 tªn chuyªn ®ò d¹y häc gi¶i bµi to¸n chia hõt lý thuyõt liªn quan ®õn chuyªn ®ò c¸c týnh chêt chia hõt 1 0 chia hõt b b 0 2 a chia hõt a a 0 3 nõu a chia hõt cho b b chia hõt cho c th× a

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

 Tên chuyên đề: <b>Dạy học giải bài tốn chia hết </b>
 Lí thuyết liên quan đến chuyên đề:

 C¸c tÝnh chÊt chia hÕt
1) 0 chia hÕt b  b  0
2) a chia hÕt a  a  0

3) NÕu a chia hÕt cho b; b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c

4) NÕu a chia hÕt cho m; b chia hÕt cho m th× a  b chia hÕt cho m

5) NÕu a chia hÕt cho m; b kh«ng chia hÕt cho m thì a b không chia hết cho m
6) NÕu a  b chia hÕt cho m; a chia hÕt cho m th× b chia hÕt cho m

7) Cho tÝch a1.a2 . . . an.

NÕu  ai chia hÕt cho ; i = 1; n th× a1.a2 . . . an chia hÕt cho m

8) NÕu a chia hÕt cho m th× an_{chia hÕt cho m (n N*)}

9) NÕu a chia hÕt cho m; b chia hÕt cho n th× ab chia hÕt cho mn
=> a chia hÕt cho b th× an_{chia hÕt cho b}n_.

10) NÕu a chia hÕt cho b; a chia hÕt cho c; (b; c) = 1 th× a chia hÕt cho bc
11) NÕu ab chia hÕt cho m; (b; m) = 1 th× a chia hÕt cho m

12) NÕu ab chia hÕt cho p, p là số nguyên tố thì a chia hÕt cho p
b chia hÕt cho p
13) Cho a, b  Z; n  N; n  1 th×:

(an_{- b}n_{) chia hÕt cho a - b nÕu a  b.}

(a2n + 1_{+ b}2n +1_{) chia hÕt cho (a + b) nÕu a  - b.}

 C¸c dÊu hiƯu chia hÕt

1) DÊu hiƯu chia hÕt cho 2: Mét sè chia hÕt cho 2 <=> ch÷ sè tËn cïng cđa nã lµ
chữ số chẵn.

2) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hc 9): mét sè chia hÕt cho 3 (hoặc 9) <=> tổng các chữ
số của nó chia hÕt cho 3 (hc 9).

* Chó ý: mét sè chia hết cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho
3 (hoặc 9) cũng d bÊy nhiªu.

3) DÊu hiƯu chia hÕt cho 5: Mét sè chia hÕt cho 5 <=> ch÷ sè tËn cïng của nó là 0 hoặc
5.

4) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hc 25): Mét sè chia hÕt cho 4 (hc 25) <=> số tạo bởi 2
chữ số tận cùng cđa nã chia hÕt cho 4 hc 25.

5) DÊu hiƯu chia hết cho 8 (hoặc 125) <=> số tạo bởi 3 ch÷ sè tËn cïng cđa nã chia hÕt
cho 8 hc 125.

6) DÊu hiƯu chia hÕt cho 11: Mét số chia hết cho 11 <=> hiệu giữa tổng các chữ số ở
hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho 11.

Các Phơng pháp giải bài toán chia hết:

<i>(I). §Ó chøng minh A(n): k cã thÓ sÐt mäi trêng hỵp vỊ sè dù khi chia n cho k.</i>

VD: Chøng minh:

a) TÝch cđa hai sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2
b) TÝch cđa ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3

c) Tỉng qu¸t: tÝch cđa n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n

Giải
a) A(n) = n (n+1)

+ Nếu n không chia hết cho 2 thì (n+1) chia hết cho 2 và ngợc lại. Trong mọi trờng hợp
+ A(n) luôn chứa 1 thõa sè chia hÕt cho 2. VËy A(n) chia hÕt cho 2 (đpcm).

b) A(n) = n(n+1)(n+2)

Xét mọi trờng hợp : n chia hÕt cho 3; n=3q+1; n = 3q+2
+ NÕu n chia hÕt cho 3, hiĨn nhiªn A(n) chia hÕt cho 3
+ NÕu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hÕt cho 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trong mäi trêng hỵp A(n) lu«n chøa mét thõa sè chia hÕt cho 3.
VËy A(n) chia hÕt cho 3 (®pcm)

c) Giả sử dãy số đó là: a; a+1; a+2; . . . ; a+(n-1)

Gi¶ sử trong dÃy số không tại số nào chia hết cho n => Khi chia n sè cña d·y cho n sÏ cã n-1
sè d lµ 1; 2; 3; . . .; n-1

Dãy có n số mà khi chia cho n lại chỉ có n-1 số d. Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho n có
cùng số d. Giả sử 2 số đó là: a+i; a+k (0  i < k)

=> (a+k) - (a+i) chia hÕt cho n <=> (k-i) chia hÕt cho n

mµ 0 < k-i < n => (k-i) kh«ng chia hÕt cho n (k-i) chia hÕt cho n là vô lí.
Vậy trong dÃy phải tồn tại một sè chia hÕt cho n

=> tÝch cđa c¶ d·y sè chia hết cho n (đpcm)

<i>(II) Để chứng minh A(n) chia hÕt cho k cã thĨ ph©n tÝch k ra thõa sè k = p . q</i>

+ NÕu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh
A(n) chia hết cho p và A(n) chia hết cho q

+ Nếu (p, q) khác 1 ta ph©n tÝch A(n)= B(n). C(n) råi chøng minh B(n) chia hÕt cho p; C(n)
chia hÕt cho q

VD1: chøng minh r»ng A(n) = n . ( n+1 ).(n+2) chia hÕt cho 6
Gi¶i

Ta cã : 6 = 2.3 ; (2;3) = 1

Theo vÝ dơ ë phÇn (I) ta cã A(n) chia hÕt cho 2; A(n) chia hÕt cho 3
VËy A(n) chia hÕt cho 6 (®pcm)

VD2: chøng minh rằng: tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Gi¶i: A(n) = 2n( 2n + 2 ) = 4n( n+1 )

8 = 2.4; ( 2; 4) 1

NhËn xÐt : 4 chia hÕt cho 4 => 4.n(n+1) chia hÕt cho 4.2

n(n+1) chia hÕt cho 2 =>A(n) chia hÕt cho 8 (®pcm)

<i>(III) Để chứng minh A(n) chia hết k có thể viết A(n) dới dạng tổng của nhiều hạng tử và</i>
<i>chứng minh các hạng tử này đều chia hết cho k</i>

<i>Để chứng minh A(n) khơng chia hết cho k ta có thể viết A(n) dới dạng tổng của nhiều </i>
<i>hạng tử trong đó có duy nhất một hạng tử không chia hết cho k </i>

VD: Chøng minh r»ng:

a) A(n) = n3_{- 13n chia hÕt cho 6}

b) B(n) = n2_{+ 4n + 5 không chia hết cho 8 (với mọi n lẻ)}

Giải
a) A(n) = (n3_{- n) - 12n = (n-1).n(n+1) - 12n}

(n-1).n(n+1) chia hÕt cho 6 (theo vÝ dơ phÇn I)
12n chia hÕt cho 6

VËy A(n) chia hÕt cho 6 (®pcm)
b) B(n) = n2_{+ 4n + 5}

víi n = 2k + 1 ta cã: B(n) = (2k + 1)2_{+ 4(2k +1) + 5}

B(n) = 4k(k +1) + 8(k + 1) + 2
NhËn xÐt: 4k(k +1) chia hÕt cho 8

8(k + 1) chia hÕt cho 8 => B(n) = 4k(k +1) + 8(k+1) + 2 chia hÕt cho 8
2 kh«ng chia hÕt cho 8

<i>(IV) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích A(n) thành nhân tử trong đó có</i>
<i>một nhân tử bằng k.</i>

A(n) = k . B(n).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

* (an_{- b}n_{) chia hÕt cho (a - b) víi (a   b; n ch½n)}

(an_{- b}n_{) chia hÕt cho (a - b)} _{víi (a  - b; n lỴ)}

VD: Chøng minh r»ng: 27_{+ 3}7_{+ 5}7_{chia hÕt cho 5}

Giải
Vì 7 là số lẻ nên (27 _{+ 3}7_{) chia hÕt cho (2 + 3)}

hay 27 _{+ 3}7_{chia hÕt cho 5}

=> 2

7_{+ 3}7_{+ 5}7_{chia hết cho 5 (đpcm)}

mà 57_{chia hÕt cho 5}

<i>(V) Dùng nguyên tắc Đirichlet: </i>

Nếu nhốt k chó thá vµo m chng ( k > m ) thì phải nhốt ít nhất 2 chú thỏ vào chung 1
chuång.

VD: Chøng minh r»ng : Trong m+1 sè nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại 2 số cã hiƯu chia
hÕt cho m .

Gi¶i

Khi chia 1 sè nguyên bất kì cho m thì số d là 1 trong m sè: 0; 1; 2; . . .; m - 1.

Theo nguyên lí Đirichlet khi chia m + 1 số nguyên cho m thì phải có ít nhất 2 sè cã cïng sè
d. HiƯu cđa 2 sè nµy chia hết cho m (đpcm).

<i>(VI) Dùng qui nạp toán học:</i>

VD: Chøng minh r»ng: 16n_{- 15n - 1 chia hÕt cho 225}

Giải
Đặt A(n) = 16n_{- 15n - 1.}

+ Vi n = 1 => A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 chia hết cho 225 (đúng)
+ Giả sử A(n) với n = k. Tức là:

16k_{- 15k - 1 chia hÕt cho 225}

Ta cần chứng minh A(n) đúng với n = k + 1
Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 là đúng.
Xét A(k +1) = 16k + 1_{- 15(k + 1) - 1}

= 16.16k_{- 15k - 15 -1}

= (16k_{- 15k -1) + (15.16}k_{- 15)}

= A(k) + 15(16k_{- 1).}

Do A(k) chia hÕt cho 225
16k _{- 1 chia hÕt cho 16 - 1 (= 15) => 15(16}k_{- 1) chia hÕt cho 225}

=> A(k + 1) chia hết cho 225
Một số bài tập áp dụng
* Sử dụng phơng pháp (I)

<b>Bài tập 1: Chứng minh rằng(CMR): Trong k số nguyên liên tiếp có một và chỉ mét sè chia </b>
hÕt cho k

<b>Bµi tËp 2: CMR: Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng có 1 sè chia hÕt cho m hc Ýt </b>
nhÊt 2 sè cã tỉng chia hÕt cho m.

* Sư dơng ph¬ng ph¸p (II)

<b>Bài tập 3: CMR: Tích của 1 số chính phơng với số tự nhiên đứng liền trớc nó là số chia hết </b>
cho 12.

<b>Bµi tËp 4: CMR: A(n) = (n - 1)(n + 1).n</b>2_(n2_{+ 1) chia hÕt cho 60  n  Z}

<b>Bµi tËp 5: CMR: </b>

a) n2_{+ 4n + 3 chia hÕt cho 8} _{( n lỴ)}

b) n3_{+ 4n}2_{- n - 3 chia hÕt cho 48} _{( n lẻ)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

*Sử dụng phơng pháp (III)
<b>Bài tập 7: Cho a, b N. CMR:</b>

a) NÕu a + 4b chia hÕt cho 13 th× 10a + b chia hết cho 13 và ngợc lại.

b) Nếu 3a + 2b chia hÕt cho 17 th× 10a + b chia hết cho 17 và ngợc lại.
<b>Bài tập 8: CMR:</b>

a) NÕu 3n_{+ 1 chia hÕt cho 10 th× 3}n + 4_{+ 1 chia hÕt cho 10}

b) NÕu (mn + pq) chia hÕt cho (m - p), th× (mq + np) chia hÕt cho (m - p)
( m, n, p, q  Z; m  p)

c) NÕu a - b chia hÕt cho 6 th×: a + 5b chia hÕt cho 6; a + 17b chia hÕt cho b;
a - 14b không chia hết cho 6.

<b>Bài tập 9: CMR:</b>

a) Nếu bx + 11y chia hết cho 31 thì k + 7y chia hết cho 31. Điều ngợc lại có đúng khơng ?
b) (5x + 2y) chia hết cho 17 <=> 9x + 7y chia hết cho 17.

*Sö dụng phơng pháp (IV)

<b>Bài tập 10: CMR: (1</b>3_{+ 3}3 _{+ 5}3_{+ 7}3_{) chia hÕt cho 2}3

<b>Bµi tËp 11: CMR: (3 + 3</b>3_{+ 3}5_{+ 3}7_{+ . . . + 3}2n – 1_{) chia hÕt cho 30 (n  Z}+₎

<b>Bµi tËp 12: CMR: (12</b>2n + 1_{+ 11}n +2_{) chia hÕt cho 133 (n  Z}+₎

<b>Bµi tËp 13: CMR: </b> S1 = (5 + 5 2 + 5 3 + . . . + 5100) chia hÕt cho 6

S2

= (2 + 2 2_{+ 2}3_{+ . . . + 2}100_{) chia hÕt cho 31}

S3

= (16 5_{+ 2}15_{) chia hÕt cho 33}

*Sư dơng phơng pháp (V)

<b>Bài tập 14: CMR:Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng cã 1 sè chia hÕt cho m hc cã Ýt </b>
nhÊt 2 sè cã tæng chia hÕt cho m

BT15: CMR: Trong 6 số tự nhiên bất kì tìm đợc 2 số có hiệu chia hết cho 5
BT16: CMR: Tồn tại một bội số của 1989 đợc viết bởi ton cỏc ch s 0 v 1

*Sử dụng phơng pháp (V)
<b>Bµi tËp 17: CMR  n  Z</b>
a) 4n_{- 15n - 1 chia hÕt cho 9}

b) 10n _{+ 18n - 28 chia hÕt cho 27}

<b>Bµi tËp 18: CMR  n  N</b>

</div>

<!--links-->