Chuyen de luong giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (235.94 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề 8:

LƯỢNG GIÁC

TÓM TẮTGIÁO KHOA

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
I. Đơn vị đo góc và cung: 
 1. Độ:

Goùc

1

0 góc

bẹt

180

1 

2. Radian: (rad)

180

0 



rad

3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thơng dụng:

Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600

Radian 0



3
2

4
3

5  2

II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 
 1. Định nghĩa:

2. Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:



k

C

A

k

C

k

A

















2 D

B,

k

,

2 D

2k

2 B

2k

x

y

(tia gốc)

Z)
(k

2
)

(Ox Oy  k  


t

(tia ngọn)

O



.

y x

o

180
O




x
y

O

C A

B

D

x

y

B

 M



(điểm gốc)


t

O A

(điểm ngọn)





k

2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

III. Định nghĩa hàm số lượng giác:

1. Đường trịn lượng giác:

 A: điểm gốc

 x'Ox : trục cơsin ( trục hồnh )
 y'Oy : trục sin ( trục tung )

 t'At : truïc tang
 u'Bu : truïc cotang

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= .

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

Ta định nghóa:

cos
sin
tg
cot

OP
OQ
AT

g BU












b. Các tính chất :

 Với mọi  ta có :

1 sin 1 hay sin 1

   

1 cos 1 hay cos 1

   

 tg xác định

2 k



    

 cotg xác định   k

c. Tính tuần hồn

sin( 2 ) sin

cos( 2 ) cos

( )

cot ( ) cot

k
k

tg k tg

g k g

  

 

(k Z)




x
y

O

C A

B

D

1
1

1

R
1


1

'

x
'

u u

t

'
t
'

y

y t

'
u

'
t

t

x
u

'
y
'

x O

t

1

Q

B

T



M



A
P

U

Trục cosin

Trục tang 
Trục sin

Trục cotang



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

- 3
-1
- 3 /3

(Điểm gốc)

t

t'
y

y'

x
x'

u
u'

- 3 -1 - 3 /3

1

1
-1

-1

-/2



5/6
3/4

2/3

-/6

-/4
-/3
-1/2

- 2 /2
- 3 /2

-1/2
- 2 /2

- 3 /2 1/2 2 /2 3 /2

3 /2
2 /2

1/2

A

/3
/4

/6

3 /3
3

B /2 3 /3 1 3

O

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Goùc

Hslg
0



3
2

4
3

5  2

sin 0

2
1

2
2

3 1

2
3

2
2

1 0 0

cos 1

2
3

2
2

1 0

2
1


2
2


2
3

 -1 1

tg 0

3 1 3 kxñ  3 -1

3
3

 0 0

cotg kxñ 3 1

3 0

3
3

 -1  3 kxñ kxñ



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung :

1. Cung đối nhau :  và - (tổng bằng 0) (Vd:

6
&
6




 ,…)
2. Cung buø nhau :  vaø -  ( tổng bằng  ) (Vd:

6
5
&
6




,…)

3. Cung phuï nhau : vaø
2



  ( tổng bằng



) (Vd:

3
&
6




,…)

4. Cung hơn kém



: và
2



  (Vd:

3
2
&
6




,…)

5. Cung hơn kém  : vaø    (Vd:

6
7
&
6




,…)

1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

cos( ) cos
sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

tg tg

g g

 

 

  

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

tg tg

g g

  

  

 

  

3. Cung phuï nhau : 4. Cung hơn kém



cos( ) sin

sin( ) cos

( )

cot ( ) t

tg cotg

g g



 



 



 



 

 

cos( ) sin

sin( ) cos

( )

cot ( ) t

tg cotg

g g



 



 



 



 

  

 

  

5. Cung hơn kém  :

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

tg tg

g g

  

  

 

Đối cos Bù sin

Phụ chéo

Hơn kém


sin bằng cos
cos bằng trừ sin

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 1: Tính )
4
11

cos(  ,

4
21

tg

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ) cos(2 ) cos(3 )
2

cos( x x x

A        

VI. Công thức lượng giác: 
 1. Các hệ thức cơ bản:

2 2

cos sin 1

sin
tg =

cos
cos
cotg =

sin

 










 

2
1

1 tg =

cos
1

1 cotg =

sin

tg . cotg = 1







 




Ví dụ: Chứng minh rằng:

1. cos4xsin4 x1sin2 xcos2x
2. 6x 6x 2 x 2 x

cos
sin
3
1
sin

cos   

2. Công thức cộng :

cos( ) cos .cos sin .sin

sin( ) sin .cos sin .cos

tg +tg
tg( + ) =

1 .

tg tg

tg( ) =

1 .

tg tg
tg tg

     

     

 

 

 

  

  

  

  







Ví dụ: Chứng minh rằng:



  



  

  

  

1.cos sin 2 cos( )

2.cos sin 2 cos( )

3. Công thức nhân đôi:

  




 

  






 






2 2

4 4

cos 2 cos sin

2 cos 1

1 2sin

cos sin

sin 2 2 sin .cos

1
tg
tg

tg

2
cos
1

cos2   

2
2
cos
1

sin2   




 sin2

2
1
cos

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4 Công thức nhân ba:

cos 3 4 cos 3cos

sin 3 3sin 4 sin

  

 

5. Công thức hạ bậc:








cos
1

2
cos
1
;

2
2
cos
1
sin

;
2

2
cos
1

cos2 2 2









 tg

6.Cơng thức tính

sin , cos ,tg



theo

2 t



tg



2 2

2
2

1
2
;

1
1
cos
;
1

2
sin

t

t
tg

t
t
t

t









  



7. Công thức biến đổi tích thành tổng :













cos .cos cos( ) cos( )

2
1

sin .sin cos( ) cos( )

2
1

sin .cos sin( ) sin( )

     

   

   

   

Ví dụ:

1. Biến đổi thành tổng biểu thức: Acos5x.cos3x

2. Tính giá trị của biểu thức:

12
7
sin
12
5

cos  


B

8. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2 cos .cos

2 2

cos cos 2 sin .sin

2 2

sin sin 2sin .cos

2 2

sin sin 2 cos .sin

2 2

sin( )

cos cos

sin( )

cos cos
tg tg

tg tg

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

  

 

 

 

 



 



 

4
cos
3
3
cos

cos3    

4
3
sin
sin

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: Asinxsin 2xsin 3x

9. Các công thức thường dùng khác:

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )

4 4

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )

4 4

 

   

 

   

    

     

8
4
cos
3

5
sin

cos

4
4
cos
3
sin

cos

6
6

4
4




















B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải 
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Bước 4: Kết luận

I. Định lý cơ bản: ( Quan troïng cho ta cach lấy nghiệm)

u = v+k2
sinu=sinv

u = -v+k2

u = v+k2
cosu=cosv

u = -v+k2

tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )

k


 






 


 



 



  

 

Ví dụ : Giải phương trình:

1. sin 3 sin( 2 )
4

x   x 2.

4
3
cos
)
4

cos(x  

3. cos3xsin2x 4. sin4 cos4 1(3 cos 6 )
4

x x  x

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:

1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( m R)

* Gpt : sinx = m (1)

 Nếu m 1 thì pt(1) vô nghiệm

 Nếu m 1 thì ta đặt m = sin và ta có 
(1) sinx=sin x = +k2

x = ( - )+k2

 



  



  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 Neáu m 1 thì pt(2) vô nghiệm

 Nếu m 1 thì ta đặt m = cos  và ta có 
(2) cosx=cos x = +k2

x = +k2

 



 



  




* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm m R)
 Đặt m = tg thì

(3)  tgx = tg   x = +k 

* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm m R)
 Đặt m = cotg thì

(4)  cotgx = cotg   x = +k 

Các trường hợp đặc biệt:

sin 1 x = 2

sinx = 0 x = k

sin 1 x = 2

cos 1 x = 2

cosx = 0 x = + k

cos 1 x = 2

x k








 





    



  

   



 

Ví dụ:

1) Giải các phương trình :
a) sin 2  1

x b) cos( ) 2

4 2

x  
c) ) 3 0

6
2
sin(

2 x   d) ) 3 0

3
cos(

2 x  

e) sin2xcos2x1 f) cos4 xsin4 xcos2x

2) Giải các phương trình:

a) 1 cos 4xsin4x2 cos 2x c) 4(sin4 xcos4 x)sin4x20
b) sin6xcos6xcos 4x d) sin3 . cos cos3 .sin 1

x x x x

e) ) 4

.
1
(
sin

cotgx x tgxtg x 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

sin sin 0

cos cos 0

cot cot 0

a x b x c

atg x btgx c

a g x b gx c

  

( a 0)

Cách giải:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : at2bt c  (1) 0

Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)

Ví dụ :

a) 2 cos2x5sinx  b) 4 0 cos 2 4 cos 5 0
2

x x 

c) 2sin2x 4 5cosx d) 2 cos cos 2x x 1 cos 2xcos 3x

e) sin4 cos4 sin 2 1
2

x x x f) 2 ) 0

2
cos(
)
cos
(sin

2 4 x 4 x    x 

g) sin4 cos4 1 2 sin

2 2

x x

x

   h) sin4 xcos4 xsinx.cosx0

k) 0

sin
2
2

cos
.
sin
)
sin
(cos

2 6 6







x

x
x
x

x

l) ) cos2 3

2
sin
2
1

3
sin
3
cos
(sin

5  




 x

x
x
x

x

3. Daïng 3:

acosx b sinxc (1) ( a;b0)

Cách giải:

 Chia hai vế của phương trình cho a2b2 thì pt

2 2 2 2 2 2

(1) a cosx b sinx c

a b a b a b

  

  

(2)

 Đặt

2 2 2 2

cos và sin

a
a

a b b

 

 

 

với 



0;2



thì :

2 2

c
(2) cosx.cos + sinx.sin =

a
c

cos(x- ) = (3)
a

b
b

 








Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chú ý :

Pt acosx + bsinx = c có nghiệm  a2 b2 c2

Ví dụ : Giải các phương trình :

a) cosx 3 sinx 1 b) cosx 3sinx 2
c) 4(sin4 xcos4x) 3 sin 4x2 d)

x
tgx

cos
1
3 


e) 3

1
sin
cos

2
sin
cos

2 





x
x

d. Daïng 4:

asin2x b sin .cosx x c cos2 x0 (a;c0) (1)

Cách giải 1:

p dụng công thức hạ bậc : sin2 1 cos 2 và cos2 1 cos 2

2 2

x x

x  x 

và công thức nhân đôi : sin .cos 1sin 2
2

x x x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt: 2
atg x btgx c2   0

Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2


   có phải là nghiệm của (1) không?

Ví dụ : Giải phương trình:

3sin2x(1 3)sinx.cosxcos2 x1 30

d. Daïng 5:

a(cosxsin )x bsin .cosx x c 0 (1)

Cách giải :

 Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2

t x x x  t

2 t 1

(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=

x x   x x  

 Thay vào (1) ta được phương trình :

2 1

0
2

t

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 Giaûi (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4

x t tìm x.

Ví dụ : Giải phương trình : sin 2x2 2(sinxcos ) 5 0x  

Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa xsin )x bsin .cosx x c 0

Ví dụ : Giải phương trình :

sin 2x4(cosxsin ) 4x 

4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a. Phương pháp 1:

Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng

giác cơ bản đã biết

Ví dụ: Giải phương trình:

0
2
3
2
sin
cos

sin4 x 4x x 

b. Phương pháp 2:

Biến đổi pt đã cho về dạng tích số

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

. 0 A=0
B=0
A B  



hoặc

A=0

. . 0 B=0

C=0
A B C




 




Ví dụ : Giải các phương trình :

a. sin2 xsin 22 xsin 32 x b. 2 sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x
c. 2sin3xcos 2xcosx0 d. ) 3 0

4
sin(

2
cos
2
2
2

sin x x x  

c. Phương pháp 3:

Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ

Một số dấu hiệu nhận biết :

* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) 
Ví dụ : Giải các phương trình :

a. cos3xcos2xcosx10 b. 4cos3 xcos2x4cosx10

c. 2 cos 2 8 cos 7 1

cos

x x

x

   d. sin4 xcos22x2

* Phương trình có chứa (cosxsin ) và sinx.cosxx

Ví dụ : Giải phương trình : a. 1 sin 3 cos3 3sin 2x
2

x x
b. sin3 cos3 2(sin cos ) 1






 x x x

</div>

Chuyen de luong giac

<b>Chuyên đề 8: </b>

<b> </b>

<b>LƯỢNG GIÁC </b>

<b> TÓM TẮTGIÁO KHOA </b>

Goùc

1

0

góc

bẹt

180

1



180

0



<i></i>

rad

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i>k</i>

<i>C</i>

<i>A</i>

<i>k</i>

<i>C</i>

<i>k</i>

<i>A</i>





















2

D

B,

k

,

2

2

D

2k

2

2

B

2k

.

<i></i>

<i></i>

<i>k</i>

2

<b></b>

<i>sin , cos ,tg</i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

2

<i>t</i>



<i>tg</i>

<i></i>













<b>B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC </b>