BT On HKI Dai so 11CB

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ÔN TậP HọC Kỳ I - ĐạI Số 11 CB</b>

<i><b>Lợng giác</b></i>

<b>Công thức lợng giác</b>

a) Công thức cộng



sin   sincos cos sin 





cos    cos cos  sin sin 





cos    cos cos   sin sin 





tan tan

tan

1 tan tan
  
   

  





tan tan

tan

1 tan tan
  
   

  

b) Công thức cung nhân đôi

sin 2 sincos

    

 

 

2 2

2
2

cos 2 cos sin
= 1 2 sin
= 2 cos 1

2

2 tan
tan 2

1 tan

 

 

c) Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

2 2

     
   

cos cos 2 sin sin

2 2

     
   

sin sin 2 sin cos

2 2

     
   

sin sin 2 cos sin

2 2

     
   

d) Công thức biến đổi tổng thành tích









2 cos cos  cos    cos   









2 sincos sin    sin   









2 sin sin  cos  cos

<b>Phơng trình lợng giác</b>

Để giải phơng trình lợng giác ta thờng tiến hành theo các bớc sau:
1. Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa

Phơng pháp 1. Xem phơng trình cần giải có thuộc dạng quen thuộc hay không?
Phơng pháp 2: Xem phơng trình cần giải có thể:

+) a v phng trỡnh tớch c hay khơng?

+) Có thể đa về phơng trình phụ thuộc vào 1 hàm lợng giác hay không? Nếu đợc ta chọn
ẩn là hàm lợng giác đó

<b>Bµi tËp</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) sin(2x+500_{) = cos(x+120}0₎

b)

tan x cot x 0
5



 



Dạng 2. Phơng trình bậc nhất, bậc hai theo một hàm số lợng giác
a) 3 2 sin 2x0 b) tan3x.tanx=1

c) Giải và biện luận (4m-1)sinx = m sinx – 8
d) sin2_{2x – 2cos}2_{x +}

3
4_{= 0}

e)

4 2

tan x 4 tan x 3  0
f) cos2x + 9cosx + 5 = 0

h) Giải và biÖn luËn: m.cos2x – 2m + 3 = (2m +3)cosx

Dạng 3. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c

a)

3 2
2 sin x sin x

4 4 2

 

   

   

   

   

b) 2 sin x2  3 sin 2x

c)

3 cos 2x sin 2x 2 sin 2x 2 2
6



 

  _  _

 

Dạng 4. Phơng trình đối xứng, phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
a) 4 sin x 3 3 sin 2x 2 cos x2   2 4

b) sin x3 2 sin x cos x 3 cos x2  3 0
c) 2 sin 2x 3 3 sin x



cos x



 8 0
d) cos x sin x 3sin 2x 1   0

<b> về ptlg cơ bản, ptlg gần cơ bản</b>
<i><b>về pt bậc nhất i vi sinx v cosx</b></i>

Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
<i>1) cos(x-2) = - cos(5x+2) </i>

<i>2) tanx = cot(x+60</i>o<i>_{), x(0}</i>o_{; 270}o₎

<i>3) sinx</i>2<i>_{= cosx}</i>2

<i>4) cos(x</i>2<i>_{-x) = sin(x-/2)}</i>

<i>5) tan3x + cot2x = 0</i>

<i>6) tan(cosx) = tan(2cosx), x0</i>o_{; 360}o₎

<i>7*) sin(cosx) = cos(sinx) </i>
Bµi 2: Giải phơng trình lợng giác
<i>1) cos(2x+1)= 1/2</i>

2) tan2<i>_{x = cot}</i>2<i>_{x, x(0; 7)}</i>

3) sin2<i>_{(6x-/3) + cos}</i>2<i>_{(x+) = 1}</i>

<i>4*) cot3x.tan2x = 1</i>

Bài 3: Giải phơng trình lợng giác

<i>1) sinx - cosx = </i> 1+

3

2 <i>, x(0; 2)</i>

<i>2) sin</i>2<i>_{x - 2sinxcosx = 5}</i>

<i>3) 2sin</i>2<i>_{5x +(3+}</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>4)</i>

_√

₃ <i>cos4x - 2sin2xcos2x = 2</i>

<i>5)</i>

_√

₃ <i>(cos4x + sin3x) = cos3x – sin4x </i>

<i>6) 2- tanx = 2/ cosx</i>

<i>Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có</i>
<i> nghiệm (2m-1)sinx + (m-1)cosx = m-3 </i>
<i>Bài 3: Cho PT mcos2x + sin2x = 2</i>

<i>1. GPT víi m = 2</i>
<i>2. m = ? PT có nghiệm.</i>
Bài 4: Giải và BL phơng trình
<i> msin(x/3) + (m+2)cos(x/3) = 2</i>
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm sè
<i>y=</i> <i>2+cos x</i>

<i>2+cos x sin x</i>

<b>ptlg đa về dạng tích</b>

Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
<i>1) cosxsinx(1+ tanx)(1+ cotx) = 1</i>
<i>2) (1+ tanx +</i> 1

<i>cos x</i> <i>) (1+ tanx - </i>
1

<i>cos x</i> ) = 2

√

3
3) cos(100_-x)sin(200<i>_{+x) = 1/2}</i>

<i>4) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx</i>
<i>5) cotx – 1 = sin</i>2<i>_{x -}</i> 1

2 <i>sin2x + </i>

<i>cos 2 x</i>
<i>1+tan x</i>
<i>6) cos3x - 2cos2x + cosx = 0</i>

Bµi 2: Giải phơng trình lợng giác
1) sin2<i>_{x + sin}</i>2<i>_{2x+ sin}</i>2<i>_{3x = 3/2}</i>

2) cos2<i>_{3xcos2x - cos}</i>2<i>_{x = 0}</i>

3) cos3<i>_{xcos3x +sin}</i>3<i>_{x sin3x =}</i>

√

2 /4

4) cos3<i>_{xcos3x +sin}</i>3<i>_{x sin3x = cos}</i>3<i>_4x</i>

5) sin4<i>_{x + cos}</i>4<i>_{x + cos(x-/4)sin(3x-/4) = 3/2}</i>

<i>6) cos</i>2<i>_{x = cos(4x/3)}</i>

<i>1) 2cos</i>2<i>_{(3x/5) + 1 = 3cos(4x/5)}</i>

<i>2) sin</i>8<i>_{x + cos}</i>8<i>_{x = (17/16) cos}</i>2<i>_2x</i>

Bµi 5: Giải phơng trình
1tan2<i>x =1+cos x</i>

<i>1 sin x</i>2<i>1+sin 2 x=</i>

<i>1+tan x</i>
<i>1 tan x</i>
3¿tan2<i>x=1 − cos</i>

3

<i>x</i>

<i>1− sin</i>3<i>x</i>

4) tan200<i>_{tanx+ tan40}</i>0<i>_{tanx + tan20}</i>0_tan400₌₁

<i>5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x </i>
6) tan2<i>_{2x- tan}</i>2<i>_{3x- tan}</i>2<i>_{5x = tan}</i>2<i>_2xtan</i>2<i>_3xtan</i>2<i>_5x</i>

7) (

_√

₃ <i>/cosx)- (1/sinx) = 8sinx</i>

<i><b>TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT</b></i>

<b>I)QUI TẮC ĐẾM .</b>
<b> a)Qui tắc cộng .</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b> b)Qui tắc nhân .</b>

Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hồn thành
cộng việc .

<b>II)HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP </b>

<b> a)Hốn vị : </b>

Có tập hợp A gồm n phần tử



<i>n </i>1



. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là một hoán vị của b phần tử .

Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hốn vị .

Ta viết số hoán vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)…..3.2.1 .

<b> b)Chỉnh hợp : </b>

Cho tập A gồm n phàn tử



<i>n </i>1



. Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo
một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho

Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :

!

( 1)...( 1)
!

<i>k</i>
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>A</i> <i>n n</i> <i>n k</i>
<i>k</i>

    

.

<b> c)Tổ hợp </b>

Cho tập hợp A gồm n phần tử



<i>n </i>1



. Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập
k của n phần tử của tập đã cho .

Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là :

!
!( )!

<i>k</i>
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>C</i>

<i>k n k</i>




Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi :
a/ Có tất cả bao nhiêu cách .

b/ Có bao nhiêu cách thành lập đồn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .

<b>III)NHỊ THỨC NIU TƠN </b>

Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn





0 0 1 1 1 1 1 1 0

... ...

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>k</i> <i>n k k</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>a b</i> <i>C a b</i> <i>C a b</i> <i>C a b</i> <i>C a b</i>  <i>C a b</i>

       

Số hạng thứ k+1 là : 1

<i>k</i> <i>n k k</i>

<i>k</i> <i>n</i>

<i>T</i> <i>C a b</i>

  .

<b>BÀI TẬP </b>

Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6
đến 15 . có bao nhiêu cách chọn một viên bi ?

Bài 2 : Có 7 cuốn sách toán khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau . Hỏi
có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ?

Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn
sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá ,
của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật .

Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

b. Có 3 chữ số đơi một khác nhau ?
c. Có 4 chữ số đơi một khác nhau ?

Bài 5: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :
a. Có hai chữ số đôi một khác nhau .

b. 3 chữ số đơi một khác nhau và ln có mặt chữ số 5 ?
c. Có 4 chữ số đơi một khác nhau và ln có mặt chữ số 2 ?

Bài 6 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a) Có hai chữ số đơi một khác nhau ?

b) Có 3 chữ số đơi một khác nhau ?

c) Là số chẵn có 4 chữ số đơi một khác nhau ?
d) Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 7 : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên
a) Có 4 chữ số đơi một khác nhau ?

b) Có 8 chữ số đơi một khác nhau ?

Bài 8 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 . Có biêu cách lập một số tự nhiên
a) Là số lẻ có 3 chữ số đơi một khác nhau ?

b) Là số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 9 : Từ các số : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :
a) Có 2 chữ số khác nhau và ln có mặt chữ số 2 .

b) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3
c) Có 5 chữ số khác nhau và ln nhỏ hơn 550

Bài 10: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :
a) Có 3 chữ số khác nhau .

b) Có 4 chữ .

c) Là số lẻ và có 4 chữ số và đôi một khác nhau .
d) Là số chẵn và có 5 chữ số đơi một khác nhau ?

Bài 11 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên :
a) Số có 4 chữ số đơi một khác nhau .

b) Số có 5 chữ số .

c) Số có 3 chữ số chia hết cho 5 .

d) Số có 4 chữ số trong đó ln có chữ số 1 .

Bài 12: Từ các số : 0,4,5,7,8,9 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a) Có 4 chữ số đơi một khác nhau .

b) Có 3 chữ số và ln có mặt chữ số 9 .
c) Có 3 chữ số và lớn hơn 400 .

Bài 13 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a) là số chẵn có 3 chữ số .

b) số có 4 chữ số và ln có mặt chữ số 5 .
c) Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 .

Bài 14 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a) Có 3 chữ số và đơi một khác nhau .

b) Có 4 chữ số đơi một khác nhau là ln có mặt số 5 .

Bài 15 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau .
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 16 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học
sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :

a) Các học sinh ngồi tuỳ ý .

b) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn .

Bài 17 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :
a) Bạn C ngồi chính giữa .

b)Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút .

Bài 18 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc
a) Có bao nhiêu cách sếp khác nhau .

b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho khơng có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau .

Bài 19 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các
thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau .

Bài 20 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh
thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau .

Bài 21 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại
diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ .

Bài 22 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà tốn học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóa học . Chọn từ đó ra 4 người
để dự hội thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Phải có đủ 3 mơn .

b) Có nhiều nhất 1 nhà tốn học và có đủ 3 môn .

Bài 23 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1
trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu
như thế .

Bài 24 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra
khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng .

Bài 25 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp
đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu .

Bài 26 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3
tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra .

Bài 27 : Có bảy bơng hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa
vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông )

Bài 28 : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi
dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp .

Bài 29 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam
và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu :

a) Mọi người đều vui vẻ tham gia .

b) Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia .

Bài 30 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca .
Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Nếu ít nhất hai nữ .
b) Nếu chọn tuỳ ý .

Bài 31 : Một đội văn nghệ 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ , Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho :

a) Có đúng 2 nam .

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 32 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng .Chọ ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó , hỏi có bao
nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu .

Bài 33 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức :

















15
6

5 1 20 17

2 2 3 4 2 3

<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>x</i> <i>d</i> <i>x</i> <i>e</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

    _  _    

 

Bài 34 : Tìm hệ số của x3_{trong nhị thức sau :}

6
3
2
1

<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
  _,
9
2 1
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
  _,
9
2
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
 

Bài 35 : Tìm hệ số của x5_{trong nhị thức sau :}

15
4 1
<i>x</i>

<i>x</i>
 

 
  _,
10
3
2
1
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
  _,
20
2
1
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
 

Bài 36 : Tìm hệ số của x3_{trong nhị thức sau :}

15
2 2
<i>x</i>

<i>x</i>
 

 
  _,
8
3 2
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
 

Bài 37: Biết hệ số của x2_{trong khai triển (1-3x)}n_{là 90 . Tìm n ?}

Bài 38 : Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển

20
3
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
  _.

Bài 39 : Tìm hệ số khơng chứa x trong khai triển :

12
3
3
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
  _.

Bài 40 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau :

15
2 ₃
3
<i>x</i>
<i>x</i>
 

 
  _.

Bài 41 : Tìm hệ số của x31_{trong khai triển nhị thức}

</div>

<!--links-->