PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỐ CHÍNH PHƯƠNG</b>

<b>I. Số chính phương:</b>
<b>A. Một số kiến thức:</b>

Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác
Ví dụ:

4 = 22_{; 9 = 3}2

A = 4n2_{+ 4n + 1 = (2n + 1)}2_{= B}2

+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho

9, chia

hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24,…

+ Số  n

11...1

= a thì  n

99...9

= 9a  9a + 1 =  n

99...9

+ 1 = 10n

<b>B. Một số bài tốn:</b>
1. Bài 1:

Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Giải

Gọi A = n2_(n__N)

a) xét n = 3k (k N)  A = 9k2 neân chia heát cho 3

n = 3k  1 (k N)  A = 9k2  6k + 1, chia cho 3 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1
b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia hết cho 4

n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1
Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương
a) M = 19922_{+ 1993}2_{+ 1994}2

b) N = 19922_{+ 1993}2_{+ 1994}2_{+ 1995}2

c) P = 1 + 9100_{+ 94}100_{+ 1994}100

d) Q = 12_{+ 2}2_{+ ...+ 100}2

e) R = 13_{+ 2}3_{+ ... + 100}3

Giải

a) các số 19932_{, 1994}2_{chia cho 3 dư 1, còn 1992}2_{chia hết cho 3}_ _{M chia cho 3}

dư 2 do đó M khơng là số chính phương

b) N = 19922_{+ 1993}2_{+ 1994}2_{+ 1995}2_{gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết}

cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính
phương

c) P = 1 + 9100_{+ 94}100_{+ 1994}100_{chia 4 dư 2 nên không là số chính phương}

d) Q = 12_{+ 2}2_{+ ...+ 100}2

Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số
chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q
khơng là số chính phương

e) R = 13_{+ 2}3_{+ ... + 100}3

Goïi Ak = 1 + 2 +... + k =

k(k + 1)

2 _{, A}_{k – 1}_{= 1 + 2 +... + k =}

k(k - 1)
2

Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 khi đó:

13_{= A}
12

23_{= A}

22 – A12

...
n3_{= A}

n2 = An - 12

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

13_{+ 2}3_{+ ... +n}3_{= A}
n2 =





2 2

2

n(n + 1) 100(100 1)

50.101

2 2

   
 
   

    là số chính phương

<b>3. Bài 3:</b>

CMR: Với mọi n  N thì các số sau là số chính phương.

a) A = (10n ₊₁₀n-1 _{+...+.10 +1)(10}n+1 _{+ 5) + 1}

A = ( n

11...1_{  }

)(10 n+1 _{+ 5) + 1}

1

1

10 1

.(10 5) 1
10 1
<i>n</i>
<i>n</i>




  


Đặt a = 10n+1 thì A =

a - 1

9 _{(a + 5) + 1 =}

2

2 2

a + 4a - 5 + 9 a + 4a + 4 a + 2

9 9 3

 

 _ _

 

b) B = n

111...1_{  }

n - 1

555...5
  

6 ( có n số 1 và n-1 số 5)

B = n

111...1_{  }

n

555...5_{  }

+ 1 = n

111...1_{  }

. 10n₊555...5  _n _{+ 1 =}111...1  _n _{. 10}n_{+ 5} 111...1_n

 

 

    + 1

Đặt n

11...1_{  }

= a thì 10n_{= 9a + 1 nên}

B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2_{+ 6a + 1 = (3a + 1)}2₌

2
n - 1

33....34

c) C = 2n

11...1_{  }

.+ 44...4   <i>n</i> + 1

Đặt a = n

11...1_{  }

Thì C = n

11...1_{  }

n

11...1_{  }

+ 4. n

11...1_{  }

+ 1 = a. 10n_{+ a + 4 a + 1}

= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2_{+ 6a + 1 = (3a + 1)}2

d) D = n

99....9
  

8 n

00...0_{  }

1 . Đặt n

99....9_{  }

= a  10n = a + 1

D = n

99....9_{  }

. 10n + 2_{+ 8. 10}n + 1_{+ 1 = a . 100 . 10}n_{+ 80. 10}n_{+ 1}

= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a2_{+ 180a + 81 = (10a + 9)}2_{= (}99....9  _{n + 1} ₎2

e) E = n

11...1_{  }

n + 1

22...2
  

5 = n

11...1_{  }

n + 1

22...2
  

00 + 25 = n

11...1_{  }

.10n + 2_{+ 2.}11...1  _n _{00 + 25}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

f) F = 100

44...4_{  }

= 4. 100

11...1_{  }

là số chính phương thì 100

11...1_{  }

là số chính phương
Số 100

11...1_{  }

là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1
Thật vậy: (2n + 1)2_{= 4n}2_{+ 4n + 1 chia 4 dư 1}

100

11...1_{  }

có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3
vậy 100

11...1_{  }

không là số chính phương nên F = 100

44...4_{  }

không là số chính phương
<b>Bài 4:</b>

a) Cho các số A = 2m

11...11 _{    }

; B = m + 1

11...11 _{    }

; C = m

66...66 _{   }

CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .

Ta coù: A

2

10 1

9

<i>m</i>



; B =

1

10 1

9

<i>m</i> _

; C =

10 1
6.
9
<i>m</i>

Neân:
A + B + C + 8 =

2
10 1
9
<i>m</i>

+
1
10 1
9
<i>m</i>

+
10 1
6.
9

<i>m</i>


+ 8 =

2 1

10 1 10 1 6(10 1) 72

9

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

     

=

2

10 1 10.10 1 6.10 6 72

9

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

     

=





2 2

10 16.10 64 ₁₀ ₈

9 3

<i>m</i> <i>m</i> <i>_m</i>

  _ _ _

 

 

b) CMR: Với mọi x,y  Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính

phương.

A = (x2_{+ 5xy + 4y}2_{) (x}2_{+ 5xy + 6y}2_{) + y}4

= (x2_{+ 5xy + 4y}2_{) [(x}2_{+ 5xy + 4y}2_{) + 2y}2_{) + y}4

= (x2_{+ 5xy + 4y}2₎2_{+ 2(x}2_{+ 5xy + 4y}2_).y2_{+ y}4_{= [(x}2_{+ 5xy + 4y}2_{) + y}2₎2

= (x2_{+ 5xy + 5y}2₎2

<b>Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương</b>
a) n2_{– n + 2 b) n}5_{– n + 2}

Giaûi

a) Với n = 1 thì n2_{– n + 2 = 2 khơng là số chính phương}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Với n > 2 thì n2_{– n + 2 khơng là số chính phương Vì}

(n – 1)2_{= n}2_{– (2n – 1) < n}2_{– (n - 2) < n}2

b) Ta có n5_{– n chia hết cho 5 Vì}

n5_{– n = (n}2_{– 1).n.(n}2_{+ 1)}

Với n = 5k thì n chia hết cho 5

Với n = 5k  1 thì n2 – 1 chia hết cho 5

Với n = 5k  2 thì n2 + 1 chia hết cho 5

Nên n5_{– n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n}5_{– n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7}

nên

n5_{– n + 2 không là số chính phương}

Vậy : Khơng có giá trị nào của n thỗ mãn bài tốn
<b>Bài 6 :</b>

a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính
phương

b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số
chẵn

Giải

Mọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3

Với a = 4k + 1 thì a = 4k2_{+ 4k + 1 – 4k}2_{= (2k + 1)}2_{– (2k)}2

Với a = 4k + 3 thì a = (4k2_{+ 8k + 4) – (4k}2_{+ 4k + 1) = (2k + 2)}2_{– (2k + 1)}2

b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nên
A = (10k  3)2 =100k2  60k + 9 = 10.(10k2 6) + 9

Số chục của A là 10k2 __{6 là số chẵn (đpcm)}

<b>Bài 7: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Gọi n2_{= (10a + b)}2_{= 10.(10a}2_{+ 2ab) + b}2_{nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ}

số tận cùng của b2

Theo đề bài , chữ số hàng chục của n2_{là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b}2

phaûi leû

Xét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b2_{= 16, b}2_{= 36 có chữ số hàng chục là}

chữ số lẻ, chúng đều tận cùng bằng 6
Vậy : n2_{có chữ số hàng đơn vị là 6}

<b>Bài tập về nhà:</b>

Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương
a) A = 50

22...2
  

4 b) B = 11115556 c) C = n

99....9 _{  }

n

00....0
  

25
d) D = n

44...4

   

n - 1

88....8

9 e) M = 2n

11...1 _{  }

– n

22....2
  

f) N = 12_{+ 2}2_{+ ... + 56}2

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương
a) n3_{– n + 2}

b) n4_{– n + 2}

Bài 3: Chứng minh rằng

a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương

b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số
lẻ

</div>

<!--links-->