Nghiên cứu động lực học cụm cơ cấu khâu trên của máy mài nghiền chi tiết quang CNC MB 250

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------VŨ XUÂN TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỤM CƠ CẤU KHÂU TRÊN
CỦA MÁY MÀI NGHIỀN CHI TIẾT QUANG CNC MB-250

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
1. GS.TSKH NGUYỄN VĂN KHANG
2. PGS.TS NGUYỄN TRỌNG HÙNG

Hà Nội - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn
của GS.TSKH Nguyễn Văn Khang (Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội)
và PGS.TS Nguyễn Trọng Hùng (Khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật
Hưng Yên) và chưa được cơng bố trong bất cứ cơng trình nào khác. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực, trừ các phần tham khảo đã được nêu rõ trong
luận văn.
Tác giả luận văn

Vũ Xuân Trường


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khang (Viện Cơ khí,

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội) và PGS.TS Nguyễn Trọng Hùng (Khoa Cơ khí,
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên) đã tận tình hướng dẫn tác giả định
hướng nghiên cứu, tổ chức thực hiện và hoàn chỉnh luận văn.
Tác giả bày tỏ lịng biết ơn đến Ban lãnh đạo Viện Cơ khí và Viện đào tạo Sau
đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn
thiện Luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư
phạm Kỹ thuật Hưng Yên nơi tác giả đang tham gia công tác giảng dạy, đã tạo điều
kiện hết sức thuận lợi về thời gian, chuyên môn để tác giả an tâm học tập và hoàn
thành Luận văn Cao học.
Do năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên Luận văn khơng tránh khỏi những
sai sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo, các nhà
khoa học và các bạn đồng nghiệp.
Hà nội, ngày 15 tháng 03 năm 2013
Tác giả luận văn

Vũ Xuân Trường


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
MỞ ĐẦU
CHƯƠNG I. CƠ SỞ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU THANH PHẲNG
1.1. Cơ cấu thanh phẳng một bậc tự do

1

1

1.1.1. Tổng quan

1

1.1.2. Động học cơ cấu tay quay con trượt

7

1.1.3. Động học cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng

11

1.1.4. Cơ hệ một bậc tự do gồm nhiều chuỗi động kín

15

1.1.5. Tổng quát về phân tích động học cơ hệ một bậc tự do

17

1.2. Cơ cấu thanh phẳng nhiều bậc tự do

19

1.2.1. Phân tích động học trong chuỗi động kín

20

1.2.2. Phân tích động học bằng phương pháp số

23

1.2.3. Phân tích động học tổng quát cho cơ cấu nhiều bậc tự do

25

1.2.4. Kết luận về phân tích động học cơ cấu nhiều bậc tự do

28

CHƯƠNG II. NGHIÊN CỨU ĐỘNG HỌC CỤM CƠ CẤU KHÂU TRÊN CỦA
MÁY MÀI NGHIỀN CNC MB-250.

30

2.1. Phương pháp số Newton Raphson

30

2.2. Máy mài nghiền CNC MB-250

34

2.3. Phân tích động học cụm cơ cấu khâu trên máy mài nghiền MB-250

38

2.3.1. Phương pháp ma trận Jacobi

39

2.3.2. Phương pháp ma trận truyền

43

2.4. Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc tương đối của điểm bất kỳ thuộc đĩa
gá đối với đĩa mài

47


CHƯƠNG III. NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỤM CƠ CẤU KHÂU TRÊN
CỦA MÁY MÀI NGHIỀN CNC MB-250.

54

3.1. Xác định khối lượng, mơmen qn tính và tọa độ khối tâm các khâu

54

3.2. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cụm khâu trên.

61

3.3. Thuật toán tự động thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động

67

3.4. Động lực học ngược cụm cơ cấu khâu trên.

70

3.5.Trường hợp cụm cơ cấu khâu trên chuyển động trong mp thẳng đứng

73

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

76

TÀI LIỆU THAM KHẢO

78

PHỤ LỤC 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu,

Diễn giải

chữ viết tắt

Đơn vị

SDOF

Cơ hệ một bậc tự do

-

MDOF

Cơ hệ nhiều bậc tự do

-

Phần mềm Autodesk Inventor 2012

-

Ma trận Jacobi

-

J −1

Nghịch đảo của ma trận Jacobi

-

K

Ma trận hệ số vận tốc

-

L

Ma trận đạo hàm hệ số vận tốc

-

i

Chiều dài khâu thứ i

m

fi

Phương trình liên kết thứ i

-

Ci

Khối tâm khâu thứ i

-

Ii

Mơmen qn tính khối của khâu thứ i

IV

J

(ξ Ci ,ηCi )

kg.m2

Tọa độ khối tâm khâu thứ i trong hệ tọa độ vật

m

q

Véctơ tọa độ suy rộng

-

q

Véctơ vận tốc suy rộng

-


q

Véctơ gia tốc suy rộng

-

rCi

Véctơ định vị khối tâm khâu thứ i

-

ωi

Véctơ vận tốc góc tuyệt đối của khâu thứ i

-

J Ti

Ma trận Jacobi tịnh tiến của khâu thứ i

-

J Ri

Ma trận Jacobi quay của khâu thứ i

-

Ii

Ma trận quán tính khối lượng của khâu i

-

Ma trận khối lượng suy rộng

-

M(q)
T

Động năng của hệ

kg.m2/s2

Π

Thế năng của hệ

kg.m2/s2


Ký hiệu,

Diễn giải

chữ viết tắt

C(q,q)
Fq

Ma trận ly tâm và Coriolis
Ma trận đạo hàm riêng của các phương trình liên kết theo
các tọa độ suy rộng

Đơn vị
-

g(q)

ma trận lực suy rộng của các lực có thế

-

f(q)

ma trận lực suy rộng của các lực không thế

-

Các nhân tử Lagrăng

-

λ j , μk


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 2.1. Kết quả thực nghiệm (phục vụ phân tích động học)

38

Bảng 2.2. So sánh kết quả phân tích động học bằng hai phương pháp

47

Bảng 3.1. Kết quả thực nghiệm (phục vụ phân tích động lực học)

55

Bảng 3.2. Các kết quả tính tốn trên phần mềm Inventor 2012

61


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Trang
Hình 1.1. Cơ cấu tay quay cần lắc

1

Hình 1.2. Mơ hình động học của cơ cấu tay quay cần lắc

2

Hình 1.3. Hệ tọa độ vật và hệ tọa độ cơ sở để tính tốn động học của điểm P
bất kỳ thuộc vật rắn quay quanh trục cố định.
Hình 1.4. Cơ cấu tay quay con trượt điển hình.
Hình 1.5. Véc tơ định vị, Hệ tọa độ vật, Hệ tọa độ cơ sở để xác định chuyển
động của điểm khảo sát P trên thanh truyền.

4
7
10

Hình 1.6. Cơ cấu bốn khâu bản lề điển hình

11

Hình 1.7. Mơ hình động học của cơ cấu bốn khâu bản lề điển hình

12

Hình 1.8. Véctơ định vị và hệ tọa độ vật để tính tốn động học điểm P trên
thanh truyền.

14

Hình 1.9. Mơ hình cơ cấu bốn khâu bản lề trong máy đột dập

16

Hình 1.10. Cơ cấu bốn khâu bản lề trượt

20

Hình 2.1 Máy mài nghiền CNC MB-250

34

Hình 2.2. Sơ đồ ngun lý của máy mài nghiền MB-250

35

Hình 2.3. Mơ hình cơ cấu bốn khâu đòn bản lề sử dụng trong máy mài nghiền
CNC MB-250.
Hình 2.4. Mơ hình cơ cấu bốn khâu địn bản lề sử dụng trong máy mài nghiền
4E-ĐB-91.

36

37

Hình 2.5. Mơ hình động học cụm cơ cấu khâu trên

38

Hình 2.6. Mơ hình cơ cấu bốn khâu bản lề

39

Hình 2.7. Đồ thị các phương trình liên kết

40

Hình 2.8. Thiết lập các hệ tọa độ khâu và các góc định vị khâu

44

Hình 2.9. Sơ đồ xác định vị trí tương đối của điểm P thuộc đĩa 4 so với đĩa 5

48

Hình 2.10. Sơ đồ xác định vị trí tương đối của điểm Q thuộc đĩa 5 so với đĩa 4

52

Hình 3.1. Các thiết bị sử dụng khi thực nghiệm máy

54

Hình 3.2. Một số hình ảnh thực nghiệm máy CNC MB-250

55


Hình 3.3. Mơ hình 3D và hệ tọa độ vật của khâu 1

57

Hình 3.4.Mơ hình động lực học cụm cơ cấu khâu trên

61

Hình 3.5. Đồ thị vận tốc góc và gia tốc góc khâu 2

72

Hình 3.6. Đồ thị vận tốc góc và gia tốc góc khâu 3

72

Hình 3.7. Đồ thị mômen τ 1 trường hợp cụm trên chuyển động trong mặt

73

phẳng nằm ngang
Hình 3.8. Đồ thị mơmen τ 1 trường hợp cụm trên chuyển động trong mặt
phẳng thẳng đứng

75


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Để thiết kế, chế tạo các máy CNC phục vụ cho việc đẩy mạnh cơng nghiệp hóa,
hiện đại hóa nền cơng nghiệp thì việc nghiên cứu động học, động lực học các cơ cấu
máy là việc cần thiết và hết sức quan trọng.
Mặt khác, hiện tác giả đang giảng dạy và sinh hoạt chuyên môn tại Bộ môn Kỹ
thuật cơ sở, Khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên. Nhiệm vụ
chuyên môn của tác giả là giảng dạy môn học Cơ học kỹ thuật và nghiên cứu ứng dụng
tin học trong Cơ học kỹ thuật, bởi vậy việc lựa chọn đề tài này ngồi ý nghĩa góp phần
vào nghiên cứu, tính tốn, thiết kế máy cơ khí nói chung và các máy điều khiển số nói
riêng, thì ý nghĩa quan trọng hơn cả đối với bản thân tác giả là việc nâng cao được
trình độ và phục vụ đắc lực cho công việc giảng dạy môn Cơ học kỹ thuật và nghiên
cứu ứng dụng tin học trong môn Cơ học kỹ thuật của tác giả.
2. Lịch sử nghiên cứu
• Ngồi nước:
Việc giải quyết bài tốn động học, động lực học các cơ cấu trong các máy cơ
khí, robot … sử dụng phương pháp số ứng dụng các phần mềm tính tốn như Maple,
Matlab, Adams, … đang rất được quan tâm tại các trường đại học ở nước ngoài.
1. H. Josephs, R. L. Huston, Dynamics of Mechanical Systems, CRS Press,
Boca Raton 2002.
2. B. Paul, Analytical Dynamics of Mechanisms - A computer Oriented

Overview Mechanism and Machine Theory, Vol 10 (1975), pp.481-507.
3. S.K. Dwivedy, P. Eberhard, Dynamic analysis of flexible manipulator, a
literature review, Mechanism and Machine Theory Vol 41 (2006), pp.749-777.
4. Samuel Doughty (1988), Mechanics Of Machines, John Wiley & Sons,
NewYork.
5. Jens Kotlarski, Bodo Heimann, Tobias Ortmaier: Experimental validation
of the influence of kinematic redundancy on the pose accuracy of parallel
kinematic machines. ICRA 2011: 1923-1929, 2011


6. CiteSeerX Google scholar BibTeX bibliographical record in XML
Houssem Abdellatif, Bodo Heimann: Adapted Time-Optimal Trajectory
Planning for Parallel Manipulators with Full Dynamic Modelling. ICRA 2005:
411-416, 2005.
…
• Trong nước:
Hiện nay, có rất nhiều các nhà khoa học trong nước đã và đang nghiên cứu về
động học và động lực học hệ nhiều vật nói chung và bài tốn động lực học cơ cấu nói
riêng. Có thể minh chứng bằng một số cơng trình sau:
1. Nguyễn Văn Khang (2007), Động lực học hệ nhiều vật, Nhà xuất bản khoa
học và kỹ thuật, Hà nội.
2. Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ (2011), Cơ sở Robot Công nghiệp, Nhà
xuất bản giáo dục, Hà nội.
3. Nguyen Van Khang (2011), “Kronecker product and new matrix form of
Lagrangian equations with multipliers for constrained multibody systems”,
Mechanics Research Communications, 37(8), pp. 294-299
4. Nguyen Van Khang, Do Tuan Anh, Nguyen Phong Dien, Tran Hoang Nam
(2007), “Influence of trajectories on the joint torques of kinematically
redundant manipulators”, Vietnam Journal of Mechenics, 29(2), pp.65-72
5. Nguyen Van Khang, Nguyen Trong Hung, Ninh Duc Ton: Improve

Processed Surface’s Precision of Optical Elements by Grinding under
Kinematic Program Control, Technische Mechanik 28, Hefte 2, S. 156-165,
Magdeburg 2008.
6. Nguyễn Thiện Phúc (2011), Robot Công nghiệp (in lần thứ 4), Nhà xuất bản
Khoa học kỹ thuật, Hà nội.
7. Nguyễn Phong Điền (2012), Bài giảng Nguyên lý máy, Trường Đại học Bách
khoa Hà nội 2012.
8. Phạm Văn Sơn (2006), Về các điều kiện cân bằng khối lượng hệ nhiều vật,
Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Trường Đại học Bách khoa Hà nội.
…


Trong chương II, luận văn này việc thực hiện phân tích động học cụm cơ cấu
khâu trên máy mài nghiền chi tiết quang CNC MB-250 được thực hiện theo phương
pháp như ma trận Jacobi, ma trận truyền khác với các bài toán nghiên cứu động học cơ
cấu dạng này trước đây.
Trong chương III, luận văn này thực hiện bài toán nghiên cứu về động lực học
cụm cơ cấu khâu trên của máy mài nghiền chi tiết quang CNC MB-250, đây là luận
văn đầu tiên nghiên cứu bài toán dạng này.
3. Mục đích nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu động học, động lực học cụm cơ
cấu khâu trên của máy mài nghiền chi tiết quang CNC MB-250.
• Đối tượng nghiên cứu: Cụm cơ cấu khâu trên của máy.
4. Tóm tắt nội dung thực hiện và đóng góp mới của tác giả
• Nội dung của luận văn gồm: Phần mở đầu, 03 chương nội dung và phần kết
luận kiến nghị. Trong 03 chương nội dung:
Chương 1. “Cơ sở phân tích động học cơ cấu thanh phẳng”, trong chương này
tác giả trình bày tổng qt về phân tích động học cơ cấu cơ khí bất kỳ có một hoặc
nhiều bậc tự do thơng qua các ví dụ điển hình như cơ cấu tay quay - con trượt, cơ cấu
bốn khâu bản lề phẳng, …và đưa ra các kết luận trong phân tích động học cơ hệ phẳng

bất kỳ.
Chương 2. “Nghiên cứu động học cụm cơ cấu khâu trên của máy mài nghiền
chi tiết quang CNC MB-250”, trong chương này tác giả giới thiệu về cấu tạo, nguyên
lý hoạt động và các thơng số hình học của máy CNC MB-250 nói chung và cụm cơ
cấu khâu trên nói riêng, từ đó sử dụng các phương pháp phân tích động học đã trình
bày ở chương 1 áp dụng cho cụm cơ cấu khâu trên của máy.
Chương 3. “Nghiên cứu động lực học cụm cơ cấu khâu trên của máy mài
nghiền chi tiết quang CNC MB-250”, trong chương này tác giả sử dụng phương trình
Lagrăng dạng nhân tử để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của cụm cơ
cấu khâu trên. Đặc biệt bằng việc sử dụng thuật tốn tự động hóa thiết lập hệ phương
trình vi phân chuyển động của GS.TSKH Nguyễn Văn Khang (Bộ môn Cơ học ứng
dụng, Viện Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà Nội) tác giả đã xây dựng được chương trình


Maple để tự động hóa thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của cụm cơ cấu
khâu trên máy mài nghiền CNC MB-250 và giải bài toán động lực học ngược cụm cơ
cấu này.
• Các đóng góp mới của tác giả:
- Phân tích động học cụm cơ cấu khâu trên bằng phương pháp ma trận Jacobi và
phương pháp ma trận truyền.
- Sử dụng phần mềm Maple phân tích động học.
- Xây dựng được các bản vẽ 3D trên phần mềm Inventor của các khâu thành
phần trong cụm cơ cấu khâu trên và tính tốn được khối lượng, mơmen qn tính khối
lượng, tọa độ khối tâm từ cơ cấu máy thực.
- Thiết lập được hệ phương trình vi phân chuyển động của cụm cơ cấu khâu
trên và giải bài toán động lực học ngược cụm cơ cấu này trong hai trường hợp khác
nhau: cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang, và cơ hệ chuyển động trong mặt
phẳng thẳng đứng.
- Sử dụng phần mềm Maple phân tích động lực học cơ cấu.
5. Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện Luận văn, tác giả sử dụng phương pháp thực nghiệm,
phương pháp mơ hình hóa và một số phương pháp số trong cơ học.
• Phương pháp thực nghiệm: Khảo sát thực nghiệm và đo đạc các thơng số hình
học, động học của máy CNC MB-250, trên cơ sở đó với sự hỗ trợ của phần
mềm Autodesk Inventor tính tốn khối lượng, mơmen qn tính khối lượng và
tọa độ khối tâm các khâu trong hệ tọa độ vật.
• Phương pháp mơ hình:
Tác giả đã sử dụng phương pháp mơ hình, chuyển mơ hình thực nghiệm về mơ
hình lý thuyết theo các u cầu cụ thể của lý thuyết mơ hình để tính tốn.
• Phương pháp số: sử dụng các thuật tốn như Newton-Raphson, Runge-Kutta,
thuật tốn tự động hóa thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của cơ
hệ trên cơ sở xây dựng các chương trình tính tốn trên phần mềm Maple 16.


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

CHƯƠNG I
CƠ SỞ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU THANH PHẲNG
1.1. Cơ cấu thanh phẳng một bậc tự do
1.1.1 Tổng quan
Ở chương này sẽ trình bày bài tốn phân tích động học cơ cấu thanh chỉ có
một bậc tự do. Cần phải xác định các biến số ban đầu (tọa độ suy rộng) để xác định
hoàn toàn vị trí của tất cả các chi tiết máy. Nếu cơ hệ có n bậc tự do cần phải chọn n
tọa độ suy động độc lập vừa đủ để xác định vị trí của hệ. Đối với phân tích động
học, bậc tự do được kết hợp với một số hệ trục độ thích hợp (hệ quy chiếu), và được
coi như một giá trị đầu vào.
Phân tích động học cơ cấu máy là việc thiết lập các phương trình mơ tả vị trí,

vận tốc và gia tốc của tất cả các điểm cần khảo sát của cơ cấu với các giá trị cụ thể
của các tọa độ suy rộng ban đầu.
Phần này sẽ trình bày chi tiết quá trình trên bằng một vài ví dụ đơn giản. Ở
phần sau trong chương này sẽ trình bày hai cơ cấu phổ biến quan trọng: cơ cấu tay
quay con trượt và cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng. Điều này được trình bày cụ thể ở
phần cơ cấu một bậc tự do liên quan đến cơ cấu mạch vịng.
Ví dụ đầu tiên, ta xem xét bộ truyền động trục khuỷu - thanh truyền - píttơng
được thể hiện ở hình 1.1 và trong mơ hình động học của cơ cấu này ở hình 1.2. Cơ
cấu đơn giản này được tìm thấy trong rất nhiều các cơ cấu truyền động và nhiều
máy móc khác.

Hình 1.1. Cơ cấu tay quay cần lắc.
Khoảng cách giữa hai trục quay là c và bán kính của trục khủy là r. Với các
kích thước c và r đã biết, nếu một giá trị được đưa ra để xác định vị trí của tay quay
là góc quay q 2 thì hệ hồn toàn được xác định. Bởi vậy, đây rõ ràng là cơ hệ một

--1--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

bậc tự do. Các biến vị trí chưa biết là góc quay q 1 của cần lắc, và chiều dài b (thơng
số xác định vị trí con trượt A so với cần lắc).

y

A

b
O

B

q2

r

q1

x

c
Hình 1.2. Mơ hình động học của cơ cấu tay quay cần lắc
Phân tích vị trí
Phương trình liên kết:
OA + AB + BO = 0

(1.1)

Chiếu phương trình (1.1) lên các trục tọa độ:
b cos q2 − r cos q1 − c =
0

(1.2)

b sin q2 − r sin q1 =
0

(1.3)

Đại lượng đầu vào q 1 và hai thông số c và r đã biết, các biến chưa biết là
khoảng cách b và góc quay q 2
Bước tiếp theo là giải các phương trình liên kết (1.2), (1.3) để tìm q 2 và b.
Thơng thường để giải các phương trình vị trí (dạng phi tuyến) ta thường sử dụng
phương pháp số, tuy nhiên trong một số trường hợp đơn giản ta chỉ cần thực hiện
một số phéo biến đổi cũng có thể xác định được các nghiệm.
Chẳng hạn, khử b giữa hai phương trình trên ta tìm được:
tan q2 =

 r sin q1 
r sin q1
⇒ q2 =
arctan 

c + r cos q1
 c + r cos q1 

(1.4)

Từ đó, ta tìm được biến vị trí cịn lại:
b=

c+ r cos q1
cos q2

hoặc b =

r sin q1
sin q2

(1.5)

Chú ý rằng sẽ có những thời điểm sinq 2 = 0 hoặc cosq 2 = 0. Thậm chí, nếu
cả hai khả năng này đều có thể xảy ra nhưng chúng sẽ không thể xảy ra đồng thời,

--2--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

bởi vậy khoảng cách b luôn được xác định bằng cách sử dụng một trong hai biểu
thức trên.
Phân tích vận tốc
Đạo hàm hai vế các phương trình vị trí (1.2) và (1.3) ta thu được các phương trình
vận tốc tương ứng:
−bq2 sin q2 + rq1 sin q1 =
0

(1.6)

bq2 cos q2 − rq1 cos q1 =
0

(1.7)

Viết lại các phương trình (1.6), (1.7) dưới dạng ma trận như sau:
cos q2
 sin q
2


−b sin q2   b 
 − sin q1 
  = rq1 


cos q2   q2 
 cos q1 

(1.8)

Biến đổi biểu thức (1.8) ta được:
 r sin(q2 − q1 ) 
 b  rq1 b cos q2 b sin q2   − sin q1 


=
  =
 − sin q
  cos q  q1  r

cos
q
b


cos(
q
−
q
)
q

2
2 
1 
2
1
 2
b


(1.9)

r
b

r sin(q2 − q1 ); K 2 (q1 ) =cos(q2 − q1 ) gọi là các hệ số vận tốc.
Đặt K1 (q1 ) =

Khi đó (1.9), trở thành:
 b 
 K1 (q1 ) 
  = q1 


 K 2 (q1 ) 
 q2 

(1.10)

Từ (1.10) ta dễ dàng xác định được b, q2 .
Phân tích gia tốc
Ta có hai phương pháp để phân tích gia tốc:
+ Phương pháp 1:
- Đạo hàm cấp một hai vế theo thời gian các phương trình vận tốc (1.6), (1.7) ta thu
được các phương trình gia tốc tương ứng:
  sin q − bq sin q − bq 2 cos q + rq sin q + rq 2 cos q =
b cos q2 − 2bq
0
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1

(1.11)

  cos q + bq cos q − bq 2 sin q − rq cos q + rq 2 sin q =
bsin q2 + 2bq
0

2
2
2
2
2
2
1
1
1
1

(1.12)

Biểu diễn (1.11) và (1.12) ở dạng ma trận:

--3--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

cos q2
 sin q

2

  sin q + bq 2 cos q − rq sin q − rq 2 cos q 
−b sin q2   b   2bq

2
2
2
2
1
1
1
1
=
   

b cos q2   q2   −2bq
2 cos q2 + bq22 sin q2 + rq1 cos q1 − rq 21 sin q1 

(1.13)

Từ đó, ta xác định được các biến gia tốc:
=
b q1r sin(q2 − q1 ) + q12 ( K 22b − r cos(q2 − q1 ) )

=
q2

(1.14)

q1r
r
 2K K

cos(q2 − q1 ) + q12  − 1 2 + sin(q2 − q1 ) 

b
b
b



(1.13)

Kết quả này thể hiện rằng gia tốc b và q2 , mỗi thành phần đều gồm có hai
quan hệ tỷ lệ với q1 và q12 . Thực tế điều này là đúng, và ý nghĩa của hai hệ số này
sẽ được thể hiện rõ ràng hơn khi sử dụng cách tiếp cận thứ hai của bài toán phân
tích gia tốc.
+ Phương pháp 2:
Từ các kết quả đã thu được từ bài tốn phân tích vận tốc ở trên, ta đã có:
b = q1 K1 (q1 )
q2 = q1 K 2 (q1 )

(1.14)

Đạo hàm theo thời gian hai vế của các phương trình (1.14), ta có:
d ( q1 )
dK dq
dK
b =
K1 + q1 1 1 =
q1 K1 + q12 . 1
dt
dq1 dt
dq2

(1.15)

d ( q1 )
dK dq
dK
q2 =
K 2 + q1 2 1 =+
q1 K 2 q12 . 2
dt
dq1 dt
dq1

Xác định vị trị, vận tốc và gia tốc của điểm bất kỳ
y
P

yP

ξP

ξ

η
ηP

q

O

xP

x

Hình 1.3. Hệ tọa độ vật và hệ tọa độ cơ sở để tính tốn động học của điểm P
bất kỳ thuộc vật rắn quay quanh trục cố định.

--4--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

Khảo sát động học của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn quay. Dựng hệ tọa độ nền
Oxy và hệ tọa độ vật Oξη như hình 1.3. Gọi xP , y P là tọa độ điểm P trong hệ tọa độ
nền, ξ P ,η P là tọa độ điểm P trong hệ tọa độ vật.
Từ hình 1.3 ta có:
xP = ξ P cos q − η P sin q

(1.16)

y P = ξ P sin q + η P cos q

- Vận tốc điểm P:
Đạo hàm cấp một theo thời gian hai vế của các phương trình (1.16) ta được:
VPx = x P = q (−ξ P sin q − η P cos q )
VPy = y P = q (ξ P cos q − η P sin q )

(1.17)

Hệ số vận tốc của điểm P là:
K Px = −ξ P sin q − η P cos q

(1.18)

K Py = ξ P cos q − η P sin q

Từ đó ta có:
VPx = qK Px
VPy = qK Py

(1.19)

- Gia tốc điểm P:
Đạo hàm cấp một theo thời gian hai vế của các phương trình (1.17) ta được:
aPx = VPx = q(− ξ P sin q − η P cos q ) + q 2 (−ξ P cos q + η P sin q )
aPy = VPy = q(ξ P cos q − η P sin q ) + q 2 (−ξ P sin q − η P sin q )

(1.20)

Từ đó, hiển nhiên ta có:
aPx = qK Px + q 2 LPx

(1.21)

aPy = qK Py + q 2 LPy

Trong đó: LPx và LPy là các đạo hàm theo thời gian của các hệ số vận tốc K Px
và K Py .

Các kết luận rút ra từ ví dụ trên
Phân tích động học cơ hệ một bậc tự do (SDOF) được thực hiện theo các bước sau:
-

Bước 1: Thiết lập phương trình vị trí và và giải hệ các phương trình này.

--5--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

-

Bước 2: Đạo hàm cấp một theo thời gian các phương trình vị trí ta thu
được các phương trình vận tốc tương ứng, từ đó giải hai phương trình vận
tốc hoặc với các hệ số vận tốc.

-

Bước 3. Xác định hai thành phần gia tốc bằng cách giải các phương trình
đạo hàm theo thời gian từ phương trình vận tốc. Điều này có thể được
thực hiện đơn giản, hoặc sử dụng các hệ số vận tốc và hệ số gia tốc thu
được ở bước 2.

-

Bước 4. Xây dựng hệ tọa độ vật và hệ tọa độ nền đối với điểm khảo sát.

-

Bước 5. Xác định các thành phần vận tốc, thành phần gia tốc, các hệ số
vận tốc, hệ số gia tốc đạo hàm theo yêu cầu, bắt đầu bằng việc biểu diễn
hệ tọa độ cơ sở.

Khi các phương trình vận tốc được viết dưới dạng ma trận, thì ma trận hệ số
cho các vận tốc chưa biết là:
 ∂f1 ∂f1 
 ∂b ∂q  cos q
1
1
 
=
J =
 ∂f 2 ∂f 2   sin q1
 ∂b ∂q 
1


−b sin q1 
b cos q1 

Nó được gọi là ma trận Jacobi (J). Ma trận này được xem là hệ số của các
gia tốc chưa biết với các phương trình gia tốc viết dưới dạng ma trận. Nếu giải
bằng phương pháp số với phương trình vị trí thì ma trận Jacobi sẽ được sử dụng
trong quá trình giải. Sự xuất hiện của ma trận Jacobi trong ba quan hệ khác nhau
này không phải là ngẫu nhiên. Bất cứ khi nào ma trận Jacobi được sử dụng, đánh
giá số với các đoạn mã tương tự, trong định dạng của một chương con nên được sử

dụng trong mỗi phân tích. Trong mỗi trường hợp hệ phương trình (vị trí, vận tốc,
gia tốc) chỉ giải được miễn là xác định ma trận Jacobi khác ma trận khơng. Có
những vị trí của điểm khảo sát mà ở đó ma trận Jacobi bằng khơng, thì tại các điểm
này u cầu phải có những xử lý đặc biệt. Nhưng trên thực tế số lượng những điểm
này khá ít.

--6--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

1.1.2. Động học cơ cấu tay quay - con trượt
Một trong nhiều cơ cấu thông dụng quan trọng là cơ cấu tay quay - con trượt.
Ta có thể bắt gặp cơ cấu này trong máy bơm, máy nén, động cơ, máy nghiền, máy
dập, máy phun. Sự phân tích động học dưới đây được trình bày ở dạng tổng quát,
kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho bất kỳ cơ cấu tay quay - con trượt nào.

y
A

r


q2

q1

B

O

c

x

x
Hình 1.4. Cơ cấu tay quay con trượt điển hình.
Mơ hình động học cho cơ cấu tay quay - con trượt điển hình được thể hiện
như hình 1.4. Tay quay chuyển động quay quanh trục cố định, gốc tọa độ của hệ
quy chiếu nằm trên trục quay, và con trượt chuyển động tịnh tiến khứ hồi dọc theo
đường song song với trục x. Đây là cơ hệ có một bậc tự do.[5].
Phân tích vị trí
- Phương trình liên kết (dạng véctơ)
OA + AB + BO = 0

(1.22)

- Phương trình liên kết (dạng chiếu)
r cos q1 +  cos q2 − x = 0

(1.23)

r sin q1 −  sin q2 − c = 0

Để giải hệ hai phương trình liên kết dạng đại số này có thể sử dụng phương
pháp số (chẳng hạn phương pháp Newton-Raphson). Ở đây, ta có thể dùng các biến
đổi toán học, ta thu được kết quả:

 r sin q1 − c 
q2 = arcsin
;




x = r cos q1 +  cos q2

--7--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xn Trường

Vì góc quay q2 ln thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ tư, nên giá trị cơ sở
của hàm ngược arcsin được nghiệm đúng. Phương pháp này có thể được kiểm tra
bởi chương trình con trong phương trình vị trí.
Phân tích vận tốc
Đối tượng nghiên cứu tại bước này là hệ số vận tốc phụ thuộc vào vị trí K q 2
và K x
Đạo hàm cấp một theo thời gian hai vế của các phương trình vị trí (1.23) ta
thu được các phương trình vận tốc tương ứng:
− rq1 sin q1 − q 2 sin q2 − x = 0
rq1 cos q1 − q 2 cos q2 = 0

(1.24)

Viết dưới dạng ma trận các phương trình (1.24):
 −  sin q2
−  cos q
2


− 1 q 2 
 r sin q1 

q
=
1
− r cos q 
0   x 
1


(1.25)

Ma trận hệ số (2 x 2) ở vế trái của phương trình (1.25) là ma trận Jacobi cho
cơ cấu tay quay - con trượt.
Từ phương trình (1.25) ta có:
 −  sin q2
q 2 
 x  = q1 −  cos q
 
2


−1

r cos q1


− 1  r sin q1 



= q1
 cos q2


0  − r cos q1 
r
q
sin
−
1 − r cos q1 tan q2 


(1.26)

Biểu thức biểu diễn x có thể đơn giản hóa hơn nữa bằng cách sử dụng phương
trình vị trí thứ hai để thay thế r sin q1 với  sin q2 + c . Sau vài phép biến đổi đại số,
kết quả cuối cùng là: x = q1 (c + x tan q2 )
Hệ số vận tốc K q 2 và K x là:
 q 2 
 r cos q1 
 K q 2   q1  

 K  =  x  =   cos q2 

 x    − (c + x tan q )
2 
 q1  

Phân tích gia tốc
+ Phương pháp 1:

--8--

(1.27)


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

Đạo hàm cấp một hai vế phương trình (1.24) theo thời gian ta có:
− rq1 sin q1 − rq12 cos q1 − q2 sin q2 − q 22 cos q2 − x = 0
rq1 cos q1 − rq12 sin q1 − q2 cos q2 + q 22 sin q2 = 0

(1.28)

Khi ta biểu diễn (1.28) dưới dạng ma trận, ma trận Jacobi một lần nữa xuất
hiện trong ma trận hệ số ở vế trái của phương trình (ma trận cỡ 2 x 2):
 −  sin q2
−  cos q
2


− 1 q2 
 r sin q1 
r cos q1 
  cos q2 
= q1 
+ q 22 
+ q12 






0   x 
− r cos q1 
 r sin q1 
−  sin q2 

(1.29)

Giải hệ phương trình (1.29) thu được các nghiệm gia tốc là q2 , x .
+ Phương pháp 2:
Các gia tốc cần tìm sẽ được thể hiện ở dạng:
 K q 2  2  Lq 2 
q2 
 x  = q1  K  + q1  L 
 
 x
 x

(1.30)

Trong đó K q 2 và K x là các hệ số vận tốc; Lq 2 và Lx là các đạo hàm theo biến
vị trí q của K q 2 và K x . Ta có:
Lq 2 =

d (K q 2 )
dq

=−

r sin q1
+ K q21 tan q2
 cos q2

(1.31)

Lx = −r cos q1 − K  cos q2 − Lq 2  sin q2
2
q1

Vị trí, vận tốc và gia tốc của điểm khảo sát bất kỳ
- Đối với những điểm thuộc tay quay, ta có thể áp dụng các kết quả đã nghiên cứu ở
phần 1.1
- Đối với những điểm thuộc con chạy, do con chạy chuyển động tịnh tiến, nên vai
trò của mọi điểm thuộc con chạy là như nhau nên vận tốc và gia tốc của các điểm
này lần lượt là x và x .
- Xét điểm P bất kỳ thuộc thanh truyền (vật rắn chuyển động song phẳng): Dựng hệ
tọa độ nền Oxy và hệ tọa độ vật Oξη như hình 1.5. Gọi xP , y P là tọa độ điểm P trong
hệ tọa độ nền, ξ P ,η P là tọa độ điểm P trong hệ tọa độ vật. Từ hình 1.5 ta có:

Phân tích vị trí


Véctơ định vị của điểm P là rP :

--9--


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường




rP = x p i + y p j

(1.32)


= (r cos q1 + ξ P cos q2 + η P sin q2 )i + (r sin q1 − ξ P sin q2 + η P cos q2 )

y

η
ηP

yP


j
O

A

rP

P
ξP

q2


i

B

ξ

x

xP

Hình 1.5. Véc tơ định vị, Hệ tọa độ vật, Hệ tọa độ cơ sở để xác định chuyển
động của điểm khảo sát P trên thanh truyền.
Phân tích vận tốc
Đạo hàm cấp một theo thời gian hai vế của phương trình (1.32), ta có:
 d (rP )


VP =
= (− rq1 sin q1 − ξ P q 2 sin q2 + η P q 2 cos q2 )i +
dt

= (rq1 cos q1 − ξ P q 2 cos q2 − η P q 2 sin q2 ) j

(1.33)

Trong đó:
K Px = −r sin q1 − K q 2 (ξ P sin q2 − η P cos q2 )

(1.34)

K Py = r cos q1 − K q 2 (ξ P cos q2 + η P sin q2 )

Hệ số vận tốc phụ thuộc vào tọa độ của điểm P trong hệ tọa độ vật, góc quay
của thanh truyền và hệ số vận tốc K q 2 .
Phân tích gia tốc
Gia tốc của điểm P thu được bằng việc đạo hàm theo thời gian biểu thức cuối
cùng biểu diễn vận tốc ở trên:






 
a P =V P= q1 (K Px i + K Py j ) + q12 (LPx i + LPy j ) = q1 K Px + q12 LPx i + q1 K Py + q12 LPy j

(

Trong đó:

--10--

) (

)

(1.35)


Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Trường Đại học Bách khoa Hà nội

Vũ Xuân Trường

d ( K Px )
= −r cos q1 − Lq 2 (ξ P sin q2 − η P cos q2 ) − K q22 (ξ P cos q2 + η P sin q2 )
dt
d ( K Py )
= −r sin q1 − Lq 2 (ξ P cos q2 + η P sin q2 ) − K q22 (−ξ P sin q2 + η P cos q2 )
LPy =
dt
LPx =

1.1.3. Động học cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng
Một trong những cơ cấu linh hoạt được sử dụng phổ biến là cơ cấu bốn khâu
bản lề. Nó được sử dụng rộng rãi trong các máy cơ khí. Cơ cấu bốn khâu bản lề
gồm có bốn khâu với chiều dài khâu khơng đổi. Một kiểu điển hình của cơ cấu này

được thể hiện như trên hình 1.6:

yq

uay

Thanh truyền

Ta

Tay quay

Khâu giá

Hình 1.6. Cơ cấu bốn khâu bản lề điển hình
Một trong bốn khâu được cố định được gọi là khâu giá, về mặt vật lý nó
khơng giống các khâu khác. Tuy nhiên, nó hoạt động như một khâu và duy trì
khoảng cách giữa hai điểm chốt - nơi các khâu còn lại được lắp ráp. Cơ cấu bốn
khâu bản lề là cơ cấu có một bậc tự do.
Phân tích vị trí
Ký hiệu chiều dài các khâu là  i ( i = 0..3 ) được thể hiện như trên hình 1.7.
Cơ cấu bốn khâu bản lề được xác định hoàn tồn khi góc quay q 1 của tay
quay. Hai biến động học cịn lại là vị trí góc của cần lắc và tay quay còn lại lần lượt
là q 2 và q 3 .
Phương trình liên kết đối với cấu trúc mạch vòng như sau:
f1 (q1 , q2 , q3 ) =  1 cos q1 +  2 cos q2 +  3 cos q3 −  0 = 0
f1 (q1 , q2 , q3 ) =  1 sin q1 +  2 sin q2 +  3 sin q3 = 0

--11--

(1.36)