DE THI CHON DOI TUYEN HSG TOAN 9 HUYEN NGA SON DU THI TINH NAM 2009-2010

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn

<b>Kỳ thi chọn đội tuyển</b>

<b>dù thi häc sinh giái líp 9 cấp tỉnh năm học 2009 </b><b> 2010</b>

<b>Môn thi: Toán</b>

<i>Thi gian lm bi: 150 phỳt</i>
<b> bi</b>

<b>Bài 1 </b><i>( 4 điểm)</i>: Cho biÓu thøc:
A =

(

<i>x</i>

<i>x</i>√<i>x −</i>4√<i>x−</i>

6
3√<i>x −</i>6+

1

√<i>x</i>+2

)

:

(

√<i>x −</i>2+

10<i>− x</i>
√<i>x</i>+2

)

a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b, Rút gọn A.

c, Tìm x A < 2.

<b>Bài 2 </b><i>(3 điểm): </i>Giải phơng tr×nh sau:

_√

₍<i>_{x −}</i>₂₀₀₈₎2

+

√

(2009<i>− x</i>)2+

(<i>x </i>2010)2=2.

<b>Bài 3 </b><i>(3 điểm):</i> Chứng minh rằng với a > 0 ta cã:
<i>a</i>

<i>a</i>2

+1+

7(<i>a</i>2

+1)

2<i>a</i> <i></i>

15
2

<b>Bài 4 (3 điểm): Cho hai số dơng x và y thoả mÃn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của </b>
biểu thức M = x2_y2_(x2_{+ y}2₎

<b>Bài 5 </b><i>(4.5điểm): </i>Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M di động trên đờng trịn
đó ( M khác A, B). Vẽ đờng trịn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với
đờng kính AB tại N. Đờng trịn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là D và C.

a, Chøng minh CD // AB.

b, Chứng minh MN là phân giác của góc AMB.

c, Gi giao điểm thứ hai của MN với đờng tròn (O) là K. Chứng minh tích
KM.KN khơng đổi.

<b>Bài 6 </b><i>(2.5 điểm)</i>: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm I bất kỳ.
a, Hãy nêu cách xác định điểm M trên đờng thẳng AB, điểm N trên đờng thẳng
AC sao cho I là trung điểm của MN.

b, Cho biÕt IA = 6 cm; BC = 10 cm, h·y tÝnh chu vi tam gi¸c AMN.

<b>híng dÉn chÊm</b>

<b>Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lp 9 cp tnh</b>
<b>nm hc 2009 </b><b> 2010</b>

<b>Môn thi: Toán</b>

Bài ý Nội dung Điểm

1

4đ ab Điều kiện x 0; x  4 0.5

A =

(

<i>x</i>

<i>x</i>√<i>x −</i>4√<i>x−</i>

6
3√<i>x −</i>6+

1

√<i>x</i>+2

)

:

(

√<i>x −</i>2+

10<i>− x</i>
√<i>x</i>+2

)

=

[

<i>x</i>

√<i>x</i>(_√<i>x −</i>2)(_√<i>x</i>+2)<i>−</i>

6
3(_√<i>x −</i>2)+

1

√<i>x</i>+2

]

:

<i>x −</i>4+10<i>− x</i>
√<i>x</i>+2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

= √<i>x −</i>2(√<i>x</i>+2)+√<i>x −</i>2

(√<i>x −</i>2)(√<i>x</i>+2) :

6

√<i>x</i>+2

= <i>−</i>6

(√<i>x −</i>2) (√<i>x</i>+2).

√x+2

6 =

1
2<i>−</i>√<i>x</i>

0.5

c

Ta cã A < 2 <i>⇔</i> 1

2<i>−</i>√<i>x</i><2 vµ x  0; x  4
<i>⇔</i> 1

2<i>−</i>√<i>x−</i>2<0<i>⇔</i>

2√<i>x −</i>3

2<i>−</i>√<i>x</i> <0 0.5

+ Trêng hỵp 1:

¿

2√<i>x −</i>3>0

2<i>−</i>√<i>x</i><0

<i>⇔</i>

¿<i>x</i>>9

4

<i>x</i>>4

<i>⇔x</i>>4

¿{

¿

0.5

+ Trêng hỵp 2:

¿

2√<i>x </i>3<0

2<i></i><i>x</i>>0

<i></i>

<i>x</i><9

4

<i>x</i><4

<i>x</i><9

4

{

0.5

Kết hợp với điều kiện ta có x > 4 hoặc 0 x < 9₄ thì A < 2. 0.5
2

3® _{ThËt vËy:}Ta cã: |<i>a</i>|+|_|<i>_ab</i>_||₊<i>≥</i>_||<i>_ba</i>_|+<i>_≥b</i>_|<i>_a</i>|₊<i>_b</i>_| <i>_⇔</i>₍_|<i>_a</i>_|₊_|<i>_b</i>_|₎2

<i>≥</i>(|<i>a</i>+<i>b</i>|)2

<i>⇔a</i>2+2|ab|+<i>b</i>2<i>≥ a</i>2+2 ab+<i>b</i>2 <i>⇔</i>|ab|<i>≥</i>ab luôn đúng, dấu “=” xảy ra

khi ab  0. 0.5

Phơng trình đã cho tơng đơng với:

|<i>x −</i>2008|+|<i>x −</i>2009|+|2010<i>− x</i>|=2

áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh trên ta đợc:

|<i>x −</i>2008|+|2010<i>− x</i>|<i>≥</i>|<i>x −</i>2008+2010<i>− x</i>|=2 (1)

DÊu “=” x¶y ra khi (x – 2008)(2010-x)  0
<i>⇔</i>2008<i>≤ x </i>2010

Luôn có: |<i>x </i>2009|<i></i>0 (2)
Dấu bằng xảy ra khi x = 2009

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc:

|<i>x −</i>2008|+|<i>x −</i>2009|+|2010<i>− x</i>|<i>≥</i>2

DÊu b»ng x¶y ra khi x = 2009

Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2009

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3

3® <i>a</i>

<i>a</i>2

+1+

7(<i>a</i>2

+1)

2<i>a</i> <i>≥</i>

15
2

Biến đổi vế trái ta c:
<i>a</i>

<i>a</i>2

+1+

7(<i>a</i>2

+1)

2<i>a</i> =

<i>a</i>
<i>a</i>2

+1+

14(<i>a</i>2

+1)

4<i>a</i> =

<i>a</i>
<i>a</i>2

+1
<i>a</i>2+1

4<i>a</i> +

13(<i>a</i>2

+1)

4<i>a</i>

0.5

áp dụng BĐT Côsi ta cã:
<i>a</i>

<i>a</i>2

+1+
<i>a</i>2

+1

4<i>a</i> <i>≥</i>2

√

<i>a</i>

<i>a</i>2

+1.
<i>a</i>2

+1

4<i>a</i> =1
Vµ a2_{+ 1}__2a <i>_⇒</i>13(<i>a</i>

2

+1)

4<i>a</i> <i>≥</i>

13 .2<i>a</i>

4<i>a</i> =

13

2 ( a > 0)

1
1
VËy <i>a</i>

<i>a</i>2

+1+

7(<i>a</i>2

+1)

2<i>a</i> <i>≥</i>1+

13

2 =

15

2 0.5

4

3đ Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta đợc:
xy (<i>x</i>+<i>y</i>)

2

4 =1 ( v× x + y = 2)

Suy ra M xy .(<i>x</i>2+<i>y</i>2)<i></i>2<i>M </i>2 xy .(<i>x</i>2+<i>y</i>2)

0.75
0.5

áp dụng BĐT Côsi ta lại có: _{2 xy}(<i>x</i>2+<i>y</i>2)<i>≤</i>(2 xy+<i>x</i>

2

+<i>y</i>2)

4 =4

( v× x + y = 2)
Suy ra M 2.

Vậy giá trị lớn nhất cđa M lµ 2 khi x = y = 1.

0.75
0.5
0.5
5

4.5đ a Ta có AMB = 90_{Hay DMC = 90}00 (góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)
 DC là đờng kính ca (E)

Do (E) và (O) tiếp xúc nhau tại M
nên ba điểm O, E, M thẳng hàng
Xét hai tam giác cân OMA và EMD
có chung góc M nên suy ra

OAM = EDM suy ra DC // AB
( có cặp góc đồng vị bằng nhau)

0.5

0.5

0.5
b Theo chøng minh câu (a) ta có DC // AB nên hai cung DN vµ CN

b»ng nhau suy ra DMN = CMN
suy ra MN là phân giác của AMB.

0.5
0.5
0.5
c _{Ta có MN hay MK là phân giác của AMB ( Theo câu b )}

suy ra hai cung AK và BK bằng nhau
suy ra OK AB

Kẻ đờng kính KH ta có KMH = 900

Xét hai tam giác KON và KMH có gãc K chung, KON = KMH =900

suy ra hai tam giác KON và KMH đồng dạng
<i>⇒</i>KO

KM=

KN

KH <i>⇒</i>KM . KN=KO . KH=2<i>R</i>

2

khơng đổi (với R là bán kính
của đờng tròn tâm O)

0.5
0.5
0.5
6

2.5đ a Giả sử xác định đợc M, N thoả mãn u cầu bài tốn, khi đó tam giác AMN
vng tại A có IM = IN nên

AI là trung tuyến ứng với cạnh

huyền suy ra IA = IM = IN 0.5

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

I cố định, AI không đổi
nên M, N nằm trên
đờng tròn (I, IA)

Cách xác định điểm M và N:
- Vẽ đờng trịn (I, IA)

- Giao ®iĨm cđa (I, IA) và AB là điểm M

- Giao im ca (I, IA) và AC là điểm N 0.5
b Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC tại H (giải sử AM <

AN )

Ta có MHB = ACB (đồng vị) mà ACB = ABC (gt)
 MHB = ABC <i>⇒Δ</i>MBH cân tại M  MB = MH (1)

<i>Δ</i> MIH = <i>Δ</i> NIC (g-c-g)  CN = MH (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra CN = BM

áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông tại A ta đợc:
AB2_{+ AC}2_{= BC}2 __2AB2_{= BC}2_{= 10}2_{= 100}

 AB = 10√2

2 =5√2

MN = 2AI = 12

Chu vi tam giác AMN là: AM + AN + MN

= AM + MB + AC + 2AI

= 2AB + 2AI = 12 + 10 _√2 (cm)

0.5

0.5
0.5

B C

M

N
I

</div>

<!--links-->