daïy hoïc töï choïn toaùn 8 chuû ñeà 1 phân tích đa thức thành nhân tử 1 phương pháp đặt nhân tử chung ví dụ 1 hãy viết 2x2 – 4x thành một tích của những đa thức gợi ý 2x2 2x x 4x 2x 2 giải 2x2 –

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (199.84 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề 1 :

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Ví dụ 1: Hãy viết 2x2 – 4x thành một tích của những đa thức
Gợi ý: 2x2 = 2x.x

4x = 2x.2
Giải:

2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2 
= 2x (x – 2)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử.
Giải: 15x3 – 5x2 + 10x

= 5x.3x2 – 5x.x + 5x.2
= 5x (3x2 – x + 2)

BT: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – x = x.x – x.1

= x(x – 1)

b) 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y) = (x – 2y) (5x2 – 15x)
= (x – 2y) 5x (x – 3)
= 5x (x – 2y) (x – 3)
c) 3.(x – y) – 5x( y – x) = 3(x – y) + 5x (x - y)

= (x – y) (3 + 5x)
2. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Ví dụ

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 – 4x + 1

b) x2 – 2
c) 1 – 8x3
Giải

a) x2 – 4x + 4 = x2 – 2x .2 + 22
= (x – 2)2
b) x-2 – 2 = x2 – (

√

2 )2

= (x +

√

2 ) (x -

√

2 )
c) 1 – 8x3 = 1 – (2x)3

= (1 – 2x) (1 + 2x + 4x2)
BT. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3.x2.1 + 3x.12 + 13
= (x + 1)3

b) (x + y)2 – 9y2 = (x + y)2 – (3y)2

= (x + y + 3x) (x + y – 3x)
= (4x + y) (y – 2x)

c)1052 – 25 = 1052 - 52 = (105 – 5) (105 + 5)

= 100 . 110

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VD: Phân tích đa thức sau thànhnhân tử: x2 – 3x + xy – 3y 
Giải:

x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x(x – 3) + y (x – 3)
= (x – 3) (x + y)
Cách khác:

x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) + (-3x – 3y)
= x(x + y) – 3( x + y)
= (x – y) (x – 3)
BT: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2xy + 3z + 6y + xz

Giải

Cách 1: 2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + 6y) + (3z = xz)
= 2y (x + 3) + z (3 + x)
= (x + 3) (2y + z)
Cách 2: 2xy + 3z + 6 + xz = (2xy + xz) + (3z + 6y)

= x(2y + z) + 3 (z + 2y)
= (2y + z) (x + 3)
b) Tính nhanh:

15 .64 + 25 . 100 + 36 .15 + 60 .100 = 15(64 + 36) + 100 (25 + 60)
= 15 .100 + 100. 85

= 1500 + 8500
= 10000
4. PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Ví dụ 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5x3 + 10x2y + 5xy2
Giải: 5x3 + 10x2y + 5xy2 = 5x (x2 + 2xy + y2)

= 5x (x + y)2

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 2xy + y2 – 9
Giải: x2 – 2xy + y2 – 9 = (x2 – 2xy + y2) – 9

= (x – y)2 - 32
= (x –y+3)(x–y – 3)
BT : a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2x3y –2xy3–4xy2 – 2xy = 2xy(x2–y2 –2y – 1)
= 2xy[x2–(y2 +2y+ 1)]
= 2xy [x2 – (y + 1)2]
= 2xy(x–y–1)(x+y+ 1)
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chủ đề 2:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

1. Định nghĩa :

Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ¹ 0, được gọi là phương trình bậc
nhất một ẩn

2. Ví duï : 
a) 2x - 1 = 0

b) 3 - 5y = 0 ………

là những pt bậc nhất một ẩn

3. Các giải phương trình bậc nhất một ẩn 
a) Ví dụ 1 : Giải pt 3x - 9 = 0

Giaûi :

3x - 9 = 0 Û 3x = 9 (chuyển - 9 sang vế phải và đổi dấu)
Û x = 3 (chia cả 2 vế cho 3)

KL : Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3
b) Ví dụ 2 : Giaûi pt 1- 73 x =0

Giaûi :

1- 73 x=0 Û - 73 x = - 1(chuyển 1 sang vế phải và đổi dấu)
Û x =

7 (chia cả 2 vế cho - 73 )

KL : Phương trình có một nghiệm duy nhất x =
3
7
c) Tổng quát, pt ax + b = 0 (với a ¹ 0)

ax + b = 0 Û ax = - b Û x = - ba

Vậy pt bậc nhất ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = - ba
4. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

a) Cách giải : Các bước chủ yếu để giải phương trình :

B1 : Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc hoặc quy đồng mẫu để khử mẫu :
B2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, còn các hằng số sang vế kia ;
B3 : Giải phương trình nhận được

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Û 2x - 3 + 5x = 4x + 12
Û 2x + 5x - 4x = 12 + 3
Û 3 x =15 Û x = 5
Ví dụ 2 :

5x −3 2+x=1+5−3x
2
Û 2(5x −2)+6x

6 =

6+3(5−3x)
6
Û 10x - 4 + 6x = 6 + 15 - 9x
Û10x + 6x + 9x = 6 + 15 + 4
Û 25x = 25 Û x = 1

BT: a) Giaûi pt :
2

(3 1)( 2) 2 1 11

2 2

x- x x 

- 

2(3 1)( 2) 3(2 1) 33

6 6

x- x - x 


Û 2(3x-1)(x+2) - 3(2x2+1) = 33
Û (6x2 + 10x - 4) - (6x2 + 3) = 33
Û 6x2 + 10x - 4 - 6x2- 3 = 33
Û 10x = 33 + 4 + 3

Û 10x = 40 Û x = 4

PT có tập hợp nghiệm S = {4}
b) Giải pt :

x −1
2 +

x −1
3 −

x −1

6 = 2

Û (x - 1)

(

1
2+

1
3−

1
6

)

= 2
Û x - 1 = 3 Û x = 4

c) Giaûi pt

x+1 = x-1 Û x - x = -1-1
Û (1-1)x=-2 Û 0x =-2
PT vô nghiệm

d) Giải pt
x+ 1 = x + 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chủ đề 3:

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Cách giải

Tổng quát : A(x) B(x) = 0

Phương pháp giải : Áp dụng công thức :
A(x)B(x) = 0 Û A(x) =0 hoặc B(x) = 0

Giaûi 2 pt A(x) = 0 và B(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
2. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải pt :
(2x - 3)(x + 1) = 0
Û 2x - 3 = 0 hoặc x+1=0
1) 2x - 3 = 0 Û 2x = 3

Û x =1,5
2) x+1 = 0 Û x = -1

Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x = 1,5 và x = -1
Ta viết : S = {1,5; -1}

Ví dụ 2 : Giải pt :

(x+1)(x+4)=(2 - x)(2 + x)
Û x2 + x + 4x + 4 - 22 + x2 = 0
Û 2x2 + 5x = 0 Û x(2x+5) = 0

Û x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
1) x = 0

2) 2x+5 = 0 Û x = -2,5
Vậy : S = {0 ; -2,5}
Ví dụ 3: giaûi pt :

(x-1)(x2 + 3x - 2) - (x3-1) = 0
Û (x-1)[(x2+3x-2)-(x2+x+1)]=0
Û (x - 1)(2x -3 )= 0

Û x - 1 = 0 hoặc 2x-3 =0



x = 1 hoặc x = 2
3

Vậy S = {1 ; 2
3
}

Ví dụ 4: Giaûi pt
23 = x2 + 2x

- 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Û (2x3- 2x) - (x2- 1) = 0
Û 2x(x2- 1) - (x2- 1) = 0
Û(x2- 1)(2x - 1) = 0

Û (x+1)(x-1)(2x-1) = 0

Û x+1 = 0 hoặc x - 1 = 0 hoặc 2x - 1 = 0
1/ x + 1 = 0 Û x = -1 ;

2/ x - 1 = 0 Û x = 1
3/ 2x -1 = 0 Û x = 0,5
Vaäy : S {-1 ; 1 ; 0,5}
Ví dụ 5: 3x - 15 = 2x( x - 5)

Û 3(x-5) - 2x(x-5)=0

Û (x - 5)(3-2x) = 0

S = {5 ; 2
3
}

Ví dụ 6: (x2- 2x + 1) - 4 = 0
Û (x -1)2- 22 = 0

Û (x - 3)(x + 1) = 0

S = {3 ; -1}
Ví dụ 7: x2

-5= (2x - 5)(x + 5)

Û (x + 5)(x - 5) -(2x - 5)(x + 5) = 0
Û (x + 5)(- x) = 0

Û x + 5 = 0 hoặc -x = 0
Û x = - 5 hoặc x = 0
Vậy S = {- 5 ; 0}
Ví dụ 8: Giải pt
(x3 + x2) + (x2 + x) = 0
Û x2 (x + 1) + x (x+1) = 0
Û (x + 1) x (x + 1) = 0
Û x (x+1)2 = 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chủ đề 4, 5: ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC

ĐỊNH LÝ ĐẢO VAØ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TALET

1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT(thuận)

GT ABC, B’AB

C’AC vaø B’C’//BC

KL AB'

AB =
AC'

AC ;
AB'

BB' =

AC'

CC'
B ' B

AB =

C ' C

AC
2. Bài tập: 
a/ Cho a//BC

B C

D E

5 10

Do a//BC, theo định lí Ta-let có :

√

3
5 =

x

10 ,suy ra :
X = 10

√

3:5=2

√

A
B

D E y

3.5

Ta có AB // DE (Cùng vng góc với đoạn thẳng CA), do đó, theo định lí Ta-let có :
BD

DC=
EA
EC ⇔

3,5
5 =

EA
4
Û EA = (3,5,4) : 5 = 2,8
Từ đó suy ra

y = 4 + 2,8 = 6,8
3. Định lý Talet đảo :

ABC, B’AB
GT C’AC.

AB'
B ' B=

AC'
C ' C

KL B’C’// BC
Quan sát hình 9

Hỏi : Trong hình có bao nhiêu cặp đường thẳng song song với nhau ?
A

B C

D E

3 5

1 0
1 4
7

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

H : Tứ giác BDEF là hình gì ?
Trả lời : BD // EF ;

DE //BF

Trả lời : Tứ giác BDEF là hình bình hành
4. Hệ của định lý Talet :

ABC ; B’C’ //BC
GT (B’AB ; C’ AC)
KL ABAB'=AC'

AC =

B ' C '

Hình a : Vì DE // BC nên theo hệ quả định lý Talet ta có :
AD

AB=
DE
BC 

2
5=

x

6,5  x = 2,6
Hình b : Vì M//PQ Neân MNPQ =N0

P0
Hay 5,23 =2

x  x =

52
15
Hình c :

Vì EB  EF
CF  EF
Ta coù : EBCF=E0

F0
Hay 3,52 =3

x⇒x=¿ 5,25

BT :

A
N

C
B

1 3 , 5

4 , 5

Chứng minh

Keõ DN  AC (N  AC)
BM AC (M  AC)

 DN // BM. Áp dụng hệ quả định lý Talet vào ABM
Ta có : ADAB=DN

BM
 DNBM=1313,,55

+4,5 = 0,75

 EB // CF

C ’
C
D

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chủ đề 6: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Tam giác đồng dạng :

a) Định nghóa :

Tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu : Â’ = Â ; B '^ =^B ;C '^ =^C

A ' B '

AB =

B ' C '

BC =

C ' A '

* Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC được ký hiệu là :
A’B’C’ ABC

 Tỉ số các cạnh tương ứng

A ' B '

AB =

B ' C '

BC =

C ' A '

CA = k

(k gọi là tỉ số đồng dạng)
b) Tính chất 1 :

Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó

B C B ’ C ’

A ’

c) Tính chất 2 :

Nếu  A’B’C’ ABC
Thì ABC A’B’C’
Tính chất 3 :

NếuA’B’C’ A’’B’’C’’ và A’’B’’C’’ ABC thì A’B’C’ ABC

Định lý :

ABC, MN//BC
GT M  AB ; N  AC
KL AMN ABC

BT:

B C

N
M

L
1
2

1
1

a) MN // BC (gt)

AMN ABC (1)
coù ML // AC (gt)

ABC MBL (2)
từ (1) và (2) suy ra :

AMN MBL (tcbaéc caàu)

B C

M N

B C

4 5

A ’

B ’ C ’

A ’
B ’ C ’

A ’’

B ’’ C ’’
A

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

b) AMN ABC

 ^M1=^B ;N^1=^C ; Â chung
Tỉ số đồng dạng

k1 = AMAB =AM

AM+2 AM=
1
3
*ABC MBL

 Â = ^M2 ; ^L1=^C ;^B chung
tỉ số đồng dạng :

k2 = ABMB=3 AM
2 AM=

3
2
*AMN MBL

 Â = ^M2;^M1=^B ;N^1=^L
Tỉ số đồng dạng :

k3 = AMMB =AM
2 AM=

1
2

2. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG:

a) TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT
Định lí:

B C B ’ C ’

M N

A ’

ABC ; A’B’C’

GT A ' B '

AB =

A ' C '

AC =

B' C '

KL A’B’C’ ABCA

Aùp dụng :

Hình 34 a và 34 b
Có : ABDF =AC

DE =
BC
EF = 2
Neân ABC DEF

Hình 34 a và 34 b 
Có : ABKI =1;AC

HI =
6
5;
BC

HK=
8
6=

4
3

ABC khơng đồng dạng với IKH
Hình 34b và 34 c

DEF cũng khơng đồng dạng với IHK

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

M N A ’

B ’ C ’

ABC vaø A’B’C’

GT ABA ' B '=A ' C '

AC ; AÂ’=AÂ
KL A’B’C’ ABC
Aùp dụng:

Hình (a, b) :
Ta có : ABDE=AC

DF =
1
2
Và Â = ^D = 700
ABC DEF
Hình (b, c) :

Vì DEPQ ≠DF

(

4
3≠

)

Và ^D≠F^
Nên DEF không đồng dạng với PQR
ABC không đồng dạng PQR

c) TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA
Định lí:

B C

A ’

B ’ C ’

M N

ABC ; A’B’C’

GT AÂ = AÂ’; B^=^B ' .

KL A’B’C’  ABC

ABC cân ở A có
Â = 400

 B^=^C = 700
*PMN cân ở P có :

M = 700

 ^M=^N = 700 neân



ABC



PMN vì B^=^M = C^=^N = 700
*A’B’C’ có Â’ = 700 ;

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chủ đề 7, 8: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1. Các bước giải bài tốn bằng cách lập phương trình :

Bước 1 : Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2 : Giải phương trình

Bước 3 : Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với
bài tốn và kết luận

2. Ví dụ:

VD1: Số gà+số chó=36 con
chân gà + chân chó = 100chân.
Tính số gà ? số chó ?

Gọi số gà là x (con). ĐK : x nguyên dương, x < 36
Số chân gà là: 2x chân

Số chó : 36 - x (con)

Số chân chó là: 4(36 - x) chân

Tổng số chân là 100, nên ta có phương trình :
2x + 4(36 - x) = 100

Giải phương trình lập được : x = 14 thỏa mãn điều kiện
Vậy số chó là 14 (con)

Số gà là: 36 - 14 = 22 (con)

VD2: Gọi số tiền Lan phải trả cho số hàng thứ nhất khơng kể thuế VAT là : x (nghìn đồng)
ĐK : 0 < x < 110

Vậy số tiền Lan phải trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT là (110 - x) nghìn đồng.
Tiền thuế VAT cho loại hàng thứ nhất là :

10%x (nghìn đồng)

Tiền thuế VAT cho loại hàng thứ hai là :
8% (110- x) (nghìn đồng).

Ta có phương trình :
100

8
100



x

(110 - x) = 10
Û 10x + 880 - 8x = 1000
Û 2x = 120

 x = 60 (TMÑK)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VD3: Gọi chữ số hàng chục là x
ĐK : x nguyên dương, x < 5
 Chữ số hàng đơn vị là 2x
 Chữ số đã cho là :10x + 2x

Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì số mới là :
100x + 10 + 2x

Ta có phương trình :
102x - 12x = 370
Û 90x = 360

 x = 4 (TMĐK)
Vậy số ban đầu là 48

VD4 : Gọi tử số của phân số là x
ĐK : x nguyên dương x  9 ; x ¹ 4
 mẫu của phân số là x - 4

 phân số cần tìm có dạng : x- 4

x

Theo đề bài ta có phương trình : 5
1
)
4
(x- x 

x

Hay 5

1
10

).
4

(x- x 
x

Û 10x - 40 + x = 5x
Û 6x = 40

Û x = 3
20

(Không TMĐK)

Vậy khơng có phân số nào có các tính chất đã cho
VD5:

Ta có pt : 2
7

x = 2
5

(x+20)
Û 7x = 5x + 100

Û 7x - 5x = 100 Û 2x = 100
Û x = 50 (thích hợp)

Vận tốc trung bình của xe máy là: 50km/S
Quãng đường AB là: 50. 2

= 175km

V(km/h) t(h) S(km)

Xe máy x (x > 0)

2
7

x
Ô tô x + 20

2
5

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

VD6:

ÑK : x > 48

Theo đề bài ta có phương trình :
54
48
6
1
1
48

-

 x
x
 9

8
6
7
54

48- 

-x
x

Û 9x - 8x = 504 - 384
 x = 120 (TMÑK)

Vậy quãng đường AB dài 120km

VD7: HS hai ô tô chuyển động trên quãng đường dài 163km. Trong 43 km đầu hai xe có cùng
vận tốc. Sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu nên đã về sớm hơn xe
thứ hai 40 phút

Gọi vận tốc ban đầu của 2 xe là x (km/h). ĐK : x > 0
Quãng đường còn lại sau 40 km đầu là : 120(km)
40phút = 3

(h)

Theo đề bài ta có phương trình : 3
2
2

,
1
120
120


-x
x
Û

120 100 2
3

x - x  Û 3
2
20



x

Û x = 30 (TMÑK)

Vậy vận tốc ban đầu của hai xe là 30 (km/h)

VD8: Gọi mỗi số điện ở mức thấp nhất có giá trị là x (đồng). ĐK : x > 0.
Nhà Cường dùng hết 165 số điện nên phải trả tiền theo mức :

+ 100 số điện đầu tiên : 100 x (đồng)

+ 50 số điện tiếp theo : 50 (x+150) (đồng)
+ 15 số điện tiếp theo nữa là : 15 . (x+350) (đồng)
Kể cả thuế VAT nhà Cường phải trả 95700 (đồng)
Vậy ta có phương trình :

110

v(km/h) t(h) s(km)

Dự định 48

x x

Thực hiện 1giờ đầu 48 1 48

Bị tầu chắn 1

Đoạn cịn lại 54 48

x- x - 48

Vkm/h t(h) S(km)
Ô tô 1 1,2x

x

2
,
1

120 120