SKKN giảng dạy số phức ở trường phổ thông

SỞ GD-ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
-----------------------

SÁNG KIẾN ĐĂNG KÍ CẤP NGÀNH

GIẢNG DẠY SỐ PHỨC
Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG

Tác giả SKKN:

NGUYỄN VĂN XÁ

Chức vụ:

Giáo viên

Đơn vị cơng tác:

Tổ Tốn - Trường THPT n Phong số 2

Bộ mơn (Chun ngành):

Tốn

N PHONG, THÁNG 12 NĂM 2014


MỤC LỤC

MỤC LỤC .........................................................................................................

1

MỞ ĐẦU ...........................................................................................................

2

Chương 1: CƠ SỞ KHOA HỌC .......................................................................

5

Chương 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ ...............................................................

11

Chương 3: NHỮNG GIẢI PHÁP CỤ THỂ ......................................................

12

1. Các phép toán trên tập số phức ...................................................................... 12
2. Biểu diễn hình học của một số phức ….......................................................... 17
3. Giải phương trình trên tập số phức …………………....................................

20

4. Dạng lượng giác của số phức ........................................................................

23

Chương 4: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG .............................................................

27

KẾT LUẬN .......................................................................................................

28

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................

30

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH ...........................................................

31


MỞ ĐẦU
1. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN
Xét trên tập số thực ℝ mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm,
phương trình bậc hai có biệt thức ∆ ≥ 0 có hai nghiệm (phân biệt hoặc
trùng nhau), nhưng cũng có những phương trình bậc hai đơn giản, chẳng
hạn x 2 + 1 = 0 , lại vô nghiệm. Năm 1545 nhà toán học G.Cardano (1501-

1576) người Italia đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình
x 2 + 1 = 0 bằng cách đưa vào kí hiệu
phương trình này, dĩ nhiên

−1 để biểu diễn nghiệm của

−1 ∉ ℝ. Tiếp theo đó, ơng kí hiệu nghiệm

của phương trình x 2 = −b 2 ( b ∈ ℝ \ {0} ) là b −1 và nghiệm của phương
trình

( x − a )2 = −b2

( a ∈ ℝ , b ∈ ℝ \ {0} ) là a + b −1. Cardano đã gọi

a + b −1 (a, b ∈ ℝ ) là đại lượng ảo, để thể hiện rằng đó là đại lượng
khơng có thực, một đại lượng giả tưởng.
Năm 1572, trong cơng trình có tên Bologne (Đại số), nhà tốn học
Italia R.Bombelli (1526-1573) đã định nghĩa các phép toán số học trên
các đại lượng ảo. Ông được xem là người sáng tạo nên lí thuyết các số

ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được lợi ích của việc đem số ảo vào
tốn học như một cơng cụ hữu ích.
Nhà tốn học Pháp D’Alembert (1717-1783) vào năm 1746 đã đưa
ra dạng tổng quát của số phức, đồng thời chấp nhận nguyên lí tồn tại n
nghiệm của một phương trình đa thức bậc n.
Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đề xuất kí hiệu " "

để chỉ căn bậc hai của −1 gọi là đơn vị ảo (imaginary unit number), đến
năm 1801 nhà tốn học Đức C.F.Gauss (1777-1855) đã dùng lại kí hiệu
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

2


đó và là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ số phức để chỉ các đại lượng
ảo. Tuy nhiên kí hiệu i = −1 cũng đã gây ra rất nhiều tranh cãi và nghi

ngờ trong giới toán học. Nhà bác học I.Newton (1643-1727) người Anh
là người đã không thừa nhận số ảo. Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là
i 2 = −1 bởi vì nó phá vỡ quan hệ thứ tự quen thuộc trên ℝ.
Người có cơng lao biến số phức từ một con số giả tưởng với tính
chất bí hiểm i 2 = −1 thành một số có thật là nhà bác học Ireland
W.R.Hamilton (1805-1865). Năm 1837, Hamilton xây dựng lí thuyết số
phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề để từ đó số phức trở
thành một số quen thuộc với người làm toán như những số truyền thống.
Càng ngày người ta càng thấy số phức có vai trị vơ cùng quan
trọng trong tốn học và khoa học - kĩ thuật. Nhiều nhà toán học nổi tiếng
như Euler, Gauss, G.F.B.Riemann (1826-1866),

A.L.Cauchy (1789-

1857), K.T.W. Weierstrass (1815-1897) và nhiều nhà tốn học khác ở thế
kỉ XX đã có những đóng góp to lớn cho sự phát triển của lí thuyết số

phức và giải tích phức. Giải tích phức, đặc biệt là lí thuyết về ánh xạ bảo
giác, có nhiều ứng dụng trong cơ khí. Nó cũng được sử dụng trong lí
thuyết số giải tích. Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu nhiều với
những ứng dụng trong động lực phức và fractal. Ứng dụng quan trọng
khác của giải tích phức là trong lí thuyết dây.

Ở Việt Nam, nhiều nhà khoa học cũng đã có những đóng góp quan
trọng trong nghiên cứu và giảng dạy giải tích phức.

Đối với chương trình tốn học phổ thơng, số phức được đưa vào
cuối lớp 12. Số phức là một khái niệm mới, việc làm quen, sử dụng và

ứng dụng số phức vào giải tốn đối với học sinh cịn gặp nhiều khó khăn.

Xuất phát từ việc tìm hiểu về lịch sử phát triển của lí thuyết số phức và
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

3


giải tích phức, hiểu được tầm quan trọng của số phức trong toán học và
khoa học - kĩ thuật, xuất phát từ thực trạng dạy - học nội dung số phức
trong thời gian qua tại Trường THPT Yên Phong số 2, để giúp bản thân
mình cũng như các em học sinh định hình tốt hơn về các dạng tốn
thường gặp về số phức và một số ứng dụng sơ cấp của số phức, đặc biệt
là các dạng toán xuất hiện gần đây ở các đề thi TN THPT, thi ĐH-CĐ, thi
HSG, ở các đề thi thử của các địa phương, … tôi mạnh dạn lựa chọn đề
tài “Giảng dạy số phức ở trường phổ thông”.
Thông qua việc phân dạng một số dạng tốn thường gặp về số
phức, giáo viên có cái nhìn tồn diện và sâu sắc hơn về chủ đề số phức
trong chương trình tốn phổ thơng, chọn lựa được những phương án tốt
nhất cho bài giảng của mình, giúp học sinh làm quen với số phức, rèn kĩ
năng giải toán về số phức và ứng dụng của số phức trong giải quyết một
số bài toán sơ cấp đơn giản, phát triển tư duy logic cho học sinh, đồng
thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập
mơn tốn, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần
đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy - học bộ mơn tốn nói
chung và chủ đề số phức nói riêng.

2. ĐĨNG GĨP CỦA SÁNG KIẾN

Góp phần nâng cao nhận thức và kĩ năng cho cả người dạy và
người học về nội dung số phức, làm rõ một số tính chất của số phức, phân
ra một số dạng tốn thường gặp về số phức, bước đầu tiếp cận một số ứng

dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học.

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ KHOA HỌC
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm số phức
Một số phức là một biểu thức dạng z = a+bi, trong đó a và b là
những số thực và số i thỏa mãn i2=-1, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi
là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức. Cách viết z = a+bi được
gọi là dạng đại số của số phức.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi ℂ .
Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0,
z = a + 0.i ∈ ℂ. Do đó, có thể xem ℝ là một tập con của ℂ.
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (số thuần ảo). Đơn
vị ảo i là một số ảo, số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ ) được gọi
là bằng nhau, và viết z = z ' , nếu a = a ', b = b '.
Với a, b ∈ ℝ, mỗi số phức z = a + bi tương ứng với một và chỉ một

điểm M (a; b) trong mặt tọa độ Oxy. Ta gọi M (a; b) là biểu diễn hình
học của số phức z = a + bi . Những số thực có biểu diễn hình học là các

điểm thuộc trục Ox, những số ảo có biểu diễn hình học là các điểm thuộc
trục Oy. Vì thế trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy còn được gọi
là trục ảo. Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức.

Ta để ý rằng trong mặt phẳng Oxy nếu M (a; b) thì OM = ( a; b ) .
Giả sử các điểm M , N là biểu diễn hình học của số phức z và z ' thì
z = z ' khi và chỉ khi OM = ON .

Giả sử số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) có biểu diễn hình học là điểm
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

5


M (a; b) trong mặt phẳng Oxy và M1 (a; −b), M 2 (− a; −b) lần lượt là điểm

đối xứng với M qua trục hoành và qua gốc tọa độ. Gọi z1, z2 là các số
phức có biểu diễn hình học là M1, M 2 tương ứng. Ta gọi z1 là số phức
liên hợp của z , kí hiệu là z , gọi z2 là số đối của số phức z , kí hiệu là

− z. Như vậy ( a + bi ) = a − bi và − ( a + bi ) = (−a ) + (−b)i, với a, b ∈ ℝ.
Ta dễ dàng kiểm tra được rằng z = z và −(− z ) = z.

Độ dài của vectơ OM = ( a; b ) được gọi là môđun của số phức
z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , và kí hiệu z . Như vậy a + bi = a 2 + b2 (a, b ∈ ℝ).
Với mọi z ∈ ℂ ta có z = z = − z ≥ 0, đẳng thức xảy ra khi z = 0.

1.2. Một số phép toán trên ℂ
1.2.1. Phép cộng
a) Tổng của hai số phức
Tổng của hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ )
là số phức z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i .
Nếu hai số phức z , z ' có biểu diễn hình học là các điểm M , N
trong mặt phẳng Oxy, điểm T là biểu diễn hình học của số phức z + z '

khi và chỉ khi OM + ON = OT .
Phép tốn tìm tổng của hai số phức được gọi là phép cộng số phức.

b) Tính chất của phép cộng số phức
Phép cộng số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng
các số thực.

• Tính chất kết hợp ( z + z ') + z '' = z + ( z '+ z '') , ∀z, z ', z '' ∈ ℂ. Nhờ đó,
ta có thể viết z + z '+ z '' để chỉ tổng ( z + z ') + z ''.

• Tính chất giao hốn z + z ' = z '+ z , ∀z ∈ ℂ.
• Cộng với 0 (phần tử trung hòa của phép cộng) z + 0 = 0 + z = z,∀z ∈ℂ.
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

6


• Với mỗi z ∈ ℂ , số đối − z tồn tại duy nhất, và z + (− z ) = 0.
•

z + z ' ≤ z + z ' , ∀z , z ' ∈ ℂ.

• z + z ' = z + z ', ∀z , z ' ∈ ℂ.

1.2.2. Phép trừ
a) Hiệu của hai số phức
Hiệu của hai số phức z và z ' là tổng của z với − z ' , tức là

z − z ' = z + (− z ') . Nếu z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ ) thì
z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i.

Nếu hai số phức z , z ' có biểu diễn hình học là các điểm M , N

trong mặt phẳng Oxy, điểm H là biểu diễn hình học của số phức z − z '
khi và chỉ khi OM − ON = OH .
Phép tốn tìm hiệu của hai số phức được gọi là phép trừ số phức.
b) Tính chất của phép trừ số phức
Phép trừ số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép trừ các số
thực.
•

z − ( z '+ z '') = ( z − z ') − z '', ∀z , z ', z '' ∈ ℂ.

•

z − ( z '− z '' ) = ( z − z ') + z '', ∀z , z ', z '' ∈ ℂ.

• z − 0 = z,0 − z =−z, z − z = 0,∀z ∈ℂ.
•

z − z ' = z − z ', ∀z , z ' ∈ ℂ.

1.2.3. Phép nhân
a) Tích của hai số phức
Tích của hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ℝ ) là
số phức zz ' = (aa '− bb ') + (ab '+ a ' b)i.
Phép tốn tìm tích của hai số phức được gọi là phép nhân số phức.
b) Tính chất của phép nhân số phức
• Tính chất giao hốn zz ' = z ' z , ∀z , z ' ∈ℂ.
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

7


• Tính chất kết hợp z ( z ' z '') = ( zz ') z '', ∀z , z ', z '' ∈ ℂ. Để chỉ tích

( zz ') z '' ta có thể viết

zz ' z ''. Với n là số nguyên dương, với mọi số

phức z , để chỉ tích z.z...z ta viết z n .
• Nhân với 1 (phần tử đơn vị của phép nhân) z.1 = 1.z = z , ∀z ∈ℂ.

• Tính chất phân phối z ( z '+ z '') = zz '+ zz '', z ( z '− z '') = zz '− zz '',∀z, z ', z '' ∈ℂ.
• zz ' = z .z ', ∀z , z ' ∈ℂ. Do đó z n = z n , ∀z ∈ ℂ, ∀n ∈ ℕ *.
2

•

z = z.z , ∀z ∈ ℂ.

•

zz ' = z . z ' , ∀z , z ' ∈ ℂ. Do đó z n = z , ∀z ∈ ℂ, ∀n ∈ ℕ *.

n

• i 4 n = 1,i 4 n−3 = i, i 4 n−2 = −1,i 4 n−1 = −i,∀n ∈ ℕ * .

1.2.4. Phép chia cho số phức khác 0
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z −1 =

Thương

z'
của phép chia số phức z ' cho số phức z ≠ 0 là tích của
z

z ' với số phức nghịch đảo của z , tức là

thì

1
z.
z2

z'
= z ' z −1. Như vậy, nếu z ≠ 0
z

1
z' z'z z'z
z' z'z
−1
= 2 , và đặc biệt = z . Nhận thấy
= 2 =
, nên để tính
z
z
z
z
zz

z

z'
ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với số phức liên hợp của mẫu.
z
z' z'
 z' z'
Dễ thấy, với mọi z , z ' ∈ ℂ, z ≠ 0, ta có   =
và
= .
z
z
z z

1.2.5. Căn bậc n của số phức
Số phức w được gọi là một căn bậc n (n ∈ ℤ, n ≥ 2) của số phức z
nếu wn = z. Mỗi số phức z ≠ 0 ln có n căn bậc n ( n ∈ ℤ , n ≥ 2 ) là n
số phức.
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

8


1.3. Phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (1) với các hệ số
A, B, C là những số thực hoặc phức, A ≠ 0 , z là biến số phức. Đặt
∆ = B 2 − 4 AC. Khi đó

- Nếu ∆ ≠ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

z1,2 =

−B ± δ
, trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ .
2A

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép z1 = z2 = −

B
.
2A

Trong cả hai trường hợp trên ta đều có
B

S
=
z
+
z
=
−
1
2

A
.

C
P = z z =

1 2

A
Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n
An z n + ... + A1z + A0 = 0 (2)
(trong đó n là số nguyên dương, n + 1 hệ số A0 , A1,..., An là các số phức,
An ≠ 0 ) ln có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). Hơn nữa,
nếu z0 là một nghiệm của phương trình (2) và A0 , A1,..., An là các số thực
thì z0 cũng nghiệm của (2).

1.4. Dạng lượng giác của số phức
1.4.1. Định nghĩa acgument của số phức khác 0
Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn
số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được
gọi là acgument của z.

1.4.2. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức z = a + bi( a,b ∈ ℝ ) có mơđun z = r > 0 và ϕ là một
acgumen. Lúc này z có thể viết ở dạng z = r (cosϕ + isin ϕ ) . Ta gọi dạng
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

9


z = r (cosϕ + isin ϕ ) là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0.

1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu z = r (cosϕ + isin ϕ ) , z ' = r '(cosϕ '+ isin ϕ ')(r ≥ 0, r ' ≥ 0) thì

zz’ = rr’ = cos (ϕ + ϕ ')  + isin(ϕ + ϕ ')]

z' r'
= cos (ϕ '− ϕ ) + isin (ϕ '− ϕ )  (khi r>0).
z r

1.4.4. Công thức Moa-vrơ
a) Công thức Moa-vrơ
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp
toán học dễ dàng suy ra với mọi số nguyên dương n,
[r (cosϕ + isin ϕ )]n = r n ( cos nϕ + isin nϕ )
và khi r = 1 ta có
(cosϕ + isin ϕ )n = cos nϕ + isin nϕ .
b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.
Từ công thức Moa-vrơ dễ thấy số phức z = r (cosϕ + isin ϕ ) (trong

đó r > 0 ) có hai căn bậc hai là

ϕ + k 2π
ϕ + k 2π

r  cos
+isin
2
2



 , v ới


k = 0, k = 1.

2. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Trong chương trình mơn Tốn hiện hành ở bậc THPT, nội dung số
phức bước đầu được quan tâm. Trong các kì thi TN THPT và thi ĐH-CĐ,
các bài toán số phức cũng thường xuyên xuất hiện. Những ứng dụng của
số phức ngày càng được nhiều người dạy và học quan tâm, khai thác.
Trong thời gian giảng dạy tại trường THPT Yên Phong số 2, tiền
thân là trường THPT Yên Phong số 3, tôi đã chú ý đến mảng kiến thức
này, dành thời gian tự trau dồi những hiểu biết liên quan, dành thời gian
hợp lí cho học sinh luyện tập, tự mở rộng kiến thức.
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

10


CHƯƠNG 2
THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Qua tìm hiểu, tơi nhận thấy việc dạy và học nội dung số phức và áp
dụng để giải tốn hiện nay có một số điều đáng bàn sau đây

1) Giáo viên còn hạn chế về nhiều kiến thức toán cao cấp liên quan
đại số đại cương, do đó cái nhìm tổng quan số phức có phần nào chưa
thực sự đầy đủ, điều đó dẫn tới việc áp dụng các kiến thức về số phức vào
giải toán cũng có phần hạn chế, có lúc vẫn cịn thiếu đi sự linh hoạt, tinh
tế.
2) Đây là chủ đề mà lượng kiến thức đưa vào bậc THPT rất sơ
lược, dễ gây tâm lí chủ quan đối với cả giáo viên lẫn học sinh. Chính tâm
lí chủ quan có thể dẫn tới những sai lầm đáng tiếc.
3) Việc hình thành kĩ năng áp dụng cho học sinh là công việc phải
được tiến hành thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng. Tuy nhiên một

số giáo viên chưa chú trọng việc bồi dưỡng kĩ năng trình bày, bồi dưỡng
mảng kiến thức liên quan tới các tập hợp số ngay từ lớp 10, dẫn tới tạo ra
độ ì lớn khi học sinh lên lớp 11, 12.
4) Nhiều học sinh học tập một cách thụ động, trông chờ thầy cô
cung cấp kiến thức, chỉ làm bài theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo.

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

11


CHƯƠNG 3
MỘT SỐ GIẢI PHÁP
Chương này, chúng tôi đề xuất phương án phân chia một số dạng
toán liên quan tới số phức, ứng dụng của số phức.
1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia hai số phức được thực hiện như
z'
đối với số thực, chỉ lưu ý thêm i 2 = −1, để tính thương
ta nhân cả tử và
z
mẫu với số phức liên hợp z = a − bi của z = a + bi.
VD1. a) Tìm phần thực, phần ảo và mơđun của số phức
z = (1 + i 3)2 + ( 2 − i)3.
b) Tìm căn bậc hai của số phức z = 21 − 20i.
HD. a) Ta có

(

)

z = 1 + 2 3i − 3 + 2 2 − 6i − 3 2 + i = − 2 − 2 + i(2 3 − 5).

Vậy phần thực của z là − 2 − 2 , phần ảo là 2 3 − 5 và môđun
z=

( − 2 − 2) + ( 2 3 − 5)
2

2

= 43 + 4 2 − 20 3.

b) Giả sử w = a + bi (a,b ∈ ℝ ) là căn bậc hai của z. Ta có w 2 = z hay
(a + bi)2 = 21 − 20i ⇔ (a2 − b2 ) + i.2ab = 21 − 20i
a2 − b2 = 21 a4 − 21a2 −100 = 0
⇔
⇔
2ab = −20
ab = −10
a = 5,b = −2
⇔
a = −5,b = 2.
Vậy có hai căn bậc 2 của z là w1 = 5 − 2i, w 2 = −5 + 2i.

VD2. 1) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng
4
4n−2
4n
C04n − C24n + C4n

− C64n + ... − C4n
+ C4n
= (−4)n,
−3
4n−1
C14n − C34n + C54n − C74n + ... + C4n
4n − C4n = 0.
2) Tính tổng S=C0 +3C3 +6C6 +...+3kC3k +...+15C15 +18C18 .
20
20
20
20
20
20
HD. 1) Để ý rằng với k là số tự nhiên thì:

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

12


+
+
+

i k = 1 nếu k chia hết cho 4;
i k = i nếu k chia cho 4 dư 1;
i k = −1 nếu k chia cho 4 dư 2;

+ i k = −i nếu k chia cho 4 dư 3.

(

Ta có (1 + i)4n = (1 + i)2

)

2n

= (2i)2n = (−4)n và

4 4
4n 4n
(1+ i)4n = C04n + C14ni + C24ni2 + C34ni3 + C4n
i + ... + C4n
i

(

)(

)

4
4n
4n−2
= C04n + C4n
+ C84n +... + C4n
− C24n + C64n + C10
4n +... + C4n +

(

) (

)

−3
3
7
11
4n−1
+ i C14n + C54n + C94n +... + C4n
4n − i C4n + C4n + C4n +... + C4n
2n−1
k 2k
+1
= ∑ (−1) C4n + i. ∑ (−1)kC2k
4n .
k=0
k=0
2n

So sánh phần thực và phần ảo của số phức (1 + i)4n theo cả hai cách tính
2n−1
k 2k
n
+1
đó, suy ra ∑ (−1) C4n = (−4) , ∑ (−1)k C2k
4n = 0 hay

k=0
k=0
−2
4n
C 04n − C 24n + C 44n − C 64n + ... − C 4n
+ C 4n
= ( − 4) n ,
4n
−3
4n −1
− C 4n
= 0.
C 14n − C 34n + C 54n − C 74n + ... + C 4n
4n
2n

2) Xét phương trình x3 – 1 = 0 có ba nghiệm là
1
3
1
3
x1 = 1; x = − +
i ;x = − −
i.
2
3
2 2
2 2
1
3

Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1. Đăt ε = − −
i
2 2
1
3
⇒ ε2 = − +
i và ε có các tính chất sau
2 2
a)

ε + ε 2 = -1

b)

ε3 = 1

c)

ε 3k = 1

d)

ε 3k + 1 = ε

e)

ε 3k + 2 = ε 2 (k – nguyên).

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

13


Trở lại bài tốn, theo cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có

(1

+ x ) = C0 + xC1 + x 2C2 + x 3C3 + ... + x18C18 + x19C19 + x 20C20 .
20

20

20

20

20

20

20

20

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên
20 (1 + x ) = C1 + 2xC2 + 3x 2C3 + ... + 18x17C18 + 19x18C19 + 20x19C20
19

20

20

20

20

20

20

sau đó nhân hai vế của đẳng thức mới thu được này với x
19
20x (1 + x ) = xC1 + 2x 2C2 + 3x3C3 + ... + 18x18C18 + 19x19C19 + 20x 20C20 .
20
20
20
20
20
20

Từ đây lần lượt cho x = 1, x = ε, x = ε 2 ta được
20.219 = C1 + 2C2 + 3C3 + 4C4 + ... + 18C18 + 19C19 + 20C20 (1),
20
20
20
20
20
20
20
20ε(1 + ε)19 = εC1 + 2ε 2C2 + 3C3 + 4εC4 ... + 18C18 + 19εC19 + 20ε 2C20 (2),

20
20
20
20
20
20
20
20ε 2 (1 + ε 2 )19 = ε 2C1 + 2εC2 + 3C3 + 4ε 2C4 ... + 18C18 + 19ε 2C19 + 20εC20 (3).
20
20
20
20
20
20
20

Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có
20[219 + ε (1 + ε )19 + ε 2(1 + ε 2)19 ] = 3S - C0 .
20

Mặt khác

ε (1 + ε )19 = ε(−ε 2 )19 = −ε 39 = −1 ,

ε 2(1 + ε 2)19 = ε 2 (−ε)19 = −ε 21 = −1 .
Vậy 3S = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 nên S =

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

10.2 20

− 13 .
3

14


BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của số phức z,
biết rằng
(21 − 7i)(4 + 3i)
a) z =
.
2 + 5i
(2 − 3i).5i
b) z =
.
2 + 3i
c) 1 − z = (i + 2)2 (1 − i 2).
Bài 2. 1) Cho z1 = 1 + 2i, z 2 = 2 − 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z1 − 2z 2 .
2) Cho z1 = 2 + 5i, z 2 = 3 − 4i. Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z1.z 2 .
(1 − i 3)3
3) Cho z =
. Tìm mơđun của số phức z + iz.
1− i
4) Cho z1,z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0.
2

2

Tính z1 + z 2 .
5) Cho z1,z 2 là hai nghiệm của phương trình z2 − 2 3iz − 4 = 0.
Tính z12013 + z 2013
.
2
6) Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6 z − i = 2 + 3iz và
z1 − z2 =

1
Tính mơ đun z1 + z2 .
3

7) Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 6 z + 13 = 0 Tính z +

(1 − 3i )
8) Cho số phức z thỏa mãn z =

6
.
z +i

3

1− i

Tìm z + iz .

9) Tính mơđun của số phức z biết rằng

( 2z −1)(1 + i ) + ( z + 1) (1 − i ) = 2 − 2i.
 z1 − 2i = 2 iz1 + 1

10) Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện  z2 − 2i = 3 iz2 + 1 .

 z1 − z2 = 1

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

15


Tính P = z1 + z2 .
11) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

(1 + i ) z + 2 = 1 tìm số
1− i

phức có mơđun nhỏ nhất, lớn nhất.
12) Tìm giá trị nhỏ nhất của z biết u = ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là một số
thực.
z + 2−i
= 2 . Tìm giá trị nhỏ
z +1− i

13) Biết rằng số phức z thỏa mãn
nhất và lớn nhất của z .

14) Cho ba số phức z1 , z2 , z3 đều có mơđun bằng 1. Chứng minh
rằng

z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .

15) Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn z 3 +
z+

8
≤ 9 thì
z3

2
≤ 3.
z

16) Cho số phức z. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng
1
thức sau xảy ra z + 1 ≥
(1); 1 + z 2 ≥ 1 (2).
2
17) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
a ) Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + Cn8 + ... =

( 2 ) cos n π4 .

b) Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + Cn9 + ... =

( )

c)Cn1 − 3Cn3 + 5Cn5 − 7Cn7 + ... = n

( )

n

π

n

2 sin n .
4

d )Cn0 − 2Cn2 + 4Cn4 − 6Cn6 + ... = n

n −1

2

( 2)

1
nπ
e)1 + Cn3 + Cn6 + ... =  2n + 2cos
3
3

π

cos ( n − 1) .
4

n −3

π

sin ( n − 1) .
4


.


25(224 − 1)
.
f )2C2 + 5C5 + 8C8 + ... + 20C20 + 23C23 =
25
25
25
25
25
3
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

16


2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ PHỨC
VD3. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
z thỏa mãn
a) z − 1 = z + i .
b) 3z − z = 8.
c) z + 2 + z − 2 = 10 .

HD. Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + iy (x,y ∈ ℝ ) .
a) z −1 = z + i ⇔ (x −1) + yi = x + (1− y)i ⇔x2 − 2x +1+ y2 = x2 + y2 − 2y +1⇔y = x.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − 1 = z + i là
đường thẳng có phương trình y = x.
x 2 y2
b) 3z − z = 8 ⇔ 2x + 4yi = 8 ⇔ 4x + 16y = 64 ⇔
+
= 1.
16 4
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3z − z = 8 là elip
2

(E) :

2

x2 y2
+
= 1.
16 4

c) z + 2 + z − 2 = 10 ⇔ (x + 2)2 + y2 + (x − 2)2 + y2 = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 ,
trong đó F1(−2;0), F2 (2;0). Như vậy tập hợp các điểm M chính là elip (E)
có hai tiêu điểm F1(−2;0), F2 (2;0) và trục lớn bằng 10,
x 2 y2
(E) :
+
= 1.
25 21

VD4. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + i ≤ 2.
a) Chứng minh rằng 2z − 1 + i ≤ 3 2.
b) Tìm số phức z có mơđun lớn nhất.
HD. a) Gọi z = x + iy (x,y ∈ ℝ ) và M(x;y) là điểm biểu diễn của z trên
mặt phẳng Oxy, vì z − 1 + i ≤ 2 ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2 nên M thuộc
hình trịn (H1 ) tâm I1(1; −1), bán kính R1 = 2 (kể cả biên). Xét hình
1

1

trịn (H 2 ) tâm I 2 ( ; − ), bán kính
2 2

R2 =

3
2

(kể cả biên). Nhận thấy

2
= R2 − R1 nên (H1 ) nằm bên trong (H 2 ) . Mà M thuộc (H1 )
2
1
1
9
nên M cũng thuộc (H 2 ) , tức là (x − )2 + (y + )2 ≤
suy ra
2
2

2
I1I 2 =

(2x − 1)2 + (2y + 1)2 ≤ 18 hay 2z − 1 + i ≤ 3 2 (đpcm).
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

17


b) Rõ ràng z = OM, với O(0;0) và M(x;y) thuộc (H1 ) . Gốc tọa độ O lại
thuộc biên của (H1 ) . Do vậy z = OM lớn nhất khi M đối xứng với O
qua I1(1; −1), tức là M(2; −2). Vậy, trong các số phức z thỏa mãn
z − 1 + i ≤ 2 thì số phức z = 2 − 2i có mơđun lớn nhất (khi đó
z = 2 2).

VD5. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số
phức z sao cho số

z−2
π
có acgumen bằng .
3
z+2

HD. Gọi z= x+ yi (x,y ∈ ℝ ) ta có
z − 2 ( x − 2 ) + yi ( x − 2 ) + yi  ( x + 2 ) + yi 
=
=
2
z + 2 ( x + 2 ) + yi

( x + 2) + y2
=
Vì số phức

x 2 − 4 + y 2 + yi ( x + 2 − x + 2 )

( x + 2)

2

+ y2

=

x2 + y 2 − 4
4y
+
i.
2
2
2
2
x
2
y
x
2
y
−
+

−
+
(
)
(
)

z−2
π
có acgumen bằng nên ta có
3
z+2

x2 + y2 − 4
4y
π
π

+
i
=
r
c
os
+
isin
2
2



3
3

( x − 2) + y2 ( x − 2) + y2

( r > 0)

r
 x2 + y 2 − 4
 x − 2 2 + y2 = 2
)
(
⇔
4y
r 3

=
2
( x − 2) + y2
2

2

4y
2   4 

Từ đó suy ra y>0 (1) và 2
= 3 ⇔ x2 +  y −
 =


2
x + y −4
3  3


2

( 2).

Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là phần đường trịn (2) nằm ở phía
trên trục thực Ox.

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

18


BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 3. Tìm tập hợp các điểm là biểu diễn hình học của số phức z thỏa
mãn
1) z − i + 3 = 3.
2) z ≥ 2z + 1 − i .
3) z − i = (i + 1)z .
4)

5)

z+2
z−i

= 1.

z + 2 + 3i
là số thuần ảo.
z −i

6) z = (1 + i 3 ) w + 2 và w − 1 ≤ 2 .
7)

z
= 3.
z −i

8)

z + 2 − 3i
= 1.
z −4+i

9) z = z − 3 + 4i .

10) z − i + z + i = 4.
11) z − i = (1 + i ) z .

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn z −(3− 4i) = 2.
1
z − 1 − i ≤ 21.
2
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z .

a) Chứng minh rằng

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

19


3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Phương pháp 1. Sử dụng các phép toán trên tập số phức, các phép biến
đổi tương đương, điều kiện để hai số phức bằng nhau ...
VD6. Giải phương trình (1 + i)2 (2 − i).z = i + 8 + (1 + 2i).z.
8+i
(8 + i)(1 − 2i)
HD. PT ⇔ (1 + 2i)z = 8 + i ⇔ z =
⇔z=
⇔ z = 2 − 3i.
1 + 2i
(1 + 2i)(1 − 2i)
Vậy z = 2 − 3i.
Phương pháp 2. Giả sử số phức z cần tìm có dạng đại số z = x + iy
(x,y ∈ ℝ ) , sau đó tìm ra x và y.
VD7. Giải phương trình (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 .
HD. Giả sử z = x + iy (x,y ∈ ℝ ) thì z = x − iy. Phương trình đã cho trở
(2 − 3i)(x + iy) + (4 + i)(x − iy) = −(1 + 3i)2
6x + 4y − 8 = 0
x = −2
⇔ (6x + 4y − 8) + i(−2x − 2y + 6) = 0 ⇔ 
⇔
.
−

2x
−
2y
+
6
=
0
y
=
5


Vậy z = −2 + 5i.

thành

Phương pháp 3. Để giải phương trình dạng az 2 + bz + c = 0 (a ≠ 0) ta có
thể tính ∆ = b2 − 4ac, gọi δ là một căn bậc hai của ∆, khi đó phương
trình có nghiệm
−b ± δ
z1,2 =
.
2a
5 − 10i − (1 − 2i)z
VD8. Giải phương trình z = 1 +
.
z−5
HD. Điều kiện z ≠ 5. Ta biến đổi phương trình về z 2 − (5 + 2i)z + 10i = 0.
Khi đó ∆ = (−(5 + 2i))2 − 4.1.10i = 21 − 20i. Một căn bậc hai của
5 + 2i + 5 − 2i

∆ = 21 − 20i là δ = 5 − 2i (xem VD1b). Dẫn tới z =
=5
2
5 + 2i − 5 + 2i
hoặc z =
= 2i. Đối chiếu với điều kiện z ≠ 5 suy ra phương
2
trình đã cho có một nghiệm z = 2i.

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

20


BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 5. Giải phương trình
1)z 2 + 2z + 3 = 0.
2) z 2 = 1 − 2 2.i.
3) z 4 + 3z 2 − 4 = 0.
4) z3 + 8 = 0.
5) z 2 − (1 + i)z + 3i + 6 = 0.
4z − 3 − 7i
6)
= z − 2i.
z−i
7) z + 2iz = −i.

Bài 6. 1) Tìm số phức z thỏa mãn z.z = 25 và z − 2 − i = 10.
2) Tìm số phức z thỏa mãn
3) Cho số phức z thỏa mãn

z = 2

và

z2

là số thuần ảo.

5(z + i)
= 2 − i. Tìm phần thực và phần
z +1

ảo của số phức (2 − z)2013.
4) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện z + 1 − 2i = z + 3 + 4i và
z − 2i
là một số thuần ảo.
z +i

5) Tìm tất cả các số phức z biết z 2 = z + z .
2

6) Tìm số phức z biết z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i .
7) Tìm phần ảo của số phức z biết z = ( 2 + i ) (1 − 2i ) .
2

8) Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số thuần ảo.
9) Tìm số phức z biết z −

5+i 3

−1 = 0 .
z
3

 1+ i 3 
10) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 
 .
1
+
i



Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

21


11) Tìm số phức z thỏa mãn 2 z − i = 2 + z − z và
acgumen là −

1 − 3i
có một
z

2π
.
3

12) Tìm số phức z thỏa mãn z − i = 2 và ( z − 1) ( z + i ) là số thực

13) Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau
1 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) .
2

3

20

Bài 7. Giải phương trình
1) z 3 − ( 3 − i ) z 2 − ( 2 − i ) z + 16 − 2i = 0.
2) z 3 − ( 2 − 3i ) z 2 + 3 (1 − 2i ) z + 9i = 0.

3) z 4 − z 3 + 6 z 2 − 6 z − 16 = 0.

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

22


4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1
1
VD9. Cho số phức z thỏa mãn z + = 1. Tính P = z 2013 + 2013 .
z
z
1
π
 π
HD. Từ z + = 1 suy ra z = cos + i.sin  ±  do đó
z

3
 3
2013π
2013π
1
2013π
2013π
z 2013 = cos
± isin
và 2013 = cos
∓ isin
.
3
3
3
3
z
2013π
Vậy P = 2 cos
= 2 cos671π = −2.
3
VD10. Chứng minh rằng
π

a) cos + cos
7

π

b) cos − cos

7

3π
5π 1
+ cos
= .
7
7 2

2π
3π 1
+ cos
= .
7
7 2

π

π

7

7

HD. a) Đặt z = cos + i sin ⇒ z 7 = cosπ + i sin π = −1 hay z 7 + 1 = 0 .
Mặt khác
3π
5π 1  1  1  3 1  1  5 1  z10 + z8 + z 6 + z 4 + z 2 + 1
.
+ cos

= z + + z + 3 + z + 5  =
7
7
7 2
z  2
z  2
z 
2z5
Vì z 7 + 1 = 0 nên z10 = − z 3 và z 8 = − z , suy ra
cos

π

+ cos

z10 + z 8 + z 6 + z 4 + z 2 + 1 = z 6 + z 4 − z 3 + z 2 − z + 1
z7 + 1 5
= z − z + z − z − z − z +1+ z =
+ z = z5.
z +1
6

π

Do đó cos + cos
7

5

4

3

2

5

3π
5π
z5
1
+ cos
= 5 = .
7
7 2z
2

b) Xét phương trình x 7 + 1 = 0 . Dễ thấy các nghiệm của phương trình là
các căn bậc 7 của số -1. Biểu diễn −1 ở dạng lượng giác
−1 = cos π + i.sin π và đặt x = r ( cos ϕ + i.sin ϕ ) ta có

x7 + 1 = 0 ⇔ r7 ( cos7ϕ + i.sin7ϕ ) = cos π + i.sin π

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

23


nên r = 1 và x = cos

π + 2kπ
7

+ i.sin

π + 2kπ
7

với k = 0,1,...,6. Theo định

lí Vièt, phương trình x 7 + 1 = 0 có tổng các nghiệm bằng 0 nên tổng phần
thực của các nghiệm đó bằng 0. Do đó
3π
5π
7π
9π
11π
13π
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
=0
7
7
7
7
7
7

7
3π
5π 
π

⇔ 2  cos + cos
+ cos
 −1 = 0
7
7
7 

2π
3π 1
π
⇔ cos − cos
+ cos
= .
7
7
7 2

cos

π

+ cos

VD11. Tính tổng ( a ≠ 2kπ ,k ∈ ℤ )
S1 = sin a + sin 2a + ... + sin na,

S 2 = cos a + cos2a + ... + cos na.
zn −1
HD. Đặt z = cos a + isin a ta có S 2 + iS1 = z + z + ... + z = z.
.
z −1
2

n

Ta có
z n − 1 cos na + isin na − 1
=
z −1
cos a + isin a − 1
na
na
na
−2sin 2
+ 2i sin cos
2
2
2
=
a
a
a
−2sin 2 + 2i sin cos
2
2
2

na 
na
na 
sin  cos + isin 
2 
2
2 
=
a
a
a
sin  cos + isin 
2
2
2
na
sin 
2 cos ( n − 1) a + isin ( n − 1) a  .
=
a 
2
2 
sin 
2
Nên

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

24