bài1 giải phương trình 1 mét sè øng dông cña bióu thøc liªn hîp §æt vên ®ò bióu thøc liªn hîp cã nhiòu øng dông trong gi¶i to¸n nh øng dông trong gi¶i ph¬ng tr×nh bêt ph¬ng tr×nh hö ph¬ng tr×nh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.78 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Mét số ứng dụng của biểu thức liên hợp

t vn

Biểu thức liên hợp có nhiều ứng dụng trong giải toán nh: ứng dụng trong giải
phơng trình, bất phơng trình hệ phơng trình và tính giới hạn …Đặc biệt có một số
bài tốn chỉ ứng dụng biểu thức liên hợp mới giải đợc, hoặc cho cách giải bài toán
ngắn gọn hơn so với cách giải khác. Qua theo dõi qua các đề thi học sinh giỏi, các
đề thi đại học tôi thấy lớp bài tập ứng dụng phơng pháp này tơng đối nhiều.

Thực tế trực tiếp giảng dạy tôi thấy, hầu hết các em học sinh rất yếu trong việc
nhận dạng bài toán và định hớng bài toán để áp dụng phơng pháp này.

Vì vậy, tơi chọn đề tài này, với cách trình bày đa ra các ví dụ có tính rèn luyện
kỉ năng và phát triển t duy để phần nào giúp các em nắm đợc phơng pháp này để áp
dụng vào giải các bài toỏn cú liờn quan .

I >

ứ

ng dụng trong giải phơng tr×nh.

B i1

à

Giải phương trình : 3(2+√x −2)=2x+√x+6 (1)
(Đề thi ĐH Kỹ thuật quân sự năm 2000)

Hớng dẫn giải :
Điều kiÖn xác định : x ≥2

Phương trình (1) ⇔3√x −2−√x+6=2(x −3)

⇔8(x −3)=2(x −3)(3√x −2+√x+6)
⇔

x=3

3√x −2+√x+6=4

¿
¿
¿
¿¿¿

Giải phương trình : 3√x −2+√x+6=4 đựơc nghiệm x=11−√45

2 .

VËy phương trình (1) có hai nghiƯm phân biệt x=3 ; x=11−√45

2 .

NhËn xÐt

:

1>Do nhËn thÊy : √x+6¿

2=8(x −3)

3√x −2¿2−¿
¿

nên ta nhân biểu thức liên

hợp để lm xut hin nhõn t chung (x-3).

2> Bài toán tổng quát của bài (1): ax+mbx+n=k[(a b)x+m n]
Víi a , b , k , m, n∈R❑ .

B i 2

à

Giải phương trình : √x 2+4 x=2x25x 1 (2)

(Đề đăng trên báo toán học tuổi trẻ)
Hớng dn gii :

iu kịên xỏc nh : 2≤ x ≤4

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phương trình (2) ⇔√x −2−1+√4− x −1=2x2−5x −3

⇔ x −3
√x −2+1+

3− x

√4− x+1=(2x+1)(x −3)
(x −3)( 1

√4− x+1+2x+1−
1

√x −2+1)=0 . ..(∗)
Do 2≤ x ≤4 nªn 1

√4− x+1+2x+1>1≥

1
√x −2+1
Do đó (*) ⇔x=3 .

VËy Phương trình (2) cã nghiÖm duy nhÊt x=3 .

NhËn xÐt

:

1> Do nhận thấy đợc một nghiệm x=3 của phơng trình , nên ta ứng dụng
biểu thức liên hợp để lm xut hin nhõn t chung.

2> Bài toán tổng quát cđa bµi (2) :
√x −m+√n − x=(n −m)x2−(n

2−m2

2 −

√

n −m

2 )x −(
m+n

2 −2)

√

n −m

2
Víi m+2≤ n .

B i3:

à

Giải phương tr×nh :

√

1−sinx
sinx =

2 sinx+sin2x

1+sin2x (3)
(§Ị thi häc sinh giái líp 11. TÜnh nghƯ An)

Hưíng dẫn giải :
Điều kiƯn xác định : 0<sinx ≤1

Phương trình (3) ⇔

√

1−sinx
sinx =1+

2sinx −1
1+sin2x

x=π
6+k2π

x=5π
6 +k2π

¿
¿
¿
¿

⇔√1−sinx −√sinx
√sinx =

2 sinx −1
1+sin2x

⇔ 1−2 sinx

(√1−sinx+√sinx)√sinx=

2sinx −1
1+sin2x

⇔(2sinx −1)( 1
1+sin2x+

(√1−sinx+√sinx)√sinx)=0
⇔sinx=1

2⇔

VËy phương trình (3) cã hai hä nghiÖm : x=π

6+k2π ; x=

5π

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

NhËn xÐt:

1>Bài toán (3) có thể giải theo phơng pháp đánh giá hai vế.
Thật vậy : Đặt sinx=y , điều kiện 0<y ≤1 .

Khi đó phương trỡnh (3) trở thành :

√

1− yy =2y+y

1+y2 =1+
2y −1

1+y2 (*)
NhËn thÊy y=1

2 là nghiệm của phơng trình (*).
Với 0<y<1

2 thì 1-y>y>0 và 2y-1<0 suy ra

1 y

y >1>1+

2y 1

1+y2 nên (*) vô

nghiệm với 0<y<1
2 .
Với 1

2<y 1 thì 01 y<y và2y-1>0 suy ra

1 y

y <1<1+

2y 1

1+y2 nên (*) vô
nghiệm với 1

2<y 1 .

2> Bài toán tổng quát cđa bµi (3) :

√

m −ny

py =

y2

+(n+p)y

y2+m2 víi m ,n , p là các

số thực dơng .

B i4

à

Giải phương tr×nh :

√

39−2x+

√

5 .2x−1=22x+1+3 . 2x−5 (4)
(§Ị thi häc sinh giái líp 11 TÜnh Quảng Bình)

Hớng dn gii :
Đặt 2x

=y phơng trình (4) trë thµnh : √3 9− y+√5y −1=2y2+3y −1 (*) .
Điều kiÖn xác định : y ≥15

NhËn thÊy phơmg trình(*) có một nghiệm y=1.
Phơng trình(*) 3

9 y 2+5y −1−2=2y2+3y −5

9− y¿2
¿

+2 .√39− y+4

+5(y −1)

√5y −1+2=(y −1)(2y+5)

¿
¿

√¿
¿

⇔1− y

Do y ≥1
5 nªn

√9− y+1¿2+3

¿
¿

2y+5+1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Do đó (**) ⇔y=1 (Thoả mãn điều kiện y ≥1

5 ) .
Víi y=1 ta có 2x=1x=0 .

Vậy phơng trình (4) cã nghiƯm duy nhÊt x=0 .

Nhận xét:

Phơmg trình(*) có thể giải theo phơng pháp đánh giá
Thật vậy :

Với y>1⇒√39− y<2<√5y −1

, khi đó

√9− y+√5y −1<2√5y −1<5y −1<5y 1+2y(y 1)=2y2+3y 1

nên (*) vô

nghiệm .

Với 1

5≤ y<1⇒

√9− y>2>√5y −1

khi đó

√9− y+√5y −1>2√5y −1>5y 1>5y 1+2y(y 1)=2y2+3y 1

nên (*) vô

nghiệm .

Vậy y=1 lµ nghiƯm duy nhÊt cđa (*).

Bài5 Cho tam giác ABC nhọn có trực t©m H . Cho biÕt

HA=1;HB=

√2

;HC

¿√5

. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC.

Hướng dẫn giải :
Gọi O là tâm đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.

AO cắt (O) Tại K . Suy ra KC AC.

Do BH AC nªn KC | | BH .

Tơng tự : BK || CH . Do đó BHCK là hình bình hành .
Nên BC và HK cắt nhau tại trung điểm M của BC.
Trong tam giác AHK , MO là đờng trung bình
Nên MO= 1

2 AH do đó AH2+BC2 = 4MO2 +4BM2
= 4BO2 = 4R2
(R là bán kính đờng trịn (o) ).

Chøng minh t¬ng tù ta cã BH2 +AC2 = 4R2.

Đặt HD = x (0<x< √2 ) (D là chân đờng cao hạ từ A xuống BC )
Vẽ BE AC (E AC ). Ta có sinHBD= x

2=sinHAE=HE Vậỵ HE=
x
2 .
Ta lại có BD=

√

2− x2 , DC=

√

5− x2 , AE=

√

1−x2

2 , EC=

√

5−
x2

2 .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

√

1−x

2 +

√

5−
x2

2 ¿

⇔2

√

(2− x2)(5− x2

)=x2+

√

(2− x2)(10− x2)

⇔2(

√

(2− x2)(5− x2

)−2)=x2−1+

√

(2− x2)(10− x2)−3

√

2− x2+

√

5− x2¿2=2+¿
¿

1+¿

Do x2

<2 nªn

11− x2>0,1− x2>1

√

(2− x2)(10− x2)+3>

√

(2− x2)(5− x2)+2>1

¿{

Do đó 12−2x

√

(2− x2)(5− x2)+2=

11− x2

√

(2− x2)(5− x2)+2+

1− x2

√

(2− x2

)(5− x2)>¿

> 11− x

√

(2− x2)(10− x2)+3−

√

(2− x2)(5− x2

)+2>¿
> 11− x

√

(2− x2)(10− x2)−1
V©y (*) ⇔x2

=1⇔x=1 (v× (0<x< √2 ).
Suy ra BD=1, DC=2, AD=AH+HD=2.
DiƯn tÝch tam giác ABC bằng : S=1

2AD .BC=3 (ĐVDT).

II >

ứ

ng dụng trong giải bất phơng trình.

B i 6

à

Giải bÊt phương tr×nh : 2√2

√x+1+√x ≤√x+9 (6)
Hưíng dẫn giải :

Điều kiÖn xác định : x ≥0

(6)⇔ 2√2

√x+1≤√x+9−√x⇔

2√2
√x+1≤

9
√x+9+√x

⇔

√

8(x+9)+√8x ≤9(∗)

áp dụng bất đẳng thức B.N.A cho hai cặp số (√x+9,√8x) và (√8,1) ta đợc :

√

8(x+9)+√8x ≤

√

(8+1)(x+9+8x)=9√x+1
DÊu b»ng xÈy ra khi : √x+9

√8 =√8x⇔√x+9=8√x⇔x=
1
7
Suy ra (*) đúng với mọi x khơng âm .

VËy tËp nghiƯm cđa bÊt phơng trình (6) là x 0 .

B i 7

à

Giải bÊt phương tr×nh :

√

3 x2−23

√x −(x −4)√x −7≤3x −28 (7)
Hưíng dẫn giải :

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

(7)⇔ 3

√x(√x −3 2)−(x −4)(√x −7−1)≤4(x −8)

⇔

√x(x −8)

√

x2

+2√3 x+4

−(x −4)(x −8)

√x −7+1 −4(x −8)≤0
⇔(8− x)(4+ x −4

√x −7+1−

√x

√

x2+2√3 x+4

)≤0(∗)

Víi x ≥7 ta cã :

√x

√

x2+23

√x+4=
1

√x+34
√x+2

≤ 1

√

√x.34
√x.2

6 < 4+ x −4
√x −7+1

Suy ra 4+ x −7
√x −7+1−

√x

√

x2+2√3x+4

>0 , do đó (∗)⇔8− x ≤0⇔x ≥8 .
Vậy tập nghiệm của bất phơng trình (7) là x ≥8 .

B i 8

à

Giải bÊt phương tr×nh :

√

x2

−4x+3+

√

x2−5x+4≥2

√

x2−6x+5 (8)
(Đề thi ĐH ngoại thơng năm 2001)

Hớng dn gii :
iu kiÖn xác định:

x ≤1

x ≥5

¿
¿
¿
¿

NhËn thÊy x=1 lµ mét nghiƯm cđa (8).

XÐt
x<1

x ≥5

¿
¿
¿
¿

Khi đó:

(8)⇔(x −1)(

√

x2−4x+3+

√

x2−6x+5+

√

x2−5x+4+

√

x2−6x+5
)≥0
⇔x −1≥0⇔x ≥1

Đối chiếu điều kiện ta đợc tập nghiệm của bất phơng trình
x=1

x 5

Nhận xét

:Bài toán tổng quát của bài (8):
x − n

√

(x − n)(x − m+1)+

√

(x −n)(x − m)≥2√¿(x −m −1)¿

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

B i 9

à

Giải hÖ phương trình :

x2+21=y 1+y2

y2+21=x 1+x2

{

(9)

(Đề thi OLYMPIC 30 tháng 4.)
Hớng dẫn giải :

Điều kiÖn xác định :

x ≥1
y ≥1

¿{

NhËn thấy

x=1
y=1

{

không phải là nghiệm của (9).

(9)

x2+21

y2+21=y 1+y2x 1 x2
⇔ x2− y2

√

x2+21+

√

y2+21

+ x − y

√x −1+√y −1+x

− y2=0

⇔(x − y)( x+y

√

x2+21+

√

y2+21+

√x −1+√y −1+x+y)=0
⇔x=y

VËy hÖ (9)

⇔

x=y

√

x2+21=√y −1+y2
⇔

¿x=y

√

x2+21=

√x −1+x2(∗)

¿{

(∗)⇔

√

x2+21−5=

√x −1−1+x2−4

⇔ x2−4

√

x2+21+5=

x −2
√x −1+1+x

−4

⇔(x −2)( 1

√x −1+1+(x+2)(1−
1

√

x2

+21+5
))=0
⇔x=2

VËy hÖ (9) cã nghiÖm duy nhÊt (2;2).

B i 10

à

Giải hƯ phương tr×nh:

√x+4+√x −4=2

√

y2−16+2y −12
√y+4+√y −4=2

√

x2−16+2x −12

¿{

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Hưíng dẫn giải:
Điều kiƯn xác định

x ≥4
y ≥4

¿{

NhËn thÊy

x=4
y=4

¿{

kh«ng phải là nghiệm của (10).

(10)x+4+x 4y+4y 4=2

y216+2y 2

x2162x

x y

√x+4+√y+4+

x − y

√x −4+√y −4=

2(y2− x2)

√

x2−16+

√

y2−16+2(y − x)
⇔(x − y)( 2(x+y)

√

x2−16+

√

y2−16+

√x −4+√y −4+

√x+4+√y+4+2)=0
⇔x=y

V©y:

(10)⇔
x=y

√x+4+√x −4=2

√

y2−16+2y −12

⇔

¿x=y

√x+4+√x −4=2

√

x2−16+2x −12(∗)

{

(∗)⇔√x+4−3+√x −4−1=2(

√

x2−16−3+x −5)
⇔ x −5

2(√x+4+3)+

x −5

2(√x −4+1)=x −5+

x2−25

√

x2−16+3

⇔(x −5)(1+ x+5

√

x2−16+3−

2(√x+4+3)−

2(√x −4+1))=0(**)

V×

x ≥4

nªn:

1+ x+5

√

x2−16+3>1>

1
6+

1
2≥

2(√x+4+3)+

1
2(√x −4+1)

Do đó (**)

⇔ x=5

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

IV >

ø

ng dơng trong tÝnh giíi h¹n.

B i 11

à

TÝnh giíi h¹n sau : A= lim
x→0

n

√1+ax−1
x
(víi n∈N❑

;a∈R❑ )

Hưíng dẫn giải :

1+ax¿n −1
¿

1+ax¿n −2
¿
√¿
x¿
lim
x→0
n

√1+ax−1
x =limx→0

1+ax−1

1+ax¿n −1
¿

1+ax¿n −2
¿

√¿
¿
¿lim

x →0

a

VËy : A= lim
x→0

n

√1+ax−1

x =

a
n

B i 12

à

TÝnh giíi h¹n sau : A= lim
x→0

m

√1+ax−√n1+bx

p

√1+ax−q√1+bx

(víi m ,n , p , q∈N❑ ;

a , b∈R❑

;aq≠bp )
Hưíng dẫn giải:

A= lim
x→0

m

√1+ax−n
√1+bx
p

√1+ax−q

√1+bx=limx→0

m

√1+ax−1

x −

n

√1+bx−1
x
p

√1+ax−1

x

q

1+qx1
x
=
a

m
b
n
a
p
b
q
(áp dụng kết quả bài 10 ) .

B i 13

à

TÝnh giíi h¹n sau : A= lim
x→0

m

√1+ax .√n1+bx−1
p

√1+ax .√q1+bx−1
(víi m ,n , p , q∈N❑ ;

a , b∈R❑ )

Hưíng dẫn giải :
A=lim

x →0

m

√1+ax .(n

√1+bx−1)+m

√1+ax−1
p

√1+ax .(q

√1+bx−1)+p

√1+ax−1=limx →0

m

√1+ax .(√n1+bx−1)

x +

m

√1+ax−1
x
p

√1+ax .(q

√1+bx−1)

x +

p

√1+ax−1
x
=
b
n+
a
m
b
q+
a
p

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tư sè thªm ,bít cho m

√1+ax , mÈu sè thªm, bít cho √p1+ax .

B i 14

à

TÝnh giíi h¹n sau : A=lim
x →0

1−cosx√cos 2x.√3cos 3x
x2

Hưíng dẫn giải :

A=lim
x →0

1−cosx√cos 2x.√3cos 3x
x2 =limx→0(

1−cosx

x2 +cosx.

1−√cos 2x

x2 +cosx√cos 2x.

1−√3cos 3x
x2 )

A=lim

x →0(

2sin2x
2

x2 +

cosx(1−cos2x)
x2(1+√cos 2x) +

cosxcos 2x(1cos3x)

x2(1+3cos3x+

cos23x)

)

x
2

3x
2

()
2 .

sin2 x
2

A=lim
x 0

A=1
2+1+

3
2=3

Nhận xét :

Cách giải trên tư sè thªm , bít cho cosx và cosxcos 2x .

Kết luận và kiến nghị.

Phơng pháp giải tốn thì đa dạng và phong phú, nhng các em nhớ rằng mỗi
ph-ơng pháp đều có tính u việt riêng của nó. Vì vậy các em nên học hỏi nhiều phph-ơng
pháp, điều đó sẻ giúp cho các em rất nhiều trong việc định hớng tìm ra cách giải
ngắn gọn cho một bài tốn .

Ngồi các ứng dụng trên, các em có thể mở rộng thêm sang lớp bài tập tích phân,
lớp bài tập chứng minh bất đẳng thức.

để giúp các em rèn luyện phơng pháp này, các em làm các bài tp sau.

Bài tập t luyện .

Giải các phơng trình sau :

1>

x2+15

x2

+9=3x 2 . (Đề thi ĐH Bách khoa năm 2001)

2>

2x2+16x+18+

x21=2x+4 .

3>

√sinx −1+3

√2−sinx=1 .

4>

√2x+1+√2x −3=√x+3+√x −1 .

5> sinx 1 sin xcosx 1 cos x . (Đề thi học sinh giỏi lớp 11. Tĩnh Hà Tĩnh)
Giải các bất phơng trình sau :

1> 3 x21 x x3 2 . (Đề thi OLYMPIC 30 tháng 4.)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

3>

2
2

2 1
( 1 3 1)

x

x  

 

.

(Đề thi ĐH Vinh năm 1998)
4> 4(x1)2 (2x10)(1 3 2 ) x 2.

Giải các hệ phơng trình sau:

1> 2008 2008 2009

1 1

x y y x

x y

     




 




2> Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm :

2
2

4
4

x y m

y x m

   




  




(§Ị thi häc sinh giái líp 10 Tĩnh Hà Tĩnh)
Tính các giối hạn sau:

3
4
7

2 20

lim

9 2

x

x x

x



  

 

2005 2006
2006 2007
1

lim

x

x x





 (§Ị thi häc sinh giái líp 11. TÜnh Hµ TÜnh) 
3> xlim (  x x x  x)

3 4

1
1

(1 )(1 )(1 )...(1 )
lim

(1 )

n
n

x

x x x x

x 


   

 ( n nguyªn d¬ng )
5> 0

1 cos
lim

1 cos

x

x
x







 (Đề thi ĐH Lâm nghiệp năm 2001)
6>

3
2
0

2 1 3 1

lim

x

x x

x



  

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12></div>

bài1 giải phương trình 1 mét sè øng dông cña bióu thøc liªn hîp §æt vên ®ò bióu thøc liªn hîp cã nhiòu øng dông trong gi¶i to¸n nh­ øng dông trong gi¶i ph­¬ng tr×nh bêt ph­¬ng tr×nh hö ph­¬ng tr×nh

Mét số ứng dụng của biểu thức liên hợp

<b>I ></b>

ứ

ng dụng trong giải phơng tr×nh.

<b> </b>

<b> B i1</b>

<b>à</b>

<b>NhËn xÐt</b>

:

<b> </b>

<b>B i 2</b>

<b>à</b>

<b> </b>

<b>NhËn xÐt</b>

:

√

√

<b>B i3:</b>

<b>à</b>

√

√

<b> </b>

<b>NhËn xÐt: </b>

√

√

<b>B i4</b>

<b>à</b>

<sub>√</sub>

√

<b>Nhận xét:</b>

, khi đó

nên (*) vô

nghiệm .

khi đó

nên (*) vô

nghiệm .

Vậy y=1 lµ nghiƯm duy nhÊt cđa (*).

<b> </b>

<b>Bài5 Cho tam giác ABC nhọn có trực t©m H . Cho biÕt </b>

HA=1;HB=

;HC

. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC.

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

<b>II ></b>

<b>ứ</b>

<b>ng dụng trong giải bất phơng trình.</b>

<b>B i 6</b>

<b>à</b>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<b> B i 7</b>

<b>à</b>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

<b>B i 8</b>

bài1 giải phương trình 1 mét sè øng dông cña bióu thøc liªn hîp §æt vên ®ò bióu thøc liªn hîp cã nhiòu øng dông trong gi¶i to¸n nh øng dông trong gi¶i ph¬ng tr×nh bêt ph¬ng tr×nh hö ph¬ng tr×nh