Mot so phuong phap tim chu so tan cung cua mot so

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A. ĐẶT VẤN ĐỀ</b>

I.

<b>LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI</b>

Ai cũng biết tốn học rất khó học nhưng tốn học là cơ sở của
mọi nghành khoa học, vì thế mơn tốn đóng một vai trị quan trọng
trong nhà trường. Thơng qua mơn tốn, học sinh nắm vững các kiến
thức tốn học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng
những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kỹ thuật, ứng dụng
trong lào động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu
khoa học… Để giúp học sinh học tốt mơn tốn địi hỏi người thầy giáo
phải có sự lào động sáng tạo nghiêm túc.

Học sinh học toán, một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi
học sinh phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dưới sự hướng
dẫn của giáo viên. Chính vì vậy trong q trình dạy tơi đã cố gắng dạy
cho học sinh cách định hướng phương pháp giải bài tập trước mỗi
dạng bài. Là một giáo viên dạy tốn trung học cơ sở, trong những năm
qua tơi đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra
những phương pháp thích hợp cho giảng dạy, những vấn đề cụ thể phù
hợp với đối tượng thực tế. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc
nhất là.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Qua đề tài này, tôi xin trình bày với các bạn thêm một số tính
chất và phương pháp giải bài tốn “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng
kiến thức trung học cơ sở.

Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà
chỉ biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số
muốn biết có trúng thưởng những giải cuối hay không ta chỉ cần so hai
chữ số cuối cùng. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2; 4;

8 hoặc chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta chỉ cần xét 1; 2; 3 chữ số
tận cùng của số đó.

Tìm chữ số tận cùng của những lũy thừa bậc thấp, đơn giản học
sinh dễ dàng biết được. Vấn đề đặc ra đứng trước những lũy thừa bậc
cao dựa vào đâu học sinh định hướng được cách giải?

Trong một số năm giảng dạy tôi đã đúc kết một số kinh nghiệm
tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa để cũng cố cho học sinh nhằm
nâng cao kết quả học tập của học sinh nhất là đối với học sinh khá
giỏi. sau đây mong các đồng nghiệp tham khảo góp ý kiến cho tôi.

<b>II. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI</b>

- Đề tài đưa ra một hệ thống các phương pháp tìm một chữ số tận cùng,
hai chữ số tận cùng và ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên hay một
biểu thức số tự nhiên.

- Trang bị cho học sinh lớp 6 đặc biệt là học sinh lớp chuyên chọn có
kiến thức sâu rộng hơn.

- Tạo tiền đề cho các em có kiến thức học tập cao hơn.

- Thơng qua đề tài học sinh có thể nắm một số phương pháp và có thể
vận dụng vào giải bài tốn từ đơn giản đến phức tạp, rèn kĩ năng tìm
chữ số tận cùng và các tính chất chia hết của một số, đồng thời giúp
học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của tốn học đem lại,
kích thích tị mị, khám phá tìm hiểu bài tốn hơn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

học, nâng cao năng lực giải bài toán và có nghị lực vượt qua khó để

giải bài tốn.

- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh cịn lúng
túng trong tìm chữ số tận cùng. Từ đó tơi đã tìm hiểu các tài liệu để
phân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn. Mỗi dạng tôi đưa ra cơ
sở lý thiết và một số bài tâp cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng
toán và các cách làm với những dạng tốn đó.

- Khi nghiên cứu về dạng tốn tìm chữ số tận cùng để tơi nâng cao
nâng lực chuyên môn và làm tư liệu dạy cho học sinh giỏi.

<b>III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU </b>

Đề tài ‘Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự
nhiên” áp dụng chủ yếu cho học sinh lớp 6 và có thể cho học sinh các
lớp 7, 8, 9. Mục đích bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phục vụ cho các kì
thi cuối kỳ, cuối năm, thi học sinh giỏi, thi giải toán qua mạng Internet
(Violympic Toán)….

<b>IV. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI </b>

Thực hiện đối với học sinh lớp 6A1 trường THCS Phương Phú –
<b>Phụng Hiệp – Hậu Giang.</b>

Thực hiện từ đầu học kì I đến cuối năm học 2008-2009.

<b>V. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI</b>

<b>1. Khảo sát thực tế:</b>

<b>1.1. tình trạng thực tế khi chưa sử dụng đề tài:</b>

Khi chưa thực hiện đề tài, các em gặp bài tốn tìm chữ số tận cùng
hoặc bài tốn liên quan, đa số các em hay mắc sai lầm trong lời giải,
lời giải không chặt chẽ, kết luận không sâu sắc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của số: B= 234

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số: C=2999

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của : C=62002_{, D=2}2001_.

Kết quả như sau:

0  2,5 3  4,5 5  6,5 7  8,5 9  10 % trên trung bình

8 12 17 3 0 50%

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>B. NỘI DUNG</b>

<b>PHẦN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN</b>

<b>PHẦN I.I. PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN</b>

<b>CÙNG HOẶC MỘT SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ</b>

<b>TỰ NHIÊN. </b>

<b>Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số:</b>
<b>I. Cơ sở lí thuyết:</b>

Để tìm chữ số tận cùng của 1 số nào đó. người ta thường tìm số dư
của phép chia số đó cho 10

Nhận xét 1: Nếu số nguyên a có tận cùng là các chữ số: 0; 1; 5; 6.
thì an_{cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6}

Nhận xét 2: ta có:

24k_{= 16}k_{≡ 6 ( mod 10)}

34k_{= 81}k_{≡ 1 ( mod 10)}

74k_{= 49}2k_{≡ 1 (mod 10)}

Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nếu nâng lên luỹ thừa 4n + 1 thì
chữ số tận cùng của nó không thay đổi

Các nhận xét 1 và 2 là hiển nhiên. Nhận xét 3 dễ dàng chứng minh.
Xem số tự nhiên : A=nk_{với n, k} <i>_N</i> _.

1.Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:
A = 10a + b = ab <i>⇒</i> b là chữ số cuối cùng của A.

Ta viết:

A = nk _{= (10q + r)}k _{= 10}t _{+ r}k_{với r} _{N; 0} _r ₉

Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk

- Nếu A = 100a + bc = <i>a</i>bc thì bc là hai chữ số cuối cùng
của A.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

- Nếu A=10m_.a

m + <i>am −</i>1 ...<i>a</i>0 = <i>am</i>. ..<i>a</i>1<i>a</i>0 thì <i>am −</i>1 ...<i>a</i>0 là m

chữ số cuối cùng của A.
2.Vận dụng nhị thức Newtơn:

(a+b)n₌ <i>_c</i>
<i>n</i>

0
.<i>a</i>+<i>cn</i>

1

.<i>an −</i>1<i>b</i>+. . ..<i>cn</i>
<i>n −</i>1 .

.<i>a</i>.<i>bn −</i>1+<i>cn</i>
<i>n</i>

.<i>bn</i>

II. Bài tập áp dụng:

<b> Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A= </b> 999

Giải:

Xem số M = 9k _{; k} _N

- Nếu k chẵn <i>⇔k</i>=2<i>m</i> ta có:

M =92m_{= 81}m_{= (80+1)}m

_{=(10q +1)}m _{= 10 t + 1 ( với m, q, t} _N)

Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn.
- Nếu k lẽ <i>⇔</i> k=2m+1 ta có:

M =92m+1_{= 9}2m_{.9 = (10t + 1).9}
_{=10q + 9 ( với m, t, q} _N)

Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 _{là một số lẻ.}

Do đó: A = 999

có chữ số cuối cùng là 9.
<b>Bài 2: tìm chữ số cuối cùng của số: B = </b> 234

<b>Giải:</b>
B = 234

= 281 _{= (2}5₎16 _{.2 = 32}16_.2

= (30+2)16_{.2 = 10q +2}17

_{= 10q + (2}5₎3_.22_{= 10q + (10q + 2)}3_{. 2}2

= 10t + 25_{= 10t + 2}

Vậy B có chữ số cuối cùng là 2.

<b>Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.</b>
I. Cơ sở lý thuyết: nhận xét về lũy thừa
- an_{là một lũy thừa.}

Các trường hợp đặt biệt:
1.các số có dạng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

+ ( <i>a</i>1 )n_{; (} <i>_a</i>₅ ₎n_{; (} <i>_a</i>₆ ₎n_{tận cùng lần lược là 1; 5; 6}

+ ( <i>a</i>3 )4_{; (} <i>_b</i>₇ ₎n_{; (} <i>_b</i>₉ ₎n_{tận cùng lần lược là 1}

+ ( <i>a</i>2 )4_{; (} <i>_a</i>₄ ₎4_{; (} <i>_a</i>₈ ₎4_{tận cùng lần lược là 6}

2. Các số 320_{, 81}5_{, 7}4_{, 51}2_{, 99}2_{tận cùng là 01}

264_{, 6}5_{, 18}4_{, 24}2_{, 68}4_{, 74}2_{có hai chữ số tận cùng là 76.}

125n_{, 25}n_{, 5}2 _{tận cùng là 25.}

3. Các số có dạng:

( <i>a</i>01 )n_{; (} <i>_a</i>₂₅ ₎n_{; (} <i>_a</i>₇₆ ₎n _{có hai chữ số tận cùng lần lượt là: 01,}

25, 76.

<b>Bài 1: tìm chữ số cuối cùng của số A = </b> 999

Giải:

Ta có: 92m_{tận cùng là 1}

92m+1_{tận cùng là 9}

Suy ra: 99_{tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)}

Vậy A= 999 tận cùng là 9.

<b>Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 62002_{, D = 2}2001</b>_.

Giải:

Ta có: 61_{tận cùng là 6}

62_{tận cùng là 6}

63_{tận cùng là 6}

Vậy 6n_{tận cùng là 6 suy ra 6}2002_{tận cùng là 6}

Ta có: 24 _{= 16 tận cùng là 6}

Suy ra 22002_{= (2}4₎500_.22₌ ₍<i>_a</i>₆₎_{. 4}₌<i>_k</i>₄ _{với a, k} _N
<i>⇒</i> 22002_{tận cùng là 4}

<b>Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 71999_{, G = 18}177</b>

Giải:

*Ta có 74_{= 2401 tận cùng là 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

= <i>c</i>3<i>⇒</i> tận cùng là 3
Vậy M = 71999 _{tận cùng là 3}

*Ta có 184 ₌ <i>_n</i>₆ _{tận cùng là 6}

Suy ra: G = 18177 _{= (18}4 ₎44 _.181 ₌ <i>_t</i>₆ _{.18 =} <i>_k</i>₈

Vậy G = 18177 _{tận cùng là 8.}

<b>Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:</b>
a/ 799

b/ 141414

c/ 356

7

Giải:

a/ có: 99_{= (8+1)}9_{= 4k + 1. nên}

799 = 74k+1 = 7.74k = 7. 492k có chữ số

tận cùng là 7.1 = 7

b/ ta có 1414_{= 196}7_{= (49.4)}7_{= 4k}

nên: 141414 = 24k.74k = 16k.2401k nên tận cùng của nó là 6

c/ có 567 = (4+1) ❑6

7

= 4k+1 . nên 356

7

= 34k+1_{= 3.3}4k_{= 3.81}k_{có tận}

cùng là 3.1 = 3.

<b>Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:</b>
T = 21_{+ 3}5_{+ 4}9_{+ ...+ 2004}8009

Giải:

Chú ý rằng tất cả các số mũ đều có dạng 4(n-2) +1 với n 2.
nên tất cả các số hạng của tổng đều có tận cùng là tận cùng của chính
số đó khi khơng lấy luỹ thừa.

Mặt khác ta có: T = 21_{+ 3}5_{+ 4}9_{+ ...+ 2004}8009 _{= 2}1_{+ 3}5_{+ 4}9_{+ 5}13

+617_{+ 7}21_{+ 8}25_{+ 9}29₊

⏟

1033+1137+.. .. . .. .. . .. .. . ..+20007992

1990sè + .... +

20048009

vậy nên T có chữ số tận cùng là chữ số của tổng sau

T’ = ( 2+3+....+9) +199(0+1+2+....+9) + (1+2+3+4) = 9009
Vậy chữ số tận cùng của T là 9.

<b>Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng: T = 23_{+ 3}7_{+ 4}11_{+ ...+}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Giải:

Nhận xét rằng các số mũ của các số hạng trong tổng trên đều có
dạng 4(n-2) +3 với n 2

Vậy nên ta đi tìm quy luật của chữ số tận cùng của số a4k+3_{với a =}

{0,...9}

Ta có : các số có tận cùng là : 0; 1; 5; 6. thì ak_{cũng có tận cùng là 0; 1;}

5; 6

xét 24k+3_{= 8.2}4k_{= 8.16}k_{có tận cùng là 8}

34k+3_{= 27.81}k_{có tận cùng là 7}

44k+3_{= 64.2}8k_=64.162k_{có tận cùng là 4}

74k+3_{= 343.2401}k_{có tận cùng là 3}

84k+3_{= 512.16}2k_{có tận cùng là 2.}

Vậy chữ số tận cùng của T cũng là chữ số tận cùng của T’ =

(8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019
Vậy chữ số tận cùng của T là 9.

<b>Bài 7: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho số n2_{+ n}_{+ 1 chia}</b>

<b>hết cho 20052005</b>

Giải:

Số 20052005_{có tận cùng là 5. nên nó chia hết cho 5}

ta có n2_{+ n + 1 = n(n+1) +1 chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 1, 3, 7.}

nên nó khơng chia hết cho 5
Vậy không tồn tại n.

<b>Bài 8: chứng minh rằng các tổng sau khơng thể là số chính phương</b>
a/ M = 19k _{+ 5}k_{+ 1995}k₊₁₉₉₆k_{( với k tự nhiên chẵn)}

b/ N = 20042004k_{- 2003}

Giải:

a/ vì k chẵn nên k = 2n

19k_{= 19}2n₌₃₆₁n_{có tận cùng là 1}

5k_{+ 1995}k_{có tận cùng là 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

vậy tổng M có tận cùng là 7 nên nó khơng là số chính phương. vì các
số chính phương chỉ có thể có tận cùng là 0; 1;4;9;6;5.

b/ ta có: 20042004k_{= (2000 + 4)}2004k_{= 10n + 4}2004k_{= 10n + 16}1002k_{có tận}

cùng là 6

Nên N có tận cùng là 3. nên N khơng thể là số chính phương.

<b>Bài 9: cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. chứng minh rằng ( P8n₊</b>

<b>3p4n_{- 4 )}_⋮_5.</b>

Giải:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 nên tận cùng của p chỉ có thể là các chữ
số: 1; 3; 7; 9

Nếu P có tận cùng là 1 thì P8n_{+ 3p}4n_{– 4 có tận cùng là 0 nên nó chia}

hết cho 5

Nếu P có tận cùng là 3 thì p4n_{= 10k+ 3}4n_{= 10k + 81}n_{có tận cùng là 1.}

p8n_{có tận cùng là 1. nên: P}8n_{+ 3p}4n_{– 4 có tận cùng là 0. nên nó chia}

hết cho 5

Nếu p có tận cùng là 7 thì tương tự. tận cùng của p4n_{và p}8n_{cũng có tận}

cùng là 1. nên tổng chia hết cho 5

Nếu p có tận cùng là 9 thì:p4n_{= 10k + 9}4n_{= 10k + 81}2n_{có tận cùng là 1}

và p8n₌ <i>p</i>4<i>n</i>¿2

¿ có tận cùng là 1

Nên tổng trên cũng chia hết cho 5.

Tóm lại với p ngun tố lớn hơn 5 thì tổng ln chia hết cho 5
Nhận xét chung về phương pháp:

1. Tách an_{dưới dạng (10k + a}

1)n với a1 = {0, 1, ...9}

2. Viết n dưới dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3)

3. Sử dụng nhận xét 1, 2, 3 đã chứng minh ở trên.
<b>Phương pháp 3: Dùng đồng dư</b>

<b>I.Cơ sở lý thuyết:</b>

<b>1. Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a và chia cho m có</b>
cùng số dư ta nói a đồng dư với 6 theo mô đun m và viết a  b(mod

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>2. Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau:</b>
a.a đồng dư với b theo mơ đun m

b.a-b chia hết cho m

c.có một số nguyên t sao cho a = b + m.t
<b>3.Tính chất:</b>

1. a a(mod m)

2. a b(mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m)
3.

¿
<i>a ≡ b</i>(mod<i>m</i>)
<i>c ≡ d</i>(mod<i>m</i>)

¿{
¿

suy ra: <i>a ± b ± d</i>_ac<i>_≡</i>_bd (mod<i>m</i>)

(mod<i>m</i>)

Hệ quả: a+c b (mod m) <i>⇒</i> a b - c (mod m)
a b (mod m) <i>⇒</i> am _bn _{(mod m)}

4. Nếu a b (mod m); k ƯC(a,b), (k,m) = 1 thì <i>a_k</i>=<i>b</i>

<i>k</i>(mod<i>m</i>) .

5.

¿
<i>a ≡b</i>(mod<i>m</i>)

<i>k∈Ζ , k</i>>0
¿{

¿

suy ra ka kb (mod m).

6. d ƯC(a,b,m) thì : a b (mod m) suy ra <i>a_d</i>=<i>b</i>
<i>d</i>(mod

<i>m</i>
<i>d</i> )

7. Nếu a b (mod m1) và a b (mod m2) suy ra a b (mod m)

M = BCNN(m1,m2)

Hệ quả: (m1, m2, …, mn ) = 1 và nguyên tố từng đôi

Suy ra: a b (mod m1), a b (mod m2),……a b (mod mn)

a b (mod m1, m2, ….Mn).

<b>II. Bài tập</b>

<b>Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 _{và 2}1000</b>

Giải:

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

* Ta có: 62_{= 36} _{6 mod 10 suy ra 6}n_{= 6 mod 10}

* Với N là số tự nhiên khác 0

* Suy ra: 6195 _{6 (mod 10) vây cữ số tận cùng của 6}195_{là 6.}

*Tacó: 21000 _{= 2}4 . 250 _{= (2}n₎250

Vì 2n ₁₆ _{6 (mod 10)}

Suy ra: (2n₎250 ₁₆250 _{6 (mod 10)}

Do đó: 21000

 6250 6(mod 10)

Nghĩa là hữ số tận cùng của 21000_{là 6.}

Vậy ta tận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm
chữ số tận cùng của số N với:

Một chữ số tận cùng là N a (mod 10) suy ra: tận cùng là a: a<10

Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng là b:
b<100

Ba chữ số tận cùng là N c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:
c<1000

……….

m chữ số tận cùng là N K (mod 10…0) suy ra tận cùng là k:
K<10…0

<b>Phương pháp 3: Dùng các tính chất </b>
<b>I.Cơ sở lý thuyết:</b>

<b>1.Tính chất 1</b>

-Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng tận cùng bằng 0; 1; 5; 6

-Các số có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4 thì được số có
tận cùng bằng 6

-Các số có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thưa 4 thì được số có
tận cùng bằng 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Việc chứng minh tính chất trên là khơng khó, xin dành cho các bạn.
Như vậy muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x=am _{trước hết}

ta xác định chữ số tận cùng của a.

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận
cùng là 0, 1, 5, 6

- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9 vì am_=a4n+r_=a4n_ar_{với r=0, 1, 2,}

3 nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số
tận cùng của ar_.

-Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 cũng như trường hợp trên từ
tính chất suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của
6.ar

<b>Bài 1: Chữ số tận cùng của 187324</b>

Giải:

Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên lũy thừa bậc 4 thì có tận
cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên lũy thừa nào (khác
0) cũng tận cùng bằng 1. do đó

187324₌₍₁₈₇4₎81_=(…1)81_=(…1)

Vậy chữ số tận cùng của 187324_{là 1}

<b>Bài 2: Chứng minh rằng 8102_-2102_{chia hết cho 10}</b>

<b>Giải :</b>

Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lũy thừa 4 thì đựơc
số có tận cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên lũy thừa

nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6. Do đó ta biến đổi như sau:
8102₌₍₈4₎25_.82_=(…6)25_{.64=(.6).64=…4}

2102₌₍₂4₎25_.22 ₌₁₆25_{.4=(...6).4=…4}

Vậy 8102_-2102_{tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10}

<b>2.Tính chất 2</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách
tính tổng các chữ số tận cùng của các lũy thừa trong tổng.

Bài tốn 1

Tìm chữ số tận cùng của tổng s=21₊₃5₊₄9 _+…+2004800

Lời giải

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mủ khi chia cho 4 thì dư 1
(các lũy thừa đều có dạng n4(n-2)+1_{, n} _{}2,3...,2004}.}

Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều
có chữ số tận cùng của tổng :

(2+3+...+9)+199.(1+2+…+9)+1+2+3+4=200.(1+2+…+9)+9=9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9

Từ tính chất 1 tiếp tục suy ra tính chất 3.
<b>3.Tính chất 3:</b>

a) Số chữ số tận cùng là 3 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ số
tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc
4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.

b) Số chữ số tận cùng là 2 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ số
tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc
4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.

c) Các chữ số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên
lũy thừa bậc 4n+3 sẽ khơng thay đổi chữ số tận.

<b>Bài tốn 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng</b>
T=23₊₃7₊₄11_+...+20048011

Lời giải:

Nhận xét:mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3
(các lũy thừa đều có dạng n4(n-2)+3_n _{}2, 3,…,2004})}

Theo tính chất 3 thì 23_{có chữ số tận cùng là 8; 3}7_{có chữ số tận}

cùng là 7; 411_{có chữ số tận cùng là 4…}

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

=(8+7+4+5+6+3+2+9)+199.

(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4=9019
Vây chữ số tận cùng của tổng T là 9.

Trong một bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá
độc đáo.

<b>Bài tốn 2: Tồn tại hay khơng một số tự nhiên sao cho n</b>2_{+n+1 chia hết}

cho 19952000_.

<b>Lời giải: </b>

19952000_{tận cùng bằng chữ số 5 chia hết cho 5 vì vậy ta đặt vấn đề là}

liệu n2_{+n+1 có thể chia hết cho 5 hay khơng?}

Ta có: n2_{+n=n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận}

cùng của n2_{+n chỉ có thể là 0; 2; 6} <i>_⇒</i> _n2_{+n+1 chỉ có thể tận cùng là}

1; 3; 7 <i>⇒</i> n2_{+n+1 không chia hết cho 5.}

Vậy không tồn tại số tự nhiên sao cho n2_{+ n+1 chia hết cho 1995}2000

Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các
chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9; ta có thể giải được bài toán sau:

<b>Bài toán 3: Chứng minh rằng các tổng sau khơng thể là các số chính</b>
phương:

a) M=19k₊₅k₊₁₉₉₅k₊₁₉₉₆k_{(với k chẳn)}

b) N=20042004k₊₂₀₀₃

Sử dụng tính chất một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bằng

các chữ số 1; 3; 7; 9; ta tiếp tục giải được bài toán:

<b>Bài toán 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5,</b>
Chứng minh rằng: p8n_3.p4n_-4 _⋮ ₅

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Phương pháp 1: Nếu x</b>N và x=100+y; trong đó k; y  N thì hai chữ

số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.

Hiển nhiên là y ≤ x, như vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tận
cùng của hai số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng
của hai số tự nhiên y (nhỏ hơn).

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn
giản hơn.

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng
của hai số tự nhiên x=am_{như sau:}

Trường hợp 1: Nếu a chẳn thì x=am _⋮ ₂m

Gọi n là số tự nhiên sao cho an_-1 _⋮ ₂₅

Viết m=pn (p; qN) trong đó q là số nhỏ nhất để aq ⋮ 4 ta có:

X=am_=aq_(apn_{-1) +a}v

Vì an_-1 _⋮ ₂₅

Mặt khác do (4,25)=1 nên aq_(apn-1₎ _⋮ ₁₀₀

Vậy hai chữ số tận cùng của Am_{cũmg chính là hai chữ số tận cùng của}

aq

Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của aq

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 _⋮ ₁₀₀

Viết m=un+v (u,v  N, 0 ≤ v < n ) ta có

X=am_=av_(aun_-1)+av

Vì an-1 _⋮ _{100. Vậy hai chữ số tận cùng của a}m_{cũng chính là hai chữ}

số tận cùng của av_{. Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của a}v_.

Khoảng trong hai trường hợp trên chìa khóa để giải được bài
tốn này là chúng ta phải tìm đựoc số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q
và v càng nhỏ nên sẽ dể dàng tìm ra hai chữ số tận cùng của aq _{và a}v _.

<b>Phương pháp 2:</b>

Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, cần chú ý đến
những số dặc biệt:

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

-Các số 320_{(hoặc 81}5_{), 7}4_{, 51}2_{, 99}2_{có tận cùng bằng 01}

-Các số 2020_{, 6}5_{, 18}4_{, 24}2_{, 68}4_{, 74}2_{có tận cùng bằng 76}

-Số 36n_{(n>1) có tận cùng bằng 76}

<b>Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 7</b>1991

<b>Giải:</b>

Ta thấy: 74_{=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng}

tận cùng bằng 01. Do đó:

71991₌₇1988_.73₌₍₇4₎497_.343=(…01)497_.343

=(…01).343=….43

Vậy 71991_{có hai chữ số tận cùng bằng 43}

<b>Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 2</b>100

<b>Giải:</b>

Chú ý rằng: 210_{=1024, bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận}

cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng tận cùng là 76. Do đó:

(2)100₌₍₂10₎10_=(1024)10₌₍₁₀₂₄2₎5_=(….76)5_=….76

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 _{là 76.}

<b>Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C=2</b>999_{, D=3}999

<b>Giải:</b>

*Ta có: 220_{có 2 chữ số tận cùng là 76.}

Suy ra: C=2999₌₍₂20₎49_.219₌₍ <i>_y</i>₇₆ _). <i>_n</i>₈₈ _{(với y, n, q}__N)

Vậy C=2999_{có 2 chữ số tận cùng là 88}

*Ta có: 3D = 31000₌₍₃20₎50₌₍ <i>_k</i>₀₁ ₎50₌ <i>_z</i>₀₁

Nên 3D tận cùng là 01, mà 3.3999 _⋮ ₃

 chữ số hàng trăm của 31000 là

2

<i>⇒</i> 31000_{tận cùng là 201}

Vậy 3999_{có hai chữ số tận cùng là 67}

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

a) M=78966

b) N=247561

c) =816251

<b>Giải:</b>

a)Ta có 74_{có hai chữ số tận cùng là 01}

Suy ra M=78966₌₍₇4₎2241_.72₌₍ <i>_a</i>₀₁ ₎2241_.49= <i>_c</i>₀₁ _.49= <i>_n</i>₄₉ _{(với a,c,n}

N)

Suy ra M=78966_{có hai chữ số tận cùng là 49}

b)Ta có 242_{tận cùng là 76}

Suy ra N=247561₌₍₂₄2₎3765_.24=( <i>_m</i>₇₆ ₎3765_.24= <i>_k</i>₇₆ _.24= <i>_n</i>₂₄ _{(với m,}

k, n  N)

Vậy N=247561_{có hai chữ số tận cùng là 24}

c) Ta có 815_{có hai chữ số tận cùng là 01}

Nên Q=816251₌₍₈₁5₎1250_.81=( <i>_k</i>₀₁ ₎1250_.81= <i>_m</i>₈₁ _{(Với k, t, m}__N)

Vậy Q=816251_{có hai chữ số tận cùng là 81.}

<b>Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của số.</b>

a) Z=26854 _b) _c=68194

<b>Giải: </b>

a)Ta có 264 _{có hai chữ số tận cùng là 76}

<i>⇒</i> Z=26854₌₍₂₆4₎213_.262₌₍ <i>_n</i>₇₆ ₎213_{. 676=} <i>_k</i>₇₆ _.676= <i>_c</i>₇₆ _{(Với n,}

k, t  N)

Vậy Z= 26854_{có hai chữ số tận cùng là 76}

b) Ta có 684_{có hai chữ số tận cùng là 76}

Suy ra C= 68194_{= (68}4₎48_.682_{= (} <i>_n</i>₇₆ ₎48_{.4624 =} <i>_k</i>₇₆ _{.4624 =} <i>_t</i>₂₄

(với n, k, t  N)

Vậy C=68194_{có hai chữ số tận cùng là 24.}

<b>Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của</b>
a.D=2999

b.G=3999

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

A.Ta có: 2999₌₂1000 _{: 2}

Ta có: 220_{= 1048576} _{1 (mod 25)}

Suy ra: (220₎50 ₁50_{(mod 25)}

21000 _{1 (mod 25)}

21000_{chia cho 25 dư 1}

21000_{Có hai chữ số tận cùng là 1; 26; 51; 76; nhưng 2}1000 _⋮ _{4 suy ra}

hai chữ số tận cùng của nó là 88.

b. Ta có: 34 _{19 (mod 100) suy ra 3}8 ₁₉2 _{6 (mod 100)}

310 _61.9 _{49 (mod 100) suy ra 3}100 ₄₉2 _{1 (mod 100)}

Suy ra: 31000 _{01 (mod 100)}

Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000_{là 01}

Số 31000 _⋮ _{3 nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải dư 2}

(chia tiếp thì số 201: 3 nếu số dư là 0,1 thì 001; 101 khơng chia hết cho
3)

Vậy 3999₌₃1000 _⋮ _{3 có hai chữ số tận cùng là 76}

<b>Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=</b> 999

<b>Giải:</b>

Ta có: 92₌₈₁ _{1 (mod 10) suy ra 9}8 ₍₉2₎n _{1 (mod 10)}

Suy ra 99 _1.9 _{9 (mod 10) suy ra 9}9 _{10k+9 (k}__N)

94₌₆₅₆₁ _{61 (mod 100)}

98 ₆₁2 _{21 (mod 100)}

9100 _2k81 _{01 (mod 100)}

910k _{1 (mod 100)}

Suy ra: 999

= 910k+9_{= (9}10₎k_.99 _1.99_{(mod 100)}

Ta lại có: 93_{= 729} _{29 (mod 100)}

99_{= 29}3 _{89 (mod 100)}

Vậy 999 có hai chữ số cuối cùng là 89

<b>Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của số 1991</b>1997_{; 1997}1996

<b>Giải:</b>

Ta có: 1991 1 (mod 10) suy ra 19911997 _{1 (mod 10)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Ta có: 1997 7 (mod 10) suy ra 19972 ₄₉ _{9 (mod 10)}

Suy ra 19974 _{1 (mod 10) suy ra (1997}4₎409 _{1 (mod 10)}

Suy ra 19971996 _{1 (mod 10)}

Vậy 19971996_{có chữ số tận cùng là 1}

<b>Bài 9:</b> <b>Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 2999</b>

<b>Giải: </b>

Ta có: 210 _{+ 1 =1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 2}10_{– 1} _⋮ ₂₅

Ta lại có 21000_{– 1 = (2}20₎50_{– 1} _⋮ ₂20_{– 1 suy ra 2}1000_{– 1} _⋮ ₂₅

Do đó 21000_{chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhưng 2}1000 _⋮ ₄

Suy ra 21000_{tận cùng là 76} <i>_⇒</i> ₂999_{tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2}999 _⋮

4

<i>⇒</i> 2999_{tận cùng là 88}

Vậy C=2999_{có hai chữ số tận cùng là 88.}

<b>Bài 10: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3</b>999

<b>Giải:</b>

Ta có: 92m_{tận cùng là 1 ; 9}2m+1_{tận cùng là 9}

Ta hãy tìm số dư của phép chia 95_{+1 cho 100}

Ta có: 95_{+ 1 =10(9}4_{– 9}3_{+ 9}2_{– 9 + 1)}

Số: 94_{+ 9}2_{+1 tận cùng là 3}

93 _{+ 9 tận cùng là 8}

Suy ra (94_{– 9}3_{+ 9}2_{– 9 + 1) tận cùng là 5}

<i>⇒</i> 94_{– 9}3_{– 9}2_{– 9 + 1 = 10q + 5}

<i>⇒</i> 95_{+ 1 = 100q + 50}

<i>⇒</i> 910_{– 1 = (9}5_{+ 1)(9}5 _{– 1) = 100}t

Ta lại có: 31000 _{- 1 = 9}500 _{– 1 = (9}10₎50_{– 1 suy ra 3}1000_{– 1} _⋮ ₁₀₀
<i>⇒</i> 31000_{tận cùng là 01 . Mặt khác 3}1000 _⋮ ₃

Suy ra chữ số hàng trăm của 31000_{phải là 2 (để 201 chia hết cho 3)}
<i>⇒</i> 31000_{chữ số tận cùng là 201}

Do đó 3999_{tận cùng là 67.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>Giải :</b>
A = 999

= (10 -1)9

❑9 có dạng: (10 – 1)n với n=99 ta lại có
A = C ❑<i>n</i>

0 _{. 10}n_{- C}

❑<i>n</i>

1 _{. 10}n-1_{+ ……+ C}

❑<i>n</i>

<i>n−</i>1 _{. 10 - C}

❑<i>n</i>
<i>n</i>

Suy ra A có hai chữ số cuối cùng
Với a = C ❑<i>n</i>

<i>n−</i>1 _{.10 - C}

❑<i>n</i>

<i>n</i> _{= 10n -1 Số n = 9}9_{tận cùng là 9}

Suy ra 10n tận cùng là 90 <i>⇒</i> a =10n -1 tận cùng là 89
Vậy số A = 999 có hai chữ số cuối cùng là 89

<b>Bài 12: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B </b> 999

9

<b>Giải:</b>
B= 999

9

= (10-1) với m =99

❑9
= c ❑<i>m</i>

0 _.10m_{- c}

❑<i>m</i>

1 _.10m-1_{+…+ c}

❑<i>m</i>

<i>m−</i>1 _.10-c

❑<i>m</i>
<i>m</i>

<i>⇒</i> B có hai chữ số cuối cùng với số:
B= c ❑<i>m</i>

<i>m −</i>1 _.10-c

❑<i>m</i>

<i>n</i> _{= 10m-1}

Số m=99

❑9 tận cùng là 9
Suy ra: số b tận cùng là 89.
Vậy: Số B= 999

9

_{có hai chữ số tận cùng là 89.}

<b>PHẦN I.III: PHƯƠNG PHÁP TÌM BA CHỮ SỐ TẬN</b>

<b>CÙNG HOẶC BA CHỮ SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Phương pháp 1. Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một lũy thừa,</b>
cần chú ý rằng:

-Các số tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa nào (khác
0) cũng tận cùng bằng 001, 376, 625

-Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lân lũy thừa nào (khác 0)
cũng tận cùng bằng 0625.

<i><b>Bài 1: Tìm bốn chữ số tận cùng của 5</b><b>1992</b></i>
<i><b>Giải </b></i>

51992₌₍₅4₎498₌₆₂₅498₌₀₆₂₅498_=(…0625)

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992_{là 0625}

<i><b>Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5</b><b>946</b></i>
<i><b>Giải </b></i>

Ta có 53_{có ba chữ số tận cùng là 125}

Suy ra T = 5946_{= (5}3₎315_.5=( <i>_n</i>₁₂₅ ₎315_.5= <i>_m</i>₁₂₅ _.5= <i>_t</i>₆₂₅

(Với n, m, t N)

Vậy T = 5946_{có ba chữ số tận cùng là 125.}

<i><b>Bài 3: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P=5</b><b>1994</b></i>
<i><b>Giải</b></i>

Ta có: 54_{=0625 tận cùng là 0625}

55 _{tận cùng là 3125}

56 _{tận cùng là 5625}

57_{tận cùng là 8125}

58 _{tận cùng là 0625}

59 _{tận cùng là 3125}

510_{tận cùng là 5625}

511_{tận cùng là 8125}

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Chu kỳ lặp là 4

Suy ra: 54m_{tận cùng là 0625}

54m+1_{tận cùng là 3125}

54m+2_{tận cùng là 5625}

54m+3_{tận cùng là 8125}

Mà 1994 có dạng 4m+2. Do đó M=51994_{có 4 chữ số tận cùng là 5625.}

<i><b>Bài 4: Tìm ba chữ số tận cùng của 2</b><b>13</b></i>
<i><b>Giải</b></i>

Ta có 210_{= 1024; 2}10_{= 24 (mod 1000)}

Có 23 _{8 (mod 1000); 2}13 _{192 (mod 100)}

Vậy ba chữ số cuối cùng của 213_{là 192.}

<b>PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<i><b>Bài 1: Chứng minh tồn tại m</b></i> <i><b> N để số 3</b><b>m</b><b>_{tận cùng là 001}</b></i>
<i><b>Giải </b></i>

Ta chứng minh tồn tại n N để 3n_{– 1} _⋮ ₁₀3

Xét dãy gồm 1000 số hạng 3; 32_{; 3}3_;…; ₃103

(*)

Chia các số hạng của dãy (*) cho 103_{thì số dư của phép các chia có thể}

là

1; 2; 3;…; 999 (Vì 3n_{khơng chia hết cho 10}3_{với mọi n thuộc N) mà có}

1000 phép chia nên ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho 103

(Nguyên lý Dirichle)

Gọi 2 số đó là 3i_{và 3}j_{với i, j} _{N, 1} _{i < j} ₁₀3

Suy ra: 3j_{– 3}i _⋮ ₁₀3

3i₍₃j-i_{– 1)} _⋮ ₁₀3_{mà (3}i_{,10) = 1}

(3i_,103_{) = 1} <i>_⇒</i> ₃j-I_-1 _⋮ ₁₀3

Vậy tồn tại n N cho 3n_{tận cùng bằng 001.}

Bằng phương pháp tương tự ta có thể giải được bài tốn khó hơn như
sau:

<i><b>Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại n </b></i> <i><b> N, Sao cho số 3</b><b>n </b><b>_{tận cùng là}</b></i>
<i><b>000001</b></i>

<i><b>Giải</b></i>

Ta chứng minh tồn tại n N để 3n_-1 _⋮ ₁₀6

Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32_{; 3}3_;…; ₃106

(*)

Chia các số hạng của dãy (*) cho 106_{thì số dư của các phép chia có thể}

là

1; 2; 3;…; 99999 (Vì 3n_{khơng chia hết cho 10}6_{với mọi n thựơc N) mà}

có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho
106

(Nguyênlý Dirichle)

Gọi 2 số đó là 3i_{và 3}j_{với i, j} _{N, 1} _{i < j} ₁₀6_suy

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

suy ra: 3i₍₃j-i _{– 1)} _⋮ ₁₀6_{mà (3}i_{,10) =1}

(3i_,106_{) = 1} <i>_⇒</i> ₃j-i_{– 1} _⋮ ₁₀6

Vậy tồn tại n N cho 3n_{tận cùng bằng 000001.}

<i><b>Bài 3. Chứng minh răng 26</b><b>1570</b><b>_{chia hết cho 8}</b></i>
<i><b>Giải:</b></i>

Ta thấy :265_{= 11881376, số có tận cùng bằng 376 nâng lên lũy thừa}

Nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 376. Do đó:
261570₌₍₂₆5₎314_=(…376)314_=(…376)

Mà 376 chia hết cho 8

Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8
Vậy 261570_{chia hết cho 8}

<b>Bài 4: </b><i><b>Chứng minh rằng n</b><b>5</b><b>_{và n có chữ số tận cung giống nhau}</b></i>

<b>Giải</b>

Để chứng minh n5 _{và n có cùng chữ số tận cùng là đi chứng minh n}5_{– n}

⋮ 10

Ta có: A =n5_{– n = n(n}4_-1).(n2₊₁₎

=(n-1).n(n+1).(n2₊₁₎

Ta có 10 =2.5 và (2.5)=1

(n-1), n, n+1 là các số tự nhiên liên tiếp
Suy ra A ⋮ 2

Chứng minh A ⋮ 5 nếu n ⋮ 5 thì Ạ ⋮ 5
Nếu n ⋮ 5 dư 1 suy ra n-1 ⋮ 5 <i>⇒</i> A ⋮ 5

n: 5 dư 2 suy ra n2_{+1 = (5k+2)}2_{+1 = (5k)}2_+20k+4+1 _⋮ ₅ <i>_⇒</i> _A

⋮ 5

n: 5 dư 3 suy ra n2_{+1 =(5k+3)}2_{+1 = (5k)}2_+30k+9+1 _⋮ ₅ <i>_⇒</i> _A

⋮ 5

n: 5 dư 4 suy ra n+1 ⋮ 5 <i>⇒</i> A ⋮ 5
Vậy A ⋮ 2 và A ⋮ 5 <i>⇔</i> A ⋮ 10

Vậy n5_{và n có cùng chữ số tận cùng.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<i><b>Bài 5:</b></i> <i><b>Chứng minh rằng 1991</b><b>1997</b><b>_-1997</b><b>1996 </b></i> _⋮ <i><b>₁₀</b></i>
<i><b>Giải</b></i>

Là chứng minh 2 số có cùng chữ số tận cùng: Theo bài 4 phương pháp
3

Ta có 19911997_{và 1997}1996_{có cùng chữ số tận cùng là 1}

Suy ra 19911997_-19971996 _⋮ ₁₀

<i><b>Bài 6: Tích 1125! tận cùng là bao nhiêu chữ số 0</b></i>
<i><b>Giải</b></i>

Ta thấy 2.5 = 10 tận cùng là một chữ số 0
Suy ra có một thừa số 5 tận cùng là 1 số 0
Với 51_{suy ra 1} <i>_⇒</i> _{1125 có} 1125<i>−</i>5

5 +1 = 225 (chữ số 5)

Với 52_{suy ra} 1125<i>−</i>25

25 +1 =45 (số)

Với 53_{suy ra} 1125<i>−</i>125

125 +1 =9 (số)

Với 54_{có 625 có 1 (số)}

Vậy có 225+45+9+1 =280 số
Vậy tận cùng có 280 chữ số 0.

<b>PHẦN III. BÀI TẬP THAM KHẢO</b>

Bài 1:

Chứng tỏ rằng 175₊₂₄4_-1321_{chia hết cho 10}

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7430_{; 49}31_{; 87}32_{; 58}33_{; 23}35

Bài 3:

Tìm hai chữ số tận cùng của 5n_(n>1)

Bài 4:

Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a/(2345₎42

b/(5796₎35

Bài 5:

Cho A =51n₊₄₇102_(n

 N)

Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10
Bài 6:

Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau:
a/ 132001_-82001

b/7552_-218

c/12591₊₁₂₆92

d/116₊₁₂6₊₁₃6₊₁₄6₊₁₅6₊₁₆6

Bài 7:

Chứng tỏ rằng với mọi n N* (n>1) thì (22)n +1 có chữ số tận

cùng là 7
Bài 8:

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên đầu tiên n:
a/74n_{-1 chia hết cho 5}

b/34n+1_{+2 chia hết cho 5}

c/24n+1_{+3 chia hết cho 5}

d/24n+2_{+1 chia hết cho 5}

e/92n+1_{+1 chia hết cho 10}

Bài 9:

Tìm hai chữ số tận cùng của
a/5151

b(9999₎99

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

d/14101_.16101

<b>PHẦN IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ</b>

<b>ĐỐI CHỨNG</b>

Sau một thời gian kiên trì thực hiện các phương pháp trên các
em rất thích loại tốn này và có khả năng giải tốt các bài tốn tìm chữ
số tận cùng và các bài toán liên quan.

<b>Số học 6</b>
<b>Tiết 21</b>

<b>Họ và tên GV: Châu Ngơ Khởi</b>
<b>Tổ Tốn Lý</b>

<b>Ngày dạy: 05/10/2009</b>

<b>DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2 VÀ </b>

<b>5</b>

<b>I. Mục tiêu bài học </b>

- Học sinh nắm vững dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 và hoểu được cơ sở
của dấu hiệu đó

- Biết vận dụng các dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 để nhanh chóng xác
định được một số, một tổng, một hiệu có chai hết cho 2, cho 5 hay
khơng

- Rèn kĩ năng tính tốn, biến đổi, chính xác khi phát biểu và vận dụng
các dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5. Xây dựng ý thức học tập tự giác,
tích cực và tinh thần hợp tác trong học tập.

<b>II. Phương tiện dạy học </b>
- GV : Bảng phụ, thước
- HS : Bảng nhóm, thước

III.Tiến trình

<i><b>Hoạt động của thầy</b></i> <i><b>Hoạt động của trò</b></i> <i><b>Ghi bảng</b></i>
<i><b>Hoạt động 1:</b></i> Bài cũ

1. Khi nào thì tổng a + b

⋮ m ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<i><b>Hoạt động của thầy</b></i> <i><b>Hoạt động của trò</b></i> <i><b>Ghi bảng</b></i>

2. Viết số 43¿<i>∗</i>

¿ dưới

dạng tổng của hàng
chục và hàng đơn vị
* Vậy các số 20, 30,
610, 1240

ta có thể viết thành tích
của hàng chục với 10
như thế nào?

Ta thấy các số nào như
thế nào với 2 và 5 ?
Vậy những số như thế
nào thì chia hết cho cả
2 và 5 ?

.<i><b>Hoạt động 2 :</b></i> Số nào
chia hết cho 2 và 5.
Vậy từ VD trên hay rút
ra nhận xát tổng quát về
các số chia hết cho 2 và
chia hết cho 5 ?

<i><b>Hoạt động 3:</b></i>Số nào
chia hết cho 2

Từ ví dụ trên số 43¿<i>∗</i>

¿

= ?

Vậy ta có thể thay *
bằng những số nào để
(430 + *) ⋮ 2 ?
Hay 43¿<i>∗</i>

¿ ⋮ 2 Vì

sao?

¿

43<i>∗</i>

¿ = 430 + *

20 = 2 . 10 = 2. 2 . 5
30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5
610 = 61 . 10 = 61 . 2
. 5

1240 = 124 . 10 =
124 . 2 . 5

Đều chia hết cho 2
và 5

Những số có chữ số
tận cùng là 0

Học sinh nhắc lại
vài lần

¿

43<i>∗</i>

¿ = 430 + *

Thay * bằng các số
0, 2, 4, 6, 8

Vì các số hạng của
tổng chia hết cho 2
Các số chẵn

Thay bằng các số 1,
3, 5, 7, 9

Có chữ số tận cùng
bằng 1, 3,

<b>1. Nhận xét mở đầu</b>
VD:

* 20 = 2 .10 = 2. 2 . 5
Chia hết cho 2, cho 5 .
* 30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5
Chia hết cho 2, cho 5
* 610 = 61 . 10 = 61 . 2

. 5 Chia hết cho 2, cho 5
* 1240 = 124 . 10 =
124 . 2 . 5

Chia hết cho 2, cho 5
<b>Nhận xét : </b>

<i><b>“Các số có số tận cùng</b></i>
<i><b>là 0 đều chia hết cho 2 </b></i>
<i><b>và chia hết cho 5”</b></i>

<b>2. Dấu hiệu chia hết </b>
<b>cho 2</b>

<b>Tổng quát: SGK</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<i><b>Hoạt động của thầy</b></i> <i><b>Hoạt động của trị</b></i> <i><b>Ghi bảng</b></i>

Đây là các số gì ?

Vậy thay * bằng các số
nào thì

(430 + *) ⋮ 2 Hay

¿

43<i>∗</i>

¿ ⋮ 2

Vậy các số như thế nào
thì khơng chia hết cho 2
? Vì sao ?

Vậy khi nào thì một số
chia hết cho 2 ?

Vậy cịn những số có
chữ số tận cùng là
những số lẻ thì sao
?1. Cho học sinh trả lời
tại chỗ

Vậy thì các số như thế
nào thì chia hết cho 5 ?

<i><b>Hoạt động 4:</b></i>Số nào
chia hết cho 5

Tương tự ta có thể thay
* bằng các số nào để
430 + * chia hết cho 5 ?
Vì sao ?

Vậy những số như thế
nào thì chia hết cho 5
?2. Ta thay * bằng các
số nào trong số 37¿<i>∗</i>

¿

để chia hết cho 5?

<i><b>Hoạt động 5</b></i> : Củng cố

5, 7, 9 . Vì các số
này khong chia hết
cho 2

Các số có chữ số tận
cùng là số chẵn
Không chia hết cho 2
Số 328 và 1234 chia
hết cho 2

Số 1437, 895 không
chia hết cho 2

Thay * bằng các số
0 hoặc 5

Vì khi thay bằng các
số 1, 2 , 3, 4, 6, 7, 8,
9 thì tổng 430 +*
khơng chia hết cho 5
Những số có chữ số
tận cùng bằng 0 và 5

0 và 5

Học sinh thảo luận,
trình bày

Các số 1437 và 895
khơng chia hết cho 2
3. Dấu hiệu chia hết cho
5

Tổng quát :SGK

2. Ta có 370 và 375
chia hết cho 5
<b>4.Bài tập</b>

Bài 93 Sgk/38

a.Chia hết cho 2, không
chia hết cho 5

b.Chia hết cho 5, không
chia hết cho 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<i><b>Hoạt động của thầy</b></i> <i><b>Hoạt động của trò</b></i> <i><b>Ghi bảng</b></i>

Bài 93 Sgk/38

Cho học sinh thảo luận
nhóm

Trị chơi: “ <i><b>Các ơ số biết nói</b></i>” . Tìm kết quả và điền vào các ơ tương
ứng

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8

K.Quả

1 . Khơng thực hiện hãy tìm số dư trong các phép chia sau: (1) 17:5 ;
(2) 34 : 2 ; (3) 16 : 5 ;

(4) 45 : 5 ; (5) 11 : 2 ; (7) 18 : 5 ; (8) 124 : 2 ;

2. (6) Số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 2 dư 1 chia cho 5 dư 4 ?
Cho học sinh thảo luận và điền các ô số tương ứng:

Gợi ý cho học sinh tìm hiểu ý nghĩa các con số đó. GV giới thiệu cho
học sinh về ngày TLHLHPN VN

<i><b>Hoạt động 6:</b></i> Hướng dẫn học sinh học ở nhà :

- Về học kĩ lí thuyết, tính chất chia hết của một tổng, dấu hiệu chia hết
cho 2

và 5 chuẩn bị tiết sau luyện tập.
- BTVN : Bài 91, 92, 93, 94, 95

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>Số học 6</b>
<b>Tiết 22</b>

<b>Họ và tên GV: Châu Ngô Khởi</b>

<b>Tổ Toán Lý</b>

<b>Ngày dạy: 10/10/2009</b>

<b>LUYỆN TẬP</b>

<b>I. Mục tiêu bài học </b>

- Củng cố và khắc sâu kiến thức về dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

- Rèn luyện kĩ năng áp dụng linh hoạt, chính xác, có kĩ năng phân tích
bài tốn

- Xây dựng ý thức học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực
<b>II. Phương tiện dạy học</b>

- GV : SGK, SGV, Bảng phụ
- HS : SGK, tập, viết

III.Tiến trình

<i><b>Hoạt động 1 :</b></i> Bài cũ
Phát biểu dấu hiệu chia
hết cho 2 chia hết cho
5 ?

<i><b>Hoạt động 2: </b></i>Luyện tập
Bài 96 Cho học sinh trả
lời tại chỗ

Các số này có
chữ số tận
cùng=?

=> Đó là những
số nào ?

Cho học sinh
trả lời tại cho
Vì sao ?

<b>Bài 97 Sgk/39</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Bài 97: Cho học sinh
thực hiện

GV sử dụng bảng phụ
cho học sinh thực hiện
tại chỗ

Số này chia hết cho 2
nên có chữ số cuối cùng
là số gì ?

Vì chia cho 5 thì dư 3
vậy đó là số nào ?
Chữ số cuối cùng là số
nào ?

Năm là số nào ?

=>Năm ra đời của chiếc
Ơ tơ đầu tiên?

Các số này có chữ số tận
cùng=?

=> Đó là những số nào ?

Cho học sinh trả lời tại
cho

Vì sao ?

Cho học sinh tự
tìm và đưa ra
kết luận sau đó
giáo viên đi
đến kết quả.

<i><b>Hoạt động 3:</b></i>

Củng cố
Kết hợp trong
luyện tập

a. 450; 405; 540
<b>Bài 98 Sgk/39</b>

a. Đ; b. S ; c. Đ ; d. s

<b>Bài 99 Sgk/39</b>

Số : 88

<b>Bài 100 Sgk/39</b>

Vì n ⋮ 5 và a, b, c
{1; 5; 8}

=> n = 5; a = 1; b = 8
Vậy năm ra đời của chiếc
xe Ơ tơ đầu tiên là năm :
1885

<b>Bài 130 Sbt/18. Tìm các </b>
số tự nhiên n chia hết cho 2
và cho 5 với 136 < n < 182
Ta có: n = 140, 150, 160,
170, 180

<b>Bài123sbt/18: Cho các số: </b>
213, 435, 680,156

a.Số 156 ⋮ 2 nhưng
không chia hết cho 5
b.Số 435 ⋮ 5 nhưng
không chia hết cho 2
c.Số 680 ⋮ 2 và 680

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Cho học sinh tự tìm và

đưa ra kết luận sau đó
giáo viên đi đến kết quả.

<i><b>Hoạt động 3:</b></i> Củng cố
Kết hợp trong luyện tập

d.Số 213 ⋮ 2 và 213

⋮ 5

<b>Bài 128 Sbt/18.Tìm số tự </b>
nhiên có hai chữ số giống
nhau chia hết cho 2 và chia
cho 5 dư 4

Ta có : Vì số đó chia hết
cho 2 nên có số tận cùng là
số chẵn và chia cho 5 thì
dư 4

=> Đó là số 44

<i><b>Hoạt động 4</b></i>: Hướng dẫn học sinh học ở nhà

- Về xem lại kĩ lý thuyết và bài tập.

- Chuẩn bị trước bài 12 tiết sau học

? Khi nào thì một số được gọi là chia hết cho 3, chia hết cho 9
BTVN :124, 125, 126, 127, 129.

Cuối năm học kiểm tra lại 40 em học sinh lớp 6A các bài toán sau:
Bài 1:

Tìm các chữ số tận cùng của các số sau:
8732_{; 58}33

Bài 2:

Tìm chữ số tận cùng của số sau: (2345₎42

Bài 3:

Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau:
a/7552_-218

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Bài 4

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n:
a/74n_{-1 chia hết cho 5}

b/24n+1_{+3 chia hết cho 5}

Kết quả thu được như sau:
0 <i>⇒</i>

2,5

3 <i>⇒</i>

4,5

5 <i>⇒</i>

6,5

7 <i>⇒</i>

8,9

9 <i>⇒</i>

10

% Trên trung bình

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>C. KẾT LUẬN</b>

Qua tìm hiểu về các bài tốn tìm chữ số tận cùng có vai trò quan
trọng trong việc nâng cao năng lực chuyên môn của tôi. Làm tài liệu
bồi dưỡng học sinh giỏi và giúp cho học sinh biết tổng hợp kiến thức
và phát huy được tư duy sáng tạo trong giải tốn.

Với việc giảng các phương pháp tìm chữ số tận cùng. Qua tìm
hiểu của bài kiểm tra tơi thấy học sinh đã có phương pháp làm bài tập
nhanh hơn. Do vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên biết phân dạng
Tốn cho học sinh thì các em sẽ nắm được kiến thức một cách dễ dàng
hơn. Khi đưa các dạng toán giáo viên cần đưa các cơ sở lý thuyết và
các bài tập vận dụng với mức độ từ thấp đến cao để gây hứng thú học
tập cho học sinh và không gây cảm giác chán nản khi gặp các dạng

tốn đó.

Trong q trình thực hiện đề tài tơi khơng tránh khỏi những sai
sót. Rất mong các thầy cô giáo xem và sửa chữa cho tôi đễ đề tài của
tơi được hồn thiện hơn.

<b>Tơi xin chân thành cảm ơn !</b>

Phương Phú, Ngày 15 tháng 6 năm 2009
Người viết

Châu Ngô Khởi

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Xác nhận của Trường THCS Phương Phú

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Hiệu Trưởng Trường THCS Phương Phú

Người thực hiện

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b>MỤC LỤC</b>

<b>ĐỀ MỤC </b> TRANG

<b>A. ĐẶT VẤN ĐỀ</b>
I. Lí do chọn đề tài
II. Nhiệm vụ đề tài

III. Đối tượng nghiên cứu

IV. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài
V. Quá trình thực hiện đề tài

<b>B. NỘI DUNG </b>

Phần I. Kiến thức cơ bản

Phần II. Các bài toán ứng dụng
Phần III. Bài toán tham khảo

</div>

<!--links-->