BE CF
là ba đường cao
( )
, ,D BC E CA F AB∈ ∈ ∈
. Đường thẳng
EF
cắt
BC
tại
,G
đường thẳng
AG
cắt lại đường tròn
( )O

tại điểm
M
.
1. Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,A M E F
cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi
N
là trung điểm cạnh
BC
và
H
là trực tâm tam giác
ABC
. Chứng minh rằng
GH AN
⊥
Câu 4. (1.5 điểm)
Chứng minh rằng:

( )
2
3
3
1 1 1 1
( )( )( )
2
a b c abc
a b b c c a a b b c c a
abc
+ + +
+ + + ≥
+ + + + + +
với mọi
, , 0a b c >
Câu 5. (1.0 điểm)

Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước
10 10×
(10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên
dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung
một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
—Hết—
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh:……………………………………………………Số báo danh:…………………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM: MÔN TOÁN
—————————
Câu 1. (2.5 điểm).
Nội dung trình bày Điểm
Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng
( )
( )
2 2
4 8 16 16 5 0y x y x x− + + + − =
Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn
,y x
là tham số. Có
( )
( )
2
2 2
' 2 4 16 16 5 9x x x x∆ = + − + − =
0.5
Từ đó, tìm được

4 , 5 4y x y x= − = +
0.25
- Nếu
4y x= −
, thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0, 2, 5x x x= = − = −
0.5
• Với
0x =
thì
4 4y x= − =
• Với
2x = −
thì
4 6y x= − =
• Với
5x = −
thì
4 9y x= − =
0.25
- Nếu
5 4y x= +
, thay vào phương trình thứ nhất, giải được
0, 2, 19x x x= = − =
0.5
• Với
0x =
thì
5 4 4y x= + =
• Với

2x = −
thì
5 4 6y x= + = −
• Với
19x =
thì
5 4 99y x= + =
0.25
Vậy, các nghiệm của hệ là
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; 0;4 , 2;6 , 2; 6 , 5;9 , 19;99x y = − − − −
0.25
Câu 2. (2.0 điểm)
Nội dung trình bày Điểm
Gọi
a
là số lẻ lớn nhất mà
2
.a n≤
Khi ấy
( )
2
2n a< +
0.25
Nếu
7a ≥
thì
4, 2,a a a− −
là các ước lẻ của
.n

Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng nhau đôi
một, nên
( ) ( )
2 4 |a a a n− −
. Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 2
2 4 2 7 4 4 0 7 4 1 0a a a n a a a a a a a− − ≤ < + ⇒ − + − < ⇒ − + − <
. Vô lý (do
7a ≥
).
0.5
Do đó
1a
=
hoặc
3a
=
hoặc
5a
=
0.25
- Nếu
1a
=
thì
{ }
2 2
1 3 1,2,3,4,5,6,7,8n n≤ < ⇒ ∈

0.25
- Nếu
3a
=
thì
{ }
2 2
3 5 9,12,15,18,21,24n n≤ < ⇒ ∈
(do
1,3|n
) 0.25
- Nếu
5a
=
thì
{ }
2 2
5 7 30,45n n≤ < ⇒ ∈
(do
1,3,5|n
) 0.25
Vậy tất cả các số nguyên dương
n
cần tìm là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45 0.25
Câu 3. (3.0 điểm)
Nội dung trình bày Điểm
1. Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,A M E F
cùng nằm trên một đường tròn. 1.5
Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD. Tứ giác ABCD nội tiếp

khi và chỉ khi:
. .PA PB PC PD=

- Áp dụng nhận xét trên cho tứ giác
AMBC
nội tiếp, ta được
GM GA GB GC
× = ×
( Nếu học sinh áp dụng luôn vẫn cho điểm tối đa)
0.5
- Áp dụng cho tứ giác
BFEC
nội tiếp, ta được
GB GC GF GE× = ×
0.5
- Suy ra
GF GE GM GA× = ×
0.25
- Do đó, tứ giác
AMFE
nội tiếp.
0.25
2. Gọi
N
là trung điểm cạnh
BC
và
H
là trực tâm tam giác
ABC

. Chứng minh rằng
1.5
Hướng dẫn chấm - trang 2/2
GH AN⊥
- Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra
M
nằm trên đường tròn đường kính
AH
,
do đó
HM MA⊥
.
0.25
- Tia
MH
cắt lại đường tròn
( )O
tại
K
, khi đó do
90AMK∠ =
o
nên
AK
là đường kính của
( )O
.
0.25
- Từ đó suy ra
,KC CA KB BA⊥ ⊥

. Suy ra
|| , ||KC BH KB CH
, do đó
BHCK
là hình bình hành.
Suy ra
KH
đi qua
N
0.5
- Khi đó
, ,M H N
thẳng hàng. 0.25
- Trong tam giác
GAN
có hai đường cao
,AD NM
cắt nhau tại
,H
nên
H
là trực tâm của tam
giác
GAN
. Suy ra
GH AN⊥
0.25
Câu 4. (1.5 điểm).
N
D

K
M
G
F
E
H
O
B C
A
Nội dung trình bày Điểm
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( )
2
3
3
1 1 1 1
( )( )( )
2
a b b c c a a b c abc
a b b c c a
abc
 
+ + + + + + ≥ + + +
 ÷
+ + +
 
0.25
Chứng minh
2 2 2
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2a b b c c a c a b a b c b c a abc+ + + = + + + + + +

0.5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz
( )
( )
2 2 2
3
2
3
2
3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 2
2
1 1 1 1
. . . 2 .
2
c a b a b c b c a abc
a b b c c a
abc
c a b a b c b c a abc
a b b c c a abc
c a b abc
 
+ + + + + + + + + ≥
 ÷
+ + +
 
 
≥ + + + + + +
 ÷

 ÷
+ + +
 
= + + +
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
6
( ) ( ) ( ) 2 .c a b a b c b c a abc abc a b c+ = + = + = ⇔ = =
0.5
0.25
Câu 5. (1.0 điểm)
Nội dung trình bày Điểm
- Trên mỗi hình vuông con, kích thước
2 2×
chỉ có không quá 1 số chia hết cho 2, cũng vậy, có
không quá 1 số chia hết cho 3
0.5
- Lát kín bảng bởi 25 hình vuông, kích thước
2 2×
, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất
25 số chia hết cho 3. Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia hết cho
3. Vì vậy, chúng phải là một trong các số 1,5,7.
- Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.
0.5
(Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa)
Hướng dẫn chấm - trang 3/2