on tap dai so va giai tich 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (149.48 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chơng I: Hàm số lợng giác

A. Các công thức cần nhớ

1. Công thức cơ bản

1 sin x1 1 cos x1

sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos;
tan( +k) = tan; cot( + k) = cot
* Hàm số ysinx có TXĐ: D ;

TGT:

1;1

;

Tuần hoàn với chu kì: T 2 là hàm số lẻ
* Hàm số ycosx có TXĐ: D ;

TGT:

1;1

;

Tuần hoàn với chu kì: T 2 ; là hàm số chẵn

* Hàm số ytanx cã TX§:

\ ;

D  k k 

;
TGT: ;

Tuần hoàn với chu kì: T ; là hàm số lẻ

* Hàm số ycosx cã TX§: D\



k k; 



;
TGT: ;

Tuần hồn với chu kì: T  ; là hàm số lẻ
Giá trị lợng giác của các cung đặc biệt

 

0 0o





o







o







o







o







2
120
3

o







3
135
4

o







5
150
6

o





180o





sin 0 12 2

2 1

3
2

2
2

2 0

cos 1 3

2
2

2 0

1
2

 2

 3

 -1

tan 0 1

3 1

  3 -1 1

 0

cot  3 1 1

3 0

1
3

 -1  3 

2. Các hằng đẳng thức lợng giác cơ bản

2 2

sin cos  1 tan .cot  1

1 tan
cos    

2
2

1 cot
sin    
3. Các cơng thức có liên quan đặc biệt

a. Cung đối nhau

sin(-) = - sin cos(-) = cos
tan(-) = - tan cot(-) = -cot

b. Cung bï nhau

sin( - ) = sin cos( - ) = - cos
tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot

c. Cung phô nhau

sin cos

2


 

 

 

 

  cos 2 sin



 

 

 

 

 

tan cot

2


 

 

 

 

  cot 2 tan



 

 

 

 

 

d. Cung h¬n kÐm 





sin   sin cos



 



 cos

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>





tan   tan cot







cot

e. Cung h¬n kÐm 2



sin cos

2


 

 

 

 

  cos 2 sin



 

 

 

 

 

tan cot

2


 

 

 

 

  cot 2 tan



 

 

 

 

 

3. C«ng thøc céng





cos a b cos cosa b sin sina b





cos a b cos cosa bsin sina b





sin a b sin cosa bcos sina b





sin a b sin cosa b cos sina b

4. Công thức nhân đôi
sin 2x2sin cosx x

2 2 2 2

cos 2xcos x sin x2cos x1 1 2sin  x

2 tan
tan 2

1 tan

x
x

x

5. Công thức hạ bậc

2 1 cos 2

sin

2
x

x cos2 1 cos 2

2
x
x
6. Công thức nhân ba

sin 3x3sinx 4sin x

cos 3x4cos x 3cosx





3 tan tan
tan 3

1 3tan

x x

x

x




7. Cơng thức biến đổi tích thành tổng









cos .cos cos cos

x y  x y  x y 









sin .sin cos cos

x y  x y  x y 









sin .cos sin sin

x y  x y  x y 
8. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos .cos

2 2

x y x y

x y   tan tan sin





cos cos
x y

x y



 

cos cos 2sin .sin

2 2

x y x y

x y   tan tan sin





cos cos
x y

x y



 

sin sin 2sin .cos

2 2

x y x y

x y   cot t sin





sin sin
x y
x co y

x y


 

sin sin 2cos .sin

2 2

x y x y

x y   cot t sin





sin sin
y x
x co y

x y



 

9. C«ng thøc rót gän: asin x + bcos x









2 2 2 2

sin cos .sin .cos

a x b x a b x  a b x 









2 2 2 2

sin cos .sin .cos

a x b x a b x a b x

Đặc biệt:

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x  x  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x   x 

   

Më réng:

2
cot tan

sin 2

x x

x

cotx tanx2 cot 2x

10. Công thức tình sin ; cos; tan theo 
tan

Đặt

tan

2
t

ta có:

2
sin

1
t

t

2
2

1
cos

1
t
t

2
tan

1
t

t

B phần bài tập

I. Hàm số lợng giác:
Các dạng bài tập cơ bản

1. Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số lợng giác
* Phơng pháp giải: Sử dụng tÝnh chÊt:

- Các hàm số ysin ,x ycosx xác định với mọi x  

- Hàm số: ytanx xác định với mọi

,
2

x k k  

- Hàm số: ycotx xác định với mọi x k k , 

Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số:

1
sin

4
y

x

Lời giải:

Hàm số có nghĩa

sin 0 ,

4 4 4

x  x  k x  k k

 

          



Vậy TXĐ của hàm số là:

\ ,

D k k

Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số:

sin cos
cot 1

x x

y

x

Lời giải:

Hm s xỏc định khi:

,
cot 1

4
x k
x k

k

x x k










 

 



Vậy TXĐ của hàm số là:

\ | ,

D x x k x k k   

 

 vµ 

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1
2cos 1

y

x


 2) tan2

x
y 

2
sin

2
x
y

x




4) ycot 2x 5) 2

1
cos

y

x


 6) y cosx1

2.D¹ng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm sốyf x

:

Định nghĩa: Cho hµm sèyf x

 

cã TXD lµ: D
* Hµm sè f x

 

ch½n

 

x D x D

f x

    



 






(D là tập đối xứng)
f -x

* Hµm sè f x

 

lỴ

 

x D x D

f x

    



 






</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

* Ph ơng pháp giải:

Bớc 1: Tìm TXĐ D của hàm sè

 Nếu D khơng là tập đối xứng thì ta kết luận ngay hàm số yf x

 

không
chẵn, không lẻ.

 Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện tiếp bớc 2:

Bíc 2: Víi mäi x D , nÕu

 NÕu f

x

f x

thì hàm số yf x

là hàm chẵn.
Nếu f

x

f x

thì hàm số yf x

là hàm lẻ.

Nếu f

x

f x

thì hàm số yf x

là hàm không chẵn, không lẻ.
L

u ý tính chất:

* x : sin



x



sinx
*  x : cos



 x



cosx
*





\ , : tan tan

x  k k  x x

       

 

 

*  x \



k k, 



: cot



x



 cotx

VÝ dô: XÐt tính chẵn lẻ của hàm số: ysin 3x

Lời giải:

TX: D  là tập đối xứng  x   x 

Ta cã: f



x



sin 3



x



sin 3



 x



sin 3x f x

Vậy hàm số là hàm số lẻ.

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

1) ysin 2x 2) ycos3x 3) ytan 2x
4) yxsinx 5) y 1 cos x 6) y x  sinx

3. D¹ng 3: Tìm chu kì của hàm số lợng giác:

* Phng phỏp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lợng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số

đã cho về một biểu thức tối giản và lu ý rằng:

1) Hàm số ysin ,x ycosx có chu kì T 2
2) Hàm số ytan ,x y cotx có chu kì T  .

3) Hµm sè ysin



ax b y



, cos



ax b

với a 0 có chu kì
2
T

a

4) Hàm số ytan



ax b y



, cot



ax b



víi a 0 có chu kì
T

a

5) Hàm số f1 có chu kì T1, hàm số f2 có chu kì T2 thì hàm số f f1 f2 có chu kì

1, 2

T BCNN T T

Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số

3 1
cos 2
2 2

y x

Lời giải

Hàm số

3 1
cos 2
2 2

y x

có chu kì là
2

2
T

Bài 3: Tìm chu kì của các hàm số sau:

1) y2cos 2x 2) ysin 2x2cos3x

* Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Phơng pháp: Dựa vào TGT của các hàm số lợng giác

Chú ý: * Hµm sè ysin ,x ycosx cã TGT lµ:



1;1



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 3 1 cos x

Lêi gi¶i:

Ta cã  1 cosx 1 0 1 cos  x 2 0 1 cos x  2 0 1 cos x 2
3 3  1 cos x 3 2

Vậy Maxy 3 đạt đợc  cosx 1 x k 2 , k 

Bµi 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hµm sè:

1) y 3 2 sinx 2)

cos cos
3
y x x  

 

cos 2cos 2

y x x 3) y 2cosx1 5) y 2 sinx
II. Phơng trình lợng giác

1. Ph ơng trình l ợng giác cơ bản

* Dạng 1: sin x a



a 1



nghiƯm tỉng qu¸t:

arcsin 2

;
arcsin 2

x a k

k

x a k

Đặc biÖt:

sin sin ;

x k

 



  

 


   

  





Tỉng qu¸t:

 

sin sin ;

2
f x g x k

f x g x k



 

 



   

  





* D¹ng 2: cos x a



a 1



nghiƯm tỉng quát: xarccosa k 2 ; k

Đặc biệt: cosxcos x  k2 ; k 

Tỉng qu¸t: cos f x

 

cosg x

 

 f x

 

g x

 

k2 ; k 

* D¹ng 3: tan x a

;
2

x  k k

 

  

 

 nghiƯm tỉng qu¸t: x  k k;
Đặc biệt: tanxtan x k k;  

Tỉng qu¸t: tan f x

 

tang x

 

 f x

 

g x

 

k k;  

* D¹ng 4: cot x a



x k k ;  



nghiƯm tỉng qu¸t: x k k;

Đặc biệt: cotxcot x  k k;  

Tỉng qu¸t: cot f x

 

cotg x

 

 f x

 

g x

 

k k;
Ví dụ minh hoạ: Giải các phơng trình sau:

1
cos 2

2
x 

2) sin 3xcos 2x 3)

cos 2 sin 0

4 4

x  x 

   

   

   

   

4) tan 3xcotx 5)

1
cot

4 x 3



 

 

 

  6) cosx 3 sinx

Lêi gi¶i

1) Ta cã

2 2

1 3 6

cos 2 cos 2 cos ,

2 3

2 2

3 6

x k x k

x x k

x k x k

 



 

 

   

 

       



Vậy phơng trình có hai hä nghiÖm.
2) Ta cã:

3 2 2

2
sin 3 cos 2 sin 3 sin 2

2 3 2 2

x x k

x x x x

x x k








 



  



 



     

 

      

 

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2
10 5 ,

2
2

k
x

k

x k

 





 



  

  




3) Ta cã:

cos 2 sin 0 cos 2 sin

4 4 4 4

x  x  x  x 

       

       

       

       

2 2

4 4

cos 2 cos

4 4 2

2 2

4 4

x x k

x x

x x k

 



  

 






   



   

        



        


2

,
2

6 3

x k

k
k
x

 

 




 

  




4) §iỊu kiƯn:

cos3 0 3

6 3

2
sin 0

k

x x k x

k
x

x k x k

 




 



    

  

  

  



    





Ta cã:

tan 3 cot tan 3 tan 3 ,

2 2 8 4

k
x x x   x x  x k   x   k

  

Ta thÊy nghiƯm trªn thoả mÃn điều kiện. Vậy phơng trình có một hä nghiƯm.

5) §iỊu kiƯn:

sin 0 ,

4 x 4 x k x 4 k k

  

 

 

        

 

   (*)

Ta cã:

cot cot cot ,

4 x 3 4 x 3 4 x 3 k x 12 k k

     

 

   

            



thoả mÃn điều kiện (*).

Vậy phơng trình có một họ nghiệm.
6) Ta có:

cos 3 sin cot 3 cot ,

6 6

x x x   x k k
Vậy phơng trình có một họ nghiệm

Bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau:

1) 2 cos 2x  1 0 2) sinxcos3x 3)

cos sin 3 0

3 4

x  x 

   

   

   

   

tan 2 cot
4
x x 

  5) sinx 3 cosx 6)

tan 2 3 0

3 x



 

  

 

 

2. Ph ơng trình bậc hai đối với một hàm s l ng giỏc.

* Định nghĩa: Là phơng trình có d¹ng





2 0 0

at bt c  a

trong đó t là một trong bốn hàm
số lợng giác: sin , cos , tan ,cotx x x x

* C¸ch giải:

Bớc 1: Đặt t bằng hàm số lợng giác có trong phơng trình;
Bớc 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t;

Bớc 3: Giải phơng trình tìm t (thoả mÃn điều kiện);

Bớc 4: Với mỗi t thoả mÃn ta có phơng trình lợng giác cơ bản nghiệm x

Ví dụ minh hoạ: Giải các phơng trình sau:

1) 2cos2 x 5cosx 3 0 2) 1 5sin x2cos2x0

3) 3 cot2 x 4cotx 3 0 4) 2
3

4 tan 2 0
cos x x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1) Đặt tcosx, điều kiện: t 1

Ta có phơng trình trở thành:

2 5 3 0 3

1
2
t
t t

t




   

  

 (lo¹i)

VËy t = 1  cosx 1 x k 2 , k 

Ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiƯm

2) Ta cã:





2 2 2

1 5sin x2cos x  0 1 5sinx2 1 sin x  0 2sin x5sinx 3 0

sin 3 2

1 6

sin ,

5
2

sin 2

x x k

x k

x x k








  

 



     

   







(lo¹i)

(Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lng giỏc nh l mt n nh vớ

dụ này)

3) Điều kiÖn: sinx 0 x k k ,  

Đặt cot x t , khi đó phơng trình trở thành:

3 cot 3

3 4 3 0 1 1 ,

cot

3 3 3

t x x k

t t k

t x x k








     



 

         

    

 

  



Ta thấy hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện. Vậy phơng trình có hai họ nghiệm
4) Điều kiện:

cos 0 ,

x  x k k  
Ta cã:





4 tan 2 0 3 1 tan 4 tan 2 0 3tan 4 tan 1 0

cos x x    x  x   x x 

tan 1

tan tan 4

,
4

tan tan tan (tan )

3 3

x x k

x

k

x x x k



 

   



  

  



 

    

   

   








Ta thấy cả hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện. Vậy phơng trình có 2 họ nghiệm.

Bài 1: Giải các phơng trình sau

1) cos 2xsin2 x2cosx 1 0 2) cos 2x5sinx 2 0

Bài 2: (Các phơng trình đa về phơng trình bậc nhất, bậc hai). Giải các phơng tr×nh 
1) cos cos 2x x 1 sin sin 2x x 2) 4sin cos cos 2x x x 1

3) sin 7x sin 3xcos 5x 4) cos2x sin2xsin 3xcos 4x

cos 2 cos 2sin
2

x
x x

1
sin sin 2 sin 3 sin 4

x x x x

4 4 1 2

sin cos cos 2

x x x

8) 3cos2x 2sinx 2 0
9) sin6 xcos6 x4cos 22 x 10) 2 tanx 3cotx 2 0
11) cos 3xcos 2xcosxsin 3xsin 2xsinx

3. Ph ơng trình bậc nhất đối với sin x v cos x:

* Dạng phơng trình: asinx b cosx c a b c ( , , 0) (*)
* Cách giải:

Cách 1:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2 2 sin 2 2 cos 2 2

a b c

x x

a b  a b  a b (**)

V×:

2 2

2 2 2 2 1

a b

a b a b

   

 

   

 

   

Nên ta đặt

2 2

cos

sin
a

a b
b

a b













 

 



Khi đó phơng trình (**) trở thành: 2 2
sin cosx cos sinx c

a b

   







2 2

sin x c

a b


  

 là phơng trình lợng giác cơ bản đã biết cách giải!

Chú ý: Điều kiện đề phơng trình có nghiệm là: a2b2c2

Cách 2: Chia hai vế cho a và đặt

tan b

a

(Tự làm)
Cách 3: Sử dụng công thức tính sin ,cosx x theo

tan
2
x
t

(tự làm)
Ví dụ: Giải các phơng trình sau:

1) sinx 3 cosx1 2) 5cos 2x12sin 2x13
Lêi gi¶i:

1) Ta cã:

 

2 2 12 3 2

a b   

. Chia hai vế của phơng trình cho 2 ta đợc phơng trình:

1 3 1 1

sin cos sin cos cos sin sin sin

2 x 2 x 2 x 3 x 3 2 x 3 6

     

        

 

2 2

3 6 6 ,

2 2

3 6 2

x k x k

k

x k x k

  

 

  

 

    

 

    

       



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm.

2) Ta có: 5cos 2x12sin 2x13 12sin 2x5cos 2x13

Cã:





2 2 12 52 169 13

a b     

. Chia hai vế phơng trình cho 13 ta đợc
ph-ơng trình :

12 5

sin cos 1

13 x 13 x

  

V×

2 2

12 5

13 13

   

  

 

. Đặt

12 5

cos ; sin

13  13 

  

ta đợc phơng trình:





sin cos cos sin 1 sin 1 2

2
x   x    x   x  k 

2 ,
2

x   k  k

   

Vậy phơng trình có một họ nghiệm.
Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

* Dạng phơng trình: asin2x b sin cosx x c .cos2x0 (*)

* Cách giải:
Cách 1:

Bớc 1: Nhận xét cosx 0 hay

,
2

x k k  

không là nghiệm của phơng trình;
Bớc 2: Chia cả hai vế của phơng trình cho cos2x 0 ta đợc phơng trình”

tan tan 0

a x b x c 

Bớc 3: Giải phơng trình ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho.

Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc đa về phơng trình trình bậc nhất đối với sin 2x và cos
2x. (Học sinh tự giải cách này)

Chó ý: Nếu phơng trình có dạng tổng quát:

2 2

sin sin cos .cos ( 0)

a x b x x c x d d  (**)

Ta biến đổi nh sau: (**)

2 2 2 2

sin sin cos .cos (sin cos )

a x b x x c x d x x

    



a d



sin2x bsin cosx x



c d



cos2 x 0



.
Đây là phơng trình có dạng (*)

Ví dụ: Giải các phơng trình:

1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2x0
2) 2sin2x 5sin cosx x cos2x2
Lêi gi¶i

1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2 x0

NhËn xÐt: nÕu

cos 0

0
Vt
x

Vp



   



 cos x = 0 khơng thoả mãn phơng trình .
Chia cả hai vế cho cos2x 0 ta đợc phơng trình:

tan 1

2 tan 5 tan 3 0 3 ,

3
tan

arctan
2

x x k

x

x k







  

 



    

Vậy phơng trình có hai họ nghiÖm.





2 2 2 2 2 2

2sin x 5sin cosx x cos x2 2sin x 5sin cosx x cos x2 sin xcos x

2 2

4sin x 5sin cosx x cos x 0

    (*)

NhËn xÐt:

cos 0 cos 0

0
Vt

x x

Vp



    



 không thoả mãn phơng trình.
Chia cả hai vế cho cos2x 0 ta đợc phơng trình:

tan 1

4 tan 5 tan 1 0 1 ,

tan arctan

4 4

x x k

x x k







  

 



       

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm.
Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau

1) 4sin2x3 3 sin 2x 2cos2x4
2) 2sin2x3cos2x5sin cosx x
3) sin2x 3sin cosx x1

4) cos2x2sin cosx x5sin2x2
5) 2cos2x 3sin 2xsin2x1

5. Ph ơng trình đối xứng đối vi sinx v cosx

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

* Cách giải:

Đặt

sin cos 2 sin
4
t x x x

 ; ®iỊu kiƯn: t  2

2 1 2sin cos sin cos 1

2
t

t x x x x

Phơng trình trở thµnh:





2 2 0

2
t

at b   c bt at b c

Giải phơng trình trên tìm t thoả mÃn điều kiện, với mỗi t ta có phơng trình :

2 sin sin

4 4 2

t

x t x 

   

    

   

    đã biết cách giải

VÝ dô: Giải phơng trình : 3 sin

xcosx

4sin cosx x 3 0

Lời giải:

Đặt

sin cos 2 sin ;

4
t x x x

 ®iỊu kiƯnt  2

2 1

sin cos

2
t

x x 

 

Khi đó phơng trình trở thành:

1 ( )
1

3 4 3 0 2 3 1 0 1

2 ( )

t tm

t

t t t

t tm




 

       

 


* Víi

1 2 sin 1 sin sin

4 4 2 4

t  x  x     

     

4 4

,
2

2 2

4 4

x k

k

x k x k

 



 

   



   

  



  



 

        

  





* Víi

1 1 1

2 sin sin

2 4 2 4 2 2

t  x   x

   

1 1

arcsin 2 arcsin 2

4 2 2 4 2 2

1 3 1

arcsin 2 arcsin 2

4 2 2 4 2 2

x k x k

k

x k x k

 

  

     

       

     

   

 

  

     

        

     

  

Vậy phơng trình có 4 họ nghiệm.
Bài tập tự gi¶i:

1) sinxcosx 2sin cosx x 1 0
2) 3 sin



xcosx



 4sin cosx x0
6. Ph ơng trình đối xứng đối với sinx v cosx

* Dạng phơng trình: a

sinx cosx

bsin cosx x c

* Cách giải:

Đặt

sin cos 2 sin
4
t x x x  

 ; ®iỊu kiƯn: t  2

2
2 1 2sin cos sin cos 1

2
t

t x x x x 



Phơng trình trở thành:

2 2 0

t

at b   c bt  at b c 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 sin sin

4 4 2

t

x  t x 

   

    

   

    đã biết cách giải
Bài tập tự giải: Giải các phơng trình sau:

1) 6 sin



x cosx



sin cosx x 6 0
2) sin3x cos3x1

3) 3 sin



x cosx



 4sin cosx x 3 0
4) sinx cosx 4sin 2x1



1 cos x

 

1 sin x



2

</div>

on tap dai so va giai tich 11

<b>Chơng I: Hàm số lợng giác</b>





 





























<sub></sub>

<sub></sub>





























































































 

 

 

 

 

 

 

 









