Tai lieu giang day chuong 2 Dai so va giai tich 11vip

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.97 MB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trần Đình Cư

1

BÀI 1.

HAI QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM

Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần
chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?

Giải

Có : 3 + 2 = 5 cách chọn.

Ví dụ 2. Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực
khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ?

Giải

Có : 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn.

Ví dụ 1. Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao
thông : đường bộ, đường sắt và đường hàng khơng. Hỏi có mấy cách chọn
phương tiện giao thơng để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay
về?

Giải

Có : 3 × 3 = 9 cách chọn.

Ví dụ 2. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ
tịch, 1 uỷ ban thư ký và khơng được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có
mấy cách ?

Vấn đề 1: Đếm số phần tử (cách chọn) dựa và quy tắc cộng :

* Quy tắc cộng : Nếu cơng việc 1 có m cách xảy ra, cơng việc 2 có n cách
xảy ra và hai cơng việc này khơng xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra cơng

việc này hay cơng việc kia là : m + n cách.

*Quy tắc cộng dạng tổng :Chúng ta mở rộng quy tắc cộng tổng quát có
nhiều hơn 2 công việc. Giả sử các việc T1, T2,..., Tm có thể làm tương ứng
bằng n1, n2, .., nm cách và giả sử khơng có hai việc nào có thể làm đồng
thời.Khi đó số cách làm một trong m việc đó là:

n1+ n2+..+ nm

Vấn Đề 2: Đếm số phần tử (cách chọn) dựa và quy taéc nhân :

* Quy tắc nhân : Nếu cơng việc 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra

cơng việc1 rồitiếp đến cơng việc 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra cơng
việc1 “rồi”cơng việc 2 là : m × n.

* Quy tắc nhân tổng quát: Chúng ta mở rộng quy tắc nhân tổng quát có nhiều
hơn 2 công việc. Giả sử các việc T1, T2,..., Tm . Nếu việc Ticó thể làm bằng ni

sau khi các việc T1, T2, ..., Ti-1 đã được làm, khi đó có :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Giải

Có 15 cách chọn chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ
tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký.

Vậy có : 15 14 × × 13 = 2730 cách chọn.

Ví dụ. Trong một lớp học, thầy giáo muốn biết trong ba mơn Tốn, Lý, Hóa
học sinh thích mơn nào theo thứ tự giảm dần. Số cách mà học sinh có thể ghi là

L
T

L T

L

H H

H
T

Sơ đồ cây

Bài tốn đếm có thể được giải bằng biểu đồ cây.

Một cây bao một gốc và các cành đi ra từ gốc, các cành phụ đi ra từ điểm
cuối cùng cành khác.

Để sử dụng cây trong bài toán đếm chúng ta dùng cành biểu diễn mỗi một

lựa chọn,các kết cục bằng các lá, đó là điểm cuối của cành khơng có cành
khác bắt đầu trên nó.

Người ta dùng sơ đồ cây để liệt kê các trường hợp xảy ra đối với các bài
tốncó ít hiện tượng liên tiếp và mỗi hiện tượng có ít trường hợp. Chú ý
ta chỉ dùng sơ đồ cây để kiểm tra kết quả.

Các dấu hiệu chia hết

– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.

– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276).

– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia
hết cho

4 (ví dụ : 1300, 2512, 708).

– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5.

– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số
chia hết

cho 8 (ví dụ : 15000, 2016, 13824).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trần Đình Cư

3

Ví dụ. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số

đôi một khác nhau không chia hết cho 9.
Giải

Gọi : n = abc là số cần lập.

m = a'b'c' là số gồm 3 chữ số khác nhau.

m′ = a b c1 1 1 là số gồm 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 9.
Ta có : tập các số n = tập các số m – tập các số m′ .

* Tìm m : có 5 cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có 5 cách chọn b′ (vì 'b a' ), có 4
cách chọn (vì 'c a' và 'c  b'). Vậy có :

5 × 5 × 4 = 100 số m.

* Tìm m′ : trong các chữ số đã cho, 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là {0,4,5} ,
{1, 3,5}, {2,3,4} .

•Với {0,4,5} : có 2 cách chọn a1, 2 cách chọn b1, 1 cách chọn c1, được
2 × 2 × 1 = 4 số m′ .

•Với {1, 3,5} : có 3! = 6 số m′ .
•Với {2,3,4} : có 3! = 6 số m′ .
Vậy có : 4 + 6 + 6 = 16 số m′ .
Suy ra có : 100 – 16 = 84 số n.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Trong một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn được:

a) Một bạn học sinh của lớp đó

b) Một đội song ca nam – nữ của lớp đó

Bài 2. Từ các số 3; 5; 7 có thể viết được bao nhiêu số khác nhau có các chữ số khác
nhau.

Bài 3. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể viết được:
a) Bao nhiêu số có hai chữ số

b) Bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chẵn?
Bài 4. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ các chữ số đó ta có thể thành lập được:

a) Bao nhiêu số có 5 chữ số

b) Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
bao nhiêu số chẵn?

c) Bao nhiêu số có 5 chữ số,trong đó các chữ số cách đề chữ số đứng ở giữa thì
giống nhau?

Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và:
a) Là số chẵn lớn hơn 5000?

Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy nếu số cách chọn thỏa tính chất p nào đó q
nhiều, ta có thể làm như sau :

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) Nằm trong khoảng (2000,4000)

Bài 6. Trong một nhóm học sinh gồm có 8 học sinh có học lực trung bình, 7 học sinh
có học lực khá và 5 học sinh có học lực loại giỏi. Có bao nhiêu cách để chọn được từ

nhóm đó:

a) Một học sinh có học lực thế nào cũng được
b) hai học sinh có học lực khác nhau

c) Ba học sinh có học lực khác nhau từng đơi một

Bài 7. Một cơng ty có 5 cổng ra vào .Hỏi một người khách đến cơng ty thì có thể chọn

được:

a) Bao nhiêu cách vào ra cổng đó?

b) Bao nhiêu cách vào cơng ty đó bàng hai cổng khác nhau ( cổng ra khác cổng
vào)

Bài 8. Số điện thoại của một huyện A gồm 6 chữ số và bắt đầu bởi hai số 85. Hỏi
huyện đó có tối đa bao nhiêu máy điện thoại?

Bài 9. Từ các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số

b) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau

c) Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000

d) Có bao nhiêu socos4 chữ số khác nhau,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Bài 10. Từ tập hợp các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

a) Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số mà không

được bắt đầu từ các chữ số 123?

b) Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 và 5 ln đúng cạnh
nhau?

c) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và không lớn hơn 4567?
Bài 11. Từ tập hợp các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

a) Có bao nhiêu số có5 chữ số?

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trần Đình Cư

5

BÀI 2.

HỐN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

Ví dụ : a) 5! = 1.2.3.4.5 = 120;
b) 9!

5! = 9.8.7.6 = 3024;
c) 3!4 = 4! = 1.2.3.4 = 24;
d)









2 !
3 !
n
n



 = (n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2).

Ví dụ 1. Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác
nhau ?

Giaûi

Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử.
Vậy có : P3 = 3! = 6 số.

(các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321)

Ví dụ 2. Trong một lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dị u cầu học sinh ghi
thứ tự 3 mơn Tốn, Lý, Hóa đang học theo mức độ u thích giảm dần. Hỏi có
bao nhiêu cách ghi khác nhau ?

Giải

Đây là hốn vị của 3 phần tử. Vậy có: P3 = 3! = 6 cách, khi đó có 6 cách ghi là:

Vấn đề 1:

Giai thừa

Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số
nguyên liên tiếp từ 1 đến n.

n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n.
Vì tiện lợi, người ta qui ước :
0! = 1.

Từ định nghĩa, ta có :

n(n – 1) … (n – r + 1) =





!
n

n r vaø (n – 1)!n = n!

Vấn đề 2 :

Hốn vị

Có n vật khác nhau, sắp vào n chỗ khác nhau. Mỗi cách sắp được gọi là 1
hoán

vị của n phần tử.

Theo qui tắc nhân, chỗ thứ nhất có n cách sắp (do có n vật), chỗ thứ nhì có
n– 1 cách sắp (do cịn n – 1 vật), chỗ thứ ba có n – 2 cách sắp (do cịn n – 2
vật),…, chỗ thứ n có 1 cách sắp (do còn 1 vật).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

(T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T).

Ví dụ 3. Có 2 sách tốn khác nhau, 3 sách lý khác nhau và 4 sách hóa khác
nhau. Cần sắp xếp các sách thành một hàng sao cho các sách cùng mơn đứng
kế nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp ?

Giải

Trước tiên, ta sắp theo mơn thì có P3 = 3! = 6 cách.

Tiếp đến, các sách từng mơn đổi chỗ cho nhau, tốn có P2 = 2! = 2 cách, lý có
P3 = 3! = 6 cách, hóa có P4 = 4! = 24 cách. Vậy, theo qui tắc nhân, có :

6 × 2 × 6 × 24 = 1728 cách.

Ví dụ 1. Một nhà hàng có 5 món ăn chủ lực, cần chọn 2 món ăn chủ lực khác
nhau cho mỗi ngày, một món buổi trưa và một món buổi chiều. Hỏi có mấy
cách chọn ?

Giải
Đây là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử, có :





5!
5 2 !
A 

 = 4.5 = 20 cách chọn.

(Giả sử 5 món ăn được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; ta có các cách chọn sau đây :
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)).

Ví dụ 2. Trong một trường đại học, ngồi các mơn học bắt buộc, có 3 mơn tự
chọn, sinh viên phải chọn ra 2 mơn trong 3 mơn đó, 1 mơn chính và 1 mơn phụ.

Vấn đề 3:

Chỉnh Hợp

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1 ≤ k ≤ n), sắp vào k chỗ
khác nhau. Mỗi cách chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phầntử.

Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn
(do còn n – 1 vật), chỗ thứ 3 có n – 2 cách chọn (do cịn n – 2 vật), …, chỗ
thứ k có n – (k – 1) cách chọn (do còn n – (k – 1) vật). Vậy, theo qui tắc
nhân, số cách chọn là :

n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – k + 1) =





!
n
n k
Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k

n

A , ta coù :





k
n

n
A

n k


</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trần Đình Cư

7





2
3

3!
3 2 !
A 

 = 6 cách chọn.

(Giả sử 3 mơn tự chọn là a, b, c thì 6 cách chọn theo yêu cầu là (a, b), (a, c), (b,
a), (b, c), (c, a), (c, b)).

Ví dụ 3. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác
nhau ?

Giải
Đây là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy có :





5!
5 2 !
A 

 =.5 = 20 số

(Các số đó là : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51,
52, 53, 54) .

Ví dụ 1. Có 5 học sinh, cần chọn ra 2 học sinh để đi trực lớp, hỏi có mấy cách
chọn ?

Giải
Đây là tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy có :

2
5

5! 5.4 10
2!3! 2

C    cách chọn

(Giả sử 5 học sinh là {a, b, c, d, e} thì 10 cách chọn là : {a, b} , {a, c} , {a, d} ,
{a, e} , {b, c} , {b, d} , {b, e} , {c, d} , {c, e} , {d, e} .

Ví dụ 2. Một nơng dân có 6 con bị, 4 con heo. Một nông dân khác đến hỏi mua
4 con bị và 2 con heo. Hỏi có mấy cách chọn mua ?

Giải

Chọn mua 4 con bị trong 6 con bò là tổ hợp chập 4 của 6 phần tử, có : 6
4
C cách

chọn.

Vấn đề 4:

Tổ Hợp

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0 ≤ k ≤ n) không để ý đến thứ tự
chọn. Mỗi cách chọn như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Ta thấy mỗi tổ hợp chập k của n phần tử tạo ra được Pk = k! chỉnh hợp chập k
của n phần tử.

Do đó, nếu kí hiệu là số tổ hợp chập k của n phần tư k
n

C ta coù :





! ! !
k
k n
n
A n
C

k k n k

 


Tính chất :

1 1

0 1 ... 2

k n k
n n

k k k

n n n

n n

n n n

C C

C C C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chọn mua 2 con heo trong 4 con heo là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử, có : 2
4
C cách
chọn.

Vậy, theo qui tắc nhân, số cách chọn mua bò và heo là :
6

4
C 2

C = 6 × 5 × 3 = 90 cách chọn.

Ví dụ 3. Trong một kì thi, mỗi sinh viên phải trả lời 3 trong 5 câu hỏi.
a) Có mấy cách chọn.

b) Có mấy cách chọn nếu trong 5 câu hỏi có 1 câu hỏi bắt buộc.
Giải

a) Chọn 3 trong 5 câu hỏi là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.
Vậy có 3

5! 5.4 10
3!2! 2

C    cách chọn.

b) Chọn 2 trong 4 câu hỏi còn lại là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử
Vậy có : 2

4! 4.3 6
2!2! 2

C    cách chọn.
Chú ý :

– Có thể xem một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử của
tập n phần tử đã cho.

– Cần phân biệt trong mỗi bài toán chọn k vật từ n vật, có hay khơng hàm ý thứ
tự . Nếu có thứ tự, đó là chỉnh hợp, nếu khơng có thứ tự, đó là tổ hợp.

BÀI TẬP TỔNG HỢP:

Bài 1. Có 5 bạn học sinh được xếp thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cchs sắp xếp

như vậy?

Bài 2. Có 5 quyển sách tham khảo mơn tốn, 4 quyển sách tham khảo mơn Lý và 6
quyển sách tham khảo mơn Hóa. Xếp những quyển sách đó vào một ngăn trên giá sách
theo từng mơn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?

Bài 3. Trong một dám cưới, cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành 1 hàng để
chụp ảnh với mình. Có bao nhiêu cách sắp xếp.

a) Co dâu đứng cạnh chú rể

b) Co dâu không đứng cạnh chú rể
c) Cô dâu đứng bên trái chú rể
Bài 4. Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) Có thể có được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ tập các chữ số trên? Có

bao nhiêu số chẵn?

b) Tính tổng tất cả các số tạo thành ỏ câu a
Bài 5. Cho các số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

a) Có thể có được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số
chẵn? Bao nhiêu số chia hết cho 5?

b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
5.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trần Đình Cư

9

c) Chia hết cho 3

Bài 7. Có một hộp trong đó đựng 7 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu màu xanh. Lấy từ
trong hộp ra 3 quả cầu.

a) Có bao nhiêu cách lấy như vậy

b) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có 2 quả cầu đỏ

c) Có bao nhiêu cách lấy để trong dó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ
d) Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ?

Bài 8. Một lớp có 20 học sinh nữ trong đó có bạn Mai và 16 học sinh nam trong đó có
bạn Thắng.

1. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh của lớp?
a) Có bao nhiêu cách chọn như vậy

b) Có bao nhiêu cách để chọn được 3 học sinh cùng phái
c) Có bai nhiêu cách đêt có được 3 học sinh khác phái ?
2. Chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ có 9 học sinh

a) Có bao nhiêu cách chia như vậy?

b) Có bai nhiêu cách chia đẻ số học sinh nam và nữ ở các tổ đề nhau .
3. Chọn một ban cán sự lớp gồm 5 em học sinh, ít nhất có 2 nam và 2 nữ.

a) Có bao nhiêu cách chọn như vậy

b) Có bao nhiêu cách chọn nếu Thắng và Mai khơng chịu làm chung?
c) Có bao nhiêu cách chọn nếu Thắng và Mai không chịu rời nhau?

Bài 9. Trong một chương trình văn nghệ cần chọn 7 bài hát trong 10 baì hát và 3 tiết
mục múa trong 5 tiết mục rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau
nếu các bài hát xếp kề nhau và tiết mục múa được xếp kề nhau?

Bài 10. Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn 3 người : 1 bí thư, 1 phó bí

thư, 1 ủy viên trong một chi đồn có 20 đồn viên.

Bài 11. Từc các số 0,1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong đó khơng có
một chữ số nào lặp lại.

Bài 12.Một tập thể nhà khoa học có: 2 nhà tốn học và 10 nhà kinh tế học. Lập một

đồn 8 người đi cơng tác trong đó có ít nhất một nhà tốn học.

Bài 13. Một đội cơng nhân 15 người bao gồm 9 nam, 6 nữ.

a) Có bao nhiêu cách thành lập một tổ công tác 4 nam,2 nữ từ độ cơng tác trên.
b) Trong đó có vợ chồng anh Thu và chị Chi có con nhỏ nên khơng cùng đi được.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 1. Giải phương trình :









! 1 ! 1

,
1 ! 6
x x
x
x
 
  
 
Giaûi









! 1 ! 1

,
1 ! 6
x x
x
x

 
  
 

6[ x! – (x – 1)!] = (x + 1)!

 6[x(x – 1)! – (x – 1)!] = (x + 1)!
 6(x – 1)!(x – 1) = (x + 1)x(x – 1)!
 6(x – 1) = x(x + 1)

 x2 5x 6 0
2
3
x
x


  

Ví dụ 2. Giải bất phương trình : 4

2 1

15 (*)

.n

n n n

P

P P   P
Giải:
Điều kiện : n1,n

Ta có:

Vấn đề 5:

Giải phương trình và bất phương trình – hệ phương

trình liên quan đến

P A Cn, nk, nk

* Phương pháp:

 Áp dụng cơng thức tính P A Cn, nk, nk

 Thay các biểu thức dó vào phương trình, bất phương trình hay hệ

phương trình đã cho rồi thực hiện biến đổi và rút gọn các biểu thức để
đưa về các dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đã

học

Chú ý: Điều kiện trong các cơng thức









! , ;0

! !
n
k
n
k
n
P n
n

A k n k n

n k
n

C k n k n

k n k

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Trần Đình Cư

11







 











 













1 ! 15

(*)

! 2 ! 1 !

4 3 2 ! 15

1 ! 2 ! 1 !

4 3

15
7 12 15

8 12 0 2 6

n

n n n

n n n

n n n n

n n

n

n n n



 

 

  

 

  

 

 

   

      

Kết hợp điều kiện ta được n=3,4,5.
Ví dụ 3:

Giải:

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 15. Giải phương trình:











 
     
    

    
   

3 1 2

14 14

1 2 3 2 3 2

2 2 1

2 1 1 2 3

3 2 2 2

) 5 ; )

) 6 6 9 14 ; ) 14

10 2

)P 72 6 2 ; ) 4

1
7

) 3 ; )

) 14 ; ) 3 4

x x

x

x x x x x

n

x x x x

n

n n x x x

y

y y x x

a C C b C C

c C C C x x d A C x

P

e A A P e

P n

f A A g C C C x

h A A y i C P x A

Bài 16. Giải bất phương trình:









 
 


  
 
 
   
    
   
 

2

3 1 1

1 1 2

2 2 2 2 3

1 2

4 3 2

1 1 2

2 1

1 4

10 10

) 14 1 )

1 6

) 2 3 30 ) 10

15 5

) ) 2 0

4
143

) 2 )

2 ! 4

x x

x

x x x x x

x

n n n

x x

y y x

x

C

a A C x b x

C

c C A d A A C

x
A

e f C C A

P P

A

g C C h

x P

Bài 17. Giải hệ phương trình:

 
 














































3 2
5 5
3 2
5 5
1
1

2

5

90 :

1: 7

)

5

2

80 :

4 : 7

.

126

3

50 )

2

40

720

y y y y

x x x x

y y y y

x x x x

y y x

y y

x x y

x x

y y

x x x

A

C

A

a

b

A

C

A P

C

A

C

c

d

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Trần Đình Cư

13

BÀI 3. NHỊ THỨC NIUTON

Ví dụ 1:

Giải:

Ví dụ 2:

Giải:

Ví dụ 3:

Giải:

Vấn đề 1: Xác định số hạng tổng quát của nhị thúc Niuton

* Phương pháp:

Áp dụng kết quả số hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển



a b



n

1 k n k k

k n

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1. Cho khai triển



1 2x





a) Tìm tổng 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển
b) Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển trên.

(Thứ tự các số hạng tính từ trái sang phải)
Bài 2. Cho khai triển















3 x

a) Tìm hệ số của số hạng

x

4 trong khai triển

b) Tìm số hạng trong khai triển khơng chứa x ( độ lập với x)
Bài 3. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trongkhai triển 1

3
n

x

  

 

  bằng 5.

Tìm số hạng ở giữa khai triển
Bài 4. Cho khai triển















3
2

1

n

x

a) Xác định số hạng 1; 2; 3 trong khai triển

b) Biết tổng của ba hệ số của ba số hạng nói trên là 11. TÌm hệ số của số hạng
chứa

x

Bài 5. Tìm số hạng của khai triển





3  2 là một số nguyên
Bài 6. Cho khai triển

13
3
1
a
a
  
 
 

a) Tìm số hạng thứ 4, thứ 5 của khai triển

b) Tìm số hạng của khai triển chứa a với số mũ tự nhiên
Bài 7. Tìm số hạng

x

8 trong khai triển 13 x5

x

  

 

  biết rằng





4 3

7

3

n n

C



C

n











Bài 8. Tính

A

n2 nếu biết số hạng thứ 6 của khai triển 3 1
n

x
x

  

 

  không phụ thuộc

vào x.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Trần Đình Cư

15

Bài 10. Tìm số nguyên dương x nếu biết trong khai triển 3

1

2

3 













tỉ số của số
hạng thứ 17 kể từ số hạng đầu và số hạng thứ 7 kể từ số hạng cuối là 1

Ví dụ 1:

Giải:

Vấn đề 2: Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thúc

dụa vào nhị thức Newton

 Chú ý: Trong khai triển nhị thức Newton

1. Số các số hạng của sự khai triển



a b



n lớn hơn số mũ n một đơn vị



n1



2. Tổng của số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng n:



n k



 k n

3. Số hạng tổng quát kí hiệu Tk1C ank n k k b

4. Các hệ số cuả nhị thức Newton cách đều hai đầu của sự khai triển
bằng nhau,điều này suy ra tù quy tắc đối xứng: Cnk Cnn k nên

0 n 1; n 1 1

n n n n

C C  C  C n

5. Cnk bắt đầu từ số hạng thứ hai thì Cnk Cnk 1n k





k

 



6. Nếu n=2p thì số hạng bằng 2p+1 và thì các hệ số của p+1 số hạng đầu
: C20pC21p C22p ... C2pp

Nên từ công thức và quy tác đối xứng ta suy ra C2pp C2pp1 ... C22pp
Nếu n = 2p+1 thì các số hạng p+1 số hạng đầu

0 1 1 1

2p 1 2p 1 ... 2pp 1 2pp 1 2pp 1
C  C   C  C  C 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ 2:

Giải:

Ví dụ 3:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Trần Đình Cư

17

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 11. Tính giá trị biểu thức:

0 1 2 2007

2007 2007 2007 2007

0 1 2 2007

2007 2007 2007 2007

0 1 2 2 2007 2007

2007 2007 2007 2007

0 2 1 3 2 2008 2007

2007 2007 2007 2007

)

...

)

...

)

2 ... 2

)

3 ... 3

a A C

C

b B C

C

c C C

C

d C

C





 







 





 





 

Bài 12. Tính giá trị của biểu thức :

S C



116



C

117



C

118



C

119



C

1110
Bài 13. Với n là số nguyên dương chứng minh hệ thức

 





1 1 0

1 3 2 1 0 2 2

2 2 2 2 2 2

0 1 1 2 2 0 1

2
0 3 2 4 4 2006 2006 2006 2007

2007 2007 2007 2007

)2 ...

) ... ...

)4 4 4 ... 1 2 ... 2

) 3 3 ... 3 2 2 1

n n n

n n n n

n n

n n n n n n

n n n n n n n

a C C C C

b C C C C C C

c C C C C C C C

d C C C C



 
    
      
        
     

Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n chẵn ta ln có:

















1 1 1 ... 1 2

1! 1 ! 3! 3 ! 5! 5 ! 3! 1 1! !

n

n n n n n



     

   

Bài 15. Chứng minh rằng với  b 1 và mọi số tự nhiên n1 ta có:





1

n

b

 

n b



( Bất đẳng thức Becnuli)

Bài 16. Chứng minh rằng b: 0 b 1 và  n 1 ta có bất đẳng thức



1 

n

b

n

b





Bài 17. Chứng minh rằng với mọi n: 1 1 3
n

n

   

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

BÀI 4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Bài 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Mô tả khơng gian mẫu của phép
thử đó.

Bài 2. Trong hai con xúc xắc cân đối và đồng chất như nhau. Tìm khơng gian mẫu của
phép thử đó.

Bài 3. Trong một hộp có chứa ba vien bi đỏ,2 viên bi xanh.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra
hai bi. Mô tả không gian mẫu của phép thử đó. Khơng gian đơcs bao nhiêu phần tử.

Bài 4. Gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất 3 lần và quan sát sự xuất hiện của mạt
sấp (S) và mặt ngửa (N) của đồng xu ấy. Xây dựng không gian mẫu.

Vấn đề 1:

Tìm khơng gian mẫu của một phép thử:

* Phương pháp:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Trần Đình Cư

19

BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Bài 1. Sắp xếp ngẫu nhiên ba bạn nam – trong đó có bạn Nguyên và 2 bạn nữ - trong

đó có bạn Mai ngồi vào một ghế có 5 chỗ. Tìm xác xuất để :

a) Xếp được các học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Xếp được các học sinh nam ngồi vào một phía và học sinh nữ ngồi vào một
phía

c) Xếp các học sinh sao cho Nguyên và Mai luôn được ngồi cạnh nhau.

Bài 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất như nhau và quan sát số chấm xuất
hiện trên mặt hai con xúc xắc dó. Tìm xác suất để

a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 8
b) Số chấm xuất hiện trên hai mặt con xúc xắc bằng nhau
c) Tích số chấm xuất hiện trên hai con xuc xắc là chẵn, lẻ

Bài 3. Gieo ba đồng xu cân đối và đồng chất nhuw nhau. Tìm xác suất của các biến cố
sau:

a) Có dúng hai mạt sấp xuất hiện.
b) Có ít nhất một mặt sấp xuất hiện
c) Có nhiều nhất 1 mặt sấp xuất hiện

Bài 4. Một hộp có đựng 9 chiếc thẻ có đánh số 1, 2, 3, ..., 9 trên đó.

1. Rút ngẫu nhiên ba thẻ và thu được một số có 3 chữ số. Tìm xác suất:
a) Để thu được một số chẵn

b) Để thu được một số chia hết cho 5.

2. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tìm xác suất:
a) Để tích nhận được là một số lẻ.

b) Để tích nhận được là một số chẵn.

Bài 5. Có 5 nam và 5 nữ xếp ngẫu nhiên vào quanh một bàn trịn.Tìm xác suất để nam
và nữ luôn được ngồi xen kẻ nhau.

Bài 6. Trong một nhóm gồm 20 học sinh, trong đó 10 học sinh thích mơn tốn,12 học
sinh thích mơn lý và 7 học sinh cả hai mơn Tốn, Lý. Gọi ngẫu nhiên một học

sinh.Tìm xác suất để:

Vấn đề 1:

Tìm xác suất của biến cố

* Phương pháp:

 Cách 1: Áp dụng định nghĩa.

 Tìm số các khả năng có thể của một phép thử: n ( số phàn tử của

khơng gian mẫu)

 Tìm số khả năng thuận lợi cho biến cố A: m
 Khi đó,áp dụng kết quả : ( )P A m

n

 Cách 2: Áp dụng tính chất

( ) ( ) ( )

P A B P A P B

Chú ý: A và B là hai biến cố xung khắc ( tức là hai biến cố không xảy ra

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

a) Học sinh dó thích ít nhất một trong hai mơn Tốn hoặc Lý.
b) Học sinh đó khơng thích mơn nào trong hai mơn đó.

Bài 7. Một hộp có dựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh hồn tồn giống nhau về hình
thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra ba viên bi.Tìm xác suất của các biến cố sau:

a) Lấy được một viên bi màu đỏ

b) Lấy được ít nhất một vien bi màu đỏ
c) Lấy được ít nhất mỗi màu một viên bi
d) Lấy được các viên bi cùng màu.

Bài 8. Trong một lớp có 20 học sinh nữ, trong đó coa bạn Mai và 16 học sinh nam

trong đó có bạn Thắng.

1. Chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ 9 học sinh. Tìm xác suất để học sinh nam và học
sinh nữ các tổ là đều nhau.

2. Chọn một ban cán sự lớp gồm 5 học sinh để có ít nhất 2 nam và 2 nữ.

a) Tìm xác suất của biến cố chọn được từ ban cán sự lớp mà Mai và Thắng ln

được làm việc chung trong ban cán sự

b) Tìm xác suất của biến cố chọn được ban cán sự mà Mai với Thắng không làm
việc chung.

Bài 9. Một đội văn nghệ của trường gồm có 10 học sinh trong đó lớp 11A có 4 em,lớp
11B có 3 em, lớp 11 C có 3 em.Gặp ngẫu nhiên 3 học sinh trong nhóm đó.Tìm Xác
suất để:

a) Ba học sinh ở ba lớp khác nhau
b) Trong đó có 2 học sinh của lớp 11A
c) Có ba em đề là học sinh của lớp 11A

Bài 10. Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số từ 0 đến 9. Tìm xác suất để số trên
vé khơng có chữ số 1 hoặc khơng có chữ số 5.

Bài 1. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác xuất của biến cô
tổng số chấm trong 2 lần gieo không bé hơn 10 nếu:

a) Lần gieo thứ nhất xuất hiện 5 lần
b) Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần

Bài 2. Mỗi cỗ bài tú lu khơ gồm 52 con.Rút liên tiếp khơng hồn trả lại hai con bài.
Tìm xác suất để lần thứ 2 rút được con Át với điều kiện lần thứ nhất cũng rút được con
Át.

Vấn đề 2:

Tính xác suất có điều kiện

* Phương pháp: Áp dụng cơng thức xác suất có điều kiện .

( )

( / )

( )
P A B
P A B

P B


 nếu P B( ) 0

( )

( / )

( )
P A B
P B A

P A


</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Trần Đình Cư

21

Bài 1. Một hộp đựng 4 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản
phẩm một, không bỏ trở lại để kiểm tra cho tới khi lấy ra hai phế phẩm thì thơi. Tính
xác xuất của biến cố việc kiểm tra chỉ dừng lại ở sản phẩm thứ 2.

Bài 2. Lấy một hộp gồm 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ

1. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp khơng hồn lại hai bi từ hộp.Tìm xác suất để 2 bi lấy

được đều đỏ.

2. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi,nếu là xanh thì bỏ nó lại và thêm 3 bi xanh nữa,
nếu là bi đỏ thì bỏ nó vào lại và thêm một bi đỏ nữa.Sau đó, lần thứ 2 lấy ngẫu
nhiên ra một viên bi.

a) Tìm xác suất để hai viên bi lấy được đều màu xanh
b) Tìm xác suất để 2 viên bi lấy được khác màu.

Bài 3. Hộp 1 có đựng 7 viên bi trong đó có 3 bi đỏ và 4 bi xanh. Hộp 2 có đựng 7 viên

bi trong đó có 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tìm xác

suất của các biến cố sau:

a) Hai bi lấy ra màu đều đỏ
b) Hai bi lấy ra cùng màu.

Bài 4. Hai người độc lập cùng bắng mỗi người 1 viên đạn vào cùng một mục tiêu. Xác
suất bắng trúng bia của người thứ nhất,thứ hai lần lượt là: 0,3; 0,5. Tính xác suất của
biến cố sau:

a) Cả hai đều bắng trúng
b) Có một người bắn trúng

c) Có ít nhất một người bắn trúng.

Bài 5. Có hai hộp đựng bi hồn tồn giống nhau về hình thức:

 Hộp 1 có 7 viên bi trắng và ba viên bi đen.

 Hộp 2 có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen

Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Tìm xác suất để viên

bi đó là viên bi trắng.

Bài 6. Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 10 chiếc hình thức giống nhau nhưng

trong đó chỉ có 3 chìa khóa là một mở được kho. Tìm xác suất để:

a) Anh ta mở được kho ở lần thứ 3

b) Anh ta mở được kho mà không quá 3 lần mở.

Bài 7. Một nồi hơi có 3 van bảo hiểm hoạt động độc lập với xác suất hỏng của van 1,
van 2,van 3 trong khoảng thời gian t tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3. Nồi hơi hoạt động an
tồn nếu như có ít nhất một van khơng hỏng. Tìm xác suất để nồi hơi hoạt động an

toàn trong khoảng thời gian t.

Vấn đề 3.

Tính xác suất của tích các biến cố.

* Phương pháp: Áp dụng các công thức xác suất

 Nếu A, B khơng độc lập thì :





( ). ( / ) ( ). ( / )
P A B P A P B A P B P B A
 Nếu A, B độc lập thì :

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

ƠN TẬP CHƯƠNG II

A. BÀI TẬP TỰ LUẬN:

Bài 1. Có 7 học sinh trong đó có 4 em nam và 3 em nữ
1) Sắp xếp các em học sinh thành một hàng ngang

a. Có bao nhiêu cách xếp như vậy?

b. Tìm xác suất để xếp các học sinh nam, nữ xưn kẽ nhau.

c. Tìm xác suất để xếp được các học sinh nam đứng về một phía và các học
sinh nữ xếp về một phía.

2) Sắp xếp các học sinh xung quanh một bàn trịn
a. Có bao nhiêu cách xếp như vậy

b. Có bao nhiêu cách sắp xếp để khơng có học sinh nữ nào được đứng cạnh
nhau.

Bài 2. Trên một tấm thẻ, mỗi thẻ được ghi một chữ số : 0;1 ; 2; 3; 4; 5. Sắp xếp ngẫu
nhiên 6 tấm thẻ đó thành một hàng ngang. Tìm xác suất để số xếp được là:

1) Số có 6 chữ số
2) Số có 6 chữ số lẻ

3) Số có 6 chữ số chia hết cho 3
4) Số có 6 chữ số lẻ chia hết cho 5

5) Số có 6 chữ số trong đó chữ số 1,5 luôn đứng cạnh nhau.

Bài 3. Cho tập X={0;1;2;3;4;5;6;7}. Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp X 5 chữ số khác nhau

để lập thành một số có 5 chữ số.

1) Hỏi có bao nhiêu số như vậy?

2) Tìm xác suất của các biến cố số tìm được

a. Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau và có chữ số 2 đứng đầu.

b. Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong 5 chữ số đó có 3 chữ số
chẵn và 2 chữ số lẻ.

Bài 4. Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn 5 người trong lớp để
tham gia hoạt động tình nguyện trong hè.

1) Có bao nhiêu cách chọn như vậy?
2) Tìm xác suất của các biến cố sau:

a. Chọn được tồn học sinh nam

b. Chọn được ít nhất 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ
c. Chọn được ít nhất 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ

Bài 5. Một hộp có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ngẫu
nhiên từ hộp ra 4 viên bi. Tìm xác suất của các biến cố sau:

1) Chỉ chọn được cá viên bi cùng màu
2) Chọn được các viên bi không đủ 3 màu
Bài 6. Cho nhị thức



1 x



100

1) Tìm số hạng thứ 9? Số hạng chính giữa của khai triển đó
2) Dựa cào khai triển đó chứng minh các đẳng thức sau:

a. C1000 C1002  ... C100100 C1001 C1003  ... C10099

100 0 99 2 98 2 100 0 1 2 2 100 100

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Trần Đình Cư

23

Từ đó suy ra: B C 1001 C1003  ... C10099
b. C2C1000 22C1001  ... 2101C100100
Bài 7. Cho khai triển

3 15

n

x x x

 



 

 

Biết rằng: CnnCnn1 Cnn2 79

1) Tìm số hạng thứ 7 của khai triển

2) Tìm số hạng khơng chứa x của khai triển
3) Tìm số hạng chứa x của khai triển16

4) Tìm số hạng khơng chứa x với số mũ ngun
5) Tìm số hạng không chứa x với số mũ tự nhiên.

Bài 8. Trong kỳ thi tuyển sinh 35% nữ và 65% nam. Trong số thí sinh nữ chiếm 225
trúng tuyển, thí sinh nam trúng tuyển có 18%.

a) Rút ngẫu nhiên một bộ hồ sơ của thí sinh về dự thi. Tìm xác suất để bộ hồ sơ thí
sinh trúng tuyển

b) Rút ngẫu nhiên mọi bộ hồ sơ trúng tuyển. Tìm xác suất để bộ hồ sơ là thí sinh
nữ.

Bài 9. Một bình đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi vàng, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng. Lấy
ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tìm xác suất các biến cố:

a) A: Được viên bi khác màu trong đó phải có viên bi xanh.
b) B: Được 3 viên bi khác màu trong đó phải có viên bi vàng
c) C: Được 3 viên bi khác màu trong đó phải có viên bi đỏ.
d) Tính A B C

Bài 10. Hộp chứa 5 viên bi đen, 7 viên trắng.

a) Lấy ngẫu nhiên một lúc 3 viên bi. Tính xác suất lấy ra có 2 viên bi trắng

b) Lấy ngẫu nhiên hai lần mỗi lần một viên. tính xác suất lần 1 là viên bi trắng, lần

2 là viên bi đen.

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:

Bài 1. Cho các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số với các chữ số
khác nhau.

A.12 B. 24 C. 64 D.256

Bài 2. Cho các số 1, 4, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số với các chữ số
khác nhau.

A.16 B. 64 C. 256 D.24

Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chụ lớn hơn chữ số hàng

đơn vị

A.40 B. 45 C. 50 D.55

Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự
giảm dần:

A.40 B. 45 C. 50 D.55

Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:

A.900 B. 901 C. 899 D. kết quả khác

Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện
các chữ số không lập lại?

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 7. Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính tổng số cách chọn một người đàn ông và
một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó khơng phải vợ
chồng.

A.100 B. 90 C. 10 D.91

Bài 8. Một người vào ửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong 5
món, 1 loại hoa quả tráng miệng trong 5 laoij hoa quả và một món nước uống trong 3
loại. Có bao nhiêu cách họn thực đơn như vậy?

A.25 B. 75 C. 100 D.15

Bài 9. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

A.648 B. A103 A92 C. A và B đều đúng D.A và B đều đúng

Bài 10. Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có được 5 chữ số khác
nhau?

A.120 B. 216 C. 312 D.360

Bài 11. Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số lẻ có được 5 chữ số khác nhau?

A.288 B. 360 C. 312 D.600

Bài 12. Từ các số 0, 1, 2, 7, 8 tạo được bao nhiêu số lẻ có được 5 chữ số khác nhau?

A.360 B. 600 C. 594 D.504

Bài 13. Từ các số 0,1, 2, 3, 7, 5, 6 tạo được bao nhiêu số lẻ có được 3 chữ số khác
nhau nhỏ hơn 400?

A.75 B. 35 C. 25 D.15

Bài 14. Từ các số 1, 5, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số lẻ có được 5 chữ số khác nhau?

A.4 B. 6 C. 12 D.24

Bài 15. Từ các số 1, 3, 5, 7, 9 tạo được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau không bắt

đầu từ số 13 ?

A.720 B. 114 C. 120 D.6

Bài 16. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh,3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho
các bạn nam, nữ đứng xen kẽ nhau:

A.6 B. 72 C. 720 D.144

Bài 17. Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho
quyển thứ nhất ở kề quyến thứ hai?

A.10! B. 9! C. 725760 D.Tất cả đều sai

Bai 18. Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho
quyển thứ nhất không ở kề quyến thứ hai?

A.10! B. 10!- 9! C. 10!-9!2! D.9!

Bài 19. Trong một hộp bánh có 6 loại bánh có thịt và 4 loại bánh có đậu xanh. Có bao
nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi ( lấy tùy ý)?

A.210 B. 151200 C. 14200 D. Kết quả khác.

Bài 20. Số bánh bài 19 có đúng 4 cái bánh thịt là:

A.C C106 64 B. C C104 42 C. C C104 102 D. C C104 42

Bài 21. Có bao nhiêu cuốn sách dịch bất kì trong năm thứ tiếng Anh, Pháp, Đức, Nga,
Tây Ban Nha ra một trong 5 thứ tiếng đó

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Trần Đình Cư

25

C. 71887 D. Cả A, B đều đúng

Bài 23. Giá trị tổng S C 170 317C171 4.316C172 4 32 15 ... C1717 174 . Kết quả là:

A. -1 B. 0 C. 1 D. Kết quả khác.

Bài 24. Cần phân công trực nhật trong một tổ 10 bạn. Số cách phân công :

A. 120 B. A103 C. 240 D. Kết quả khác.

Bài 25. Hệ số của số hạng x y trong khai triển12 13



x y



25 là:

A. C2513 B. C2512 C. 5200300 D. A,B,C đều đúng

Bài 26. Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác
song song với nhau cắt 6 đường đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo bởi 14

đường đó.

A. 420 B. C C62 82 C. C144 D. A, B đều đúng

Bài 27. Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho
chữ số hàng đầu và chữ số hàng cuối là số chẵn.

A. 26780 B. 6700 C. 24078 D. Kết quả khác.

Bài 28. Cho hai biến cố A và B trong đó P(A) = 0,6; P(B)=0,3; P A B(  )=0,2. Tính
P(A/B) có kết quả:

A. ( / ) 1

P A B  B. ( / ) 2

P A B  C. ( / ) 1

P A B  D. ( / ) 1

100
P A B 

Bài 29. Cho hai biến cố A và B trong đó P(A) = 0,5; P(B)=0,2; P A B(  )=0,2. Tính

( )

P A B có kết quả :

A. ( ) 1

P A B  B. ( ) 1

P A B  C. ( / ) 1

P A B  D. ( / ) 3

10
P A B 

Bài 30. Một bộ tú lơ khơ có 52 on bài, lấy ngẫu nhiên lần lượt khơng hoàn trả lại từng
con cho đến khi lần đầu tiên lấy con át thì dừng lại. Tính xác suất q trình dừng lại ở
lần thứ 3.

A. 48 47 4. .

52 51 50 B.

48 4 4. .

52 51 50 C.

48 4 4. .

52 52 52 D.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

GIẢI TÍCH TỔ HỢP QUA CÁC KỲ THI

I.THÀNH LẬP SỐ TỪ CÁC SỐ CHO TRƯỚC

1)Các chữ số đôi một khác nhau

Bài 1

Giải:

Bài 2

Giải:

Bài 3:

Giải:

Bài 4

Bài 5:

Giải

Bài 6

Giải:

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Trần Đình Cư

27

Bài 8

Giải

Bài 9

Giải

Bài 10

Giải:

Giải

Bài 12

Giải

Bài 13

Giải

Bài 14

Giải

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Giải

2)Các chữ số có thể trùng nhau

Bài 16

Giải

Bài 17

Giải

Bài 18

Bài 19

Giải

Bài 20

Giải:

Bài 22

Giải

Bài 23

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Trần Đình Cư

29

Bài 24

Bài 25

Giải

Bài 26

Giải

Bài 27

II.BÀI TOÁN CHỌN:

Bài 28

Bài 29

Giải

Bài 30

Giải

Bài 31

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 32

Giải

Bài 33

Giải

Bài 34

Giải

Bài 36

Kết quả

Bài 37

Giải

Bài 38

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Trần Đình Cư

31

Bài 39

Giải

Bài 40

Giải

Bài 41

Giải:

Bài 42

Giải

Bài 43

Giải

Bài 44

Giải

Bài 45

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 46

Giải

Bài 47

Giải

Bài 48

Giaûi

Giải

Bài 50

Giải

Bài 51

Giải

Bài 52

Giải

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Trần Đình Cư

33

Bài 53

Giải

Bài 54

Giải:

Bài 55

Giải

Bài 56

Giải

Bài 57

Giải

Bài 58

Giải

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Giải

Bài 60

Giải

Bài 60

Giải

Bài 61

Giải

Bài 62

Giải

Bài 63

Giải

Bài 64

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Trần Đình Cư

35

Bài 65

Giải

Bài 66

Giải

Bài 67

Giải

Bài 68

Giải

Bài 69

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bài 70

Giải

Bài 71

Giải

Bài 72

Giải

Bài 73

Giải

Bài 74

Giải

Bài 75

Giải

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Trần Đình Cư

37

Bài 77

Giải

Bài 78

Giải

Bài 79

Giải

Bài 80

Giải

Bài 81

Giải

Bài 82

Giải

Bài 83

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Giải

Bài 84

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39></div>

Tai lieu giang day chuong 2 Dai so va giai tich 11vip

<i><b>Trần Đình Cư</b></i>

<i><b>1</b></i>

<b>BÀI 1.</b>

<b>HAI QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM</b>

<b>Sơ đồ cây</b>

<b>Các dấu hiệu chia hết</b>

<i><b>Trần Đình Cư</b></i>

<i><b>3</b></i>

<i><b>Trần Đình Cư</b></i>

<i><b>5</b></i>

<b>BÀI 2.</b>

<b>HỐN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP</b>









<b>Vấn đề 1:</b>

<b>Giai thừa</b>





<b>Vấn đề 2 :</b>

<b>Hốn vị</b>





<b>Vấn đề 3:</b>

<b>Chỉnh Hợp</b>









<i><b>Trần Đình Cư</b></i>

<i><b>7</b></i>









<b>Vấn đề 4:</b>

<b>Tổ Hợp</b>





<i><b>Trần Đình Cư</b></i>

<i><b>9</b></i>

















<b>Vấn đề 5:</b>

<b> Giải phương trình và bất phương trình – hệ phương</b>

<b>trình liên quan đến</b>









<i><b>Trần Đình Cư</b></i>

<i><b>11</b></i>







 













 

















