Gián án Chuyen_de_3_He_phuong_trinh

Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Phần I. Lý thuyết:
1.
Định nghĩa.
2.
Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c
a' x b' y c '
+ =


+ =

(a, b, c, a, b, c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

3.
Các phơng pháp giải hệ.
ax by c
a' x b' y c '

+ =


+ =


a) Phơng pháp cộng đại số.
+ Nếu có
ax by c
ax b' y c '
+ =


+ =



(b b')y c c'
ax b' y c '
+ = +


+ =

+ Nếu có
ax by c
ax b'y c '
+ =

+ =




(b b')y c c '
ax b' y c '
=


+ =

+ Nếu có
ax by c
k.ax b'y c '
+ =


+ =


k.ax kby c
k.ax b'y c '
+ =


+ =


(kb b')y k.c c '

ax by c
=


+ =

+ Nếu hệ
ax by c
a' x b' y c '
+ =


+ =

có (a, a) = 1 thì hệ

aa' x ba' y ca'
aa' x ab'y ac '
+ =


+ =



b) Phơng pháp thế.
ax by c
a' x b' y c '
+ =

+ =


a c
y x
b b
a' x b' y c '

= +



+ =



= +





+ + =
ữ



a c
y x

b b
a c
a' x b' x c '
b b

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ:
(áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
Phần II. Phân dạng bài tập:
Dạng 1:
GiảI hệ phơng trình không chứa tham số.
Ví dụ:
Giải các hệ phơng trình:
a)
+ =


=

2x y 7
4x 3y 4
b)
+ =



+ =


3a 3b 8
a

b 4
2
c)
2 3
2
x y
1 1
5
x y

+ =




+ =


Dạng 2:
GiảI hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số.
Ví dụ:
Cho hệ pt:

+ =


+ + =


2

2
3mx (n 3) y 6
(m 1)x 2ny 13
a) Giải hệ pt với m = 2; n = 1
b) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3
Dạng3:
GiảI biện luận hệ phơng trình có chứa tham số tham số.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ =


=

mx y 2
2x y 1
Giải và biện luận hệ theo m.
Bài làm:
2x y 1
mx y 2
=


+ =


(2 m)x 3 (1)
2x y 1 (2)
+ =

=

+ Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3
- Nếu 2 + m = 0

m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3)
Do phơng trình (3) vô nghiệm

hệ vô nghiệm.
- Nếu 2 + m

0

m

- 2.
Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x =
3
2 m+
+ Thay x =
3
2 m+
vào phơng trình (2) ta có:y = 2x 1 =
6
2 m+
- 1 =
4 m
2 m

+
Vậy với m

- 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
3
x
2 m
4 m
y
2 m

=


+



=


+
.
Ví dụ 2:
Cho hệ pt:
+ =


+ =

nx y 2n
nx ny n
Giải và biện luận hệ theo n.
Chú ý:
Phơng trình ax = b (1)
+ Nếu a = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = b.
- Khi b = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0


phơng trình có vô số nghiệm.
- Khi b

0 phơng trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu a

0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
b
a
Dạng 4:
Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình.
Ví dụ 1:
Cho hệ pt:
+ =


+ =

x 2y 5
mx y 3
Tìm m để x < 0, y < 0

Ví dụ 2:
Cho hệ pt:

+ = + +


+ = +


2
2
x ay a a 1
ax 3y a 4a
Tìm m để x > 0, y < 0
Dạng5:
Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
D.5.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
+ =



+ =

ax by c (1)
a x b y c (2)
có nghiệm
0
0

x x
y y
=


=

Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x
0
; y = y
0
lần lợt vào (2) và giải.
Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình
=


+ =

2
3x 2y 7 (1)
(5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 2.(- 2) = 7

3 + 4 = 7

Vậy (2; 1) là nghiệm của (1).
Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n
2
4n 3

7n 3 = n
2
4n 3

n(n 11) = 0

=


=

n 0
n 11
Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình
2
2
1
5m(m 1)x my (1 2m) (1)
3
4mx 2y m 3m 6 (2)

+ =

+ = + +

Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3.
Giải: ĐK để hệ có một nghiệm: 2.5m.(m 1)

1
3
m.4m
Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có:
5m
2
5m + m = 1 4m + 4m
2


m
2
= 1

m 1
m 1
=


=

(I)
Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có:
4m + 6 = m

2
+ 3m + 6

m(m 1) = 0

m 0
m 1
=


=

(II)
Từ (I) và (II)

Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm x = 1 ; y = 3
D.5.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
ax by c
a x b y c
+ =



+ =

có nghiệm
0
0

x x
y y
=


=

Thay x = x
0
; y = y
0
vào cả hệ pt ta đợc
0 0
0 0
ax by c
a x b y c
+ =



+ =


Giải hệ pt chứa ẩn là tham số.
Ví dụ:
Cho hệ pt:
+ =


+ + =

2mx (n 2)y 9
(m 3)x 2ny 5
Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1
Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:
(m 3).3 2n.( 1) 5
6m (n 2).( 1) 9
+ + =


+ =



3m 2n 4
12m 2n 14
=


=


m 2
n 5
=


=

Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm x = 3; y = - 1.

Dạng 6:
Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.
Phơng pháp:
Cho hệ pt:
ax by c (1)
a x b y c (2)
+ =



+ =

(I) có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3)
+ Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3)


(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
+ Kết hợp 2 pt đơn giản nhất.
+ Tìm nghiệm thay vào pt còn lại

Giải pt chứa ẩn là tham số
Ví dụ 1:
Cho hệ phơng trình
3x 2y 8 (1)
3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)
+ =


+ + = +

(I)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x 2y = - 6 (3)
Giải:
Điều kiện: 3.(m + 5) 6m

0

m

5
Do (x; y) là nghiệm của hệ pt (I) và thoả mãn (3)

(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
Kết hợp (1) và (3) ta có:
3x 2y 8
4x 2y 6
+ =


=


x 2
y 1
=


=

Thay x = 2, y = -1 vào pt (2) ta đợc:

6m (m +5) = m
2
- 1

m
2
5m + 4 = 0


m 1
m 4
=


=

( t/m)
Vậy với m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x 2y = - 6
Ví dụ 2:
Cho hệ phơng trình
mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)
+ =


+ =

(I)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m 1)x + (m + 1)y = m (3)
Giải:

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3

2.m

m

0.
Từ (1)

y = 5 mx. Thay vào (2) ta có:
2mx + 3(5 - mx) = 6

x =
9
m
(m

0)
Thay x =
9
m
vào y = 5 mx ta có: y = 5 -
9m
m
= - 4
Vậy với m

0 hệ (I) có nghiệm x =
9
m

; y = - 4
Thay x =
9
m
; y = - 4 vào pt (3) ta đợc:
(2m 1).
9
m
+ (m + 1)(- 4) = m

18 -
9
m
- 4m 4 = m

5m
2
14m + 9 = 0

(m 1).(5m 9) = 0

m 1
9
m
5
=



=

(thoả mãn)
Vậy với m = 1 hoặc m =
9
5
thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn pt (3).